Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF A, E O; B,F O’ a, Gọi M là giao điểm của AB và EF.. Chứng minh tam gi¸c AOM và tam gi¸c BMO’ đồng dạng.[r]
(1)đề thi học sinh giỏi lớp năm học 2012-2013 Thêi gian: 120 phót Ngời đề: Chu Thị Hiên - Trờng THCS Mễ Sở P x x2 x x ( x 1)( x x ) x x C©u 1(2 ®iÓm): Cho biểu thức: a Rót gọn P b TÝnh P x 3 2 c, T×m gi¸ trị nguyªn x để P nhận gi¸ trị nguyªn C©u (3 ®iÓm): a, Gi¶i ph¬ng tr×nh x x x x x 0 b, Cho hàm số y = - mx + – m (m 0) Tìm các giá trị m để đồ thị hµm sè c¾t trôc hßanh, trôc tung lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm A, B cho tam giác AOB có diện tích (O là gốc tọa độ) 2012 n2002 c, T×m số tự nhiªn n để: A n là số nguyªn tố C©u (2®iÓm) a, Với gi¸ trị nào k th× hệ hai phương tr×nh bậc hai ẩn x, y: ¿ x − ky=k − 4(1) (2 k +6)x + y =2 k +1(2) v« nghiệm ¿{ ¿ b, Cho x, y, z là c¸c số thực thoả m·n ( x 23)( y 1)( z 2008) 1 T×m gi¸ trị lớn biểu thức: L x 23 1 y z 2008 y 1 z 2008 x 23 C©u (3®iÓm) Cho hai đường trßn t©m O và t©m O’ ngoài Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung EF ( A, E (O); B,F (O’)) a, Gọi M là giao điểm AB và EF Chứng minh tam gi¸c AOM và tam gi¸c BMO’ đồng dạng b, Chứng minh AE vu«ng gãc với BF c, Gọi N là giao AE và BF Chứng minh O, N, O’ thẳng hàng đáp án và biểu điểm (2) C©u C©u §¸p ¸n x( x 2) 2( x 1) x x x x x x x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) x x 2x x x x ( x 1)( x 2) ( x 1) x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) ( x 1) b, Víi x 3 2 P 0,75 0,5 x 2 ( 1) ( x 1) 1 1 2 1 ( x 1) 1 c, ĐK: x 0; x 1 : P ( x 1) x 1 2 1 ( x 1) x1 x1 §Ó P nguyªn th× C©u §iÓm a, §k x 0; x 1 x x2 P x ( x 1) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) √x− 0,75 nguyªn Học sinh lập luận để t×m x 4 x 9 a, ĐK: x 0 Nhận thấy: x 0 kh«ng phải là nghiệm phương 0,25 tr×nh, chia hai vế cho x ta cã: x2- 2x - x x - x + = x – - x - x+ x =0 (x + x ) – ( x + x ) – = Đặt x 0,25 0,25 4 t t x x t x x x , thay vào ta cã: 0,25 t 3 (t 4) t 0 t t 0 (t 3)(t 2) 0 t 0,25 Đối chiếu ĐK t t 3 x 3 x x 0 ( x 2)( x 1) 0 x b, Cho x = => y = - m => B (0; - m) 1 m 1 m y = => x = m (m 0) => A( m ; 0) §Ó SAOB = OA.OB = OA.OB = 16 (1 m)2 m = 16 m2 -2m + = 16 m NÕu m > => m2 – 18m + = x 4 x 1 0,5 0,25 (3) m2 – 18m + 81 – 80 = (m – 9)2 – 80 = 0,25 (m – - √ )(m – + √ ) = Suy m = + √ hoÆc m = - √ NÕu m < ta cã m2 + 14m + = m2 + 14m + 49 – 