1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

PP GIAI HE PHUONG TRINH

16 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 16
Dung lượng 302,65 KB

Nội dung

HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a  f x; y , b  g x; y có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau mộ[r]

(1)dungtien@gmail.com sent to www.laisac.page.tl MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI NGUYEN VAN RIN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  I HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: Đặc điểm chung dạng hệ phương trình này là sử dụng các kỹ biến đổi đồng Đặc biệt, là kỹ phân tích nhằm đưa phương trình hệ dạng đơn giản ( có thể rút theo y ngược lại ) vào phương trình còn lại hệ  Dạng 1: Trong hệ có phương trình bậc với ẩn x ẩn y Khi đó, ta tìm cách rút y theo x ngược lại  x ( y  1)( x  y  1)  x  x  (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  (2)  xy  x   x Giải: Dễ thấy x=0 không thỏa mãn phương trình (2) nên từ (2) ta có: y 1  x2 1 thay vào (1) ta được: x x2 1 x2 1 (x  )  3x  x   ( x  1)(2 x  1)  ( x  1)(3x  1) x x  ( x  1)(2 x  x  x  1)  ( x  1)(3 x  1)  ( x  1)(2 x  x  x)  x    x  (loại)   x  2 x2  Dạng 2: Một phương trình hệ có thể đưa dạng tích các phương trình bậc hai ẩn  xy  x  y  x  y  x y  y x   x  y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  (1) (2) Giải: Điều kiện: x  1; y  (1)  x  xy  y  ( x  y )   ( x  y )( x  y )  ( x  y )  ( từ ĐK ta có x+y>0)  x  y    x  y  thay vào phương trình (2) ta được: y x  y  y   ( y  1)( y  2)  ( y  )  y   x   Dạng 3: Đưa phương trình hệ dạng phương trình bậc hai ẩn, ẩn còn lại là tham số (2) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI  y  (5 x  4)(4  x ) 2  y  x  xy  16 x  y  16  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  (1) (2) Giải: Biến đổi phương trình (2) dạng y  (4 x  8) y  x  16 x  16  Coi phương trình trên là phương trình ẩn y tham số x ta có  '  9x từ đó ta  y  x  (3) nghiệm   y   x (4)  x  y0  Thay (3) vào (1) ta được: (5 x  4)  (5 x  4)(4  x)   x   y  x   y  Thay (4) vào (1) ta được: (4  x)  (5 x  4)(4  x )   x   y  4 Vậy nghiệm hệ là: (0; 4), (4; 0), ( ; 0) II HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng hệ dạng này là phát ẩn phụ a  f ( x; y ), b  g ( x; y ) có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức phép chia cho biểu thức khác  x   y ( y  x)  y (1) ( x  1)( y  x  2)  y (2) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình   x2   y  yx4  Dễ thấy y=1 không thỏa mãn phương trình (1) nên HPT    x  ( y  x  2)   y x2 1 a  b  ;b  y  x    Đặt a  y ab  x2   y Giải hệ ta a=b=1 từ đó ta có hệ phương trình  x  y  Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng  2  4(  )  7 xy x y  ( x  y)2  Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  2 x    x y Giải: Điều kiện x  y  (3) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI  2 3( x  y )  ( x  y )  ( x  y )2   HPT   x  y   x  y   x y Đặt a  x  y  3a  b  13 ( a  2); b  x  y ta hệ phương trình:  x y a  b  (1) (2) Giải hệ ta a=2; b=1 (do a  ) từ đó ta có hệ:  2 x  y 1 x  x  y  x y    x  y  y  x  y   Vậy nghiệm hệ là (1;0) III HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ phương trình loại này ta thường gặp hai dạng f ( x )  (1) và f ( x )  f ( y ) (2) với f là hàm đơn điệu trên D và x, y thuộc D Nhiều cần phải đánh giá ẩn x, y để x, y thuộc tập mà hàm f đơn điệu  Dạng 1: Một phương trình hệ có dạng f ( x )  f ( y ) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để trên đó hàm f đơn điệu  x  x  y  y (1) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  (2)  x  y   x   x   Giải: Từ PT (2) ta có   y   y  Xét hàm số f (t )  t  5t ; t  [  1;1] Ta có f '(t )  3t   0;t  [  1;1] đó f (t ) nghịch biến trên khoảng (-1;1) Từ đó (1)  x  y thay vào PT (2) ta PT x8  x   Đặt a  x  và giải phương trình ta a  1  1   x  y  4 2  Dạng 2: Là dạng hệ đối xứng loại hai mà thường giải thường dẫn đến hai trường hợp (1) và (2)  x  x  x   y 1  Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  x 1  y  y  y    a  a   3b (1) Giải: Đặt a  x  1; b  y  ta hệ  b  b   3a (2) (1)-(2) vế theo vế ta có a  a   3a  b  b   3b (3) (4) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI Xét hàm số f (t )  t  t   3t t2 1  t f '(t )   3t ln t 1 Vì t   t  t  t  t   f '(t )  0, t Do đó, hàm số f (t ) đồng biến trên  Nên PT (3)  a  b thay vào phương trình (1) ta a  a   3a (4) Theo nhận xét trên thì a  a  1>0 nên PT (4)  ln(a+ a  1)  a ln  (lấy ln hai vế) Xét hàm số g(a)=ln(a+ a  1)  a ln g '(a )  a2   ln   ln  0, a   Do đó, g(a) nghịch biến trên  và PT(4) có nghiệm a=0 nên phương trình (4) có nghiệm a=0 Vậy nghiệm hệ phương trình ban đầu là ( x; y )  (1;1) IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp này cần lưu ý các biểu thức không âm và nắm vững các bất đẳng thức xy   x2  y x  x  2x   Ví dụ 8: Giải hệ phương trình  xy y   y2  x  y  2y  (1) (2) Giải: Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta xy x  2x  Ta có xy   x2  y x  x   ( x  1)2    xy Tương tự (3) y  2y  y2  y  xy x  2x   xy x  2x   xy  xy  xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x ; y ta có x  y  xy Nên VT (3)  VP(3) x  y 1 Do đó, dấu “=” xảy  x  y  Thử lại, ta nghiệm hệ phương trình là (0;0), (1;1) (5) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI  y   x3  x   x  y  y  Ví dụ 9: Giải hệ phương trình   y   ( x  x  2)  y   ( x  1) ( x  2) (1)    x   2( y  y  2)  x   2( y  1) ( y  2) (2) Giải: HPT   Nếu x>2 thì từ (1) suy y-2<0 điều này mâu thuẫn với PT(2) có x-2 và y-2 cùng dấu Tương tự với x<2 ta suy điều vô lý Vậy nghiệm hệ phương trình là x=y=2 Hy vọng số ví dụ trên giúp bạn đọc phần nào kỹ giải hệ phương trình BÀI TẬP TỰ LUYỆN  xy  x  y  16  2  x  y  x  y  33  x  y    y  4(2 x  3) y  48 y  48 x  155   x  x   x   y  y   y   2  x  y  x  y  44 y  x e  2011  y2 1   e y  2011  x  x2   x (2  y )   x( y  2)   2( x  x  y  1)  x ( y  1)  y  x   ln( y  x )    x  y   2  x  xy  y  y  2  x y  x  y   2 x  3x  y  12 x  13  (6) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH    x  y  x y  xy  xy   Bài toán 1: (KHỐI A-2008) Giải hệ phương trình   x  y  xy (1  x)      x  y  x y  xy  xy   Giải: HPT   ( x  y )  xy    2 2  x  y  xy ( x  y )  ( x  y )  ( x  y )( x  y   xy )  x2  y   i ( x  y )    (I)  xy    25 Hệ (I) có nghiệm ( x; y )  ( ;  ) 16  x y   ii x  y   xy    (II)  xy    Hệ (II) có nghiệm ( x; y )  (1;  ) 25 ), (1;  ) 16  xy  x   y Bài toán 2: (Khối B-2009) Giải hệ phương trình  2  x y  xy   13 y Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( x; y ) là ( ;  Giải: y=0 thì hệ đã cho vô nghiệm Do đó, y  Hệ đã cho tương đương với hệ: x 1 x   x  y  y  x  y  y      ( x  )2  x  13  x  x   13   y y y y (7) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI y y Suy ( x  )2  ( x  )  20    x   5 i x   5   y Hệ này vô nghiệm y  x  12 y   x   ii x     y y x  3y  Trường hợp này hệ có hai nghiệm ( x; y )  (1; ) và ( x; y )  (3;1) Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( x; y )  (1; ) và ( x; y )  (3;1) Nhận xét: Qua hai ví dụ đề thi tuyển sinh ĐH nêu trên, chúng ta có thể thấy đôi cần biến đổi , dựa vào các đẳng thức là có thể thu kết Sau đây, ta xét tiếp các ví dụ đòi hỏi các phép biến đổi phức tạp 12  (1  y  3x ) x   Bài toán 3: Giải hệ phương trình  (1  12 ) y   yx Giải: Điều kiện x  0, y  0, y  3x  12    x  y 1 1  y  3x  x   HPT    1  12      12  y  x y y  3x y  x Suy y  x  12 y y 2    y  xy  27 x   ( )  6( )  27    x y y  3x x x  y  9 (loai)  x y Với  ta x=(1+ 3) ;y=3(1+ 3)2 x Vậy nghiệm hệ đã cho là x=(1+ 3) ;y=3(1+ 3)2 (8) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI 36 x y  60 x  25 y   Bài toán 4: (Dự bị D-2008) Giải hệ phương trình 36 y z  60 y  25 z   2 36 z x  60 z  25 x   60 x  y  36 x  25   60 y Giải: HPT   z  36 y  25   60 z x  36 z  25  Hiển nhiên hệ này có nghiệm ( x; y; z)  (0; 0;0) Dưới đây ta xét ( x; y; z)  (0; 0; 0) Từ hệ trên ta thấy x  0; y  0; z  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 60 x 60 x 60 x    x 36 x  25 36 x 25 60 x Tương tự ta y  x  z  y Suy x  y  z Do đó, hệ có nghiệm là x  y  z  y 5 6 Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y; z)  (0; 0;0) và ( x; y; z )  ( ; ; )  x   y   x Bài toán 6: Giải hệ phương trình  ( x  1)  y Giải: Điều kiện x  1; y  (1) (2) Thế y từ phương trình (2) vào phương trình (1) ta có: x   ( x  1)2   x  x    x3  x  x  (3) Xét hàm số f ( x)   x  x  x  (x  1) f '( x)  3x  x   0, x  Do đó, f ( x ) nghịch biến với x  Mặt khác, hàm số g ( x )  x  luôn nghịch biến x  Suy ra, phương trình (4) có nghiệm x  Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y )  (2;1) Nhận xét: Đối với bài toán trên, dùng công cụ đạo hàm để giải là hay Tuy nhiên, ta có thể tránh đạo hàm cách biến đổi khéo léo sau: pt (3)  ( x   1)  ( x  1)2  1  x   (9) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI x2  x( x  2)  ( x  2)( x  x  4)  x 1  1    ( x  2)   x2  x     x 1      x   vì  x  x   0, x  1 x 1     Dưới đây, xin nêu bài toán đề thi tuyển sinh Đại Học mà không dùng đến công cụ đạo hàm thì khó có thể giải Bài toán 7: (KHỐI A-2010) Giải hệ phương trình (4 x  1) x  ( y  3)  y  (1)  2 (2) 4 x  y   x  Giải: Điều kiện x  ; y  2 PT (1)  (4 x  1)2 x  (5  y  1)  y 2 x  u  (u  1)u  (v  1)v   y  v Đặt  Hàm f (t )  (t  1)t có f '(t )  3t   0, t   nên f (t ) đồng biến trên  x   Do đó, u  v  x   y    4x2 y   5 2   Thế y vào PT(2) ta x    x    x  (3) Dễ thấy, x  và x= không phải là nghiệm PT(3) Xét hàm số 5   3 g ( x )  x    x    x trên  0;  2   4 4 5   3 g '( x)  x  x   x    x (4 x  3)   0, x   0;   4x  4x 2   4  3 Suy ra, g ( x) nghịch biến trên  0;   4 1 Nhận thấy g    nên PT(3) có nghiệm x  2 Với x  thì y  2 (10) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI 1  2   x  xy  y10  y (1) Bài toán 8: Giải hệ phương trình   x   y   (2) Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y )   ;  Giải: Dễ thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình x x Chia hai vế PT(1) cho y  ta       y  y  y  y Xét hàm số f (t )  t  t có f '(t )  5t   0, t   nên hàm số f (t ) đồng biến trên  x Suy  y  x  y Thế x  y vào PT(2) ta x   x   y Giải hệ này ta x  Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y )  (1;1) và ( x; y )  (1; 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các hệ phương trình sau:  x  x3 y  x y   x y  x  xy  1  x  x y  x y  x   x  xy  x    x  y    x  2y  y    x  x  y  x  3y   11x  y  y  x   7 y  x  y  26 x   x  y  y  x  x  y x  y 2   x  y   1 x2 2 x  xy   y   x y  x  x2 y  x     2 x y  y  x  x   x   y    x  1  x3  3x2  y3  y     x2  y 1  log log x      x   y  y 1   x2     x  12 xy  20 y  ln(1  x)  ln(1  y )  x  y 10 (11) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Dạng 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN  a X  b1Y  c Dạng tổng quát:  a X  b Y  c (*)  2 Phương pháp:Thông thường có phương pháp để giải hệ phương trình dạng (*)  Cách 1: Giải phương pháp  Cách 2: Giải phương pháp cộng đại số  Cách 3: Giải phương pháp dùng định thức Kí hiệu: D  a1 b1 a2 b2  a1b2  a2 b1 , DX  c1 b1 c2 b2  c1b2  c2 b1 , DY  DX   X  D TH1: D  : Hệ có nghiệm  Y  DY  D TH2: D  : Và DX  DY  : Hệ có vô số nghiệm dạng  X a1 c1 a2 c2  a1c2  a2 c1 , Y0  a1 X  b1Y0  c1 TH3: D  : Hoặc DX  DY  : Hệ vô nghiệm Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 6 x  y      10   x y 2 x  x  y     x  x  y    x  2y  x  2y       1  x  y x  y x  3x   y 1  y      x   3x   y  y   6x  y  y 1  x 1    4x   4y   y  x   2x  y   x 2  y 3 5    x 1  3y 1   x  y  11 (12) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI  1 1 4  3 3  x  y         x y  x y 1   2   3( x  y )         x y   x y  8    17 10  x y 7 x  y  xy  11   x   y  2 x  y  14  3 x  y   7   x y   5x  y   y  x  x  y  11 2 x  y  15  x   y    x   y  13   2   x   y   12  4  x    y  x  y  15   x  y  Dạng 2: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ax  by  cxy  dx  fy  e  Dạng tổng quát:   Ax  By  C  Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất, rút ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương trình bậc hai Bài tập: Giải các phương trình sau: 2 x  y    2  y  x  2x  y   2 x  x  y     x  12 x  y  10  4 x  y   x  y 1   x  11  y  2 x  y  12 3 x  xy  x  y   x  y  1 x  y      xy  y  y    x  y   x  y  3    x  y  9 x  y  xy  42 x  40 y  135   3 x  y   7 x  y  12 xy  x  y    2 x  y   x  xy  y  x  y  11  x  y  x2  y2  6x  y  10  x  y    x  xy  x  10 12   x  y  5 2 x  xy  y  x  12 y   12 (13) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI 1 1  3x  y   14    1  x y  3x  y x  y  2  2y 13  x  x  y   1   x 1  y   15    12  y   x  1  x  y    x  y   117  16   x  y  25 18 x  18 x  18 y  17 12 x  12 xy  1  x  y  17  18  3 x  y  3 x  y   x  y   x  y   45 19   x  y  HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I Dạng 3: Dạng tổng quát:  f  X ; Y    (*)  g  X ; Y   Trong đó, hoán vị X, Y thì biểu thức f  X ; Y  ; g  X ; Y  không thay đổi S  X  Y Thay vào hệ (*) ta tìm S, P  P  X Y Phương pháp:  Đặt   Khi đó, X, Y là nghiệm phương trình t  St  P  (1) Nhận xét:  Do tính đối xứng X, Y nên phương trình (1) có các nghiệm t1 ; t2 thì hệ (*) có nghiệm  t1; t2  ,  t2 ; t1   Cũng tính đối xứng nên để hệ (*) có nghiệm thì điều kiện cần là X=Y ( thay vào hệ tìm tham số, sau đó thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ )  Do X, Y là nghiệm phương trình t  St  P  nên điều kiện cần và đủ để hệ (*) có nghiệm là: Phương trình (1) có nghiệm trên tập giá trị X, Y Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:  x  xy  y    x  xy  y   x  xy  y   2  x  y  xy  13  x  xy  y  2  x  x y  y  21  13 (14) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI   x  y  2  x  x y  y  13  x  y  z    xy  yz  zx  12 2 2    3  x y z 1  x  y  x  y    x2  y2     x y2 1  x  y  x  y   7.*  x2  y2     x y2  x  xy  y   x  y   x2 y2  18    y x  x  y  12  2 3  x  y  10   xy  x  y   2  x  y  17 2  x  y  xy  13  3  x  y  19  x  y   xy   16  x  x  y  y   19   x  y  x   y  x  xy  y  11  2  x   x  y   y  28 x  y  z   11  xy  yz  zx  4  x3  y3  z    x  xy  y  14  2  x y  xy   x  y  xy   17   x y  xy    x  xy  y  19 20   x  xy  y  7 x  y  z   12.*  xy  yz  xz   x  y  z  14   x  x  y  y  18 15   x  x  1 y  y  1  72 x  x  y  y   18    x  y  x  20  y 21  x  y 1  22  2 x  y    1 1  x  y       x  x   x  y    x y 23  24   x  x  y   x  y     49   x2 y2       x  y  xy  11  25  6  x  y  xy  11   x  y  26  9 4  x  y  x  y 3 xy   x  y    27  2 4 7 x y   x  y   155 14 (15) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI  x y  y x  30 28   x x  y y  35 Dạng 3:  x  y  29   x  y  xy   x y   1  x xy 30  y   x xy  y xy  78 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II Hệ phương trình gọi là đối xứng loại II thay X Y thay Y X thì hệ phương trình không thay đổi Dạng tổng quát:  f   f X ;Y   Y ; X   (*) Phương pháp: Nếu f  X ; Y  là đa thức thì thông thường hệ (*) giải sau:  f  X ; Y   f Y ; X   Biến đổi (*)    f  X ; Y    X  Y  g  X ; Y     f  X ; Y   Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:  x  x  y   y  y  x  y2  3 y  x   3 x  x   y2  x  x  y    y  y  x   xy  x   y 13   yx  y   x 4y   x  y  x   y  3x  x  y    x  y x   2 y    x y   x  x  y    y3  y  x   2  x  y  y  4  2  y  x  x   2 x  y  y  2 y  x   x 2 x  3x  y   2 2 y  y  x  2 x  y  y  10  11 2 y  x  x   x  y  x  y 14  2  y  x  y  x  x  x  y   y  y  x  x  x  y 12   y  y  x  y  x 15   x  y 15 (16) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI Dạng 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Hệ phương trình đại số đẳng cấp bậc hai theo x, y Dạng tổng quát: a1 x  b1 xy  c1 y  d1 (*)  2 a2 x  b2 xy  c2 y  d Phương pháp: Giải hệ x=0 Khi x  , đặt y  tx vào hệ (*), khử x phương trình theo t Giải t, tìm x, y  x  a1  b1t  c1t   d1 1 a1 x  b1 x  tx   c1  tx   d1  Biến đổi:   2 a2 x  b2 x  tx   c2  tx   d  x  a2  b2 t  c2 t   d   1 Lập tỉ:  2 Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:  x  xy  y  1  2 3 x  xy  y  13  x  xy  y    y x  x  y    xy  3 x  xy  y  37  2 5 x  xy  y  15 2  x  3xy  y  1 10  2 2 x  xy  y   y  x  2 2 x y  xy  16 13  2 3 x  xy  y  11  2  x  xy  y  17  x  y    xy  x  y    x  xy  y   3 2 x  x y  y  2  x  xy  y    x x  y y  2  x  xy  y   2 2 x  xy  y  2 x  xy  y  2 11  2  x  xy  y  2  x  3x y  xy  y   2 3 y  x y  xy  3 x  xy  y  3 2 9 x  11xy  y  13 14   y  x  12  2 2 x y  xy  16 2   x  y   x  y   13 15  2  x  y   x  y   25 16 (17)

Ngày đăng: 18/06/2021, 23:13

w