Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 61 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
1 Ch ng Đ T P ĐO Đ ĐO D NG-HÀM S ĐO Đ C C A Ta nhắc lại số phép toán họ t p hợp Cho X t p khác trống I tập số Nếu ứng với số i ∈ I, ta có t p A i ⊂ X, ta nói ta có họ tập hợp ký hiệu A i i∈I , hay A i i∈I , hay A i , i ∈ I, hay A i , i ∈ I Ta định nghĩa phần giao họ tập hợp A i i∈I , t p X ký hiệu ∩ A i xác định b i i∈I ∩ A i x ∈ X : x ∈ A i với i ∈ I i∈I Nói khác đi, x ∈ ∩ A i x ∈ A i với i ∈ I i∈I # # Ta định nghĩa phần hội họ tập hợp A i i∈I , t p X ký hiệu A i xác định b i i∈I A i x ∈ X : x ∈ A i với i ∈ I i∈I Nói khác đi, x ∈ A i ∃i ∈ I : x ∈ A i i∈I # # Trư ng hợp riêng với i) I 1, 2, , n : ta viết n ∩ A i ∩ A i A ∩ A ∩ ∩A n , i∈I i1 n A i A i A A A n i∈I # i1 ii) I ℕ : ta viết ∩ A i ∩ A i A ∩ A ∩ , i∈I i1 A i A i A A i∈I Chú ý: i1 # X X A i , X ∩ Ai i∈I ∩ X A i Ai i∈I i∈I # i∈I Nếu khơng sợ nhầm l n ta cịn ký hiệu A c X A # Do đó: c ∩ Ai c i∈I i∈I Ai A ci , ∩ A ci Ví d (Xem t p) Xác định ∩ A i A i , với A i −1i , i∈I # i∈I i∈I i∈I 2i1 B Ta qui ước số ký hiệu phép tính −, − , −, , # −, −, a a ≤ a ≤ , a a , a ≤ , 0, a # Các qui tắc dấu (âm, dương) tương tự phép nhân thông thư ng), chẳng hạn a a − − ≤ a 0, a # C Giới hạn limsup giới hạn liminf C1 Giới hạn limsup Ta cho dãy số a n ⊂ , ta đặt i Nếu a n không bị ch n trên, ta đặt lim sup a n ii Nếu a n bị ch n trên, ta đặt n→ b k supa k , a k1 , a k2 , sup a n , k 1, 2, 3, n≥k Khi đó, b ≥ b ≥ b ≥ ii Nếu b k không bị ch n dưới, ta đặt lim sup a n − ii Nếu b k bị ch n dưới, b k ↘ inf b k Ta đặt n→ k≥1 # lim sup a n lim b k lim k→ n→ inf sup a n k→ n≥k C2 Giới hạn liminf Xét dãy số a n ⊂ , ta đặt k≥1 sup a n # n≥k i Nếu a n không bị ch n dưới, ta đặt lim inf a n − ii Nếu a n bị ch n dưới, ta đặt n→ c k infa k , a k1 , a k2 , inf a n , k 1, 2, 3, n≥k # Khi đó, c ≤ c ≤ c ≤ ii Nếu c k không bị ch n trên, ta đặt lim inf a n ii Nếu c k bị ch n trên, c k ↗ sup c k Ta đặt n→ k≥1 lim inf a n lim c k lim k→ n→ sup inf a n k→ n≥k k≥1 inf a n # n≥k Chú ý 1: Đôi ngư i ta dùng ký hiệu lim a n lim a n , thay cho n→ n→ lim sup a n lim inf a n Chú ý 2: Ta định nghĩa lim sup a n , lim inf a n cho dãy a n ⊂ , sau n→ n→ n→ lim sup a n inf n→ sup a n , lim inf a n sup k≥1 Chú ý 3: n→ n→ n≥k k≥1 inf a n lim sup −a n − lim inf a n n→ # n≥k n→ # Chú ý 4: lim inf