HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a f x; y , b g x; y có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau mộ[r]
(1)dungtien@gmail.com sent to www.laisac.page.tl MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI NGUYEN VAN RIN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: Đặc điểm chung dạng hệ phương trình này là sử dụng các kỹ biến đổi đồng Đặc biệt, là kỹ phân tích nhằm đưa phương trình hệ dạng đơn giản ( có thể rút theo y ngược lại ) vào phương trình còn lại hệ Dạng 1: Trong hệ có phương trình bậc với ẩn x ẩn y Khi đó, ta tìm cách rút y theo x ngược lại x ( y 1)( x y 1) x x (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (2) xy x x Giải: Dễ thấy x=0 không thỏa mãn phương trình (2) nên từ (2) ta có: y 1 x2 1 thay vào (1) ta được: x x2 1 x2 1 (x ) 3x x ( x 1)(2 x 1) ( x 1)(3x 1) x x ( x 1)(2 x x x 1) ( x 1)(3 x 1) ( x 1)(2 x x x) x x (loại) x 2 x2 Dạng 2: Một phương trình hệ có thể đưa dạng tích các phương trình bậc hai ẩn xy x y x y x y y x x y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (1) (2) Giải: Điều kiện: x 1; y (1) x xy y ( x y ) ( x y )( x y ) ( x y ) ( từ ĐK ta có x+y>0) x y x y thay vào phương trình (2) ta được: y x y y ( y 1)( y 2) ( y ) y x Dạng 3: Đưa phương trình hệ dạng phương trình bậc hai ẩn, ẩn còn lại là tham số (2) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI y (5 x 4)(4 x ) 2 y x xy 16 x y 16 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: (1) (2) Giải: Biến đổi phương trình (2) dạng y (4 x 8) y x 16 x 16 Coi phương trình trên là phương trình ẩn y tham số x ta có ' 9x từ đó ta y x (3) nghiệm y x (4) x y0 Thay (3) vào (1) ta được: (5 x 4) (5 x 4)(4 x) x y x y Thay (4) vào (1) ta được: (4 x) (5 x 4)(4 x ) x y 4 Vậy nghiệm hệ là: (0; 4), (4; 0), ( ; 0) II HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng hệ dạng này là phát ẩn phụ a f ( x; y ), b g ( x; y ) có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức phép chia cho biểu thức khác x y ( y x) y (1) ( x 1)( y x 2) y (2) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình x2 y yx4 Dễ thấy y=1 không thỏa mãn phương trình (1) nên HPT x ( y x 2) y x2 1 a b ;b y x Đặt a y ab x2 y Giải hệ ta a=b=1 từ đó ta có hệ phương trình x y Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng 2 4( ) 7 xy x y ( x y)2 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 2 x x y Giải: Điều kiện x y (3) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI 2 3( x y ) ( x y ) ( x y )2 HPT x y x y x y Đặt a x y 3a b 13 ( a 2); b x y ta hệ phương trình: x y a b (1) (2) Giải hệ ta a=2; b=1 (do a ) từ đó ta có hệ: 2 x y 1 x x y x y x y y x y Vậy nghiệm hệ là (1;0) III HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ phương trình loại này ta thường gặp hai dạng f ( x ) (1) và f ( x ) f ( y ) (2) với f là hàm đơn điệu trên D và x, y thuộc D Nhiều cần phải đánh giá ẩn x, y để x, y thuộc tập mà hàm f đơn điệu Dạng 1: Một phương trình hệ có dạng f ( x ) f ( y ) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để trên đó hàm f đơn điệu x x y y (1) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình (2) x y x x Giải: Từ PT (2) ta có y y Xét hàm số f (t ) t 5t ; t [ 1;1] Ta có f '(t ) 3t 0;t [ 1;1] đó f (t ) nghịch biến trên khoảng (-1;1) Từ đó (1) x y thay vào PT (2) ta PT x8 x Đặt a x và giải phương trình ta a 1 1 x y 4 2 Dạng 2: Là dạng hệ đối xứng loại hai mà thường giải thường dẫn đến hai trường hợp (1) và (2) x x x y 1 