Bai Tap Hinh Khong Gian LTDH

Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt đáy một góc 60°.. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ[r]

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC A Bài toán tính thể tích khối đa diện Loại 1: Tính thể tích cách sử dụng trực tiếp các công thức toán + xác định chiều cao khối đa diện cần tính thể tích + tìm diện tích đáy các công thức quen biết Loại 2: Tính thể tích cách sử dụng công thức tỉ số thể tích phân chia khối đa diện thành các khối đa diện đơn giản + phân chia khối đa diện thành tổng hiệu các khối (hình chóp tứ diện) mà các khối này dễ tính + Hoặc so sánh thể tích khối cần tính với khối đa diện khác đã biết trước thể tích Với loại này ta hay sử dụng kết sau đây Cho hình chóp S.ABC Lấy A', B', C' tương ứng trên cạnh sau đây SA, SB, SC Khi đó VS.A 'B'C' SA ' SB ' SC '  VS.ABC SA SB SC BÀI TẬP Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N là hình chiếu vuông góc A trên các đường thẳng SB và SC a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính thể tích khối chóp A.BCMN Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60°, SA vuông góc với đáy, SA = a Gọi C’ là trung điểm SC, mặt phẳng (P) qua AC’ song song với BD cắt các cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Câu Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy là tam giác Mặt phẳng (A 1BC) tạo với đáy góc 30° và tam giác A1BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ Câu Cho khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB = Mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = ; góc A1AB nhọn, góc tạo (A1AC) và mặt phẳng (ABC) 60° Tính thể tích khối lăng trụ Câu Khối lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách đường thẳng AB và A1D 2, độ dài đường chéo mặt bên a) Hạ AK vuông góc với A1D K Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 B Bài tập khối nón, khối trụ Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A'B'C'D'E'F' cạnh đáy a, chiều cao h Tính thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ Cho hình trục có trục O1O2 Một mặt phẳng song song với trục cắt hình trụ theo thiết diện dện là hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm thiết diện đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bán kính đường tròn đáy hình trụ Tính số đo góc O1OO2 Một hình trụ có bán kính R và chiều cao R A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy cho góc tạo AB và trục hình trụ 30° a) Tính diện tích thiết diện qua A và song song với trục hình trụ b) Tính góc hai bán kính qua A và B c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung AB và trục hình trụ Cho hình trụ tròn xoay đáy là đường tròn (O) và (O') có bán kính đơn vị, chiều cao hình trụ là đơn vị Gọi AB là đường kính cố định (O) M là điểm lưu động trên (O') Gọi MC là đường sinh qua C, C trên đường tròn (O) Kẻ HC vuông góc với AB và đăth Ah = x a Chứng minh tổng số bình phương các cạnh hình chóp MABC là số b Tính MH theo x c Định vị trí M để diện tích S tam giác MAB đạt cực đại d Tính thể tích V hình chóp MABC Chứng minh V cực đại S cực đại e Định x để V = 4k (k là số cho trước) C Bài toán khoảng cách Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) Bước 1: Chọn mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (α) Bước 2: Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (α) và (P) Bước 3: Dựng MH vuông góc với d H suy MH là khoảng cách Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song với đường thẳng đó khoảng cách từ điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Bằng khoảng cách từ điểm mặt phẳng này đến mặt phẳng Lưu ý: Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) ta có thể làm sau + Tìm đường thẳng a qua M mà a // mặt phẳng (α) + Chọn điểm N trên a thích hợp M, tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (α) + Khi đó khoảng cách từ N đến (α) là khoảng cách từ M đến (α) Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) ta có thể làm sau + Tìm đường thẳng a qua M mà a cắt mặt phẳng (α) I + Chọn điểm O trên a thích hợp với giả thiết bài toán, tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α) + Khi đó tính tỷ số IO / IM = k, suy khoảng cách từ M đến (α) 1/k khoảng cách từ O đến (α) Để tính khoảng cách hai đường thẳng a và b chéo cần dùng các phương pháp sau Phương pháp 1: (Nên dùng cho đường thẳng chéo và vuông góc với nhau) xác định đoạn vuông góc chung Phương pháp 2: Bước 1: Tìm mặt phẳng (α) chứa b và song song với a Bước 2: Từ điểm M thích hợp trên a dựng MH vuông góc với mặt phẳng (α) Suy d(a, b) = MH Phương pháp 3: Bước 1: Tìm mặt phẳng (P) chứa a và mặt phẳng (Q) chứa b cho (P) // (Q) Bước 2: Từ điểm M