a n ≤ lim sup a n Chú ý 5: Nếu a n hội tụ n→ n→ lim sup a n lim inf a n lim a n n→ n→ Chú ý 6: Ta cho dãy số a n ⊂ , ta đặt A n→ a ∈ : a lim a n k , với a n k dãy a n k→ # # # Khi tồn a max , a ∈ A cho a ≤ a ≤ a max , ∀a ∈ A Khi ta có lim sup a n a max lim inf a n a n→ # n→ Ví d (Xem t p) Cho dãy số thực a n , cho lim sup a n ≤ ≤ a n với n→ n ∈ ℕ Chứng minh a n → C3 Cho dãy hàm f n , f n : X → Khi sup f n , inf f n , lim sup f n lim inf f n n hàm xác định X b i sup f n x sup f n x, n n n n lim sup f n x lim sup f n x inf n→ k≥1 lim inf f n x lim inf f n x sup n→ n→ lim f n x lim f n x n→ Nếu fx lim f n x, tồn n→ inf f n x inf f n x, n n→ n→ k≥1 sup f n x , n≥k inf f n x , # n≥k n→ x ∈ X, ta gọi f gi i h n điểm dãy f n Đ nh nghĩa 1.1.1 Cho X t p khác trống Một họ M t p X gọi − đại số X điều kiện sau thỏa: n→ i ii X ∈ M, Nếu A ∈ M X A ∈ M, iii Nếu A j ∈ M, j 1, 2, j1 A j ∈ M # Chú ý: Ta suy từ i − iii, 4i ∈ M, X X ∈ M 5i Nếu lấy A n1 A n2 (iii), ta thấy nj1 A j ∈ M, A j ∈ M với j 1, 2, , n 6i Nếu A j ∈ M, j 1, 2, ∩ j1 A j ∈ M, ∩ j1 A j j1 X A j ∈ M 7i Nếu A, B ∈ M, A ∩ B X A B ∈ M A B A ∩ X B ∈ M Đ nh nghĩa 1.1.2 Nếu X có − đại số M X ta gọi cặp X, M (hoặc vắn tắt X) không gian đo (measurable space), phần tử M gọi tập đo X # Ví d 1.1.1 (Xem t p) Cho X t p khác trống M , X Nghiệm lại M − đại số X Câu hỏi tương tự với M PX họ tất t p X Ví d 1.1.2 (Xem t p) Cho X 0, 1 M PX T p 12 , 1 có đo khơng? Ví d 1.1.3 (Xem t p) Cho X 0, 1 M , X, 0, 12 , 12 , 1 T p 23 , 1 có đo khơng? Chú thích 1.1.1 Cho ℱ ⊂ PX Khi tồn − đại số nhỏ M ∗ X cho ℱ ⊂ M ∗ Ta gọi M ∗ − đại số sinh ℱ Th t v y, ta gọi họ tất − đại số M X chứa ℱ Vì PX − đại số (Ví dụ 1.1.1), nên ≠ Gọi M ∗ ∩ M Dễ thấy ℱ ⊂ M ∗ , b i M∈ ℱ ⊂ M với M ∈ Ta cần chứng minh M ∗ − đại số Giả sử A j ∈ M ∗ , với j 1, 2, , M ∈ , A j ∈ M, v y j1 A j ∈ M, b i M − đại số Vì j1 A j ∈ M, với M ∈ , ta kết lu n j1 A j ∈ M ∗ Hai tính chất cịn lại định nghĩa X ∈ M ∗ , X A ∈ M ∗ với A ∈ M ∗ chứng minh tương tự Đ nh nghĩa 1.1.3 (Độ đo dương) Cho X không gian đo với − đại số M cho hàm : M → 0, Ta nói độ đo dương M thoả mãn tính chất sau: i Tính chất cộng đếm (countably additive): j1 A j ∑ j1 A j , A j ∈ M, j 1, 2, A i ∩ A j , ∀i ≠ j ii ∃A ∈ M : A # Đ nh nghĩa 1.1.4 (Độ đo phức) Cho X không gian đo với − đại số M cho hàm : M → ℂ Ta nói độ đo phức M thoả mãn tính chất sau: j1 A j ∑ j1 