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình x 1 y y y a a 3b (1) Giải: Đặt a x 1; b y ta hệ b b 3a (2) (1)-(2) vế theo vế ta có a a 3a b b 3b (3) (4) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI Xét hàm số f (t ) t t 3t t2 1 t f '(t ) 3t ln t 1 Vì t t t t t f '(t ) 0, t Do đó, hàm số f (t ) đồng biến trên Nên PT (3) a b thay vào phương trình (1) ta a a 3a (4) Theo nhận xét trên thì a a 1>0 nên PT (4) ln(a+ a 1) a ln (lấy ln hai vế) Xét hàm số g(a)=ln(a+ a 1) a ln g '(a ) a2 ln ln 0, a Do đó, g(a) nghịch biến trên và PT(4) có nghiệm a=0 nên phương trình (4) có nghiệm a=0 Vậy nghiệm hệ phương trình ban đầu là ( x; y ) (1;1) IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp này cần lưu ý các biểu thức không âm và nắm vững các bất đẳng thức xy x2 y x x 2x Ví dụ 8: Giải hệ phương trình xy y y2 x y 2y (1) (2) Giải: Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta xy x 2x Ta có xy x2 y x x ( x 1)2 xy Tương tự (3) y 2y y2 y xy x 2x xy x 2x xy xy xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x ; y ta có x y xy Nên VT (3) VP(3) x y 1 Do đó, dấu “=” xảy x y Thử lại, ta nghiệm hệ phương trình là (0;0), (1;1) (5) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI y x3 x x y y Ví dụ 9: Giải hệ phương trình y ( x x 2) y ( x 1) ( x 2) (1) x 2( y y 2) x 2( y 1) ( y 2) (2) Giải: HPT Nếu x>2 thì từ (1) suy y-2<0 điều này mâu thuẫn với PT(2) có x-2 và y-2 cùng dấu Tương tự với x<2 ta suy điều vô lý Vậy nghiệm hệ phương trình là x=y=2 Hy vọng số ví dụ trên giúp bạn đọc phần nào kỹ giải hệ phương trình BÀI TẬP TỰ LUYỆN xy x y 16 2 x y x y 33 x y y 4(2 x 3) y 48 y 48 x 155 x x x y y y 2 x y x y 44 y x e 2011 y2 1 e y 2011 x x2 x (2 y ) x( y 2) 2( x x y 1) x ( y 1) y x ln( y x ) x y 2 x xy y y 2 x y x y 2 x 3x y 12 x 13 (6) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x y x y xy xy Bài toán 1: (KHỐI A-2008) Giải hệ phương trình x y xy (1 x) x y x y xy xy Giải: HPT ( x y ) xy 2 2 x y xy ( x y ) ( x y ) ( x y )( x y xy ) x2 y i ( x y ) (I) xy 25 Hệ (I) có nghiệm ( x; y ) ( ; ) 16 x y ii x y xy (II) xy Hệ (II) có nghiệm ( x; y ) (1; ) 25 ), (1; ) 16 xy x y Bài toán 2: (Khối B-2009) Giải hệ phương trình 2 x y xy 13 y Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( x; y ) là ( ; Giải: y=0 thì hệ đã cho vô nghiệm Do đó, y Hệ đã cho tương đương với hệ: x 1 x x y y x y y ( x )2 x 13 x x 13 y y y y (7) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI y y Suy ( x )2 ( x ) 20 x 5 i x 5 y Hệ này vô nghiệm y x 12 y x ii x y y x 3y Trường hợp này hệ có hai nghiệm ( x; y ) (1; ) và ( x; y ) (3;1) Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( x; y ) (1; ) và ( x; y ) (3;1) Nhận xét: Qua hai ví dụ đề thi tuyển sinh ĐH nêu trên, chúng ta có thể thấy đôi cần biến đổi , dựa vào các đẳng thức là có thể thu kết Sau đây, ta xét tiếp các ví dụ đòi hỏi các phép biến đổi phức tạp 12 (1 y 3x ) x Bài toán 3: Giải hệ phương trình (1 12 ) y yx Giải: Điều kiện x 0, y 0, y 3x 12 x y 1 1 y 3x x HPT 1 12 12 y x y y 3x y x Suy y x 12 y y 2 y xy 27 x ( ) 6( ) 27 x y y 3x x x y 9 (loai) x y Với ta x=(1+ 3) ;y=3(1+ 3)2 x Vậy nghiệm hệ đã cho là x=(1+ 3) ;y=3(1+ 3)2 (8) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI 36 x y 60 x 25 y Bài toán 4: (Dự bị D-2008) Giải hệ phương trình 36 y z 60 y 25 z 2 36 z x 60 z 25 x 60 x y 36 x 25 60 y Giải: HPT z 36 y 25 60 z x 36 z 25 Hiển nhiên hệ này có nghiệm ( x; y; z) (0; 0;0) Dưới đây ta xét ( x; y; z) (0; 0; 0) Từ hệ trên ta thấy x 0; y 