thích hợp thuộc mặt phẳng (P) hạ MN vuông góc với mặt phẳng (Q) Từ đó suy d(a, b) = MN Phương pháp 4: Bước 1: Tìm mặt phẳng (α) vuông góc với a và cắt a O Bước 2: Tìm hình chiếu b’ b trên mặt phẳng (α); đó a // mặt phẳng (b, b’) Hạ OH vuông góc với b’ H → d(a, b) = OH BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên a , đường cao là SO Gọi M và N là trung điểm AB và BC a Chứng minh (SBC) vuông góc với (SAN) và tính SO b Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) c Tính khoảng cách đường thẳng AB và SC d Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAN) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD; đáy ABCD là hình thang vuông A và B, có AB = BC = a; AD = 2a; SA= a.E là trung điểm đáy lớn AD; SA vuông góc với mặt đáy a Chứng minh BE  SC và (SAB)  (SBC) b Tính khoảng cách cặp đường thẳng: BC và SD, AC và SD c Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SCE) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD; đáy ABCD là hình thoi cạnh a tâm O Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tam giác SAB cân S, H là trung điểm AB và SH = a, góc BAD = 60° a Tính góc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) b Tính khoảng cách từ H đến (SCD), khoảng cách từ O đến (SCD) c Tính khoảng cách BC và SD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AD = 2a, đáy bé BC = a, cạnh bên AB = a, góc BAD 120° Biết SA vuông góc với mặt đáy và SA a Gọi H và K là trung điểm AB và AD a Chứng minh BK vuông góc với SC, tính khoảng cách BK và SC b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) c Tính góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) d Tính góc AD và SC Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Cho SA vuông góc với mặt đáy và SA = a Gọi M là hình chiếu vuông góc A lên SB a Chứng minh CB  (SAB) và AM  SC b Tính góc đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) c Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính góc hai đường thẳng AG và BD D Bài toán hình không gian dề thi Đại học, Cao đẳng Bài (D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm A’C’, I là giao điểm AM và A’C Tính theo a thể tích tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) Bài (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 60° Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài (B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ và mặt đáy (ABC) 60°; tam giác ABC vuông C và góc BAC = 60° Hình chiếu vuông góc B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Bài (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi điểm M và N là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách hai đường thẳng DM và SC theo a Bài (B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) 60° Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Bài (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn AC cho AH = AC/4 Gọi CM là đường cao tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích tứ diện SMBC theo a Bài (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60 o Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a Bài (B 2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) 60° Tính thể tích khối lăng trụ ban đầu và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A1BD) theo a Bài (D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy Biết SB = 2a và góc SBC = 30° Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 10 (AA1 2012) Cho hình chóp có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) 60° Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách hai đường thẳng SA và BC theo a Bài 11 (B 2012) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Bài 12 (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Bài 13 (AA1 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, góc ABC = 30°, SBC là tam giác cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Bài 14 (B 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Bài 15 (D 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc BAD = 120°, M là trung điểm cạnh BC và góc SMA = 45° Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Bài 16 (A & A1 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a/2, hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Bài 17 (B 2014) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt đáy góc 60° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) Bài 18 (D 2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A; mặt bên SBC là tam giác cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Bài 19 (THPTQG 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SC tạo với mặt đáy góc 45° Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng SB và AC