A j , A j ∈ M, j 1, 2, A i ∩ A j , ∀i ≠ j Đ nh nghĩa 1.1.5 Cho X không gian đo với − đại số M cho hàm độ đo (dương phức) M Ta nói X, M, khơng gian đo (measure space) Chú thích 1.1.2 i Với độ đo phức, chuỗi ∑ j1 A j hội tụ với dãy A j r i trên, hội tụ tuyệt đối ii Nếu độ đo dương A, B ∈ M, A ⊂ B A ≤ B (Xem Ví dụ 1.1.6) iii Cũng v y, A j ∈ M, j 1, 2, A ⊂ A ⊂ A ⊂ , j1 A j # lim A n (Xem Ví dụ 1.1.7) iv Tương tự, A j ∈ M, j 1, 2, A ⊃ A ⊃ A ⊃ , A , ∩ j1 A j lim A n (Xem Ví dụ 1.1.8) n→ vi Nếu độ đo dương A j ∈ M, j 1, 2, , j1 A j ≤ ∑ j1 A j (Xem Ví dụ 1.1.9) n→ Ví d 1.1.4 (Xem t p) Cho X, M, không gian đo với độ đo dương M Chứng minh μ H ng d n: Lấy A A, A , , A n1 , , ta có A j1 A j A Từ tính chất cộng đếm được, A j1 A j ∑ j1 A j Do chuỗi ∑ j1 A j hội tụ nên lim A j 0, mà A j với j ≥ 2, nên lim A j Ta ý rằng, với độ đo dương , điều kiện ii ∃A ∈ M : A định nghĩa 1.1.3 có nghĩa ≠ mà thay điều kiện tương đương Ví dụ 1.1.4 ≠ Đảo lại, hiển nhiên, ta lấy A Ví d 1.1.5 (Xem t p) Cho X, M, không gian đo với độ n đo dương M Chứng minh (tính chất cộng hữu hạn): nj1 A j ∑ j1 A j , j→ j→ A j ∈ M, j 1, 2, , n, A i ∩ A j , ∀i ≠ j H ng d n: Lấy A n1 A n2 , ta có nj1 A j j1 A j V y n n nj1 A j j1 A j ∑ j1 A j ∑ j1 A j ∑ jn1 A j ∑ j1 A j Ví d 1.1.6 (Xem t p) Cho X, M, không gian đo với độ đo dương M Chứng minh A, B ∈ M, A ⊂ B A ≤ B Ta có B A B A A ∩ B A Ta suy từ Ví dụ 1.1.5 B A B A ≥ A Ví d 1.1.7 (Xem t p) Cho X, M, không gian đo với độ đo dương M Chứng minh rằng, A j ∈ M, j 1, 2, A ⊂ A ⊂ , j1 A j lim A n n→ H ng d n: Đặt B A , B A A , , B j A j A j−1 với j 2, 3, 4, Khi B j ∈ M, B i ∩ B j , ∀i ≠ j, A n nj1 A j nj1 B j j1 A j j1 B j Do A n ∑ j1 B j n j1 A j ∑ j1 B j lim ∑ j1 B j lim A n n n→ n→ Ví d 1.1.8 (Xem t p) Cho X, M, không gian đo với độ đo dương M Chứng minh rằng, A j ∈ M, j 1, 2, A ⊃ A ⊃ A ⊃ , A , ∩ j1 A j lim A n Cho phản thí dụ để thấy điều kiện ”A ” bỏ qua H ng d n: Đặt C j A A j Khi C j ∈ M, C ⊂ C ⊂ C ⊂ , n→ # C j A − A j , j1 C j j1 A A j A ∩ j1 A j # Ta suy từ Ví dụ 1.1.7 A − ∩ j1 A j A ∩ j1 A j j1 C j V y ∩ j1 A j lim A n lim C n A − n→ lim A n # n→ n→ Ph n thí d : Ta lấy X ℕ, độ đo đếm X, (Xem ví dụ 1.1.10) Giả sử A n n, n 1, n 2, Khi A ⊃ A ⊃ A ⊃ , ∩ n1 A n , A n với n 1, 2, 3, , tức ∩ n1 A n ≠ lim A n Ví d 1.1.9 (Xem t p) Cho X, M, không gian đo với độ đo dương M Chứng minh rằng, A j ∈ M, j 1, 2, , j1 