Độ đo và tích phân trên trường số p ADIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TPHCM NGUYỄN QUỐC HUY ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC Chuyên ngành: Đại số Mã số: 01.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS.TS MỴ VINH QUANG TP Hồ Chí Minh - 2003 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành tỏ lịng tơn kính biết ơn sâu sắc thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang, thầy tận tình giảng dạy, hướng dẫn tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, TS Trần Huyên TS Nguyễn Viết Đông, quý thầy trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình nghiên cứu, dành nhiều thời gian q báu đọc góp ý cho luận văn Tơi vô cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, q thầy phịng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh UBND Tỉnh Cà Mau, quý thầy cô Trường CĐSP Cà Mau tạo điều kiện thuận lợi cho học tập hồn thành luận văn Tơi biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp bạn bè gần xa giúp đỡ hỗ trợ tinh thần vật chất cho thời gian qua TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2003 Nguyễn Quốc Huy MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG 1: XÂY DỰNG TRƢỜNG SỐ P - ADIC 1.1 Các khái niệm 1.2 Xây dựng trƣờng số p-adic 1.3 Biểu diễn p-adic số α Qp 1.4 Bổ đề Hensel 11 1.5 Tính chất tô pô Qp 16 CHƢƠNG 2: PHÂN PHỐI P-ADIC 25 2.1 Hàm địa phƣơng 25 2.2 Phân phối p-adic 27 2.3 Một số phân phối p-adic thƣờng dùng 31 2.4 Phân phối Bernoulli 34 CHƢƠNG 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC 39 3.1 Khái niệm độ đo tích phân Qp 39 3.2 Mở rộng khái niệm tích phân 47 3.3 Độ đo tích phân Bernoulli 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 BẢNG KÝ HIỆU N : Tập số tự nhiên Z : Tập số nguyên Q : Tập số hữu tỷ R : Tập số thực Zp : Tập số nguyên p-adic : Tập phần tử khả nghịch Zp || : Giá trị tuyệt đối thông thƣờng Qp : Trƣờng số p-adic | |p : Giá trị tuyệt đối p-adic ordp a : số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên tố B(a,r) : Hình cầu mở tâm a bán kính r Qp B[a,r] : Hình cầu đóng tâm a bán kính r Qp D(a,r) : Mặt cầu tâm a bán kính r Qp a + (pN ) : Khoảng Qp Bk : Số Bernoulli thứ k Bk (x) : Đa thức Bernoulli thứ k [x] : Phần nguyên x : Hàm đặc trƣng tập A Haar : Phân phối Haar : Phân phối Dirac Mazar : Phần Phối Mazur B, k : Phân phối Bernoulli thứ k k, α : Độ đo Bernoulli xa,N : Một điểm tùy ý thuộc khoảng a + (pN) SN,{xa,N}(f) : Tổng Riemann hàm f ∫ : Tích phân hàm, f ứng với độ đo μ LỜI NÓI ĐẦU Nhờ định lý Oxtropxki ta biết trƣờng số hữu tỷ Q có hai loại chuẩn, giá trị tuyệt đối thông thƣờng | | chuẩn phi Archimede | |P Làm đầy đủ trƣờng số hữu tỷ Q theo chuẩn | | ta đƣợc trƣờng số thực R làm đầy đủ Q theo chuẩn | |P ta đƣợc trƣờng số p-adic Qp Bộ mơn tốn học nghiên cứu hàm với biến số số p-adic gọi giải tích p-adic Mục tiêu luận văn xây dựng độ đo tích phân trƣờng số Qp Luận văn gồm chƣơng Chƣơng 1: XÂY DƢNG TRƢỜNG SỐ P-ADIC Qp Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic số tính chất