48= (m + 7)2 - 48 = (m + - √ ) (m +7 + √ ) = 0,5 m = -7 + √ hoÆc m = -7 - √ VËy m = + √ ; m = - √ ; m = -7 + √ hoÆc m = -7 - √3 0,25 c, XÐt n 0 th× A = kh«ng phải sè nguyªn tố; n 1 th× A = lµ sè nguyªn tố XÐt n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 - 1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + C©u Vậy A chia hết cho n2 + n + > nªn A là hợp số Số tự nhiªn cần t×m n = a, Từ phương tr×nh (2) ta cã y (2k 6) x (2k 1) (3) Từ phương tr×nh (1) và (3) ta cã phương tr×nh x k (2k 6) x (2k 1) k (2k 6k 4) x 2k 2k 0,25 (k 1)(k 2) x (k 1)(k 2) (4) T (3) và (4) ta thấy hệ cho v« nghiệm và phương 0,5 k (k 1)(k 2) 0 k k (k 1)( k 2) 0 k 1 k tr×nh (4) v« nghiệm hay 4 x y Với k hệ cho trở thành 4 x y hệ này v« nghiệm Vậy k là gi¸ trị cần t×m b, Điều kiện x > 23, y > 1, z > 2008 Đặt √ x −23=a ; √ y − 1=b ; √ z − 2008=c theo điều kiện và giả thiết đề bài ta cã a, b, c là c¸c số thực dương và a.b.c=1 0,25 0,25 (4) Từ a.b.c=1 T ⇒ =a bc đã b 1 1 b b a c b bc b 1 a b b a b c b đã cã 1 a 1 b 1 0,25 0,25 2 b a 1 ba b Th (b −1+ 1c )( c −1+ 1a )≤ cb ực tương tự ta cã ; 0,25 1 c a ac a b 1 1 2 a b b c c a ba cb ac 1 Khi đã ta cã suy 1 1 a b c 1 b c a dấu xảy và a = b = c Do đã ta cã L 1 dấu xảy và x 23 y z 2008 1 suy x = 24; y = và z = 2009 (Thỏa m·n điều kiện bài to¸n) Vậy gi¸ trị lớn biểu thức L là và x = 24; y = và z = 2009 C©u A M I B E K O N O' a, Ta cã MA và ME là tiếp tuyến (O)F ⇒ AMO = OMF MB, ME là tiếp tuyến (O’) ⇒ FMO' = BMO' Lại cã: AMO + OMF + FMO' + BMO' = 1800 ⇒ AMO + BMO' = 900 Mà AMO + AOM = 900 Suy AOM = BMO' XÐt Δ AOM vµ Δ BMO’ cã 0,5 0,5 (5) OAM = O 'BM = 900 AMO = BMO' (cmt) 0,5 Δ BMO’ (g.g) => Δ AOM b) Vì AM = ME; OA = OE => OM là đờng trung trực đoạn AE =>OM AE MÆt kh¸c OM MO’ (ph©n gi¸c gãc kÒ bï) => AE // MO’ L¹i cã MB = MF; O’B = 0’F => O’M là đờng trung trực đoạn BF => O’M BF VËy AE BF c, Gäi I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AE, K lµ giao ®iÓm cña O’M vµ BF Theo c©u a cã Δ AOM Δ BMO’ OA OM = (1) MB MO ' XÐt Δ AIO vµ Δ BKM cã: => AOM = BMO' ’ AIO = BKM = 900 (do OM AE, O’M Suy Δ AIO Δ BKM (g.g) => OA =OI MB MK (2) Tõ (1) vµ (2) => 0,5 0,25 BF) OM OI = ' MO MK => MÆt kh¸c tø gi¸c MINK lµ h×nh ch÷ nhËt => MK = NI Nªn 0,5 OI MK = OM MO' OI NI = OM MO' OI NI XÐt Δ OMO’ vµ Δ OIN cã OM = ' ; OIN = OMO' = 900 MO => Δ OMO ’ Δ OIN (c.g.c) => ION = MOO' Chøng tá ®iÓm O, N, O’ th¼ng hµng 0,25 (6)