A j ≤ A j ∑ j1 n→ H ng d n: Đặt B A , B A A , B A A A , , B j A j n1 A n với j 2, 3, 4, Khi B j ∈ M, B i ∩ B j , ∀i ≠ j, j1 A j j1 B j B j ⊂ A j với j ∈ ℕ Do j−1 j1 A j j1 B j ∑ j1 B j ≤ ∑ j1 A j n n # Ví d 1.1.10 (Xem t p) Cho X t p bất kỳ, với E ⊂ X, ta định nghĩa X E t p vô hạn E số phần tử E E t p hữu hạn Khi X, PX, không gian đo với độ đo gọi độ đo đếm (counting measure) X Ví d 1.1.11 (Xem t p) Cho X t p bất kỳ, cho x ∈ X cố định Ta định nghĩa E x ∈ E, x ∉ E, với E ⊂ X Khi đó, độ đo PX Ta gọi khối lượng đơn vị tập trung x Ví d 1.1.12 (Xem t p) Cho X, M, không gian đo, f : X → Y song ánh Ta đặt N fE : E ∈ M, D f −1 D, ∀D ∈ N Chứng minh rằng, Cho Y, N, không gian đo H ng d n: (a) Y, N không gian đo được: # i ii Y ∈ N Y fX, X ∈ M, Y D ∈ N ∀D ∈ N vì, Y D fX fE fX E, X E ∈ M, iii Nếu D j ∈ N, j 1, 2, j1 D j j1 fE j f j1 E j , j1 E j ∈ M (b) độ đo dương Y, N i ∃D ∈ N : D .??? Theo giả thiết ta có ∃E ∈ M : E Chọn D fE, ta có D ∈ N D f −1 D E ii Tính chất cộng đếm được: Nếu D j fE j ∈ N, j 1, 2, D i ∩ D j , ∀i ≠ j, ta có E j ∈ N, j 1, 2, E i ∩ E j f −1 D i ∩ f −1 D j f −1 D i ∩ D j , ∀i ≠ j Do tính chất cộng đếm , ta j1 D j f −1 j1 D j j1 f −1 D j j1 E j ∑ j1 E j ∑ j1 f −1 D j ∑ j1 D j # Đ nh nghĩa 1.1.6 (Đầy đủ hóa khơng gian đo) Cho X, M, không gian đo Đặt M ∗ E ⊂ X : ∃A, B ∈ M cho A ⊂ E ⊂ B B A 0 # A A1 ⊂ E A1 ⊂ B1 A1, # B A i1 B i A ⊂ i1 B i A i # Ta đặt ∗ E A Đ nh lý 1.1.6 X, M ∗ , ∗ không gian đo Đ nh nghĩa 1.1.7 X, M ∗ , ∗ gọi đầy đủ hóa X, M, Nếu M ∗ M ta gọi độ đo đầy đủ H ng d n ch ng minh đ nh lý 1.1.6: Trước hết ta kiểm tra lại ∗ xác định tốt với E ∈ M ∗ Giả sử A ⊂ E ⊂ B, A ⊂ E ⊂ B B A B A 0, với A, B, A , B ∈ M Chú ý ta có A A 0, A A ∩ A A A A ∩ A Lý lu n tương tự, A A ∩ A V y ta có A A Tiếp theo, nghiệm lại M ∗ thoả tính chất − đại số (i) X ∈ M ∗ , b i X ∈ M M ⊂ M ∗ (ii) Giả sử A ⊂ E ⊂ B, X B ⊂ X E ⊂ X A V y E ∈ M ∗ d n đến X E ∈ M ∗ , b i X A X B X A ∩ B B A, X A X B B A (iii) Giả sử A i ⊂ E i ⊂ B i , E i1 E i , A i1 A i , B i1 B i , A ⊂ E ⊂ B Vì hội đếm t p có độ đo zero t p có độ đo zero, ≤ B A ≤ i1 B i A i Ta suy B A 0, v y E i1 E i ∈ M ∗ , E i ∈ M ∗ với i 1, 2, 3, Cuối cùng, t p E i ∈ M ∗ r i đơi bước (iii), t p A i r i đôi giống v y, ta kết lu n ∗ E A ∑ i1 A i ∑ i1 ∗ E i # Điều nầy chứng tỏ ∗ cộng đếm M ∗ HÀM ĐO Đ C Đ nh nghĩa 1.2.1 Cho X, M không gian đo được, hàm s : X → ℂ có