tơ pơ Cách xây dựng trƣờng số p-adic đƣợc nhiều tác giả trình bày nhiều phƣơng pháp khác Ở chúng tơi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic Qp phƣơng pháp giải tích NEAL KOBLITZ Vì theo chúng tơi cách xây dựng Qp cách "tự nhiên" Sau xây dựng trƣờng Qp đƣa số tính chất tơ pơ Qp nhằm phục vụ cho chƣơng Các kết trình bày phần hầu hết không chứng minh, chứng minh số kết bản, quan trọng có liên quan đến chƣơng luận văn chƣơng Chƣơng 2: PHÂN PHỐI P-ADIC Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày số khái niệm nhƣ: Định nghĩa hàm địa phƣơng, phân phối p-adic, số Bernoulli đa thức Bernoulli Từ chúng tơi chứng minh đƣợc số kết quan trọng làm sở cho chƣơng Chƣơng 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC Trong chƣơng này, trƣớc tiên trình bày khái niệm độ đo, từ chúng tơi định nghĩa tổng Riemann định nghĩa tích phân p-adic cho hàm liên tục ứng với độ đo Trên sở đó, chúng tơi mở rộng tích phân cho lớp phân phối rộng độ đo Vì thời gian có hạn, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy bạn đồng nghiệp vui lòng bảo lƣợng thứ CHƢƠNG 1: XÂY DỰNG TRƢỜNG SỐ P - ADIC Trong phần chúng tơi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic số tính chất tơ pơ Cách xây dựng trƣờng số p-adic đƣợc nhiều tác giả trình bày nhiều phƣơng pháp khác Ở chúng tơi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic Qp phƣơng pháp giải tích N.KOBLITZ Vì theo chúng tơi cách xây dựng Qp cách "tự nhiên" Sau xây dựng trƣờng Qp đƣa số tính chất tơ pơ Qp Các kết trình bày phần hầu hết không chứng minh, chứng minh số kết bản, quan trọng có liên quan đến chƣơng luận văn chƣơng 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Cho K trường Giá trị tuyệt đối K ánh xạ (kí hiệu | | ) từ tập K vào tập số thực không âm thỏa mãn điều kiện sau: Từ định nghĩa ta thấy |1| = |-1| = 1.1.2 Ví dụ giá trị tuyệt đối trƣờng Ví dụ Trƣờng số hữu tỷ Q với giá trị tuyệt đối thông thƣờng thỏa mãn điều kiện định nghĩa Ví dụ Cho K trƣờng tùy ý Anh xạ giá trị tuyệt đối trƣờng K đƣợc gọi giá trị tuyệt đối tầm thƣờng 1.1.3 Chú ý Giả sử | | giá trị tuyệt đối trƣờng K Ta chứng minh hàm d từ K x K vào tập số thực không âm xác định d(x,y) = |x - y| mêtric trƣờng K đƣợc gọi mêtric tƣơng ứng với giá trị tuyệt đối | | Tô pô sinh mêtric tƣơng ứng đƣợc gọi tô pô tƣơng ứng giá trị tuyệt đối 1.1.4 Định nghĩa Hai giá trị tuyệt đối | |1 | |2 trƣờng K đƣợc gọi tƣơng đƣơng tô pơ tƣơng ứng chúng nhƣ Kí hiệu | |1 ~ | |2 1.1.5 Định lý Giả sử | |1, | |2 hai giá trị tuyệt đối trƣờng K, mệnh đề sau tƣơng đƣơng: với với x K với với x K Tồn số dƣơng C > cho |x|1 = | | với x K (xn) dãy Cauchy | |1 ⟺ (xn) dãy Cauchy | |2 | |1 ~ | |2 Chứng minh 1) ⇒ 2) Với x K, giả sử |x|1 ≤ ta cần chứng minh |x|2 ≤ Giả sử ngƣợc lại, tức |x|2 > Ta có suy Điều vơ lý |x|1 ≤ Vậy |x|2 ≤ 2) ⇒ 1) Chứng minh tƣơng tự nhƣ 1) ⇒3) • Nếu chuẩn | |1 tầm thƣờng chuẩn | |2 tầm thƣờng Thật vậy, với x K, x ≠ ta giả sử |x|1 = Nếu |x|2 ≠ ta xét hai trƣờng hợp sau |x|2 < ⇒ |x|1 < (vô lý) 1 |x|2 > 1⇒ |x |2 < 1⇒ |x |1 1, |x0|1 > Đặt |x0|1 = a |x0|2 = b Khi đó, với x K ta viết |x|1=aα, a = logα |x|1 Ta chứng minh |x|2 = bα m Thật vậy, xét n > α ta có suy |x|2 < m m Khi n → α ta có |x|2 ≤ b α Tƣơng tự lấy α > n Ta có |x|2 ≥ b α Vậy |x|2 = bα Do 3) ⇒ 4) Giả sử {xn} dãy Cauchy chuẩn | |1 , nghĩa |xn - xm |1 → m,n → ∞ hay Do |xn - xm |2 → m,n → ∞ Vậy {xn} dãy Cauchy chuẩn | |2 4) ⇒1) Giả sử |x|1 < ta cần chứng minh |x|2 < Từ giả thiết |x|1 < suy xn → chuẩn | |1 Do {xn} dãy Cauchy | |1 dãy Cauchy | |2 Điều có nghĩa xn+1 - xn → chuẩn | |2 hay xn (x - 1) → chuẩn | |2 Do |xn|2 |1-x|2 → Mà |1 - x|2 ≠ suy |xn|2 → hay |x|2 n0 ⇒ |xn| = |x| Một dãy hội tụ dãy giá trị tuyệt đối tương ứng dãy dừng 1.1.10 Định lý Cho | | giá trị tuyệt đối trƣờng K, mệnh đề sau tƣơng đƣơng: | | giá trị tuyệt đối phi Archimede |2| ≤ |n| ≤ 1, ∀ n N 1.2 Xây dựng trƣờng số p-adic 1.2.1 Định nghĩa Giả sử p số nguyên tố Với a phân tích a thành thừa số nguyên tố Z, a ≠ ta gọi ordpa số mũ p Nếu a = ta quy ước ordpa = ∞ 1.2.2 Định nghĩa Giả sử p số nguyên tố Với x a Q, ta giả sử x = b a, b Z, (a, b) = Ta định nghĩa ordpx = ordpa - ordpb 1.2.3 Mệnh đề Trên trường Q ta định nghĩa ánh xạ | |P sau | |P giá trị tuyệt đối phi Archimede 1.2.4 Định lý (Oxtropxki) Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường || || trường Q tương đương với | |P với p số nguyên tố tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường Q Chứng minh Nếu ||2|| > || || chuẩn Archimede Lấy n N, giả sử n = a0 +aa2 + +as2s, Ta có ≤ 2sα.C ( Vì tổng dấu ngoặc hội tụ) ≤ nα C Suy Cho k → ∞ ta đƣợc ||n|| ≤ nα Mặt khác, 2S ≤ n < 2S+1 nên ta có Suy sa hay 47 Chứng minh Đặt Ta có Theo mệnh đề 3.1.9, ta đƣợc hay Sau đây, chúng tơi xây dựng số mở rộng tích phân cho lớp phân phối rộng độ đo 3.2 Mở rộng khái niệm tích phân 3.2.1 Định nghĩa Một phân phối μ X gọi "boundedly increasing" 3.2.2 Mệnh đề Giả sử μ phân phối "boundedly increasing" X f hàm từ X đến Qp thỏa điều kiện Lipshitz, tức với x,y X tồn A R cho Khí đó, tổng Riemann hội tụ đến giới hạn Qp N → ∞ mà khơng phụ thuộc vào việc chọn điểm xa,N thuộc khoảng a+(pN) Chứng minh Với M >N ƣớc lƣợng Ta viết tổng Riemann SN,{xa,N} (f ) nhƣ sau 48 ̅ ≡ a(mod pN ) ≤ ̅ < pN Ta có Do f thỏa điều kiện Lipshitz nên tồn A R cho Mặt khác, nên Vậy Điều có nghĩa tổng Riemann có giới hạn Hơn nữa, giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn {xa,N} Thật vậy, lý luận tƣơng tự nhƣ ta có Sau ví dụ phân phối "boudedly increasing" tích phân ứng với phân phối 3.2.3 Ví dụ Giả sử μ phần phối mệnh đề 2.3.4 Khi đó, μ phân phối "boudedly increasing" hàm f :Zp → Zp cho f(x) = x với x Zp 49 Chứng minh • Giả sử khai triển p-adic a có dạng a = a0 + a1p + + akpk + Để chứng minh ta cần xét trƣờng hợp khai triển p-adic a có [N/2] hệ số ứng với p mũ lẻ triệt tiêu Khi đó, với N = 2M N = 2M +1 ta ln có nghĩa là, Vậy μ phân phối "boudedly increasing" • Ta cần xét trƣờng hợp N chẩn, N = 2M khai triển p-adic a mà [N/2] hệ số ứng với p mũ lẻ có số khác Theo định nghĩa tích phân, ta có 3.2.4 Định nghĩa hàm kiểu r Cho r số thực