0; z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 60 x 60 x 60 x x 36 x 25 36 x 25 60 x Tương tự ta y x z y Suy x y z Do đó, hệ có nghiệm là x y z y 5 6 Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y; z) (0; 0;0) và ( x; y; z ) ( ; ; ) x y x Bài toán 6: Giải hệ phương trình ( x 1) y Giải: Điều kiện x 1; y (1) (2) Thế y từ phương trình (2) vào phương trình (1) ta có: x ( x 1)2 x x x3 x x (3) Xét hàm số f ( x) x x x (x 1) f '( x) 3x x 0, x Do đó, f ( x ) nghịch biến với x Mặt khác, hàm số g ( x ) x luôn nghịch biến x Suy ra, phương trình (4) có nghiệm x Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) (2;1) Nhận xét: Đối với bài toán trên, dùng công cụ đạo hàm để giải là hay Tuy nhiên, ta có thể tránh đạo hàm cách biến đổi khéo léo sau: pt (3) ( x 1) ( x 1)2 1 x (9) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI x2 x( x 2) ( x 2)( x x 4) x 1 1 ( x 2) x2 x x 1 x vì x x 0, x 1 x 1 Dưới đây, xin nêu bài toán đề thi tuyển sinh Đại Học mà không dùng đến công cụ đạo hàm thì khó có thể giải Bài toán 7: (KHỐI A-2010) Giải hệ phương trình (4 x 1) x ( y 3) y (1) 2 (2) 4 x y x Giải: Điều kiện x ; y 2 PT (1) (4 x 1)2 x (5 y 1) y 2 x u (u 1)u (v 1)v y v Đặt Hàm f (t ) (t 1)t có f '(t ) 3t 0, t nên f (t ) đồng biến trên x Do đó, u v x y 4x2 y 5 2 Thế y vào PT(2) ta x x x (3) Dễ thấy, x và x= không phải là nghiệm PT(3) Xét hàm số 5 3 g ( x ) x x x trên 0; 2 4 4 5 3 g '( x) x x x x (4 x 3) 0, x 0; 4x 4x 2 4 3 Suy ra, g ( x) nghịch biến trên 0; 4 1 Nhận thấy g nên PT(3) có nghiệm x 2 Với x thì y 2 (10) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI 1 2 x xy y10 y (1) Bài toán 8: Giải hệ phương trình x y (2) Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) ; Giải: Dễ thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình x x Chia hai vế PT(1) cho y ta y y y y Xét hàm số f (t ) t t có f '(t ) 5t 0, t nên hàm số f (t ) đồng biến trên x Suy y x y Thế x y vào PT(2) ta x x y Giải hệ này ta x Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) (1;1) và ( x; y ) (1; 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các hệ phương trình sau: x x3 y x y x y x xy 1 x x y x y x x xy x x y x 2y y x x y x 3y 11x y y x 7 y x y 26 x x y y x x y x y 2 x y 1 x2 2 x xy y x y x x2 y x 2 x y y x x x y x 1 x3 3x2 y3 y x2 y 1 log log x x y y 1 x2 x 12 xy 20 y ln(1 x) ln(1 y ) x y 10 (11) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Dạng 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN a X b1Y c Dạng tổng quát: a X b Y c (*) 2 Phương pháp:Thông thường có phương pháp để giải hệ phương trình dạng (*) Cách 1: Giải phương pháp Cách 2: Giải phương pháp cộng đại số Cách 3: Giải phương pháp dùng định thức Kí hiệu: D a1 b1 a2 b2 a1b2 a2 b1 , DX c1 b1 c2 b2 c1b2 c2 b1 , DY DX X D TH1: D : Hệ có nghiệm Y DY D TH2: D : Và DX DY : Hệ có vô số nghiệm dạng X a1 c1 a2 c2 a1c2 a2 c1 , Y0 a1 X b1Y0 c1 TH3: D : Hoặc DX DY : Hệ vô nghiệm Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 6 x y 10 x y 2 x x y x x y x 2y x 2y 1 x y x y x 3x y 1 y x 3x y y 6x y y 1 x 1 4x 4y y x 2x y x 2 y 3 5 x 1 3y 1 x y 11 (12) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI 1 1 4 3 3 x y x y x y 1 2 3( x y ) x y x y 8 17 10 x y 7 x y xy 11 x y 2 x y 14 3 x y 7 x y 5x y y x x y 11 2 x y 15 x y x y 13 2 x y 12 4 x y x y 15 x y Dạng 2: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ax by cxy dx fy e Dạng tổng quát: Ax By C Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất, rút ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương trình bậc hai Bài tập: Giải các phương trình sau: 2 x y 2 y x 2x y 2 x x y x 12 x y 10 4 x y x y 1 x 11 y 2 x y 12 3 x xy x y x y 1 x y xy y y x y x y 3 x y 9 x y xy 42 x 40 y 135 3 x y 7 x y 12 xy x y 2 x y x xy y x y 11 x y x2 y2 6x y 10 x y x xy x 10 12 x y 5 2 x xy y x 12 y 12 (13) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI 1 1 3x y 14 1 x y 3x y x y 2 2y 13 x x y 1 x 1 y 15 12 y x 1 x y x y 117 16 x y 25 18 x 18 x 18 y 17 12 x 12 xy 1 x y 17 18 3 x y 3 x y x y x y 45 19 x y HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I Dạng 3: Dạng tổng quát: f X ; Y (*) g X ; Y Trong đó, hoán vị X, Y thì biểu thức f X ; Y ; g X ; Y không thay đổi S X Y Thay vào hệ (*) ta tìm S, P P X Y Phương pháp: Đặt Khi đó, X, Y là nghiệm phương trình t St P (1) Nhận xét: Do tính đối xứng X, Y nên phương trình (1) có các nghiệm t1 ; t2 thì hệ (*) có nghiệm t1; t2 , t2 ; t1 Cũng tính đối xứng nên để hệ (*) có nghiệm thì điều kiện cần là X=Y ( thay vào hệ tìm tham số, sau đó thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ ) Do X, Y là nghiệm phương trình t St P nên điều kiện cần và đủ để hệ (*) có nghiệm là: Phương trình (1) có nghiệm trên tập giá trị X, Y Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: x xy y x xy y x xy y 2 x y xy 13 x xy y 2 x x y y 21 13 (14) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI x y 2 x x y y 13 x y z xy yz zx 12 2 2 3 x y z 1 x y x y x2 y2 x y2 1 x y x y 7.* x2 y2 x y2 x xy y x y x2 y2 18 y x x y 12 2 3 x y 10 xy x y 2 x y 17 2 x y xy 13 3 x y 19 x y xy 16 x x y y 19 x y x y x xy y 11 2 x x y y 28 x y z 11 xy yz zx 4 x3 y3 z x xy y 14 2 x y xy x y xy 17 x y xy x xy y 19 20 x xy y 7 x y z 12.* xy yz xz x y z 14 x x y y 18 15 x x 1 y y 1 72 x x y y 18 x y x 20 y 21 x y 1 22 2 x y 1 1 x y x x x y x y 23 24 x x y x y 49 x2 y2 x y xy 11 25 6 x y xy 11 x y 26 9 4 x y x y 3 xy x y 27 2 4 7 x y x y 155 14 (15) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI x y y x 30 28 x x y y 35 Dạng 3: x y 29 x y xy x y 1 x xy 30 y x xy y xy 78 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II Hệ phương trình gọi là đối xứng loại II thay X Y thay Y X thì hệ phương trình không thay đổi Dạng tổng quát: f f X ;Y Y ; X (*) Phương pháp: Nếu f X ; Y là đa thức thì thông thường hệ (*) giải sau: f X ; Y f Y ; X Biến đổi (*) f X ; Y X Y g X ; Y f X ; Y Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: x x y y y x y2 3 y x 3 x x y2 x x y y y x xy x y 13 yx y x 4y x y x y 3x x y x y x 2 y x y x x y y3 y x 2 x y y 4 2 y x x 2 x y y 2 y x x 2 x 3x y 2 2 y y x 2 x y y 10 11 2 y x x x y x y 14 2 y x y x x x y y y x x x y 12 y y x y x 15 x y 15 (16) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI Dạng 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Hệ phương trình đại số đẳng cấp bậc hai theo x, y Dạng tổng quát: a1 x b1 xy c1 y d1 (*) 2 a2 x b2 xy c2 y d Phương pháp: Giải hệ x=0 Khi x , đặt y tx vào hệ (*), khử x phương trình theo t Giải t, tìm x, y x a1 b1t c1t d1 1 a1 x b1 x tx c1 tx d1 Biến đổi: 2 a2 x b2 x tx c2 tx d x a2 b2 t c2 t d 1 Lập tỉ: 2 Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: x xy y 1 2 3 x xy y 13 x xy y y x x y xy 3 x xy y 37 2 5 x xy y 15 2 x 3xy y 1 10 2 2 x xy y y x 2 2 x y xy 16 13 2 3 x xy y 11 2 x xy y 17 x y xy x y x xy y 3 2 x x y y 2 x xy y x x y y 2 x xy y 2 2 x xy y 2 x xy y 2 11 2 x xy y 2 x 3x y xy y 2 3 y x y xy 3 x xy y 3 2 9 x 11xy y 13 14 y x 12 2 2 x y xy 16 2 x y x y 13 15 2 x y x y 25 16 (17)