dương Hàm f :Zp → Qp gọi kiểu r tồn 50 A R cho với x, y Zp 3.2.5 Nhận xét Nếu f hàm kiểu r f hàm liên tục r ≥ f thỏa điều kiện Lipshitz Thật vậy, với ɛ > x,y Zp Do f hàm kiểu r nên tồn A R cho Nếu chọn với x,y Zp :|x -y|p < δ ta có Vậy f hàm liên tục Bây giờ, ta chứng minh r ≥ f thỏa điều kiện Lipshitz Do f hàm kiểu r nên Mặt khác, x,y Zp suy | x -y|p ≤ với r ≥ ta ln có Vậy f thỏa điều kiện Lipshitz 3.2.6 Mệnh đề Giả sử μ phân phối Zp thỏa với s số thực dƣơng f hàm kiểu r (r ≥ s) Khi đó, tổng Riemann hội tụ đến giới hạn Qp N → ∞ mà khơng phụ thuộc vào việc chọn điểm xa,N thuộc khoảng a + (pN) Chứng minh • Ta viết Zp hợp hữu hạn rời khoảng a + ( pN), tức là: 51 Khi đó, với M > N, dùng tính chất cộng tính μ ta viết lại tổng Riemann { } (f) nhƣ sau: Do đó, ta có Mặt khác, f hàm kiểu r nên tồn A R cho nhƣng hay Do Vậy với số thực dƣơng s < r, ta có Từ đó, ta đƣợc Vậy tổng Riemann có giới hạn Hơn nữa, giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn {xa,N} Thật vậy, cách lý luận tƣơng tự nhƣ ta có 52 3.3 Độ đo tích phân Bernoulli Ta biết phân phối Bernoulli μB,0 phân phối Haar μHaar Nhƣng phân phối μHaar độ đo Zp Vì khơng phải phân phối Bernoulli độ đo Có phƣơng pháp chuẩn, gọi quy hóa (regularizations) để đƣa phân phối Bernoulli trở thành độ đo Chúng ta đƣa số kí hiệu đƣợc dùng mục này: Với α Zp ta kí hiệu { α }N số nguyên thỏa 3.3.1 Định nghĩa Giải sử α ≠ số nguyên không chia hết cho p Ta định nghĩa ánh xạ μB,k,a (viết tắt μk,a) nhƣ sau 3.3.2 Nhận xét Ta biết μBk phân phối Zp nên μk,a phân phối Zp Hơn nữa, ta chứng minh μk,a độ đo Trƣớc tiên ta xét vài trƣờng hợp cụ thể • Với k=0 ta có • Với k=1 ta có Từ đó, ta chứng minh trực tiếp μ1, α độ đo Zp 3.3.3 Mệnh đề với tập mở compact U ⊂ Zp Chứng minh 53 Theo nhận xét 3.3.2, ta có đó Mặt khác, với tập mở compact U ⊂ Zp hợp hữu hạn rời khoảng Ii, U = ∪ Ii Từ suy Từ mệnh đề 3.3.3 ta thấy μ1, α độ đo Zp Độ đo μ1, α đóng vai trị nhƣ "dx" tích phân trƣờng số thực Tiếp theo đƣa mối quan hệ μ1, α μk, α đƣợc thể định lý 3.3.4 sau Để dễ hình dung cách chứng minh định lý xét thí dụ cụ thể, giả sử cần tính tích phân ∫ ( √ ) trƣờng số thực R Phƣơng pháp đơn giản đổi biến số x ⟼ xk để thu đƣợc tích phân đơn giản ∫ , Thực ra, hiểu d(xk) nhƣ "độ đo" μk đƣờng thẳng thực đƣợc định nghĩa μk ([a,b]) = bk - ak Khi đó, μ1 khái niệm độ dài thơng thƣờng 54 có nghĩa Tỷ số Vì vậy, tổng Riemann giới hạn tất Ii trở nên k-1 nhỏ thay μk(Ii) kx μ1( Ii)và ta nhận đƣợc Thực sƣ, việc chứng minh dùng khai triển nhị thức (a + h)k h=b-a cụ thể (a + h)k=ak +khak-1+ tƣơng tự trƣờng hợp số p-adic, μk,α(I) ~ kak-1, I khoảng nhỏ chứa a, dùng khai triển nhị thức Vì vậy, định lý 3.3.4 đƣợc hiểu tƣơng tự với định lý mà (d/ dx) (xk) = kxk-1 từ tính tốn trƣờng số thực cần lƣu ý chia dk hai vế đồng dƣ thức định lý 3.3.4 phải thay pN , ordpdk số mà khơng có ý nghĩa N đủ lớn 3.3.4 Định lý Giả sử dk mẫu số chung nhỏ hệ số đa thức Bernoulli Bk(x) Khi đó, (mod pN) hai vế đồng dư thức nằm Zp Chứng minh Theo mệnh đề 2.4.3, ta có 55 Lƣu ý rằng: αa ≡ { αa }( mod pN) {αa }N αa pN = pN - [ ] nên ta có đồng thức sau Mệnh đề sau hệ trực tiếp định lý Mệnh đề khẳng định μk,a độ đo Zp 3.3.5 Mệnh đề Phân phối μk,a độ đo với k {1,2,3, } α Chứng minh Z, α ≠ 1, α ∉ pZ 56 Ta cần chứng minh μk,α (a + (pN)) bị chặn Thật vậy, theo định lý 3.3.4 ta có phƣơng trình đồng dƣ sau Điều có nghĩa hay Vì dk cố định nên bị chặn Sau ví dụ cụ thể tích phân ứng với độ đo Bernoulli 3.3.6.Ví dụ 1 Nếu p > 2,f(x) = x α = + p (mod p) Nếu p = 2, a = f(x) = x (mod 4) Chứng minh Theo nhận xét 3.3.2, ta có Nếu p > 2, α = + p Với x Z*p giả sử khai triển p -adic x có dạng x = a0 + a1p + + aNpN + Do x Z*p nên a0 ≠ Khi đó, đặt g(x) = a , ta có 57 suy Ta biết với tập mở compact U Zp* , ta ln có điều có nghĩa Mặt khác, ta viết Zp* dƣới dạng {1,2, , p-1} cho x x a +(p) hay x ≡ a (mod p), g(x) = Zp* tồn a a Vậy ta viết hàm g dƣới dạng tổ hợp tuyến tính hàm đặc trƣng Từ ta tính đƣợc tích phân Nếu p = 2, α = cụ thể 58 với x Z2* ta giả sử khai triển p-adic x có dạng: x = a0 + a12 + a222 + Đặt suy Tƣơng tự nhƣ (1), ta có Ta viết Z*2 dƣới dạng: với x Z*2 , ta ln có x ≡ a (mod 22) suy Khi đó, ta có 3.3.7 Mệnh đề Giả sử f: Zp → Zp hàm số xác định f(x) = xk-1, k số nguyên dương cố định giả sử X tập mở compact Zp Khi đó, 59 Chứng minh Từ định lý 3.3.4, ta có suy Do đó, theo định nghĩa tích phân ta nhận đƣợc Nếu ta chọn / hàm xk'-1 thỏa (mod (p -1)pN) ta có (mod pN) Theo hệ 3.1.10, ta đƣợc Từ đó, ta kết luận rằng: s0 cố định,s0 ta mở rộng hàm k đƣợc cho p-adic Vậy tích phân vế phải đƣợc tính nhƣ sau {0,1,2, , p-2} ta đặt tới hàm liên tục số nguyên 60 Nếu thay tích phân vào biểu thức ta có mối quan hệ Tứ ta có cơng thức sau từ cơng thức ta tính đƣợc tích phân cụ thể 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đặng Đình Áng (1997), Lý thuyết tích phân, NXBGD [2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Độ đo tích phân, NXBGD Tiếng Anh [3] A J Baker (2003), An Introduction to p-adic Numbers andp - adỉc Analysis [4] Z I Borevich and I R Shafarevich (1966), Number Theory, Academic Press [5] Neal Koblitz (1984), p - adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta - Functions, Springer [6] Neaỉ Koblitz (1980), p-adic Anaỉỵsis: a Short Course on Recent Work, Cambridge University Press [7] Walter Rudin (1976), Frinciples of Mathematical Analysis, Me Graw - Hill Company [8] Manin Yu.I (1973), Periods of cusp forms and p-adic 92 (1973) 349 - 401, In Russian ... 34 CHƢƠNG 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P- ADIC 39 3.1 Khái niệm độ đo tích phân Qp 39 3.2 Mở rộng khái niệm tích phân 47 3.3 Độ đo tích phân Bernoulli ... Qp trùng với định nghĩa đồng dƣ thông thƣờng t? ?p h? ?p số nguyên Z 1.2.7 Vành số nguyên p- adic Qp / |a |p ≤ 1} với ph? ?p toán cộng nhân Qp l? ?p thành T? ?p h? ?p Zp = {a vành Vành gọi vành số nguyên p- adic. .. viết Ui h? ?p rời khoảng Iij, nghĩa 31 2.3 Một số phân phối p- adic thƣờng dùng Trong mục này, chúng tơi trình bày số phân phối p- adic thƣờng dùng nhƣ: Phân phối Haar, phân phối Dirac phân phối Mazur