dạng gọi hàm đơn giản (simple function), vắn tắt gọi hàm đơn hay hàm bậc thang sx ∑ j1 j A j x ∀x ∈ X, m # với , , m ∈ ℂ, A , , A m ∈ M, A x x ∈ A, # x ∈ X A Đ nh nghĩa 1.2.2 Cho X, M không gian đo được, hàm f : X → −, Ta gọi f hàm thực đo X, M f −1 a, x ∈ X : fx a ∈ M với a ∈ Đ nh nghĩa 1.2.3 Cho X, M không gian đo được, hai hàm u, v : X → Ta gọi f u iv hàm phức đo X, M u v hàm đo X, M Ví d 1.2.1 (Xem t p) Cho X, M không gian đo hàm f : X → −, hàm thực đo X, M Chứng minh t p f −1 a, , f −1 −, a, f −1 −, a, f −1 a, , f −1 a, b, f −1 a, b, f −1 a, b f −1 a đo H ng d n: (j) f −1 a, ∈ M ∀a ∈ (Do định nghĩa) (jj) f −1 −, a ∈ M ∀a ∈ .? Chú ý −, a −, a − x ∈ −, a − n1 V y a − n , , n1 n1 n n ∃n ∈ ℕ : x ∈ −, a − n − ≤ x a 10 f −1 −, a f −1 a − n , f −1 a − n1 n1 f −1 f −1 a − n1 X f −1 a − , n , ∈ M, n n1 định nghĩa 1.1.1.(i)-(iii), (6i) (jjj) f −1 −, a ∈ M ∀a ∈ ? Chú ý −, a −n, a − n1 n −, a − a − n ∩ −n, n1 n , ∩ −n, , n1 x ∈ −n, a − n ∃n ∈ ℕ : x ∈ −n, a − n − x a n1 V y f −1 −, a f −1 n1 n1 f −1 a − a − f −1 a − n1 n n n , ∩ −n, , ∩ −n, , ∩ f −1 −n, f −1 f −1 a − n1 X f −1 a − n n , ∩ f −1 −n, , ∩ f −1 −n, ∈ M, n1 định nghĩa 1.1.1.(i)–(iii), (7i) (4j) f −1 a, ∈ M ∀a ∈ ? Chú ý a, a n1 n , n −, n ∩ −, n ∩ a n1 n , −, a n , n ∃n ∈ ℕ : x ∈ a n , n a x , n1 x ∈ a n1 V y n n , 47 N f ∗ fE : E ∈ M, w ∗1 ∂f ∗2 ∂f ∗3 ∂x ∂y − ∂f ∗3 ∂f ∗2 ∂x ∂y J f ∗2 ,f ∗3 , w ∗2 ∂f ∗3 ∂f ∗1 ∂x ∂y − ∂f ∗1 ∂f ∗3 ∂x ∂y J f ∗3 ,f ∗1 , w ∗3 ∂f ∗1 ∂f ∗2 ∂x ∂y − ∂f ∗2 ∂f ∗1 ∂x ∂y J f ∗1 ,f ∗2 , f ∗ A f ∗ −1 A |w ∗1 | |w ∗2 | |w ∗3 | d , ∀A ∈ N f ∗ Khi S, N f ∗ , f ∗ không gian đo Bây gi , ta cho F : S → hàm f − đo Tích phân hàm F mặt cong S cho b i công thức sau S Fsd f ∗ ∗ F ∘ f ∗ s |w ∗1 | |w ∗2 | |w ∗3 | d Giả sử g ∈ C ; ∗ vi phôi từ vào ∗ cho f ∗ ∘ gs fs Áp dụng công thức đổi biến (hai chiều) ∗ kd k ∘ g|J g |d , ∀k ∈ ℒ ∗ , Áp dụng với hàm k F ∘ f ∗ s |w ∗1 | |w ∗2 | |w ∗3 | , ta có F ∘ fs w 21 w 22 w 23 d ∗ F ∘ f ∗ s |w ∗1 | |w ∗2 | |w ∗3 | d (*) Do S Fsd f ∗ S Fsd f Điều nầy chứng tỏ tích phân mặt S khơng phụ thuộc vào cách tham số hố mặt S Chú thích Đẳng thức (*) kiểm nghiệm ta có đẳng thức sau: (**) w i w ∗i J g , i 1, 2, Th t v y, (**) ∗ F ∘ f ∗ s |w ∗1 | |w ∗2 | |w ∗3 | d F ∘ f ∗ gs w 21 ∘ g w 22 ∘ g w 23 ∘ g |J g |d F ∘ f ∗ ∘ gs |w ∗1 J g | |w ∗2 J g | |w ∗3 J g | d F ∘ fs w 21 w 22 w 23 d Ta kiểm tra lại (**) với i f f , f , f ∈ C ; , với t p m g f ∗ −1 ∘ f : → ∗ x, y g g , g f f ∗ ∘ g f ∗1 ∘ g, f ∗2 ∘ g, f ∗3 ∘ g 48 ∂f ∂x D f ∗1 ∂g ∂x D f ∗1 ∂g ∂x , ∂f ∂y D f ∗1 ∂g ∂y D f ∗1 ∂g ∂y , ∂f ∂x D f ∗2 ∂g ∂x D f ∗2 ∂g ∂x , ∂f ∂y D f ∗2 ∂g ∂y D f ∗2 ∂g ∂y , ∂f ∂x D f ∗3 ∂g ∂x D f ∗3 ∂g ∂x , ∂f ∂y D f ∗3 ∂g ∂y D f ∗3 ∂g ∂y ∂f ∂f ∂x ∂y D f ∗2 w1 ∂f ∂f ∂x ∂y − ∂g ∂x − D f ∗3 D f ∗2 ∂g ∂x ∂g ∂x D f ∗3 D f ∗3 ∂g ∂x D f ∗2 D f ∗3 − D f ∗3 D f ∗2 w ∗1 J g Tương tự ta có w w ∗2 J g , w w ∗3 J g ∂g ∂y D f ∗2 D f ∗3 ∂g ∂y ∂g ∂g ∂x ∂y − ∂g ∂y D f ∗2 ∂g ∂g ∂x ∂y ∂g ∂y 49 Ch ng TÍCH PHÂN TRÊN KHƠNG GIAN TÍCH 5.1 TÍCH PHÂN LẶP Ta xét n , M n , n không gian đo, với n độ đo Lebesgue n Cho m, n ∈ ℕ, x ∈ m , y ∈ n Cho E ⊂ mn m n , ta đặt E x y : x, y ∈ E, E y x : x, y ∈ E Đ nh lý 5.1.1 Cho m, n ∈ ℕ, x ∈ m , y ∈ n Cho E ∈ M mn Khi tồn A ∈ M m B ∈ M n cho m A 0, n B 0, E x ∈ M n ∀x ∈ m A E y ∈ M m ∀y ∈ n B Tức E x y : x, y ∈ E t p Lebesgue đo n , a.e x ∈ m E y x : x, y ∈ E t p Lebesgue đo m , a.e y ∈ n Cho f : mn → Ta đặt f x y f y x fx, y, x, y ∈ m n Đ nh lý 5.1.2 Cho f : mn → hàm Lebesgue đo mn Khi tồn A ∈ M m B ∈ M n cho m A 0, n B 0, f x hàm Lebesgue đo n , ∀x ∈ m A f y hàm Lebesgue đo m , ∀y ∈ n B Tức f x hàm Lebesgue đo n , a.e x ∈ m f y hàm Lebesgue đo m , a.e y ∈ n Đ nh lý 5.1.3 Cho Q t p Lebesgue đo mn Ta đặt fx, y Q x, y, ∀x, y ∈ m n , x n f x d n , ∀x ∈ m , y m f y d m , ∀y ∈ n Khi tồn A ∈ M m B ∈ M n cho m A 0, n B m (i) m A hàm Lebesgue đo n B hàm Lebesgue đo n (ii) mn Q m d m n d n Chú ý (ii) nghĩa mn Q m n Q x, yd n d m n m Q x, yd m d n Đ nh lý 5.1.4 (Định lý Fubini) Cho f : mn → 0, hàm Lebesgue đo mn Khi mn fd mn m n f x d n d m n m f y d m d n Đ nh lý 5.1.5 Cho f : mn → hàm Lebesgue đo mn cho 50 m n |f| x d n d m Khi f ∈ ℒ mn , mn Đ nh lý 5.1.6 (Định lý Fubini) Cho f ∈ ℒ mn , mn Khi (i) f x ∈ ℒ n , n a.e x ∈ m , (ii) f y ∈ ℒ m , m a.e y ∈ n , (iii) mn fd mn m n f x d n d m n m f y d m d n 5.2 TÍCH CH P Đ nh lý 5.2.1 Cho f, g ∈ ℒ n , n Ta đặt x y x, y fx − ygy, x, y ∈ n Khi (i) x ∈ ℒ n , n , a.e x ∈ n Đặt hx n fx − ygy d n ∈ ℒ n , n , a e x ∈ n (ii) x y n |h|d n ≤ n |f|d n n |g|d n Đ nh nghĩa 5.2.1 Hàm h gọi tích ch p f g ký hiệu h f ∗ g Đ nh lý 5.2.2 Cho f, g ∈ ℒ n , n Giả sử f ∈ C n ‖Dfx‖ bị ch n n Khi (i) (ii) f ∗ g khả vi n f ∗ g ∈ C n Df liên tục n Đ nh lý 5.2.3 Cho f ∈ ℒ n , n g ∈ C c n , g ≥ cho n gd n Đặt g x −n g x , x ∈ n , Khi (i) (ii) n g d n lim n |f − f ∗ g |d n →0 51 BÀI T P BÀI T P.1 Nhắc lại Bổ đề Fatou (Định lý 2.1.3 ) B đ Fatou Cho X, M, không gian đo f m dãy hàm đo từ X 0, Khi ta có X lim inf f m d ≤ lim inf X f m d ∗ m→ Cho E ∈ M, với E E c Xét dãy hàm f m sau fm E, m lẻ, − E , m chẳn Nghiệm lại bất đẳng thức (*) ngặt BÀI T P.2 Cho f m : X → 0, , dãy hàm đo X giả sử (i) (ii) f x ≥ f x ≥ ≥ ∀x ∈ X, lim f m x fx ∀x ∈ X m→ Giả sử f ∈ ℒX, Chứng minh lim f m d fd Cho phản ví dụ m→ X X thấy giả thiết "f ∈ ℒX, " bỏ qua BÀI T P.3 Cho f m : X → 0, , dãy hàm đo X Chứng minh t p A x ∈ X : f m x hội tụ đo BÀI T P.4* Cho X t p không đếm Ta đặt M A ⊂ X : A A c đếm được} Ta định nghĩa A A đếm được, A c đếm Chứng minh M -đại số độ đo M BÀI T P.5 Cho X , f m : X → ℂ dãy hàm đo bị ch n X giả 52 sử sup |f m x − fx| → m → x∈X Chứng minh lim f m d fd Cho phản ví dụ thấy giả thiết m→ X X "X " bỏ qua BÀI T P.6 Cho E k , k 1, , t p đo X Ta đặt E x ∈ X : x thuộc vô số t p E k , A ∩ Ek m1km Chứng minh E A BÀI T P.7 Giả sử f ∈ ℒX, Chứng minh ∀ 0, ∃ : E |f|d E BÀI T P.8 Cho độ đo dương X, f : X → 0, đo c fd Cho Chứng minh X lim m ln m→ f m X , 1, d c, 1, 0, BÀI T P.9 Giả sử f m ⊂ ℒX, cho lim |f m − f|d f m x → gx a,e X m→ x ∈ X, m → Chứng minh f g a,e x ∈ X BÀI T P.10 Cho X, M, không gian đo với X Giả sử f ∈ L X, f : X → ℂ đo cho có M ∈ cho |fx| ≤ M a,e x ∈ X, ta đặt ‖f‖ infM : |fx| ≤ M a, e x ∈ X Giả sử ‖f‖ 0, ta đặt m |f| m d, m 1, 2, 3, Chứng minh X lim m→ m m1 m BÀI T P.11 Tính lim 1 − m→ ‖f‖ x m m e x/2 dx 53 BÀI T P.12 Tính lim 1 m m→ m e −2x dx x m BÀI T P.13 Cho : → cho fxdx ≤ ftdt, với hàm thực f đo bị ch n Chứng minh hàm lồi, tức x 1 − y ≤ x 1 − y, ∀x, y ∈ , ∀ ∈ 0, 1 BÀI T P.14 Cho f ∈ ℒX, Chứng minh A x ∈ X : fx ≠ 0 t p có độ đo – hữu hạn, tức x ∈ X : fx ≠ 0 A n , A n ∀n ∈ ℕ n1 BÀI T P.15 Một độ đo dương X gọi – hữu hạn X X n , X n ∀n ∈ ℕ Chứng minh – hữu hạn ∃ f ∈ ℒX, : fx ∀x ∈ X H ng d n s l c BÀI T P.1 ∗ Tính lim inf f m d n1 X m lẻ: f m d E d E, m→ m chẳn: f m d 1 − E d E c d E c X X X X X Do lim inf f m d sup m→ X inf f m d m≥k k X minE, E c ∗ Tính lim inf f m m→ ∗ lim inf f m sup m→ k inf f m min E , E c m≥k Do lim inf f m d X m→ V y lim inf f m d lim inf f m d X X m→ m→ H ng d n s l c BÀI T P.2 Giả sử f ∈ ℒX, Ta có f m d → fd định lý hội tụ bị ch n, b i |f m x| ≤ f x Cách khác: ≤ f x − f x ≤ f x − f x ≤ ≤ f x − f m x ↑ f x − fx Dùng định lý hội tụ đơn điệu ta có X X X f − f m d → X f − fd hay X f d − X f m d → X f d − X fd Do f d , nên f m d → fd X Tr X X ng h p b qua gi thi t f ∈ ℒX, Xét X , f m f x ≥ f x ≥ ≥ ∀x ∈ , f m → f (Th m chí hội tụ 0) m 0, Ta có 54 m f m d dx → ≠ fd H ng d n s l c BÀI T P.3 Chú ý F lim sup f m , G lim inf f m hàm đo được, A x ∈ X : f m x hội tụ x ∈ X :lim sup f m x lim inf f m x m→ m→ x ∈ X : Fx Gx F − G 0 đo m→ m→ −1 H ng d n s l c BÀI T P.4* A M -đại số Ta đặt ℱ A ⊂ X : A đếm được}, ℱ A ⊂ X : A c đếm được} Ta có M ℱ ℱ Do X t p không đếm được, nên ℱ ∩ ℱ Trước hết ta có i X ∈ M, X c ∈ ℱ , X ∈ ℱ ⊂ M ii A ∈ M A c ∈ M, ??? Nếu A ∈ ℱ A c c A ∈ ℱ , A c ∈ ℱ ⊂ M Nếu A ∈ ℱ A c ∈ ℱ ⊂ M iii Bây gi ta xét A j ∈ M, j ∈ ℕ, ta nghiệm lại A A j ∈ M j Nếu A j ∈ ℱ ∀j ∈ ℕ, A A j ∈ ℱ ⊂ M j1 j1 jj Nếu ∃j ∈ ℕ : A j ∈ ℱ , A c ∩ A cj ⊂ A cj ∈ ℱ Do A ∈ ℱ ⊂ M j1 B độ đo M Ta viết A 0, A ∈ ℱ , 1, A ∈ ℱ Đặc biệt 0, X V y tính chất là: ∃A ∈ M : X thỏa Bây gi ta xét họ đếm r i A j ∈ M, j ∈ ℕ Ta đặt A A j Ta nghiệm lại A ∑ A j ∗ j1 j1 i Nếu A A j ∈ ℱ , A j ∈ ℱ ∀j ∈ ℕ, A A j 0, ∀j ∈ ℕ V y (*) j1 55 ii Nếu A A j ∈ ℱ , ∃j ∈ ℕ : A j ∈ ℱ , (vì ngược lại A j ∈ ℱ j1 ∀j ∈ ℕ, A A j ∈ ℱ mà điều nầy d n đến A ∉ ℱ Mâu thu n) j1 Mặt khác, A j ∩ A j ∀j ≠ j , nên A j ⊂ A cj Mà A cj đếm được, nên A j đếm ∀j ≠ j V y A j 0, ∀j ≠ j Và ta có ∑ A j A j ∑ A j A j A V y (*) j≠j j1 H ng d n s l c BÀI T P.5 Gi sử X Do sup |f m x − fx| → m → , nên tồn m cho |f m x − f m x| ∀x ∈ X, ∀m ≥ m x∈X Do |f m x| |f m x| ≡ gx ∀x ∈ X, ∀m ≥ m Do f m bị ch n X , nên g ∈ ℒX, Do định lý hội tụ bị ch n, ta có f m d → fd X X Ph n ví d cho tr Xét X 0, , f m ng h p gi thi t "X " b b qua 0,m Ta có f m → f X, m m X f m d 0,m d 1, ∀m ∈ ℕ X f m d → ≠ X fd H ng d n s l # c BÀI T P.6 x ∈ A ∩ E k ∀m ∈ ℕ, x ∈ E k ∀m ∈ ℕ, ∃k m ≥ m : x ∈ E k m m1km km x ∈ E k với vô số t p E k H ng d n s l c BÀI T P.7 Chọn dãy hàm đơn s m cho ≤ s m x ↑ |f|x m → , ∀x ∈ X Dùng định lý hội tụ đơn điệu ta có X s m d ↑ X |f|d Do đó, ∀ 0, ∃m : ≤ |f| − s m d ≤ |f| − s m d E X Do s m hàm đơn khả tích, ∀E ∈ M # 56 ∃M : s m x ≤ M a e x ∈ X Chọn 2M , đó, E ∈ M, E , ta có E |f|d ≤ E |f| − s m d E s m d ≤ |f| − s m d ME E M 2M # H ng d n s l c BÀI T P.8 Chú ý đến công thức lim m ln1 m→ V y u m u ∀u ≥ lim m ln1 mt t ∀t ≥ m→ hay lim m −1 m ln1 mt t ∀t ≥ m→ hay G m t G m t 1− m→ m lim t ∀t Suy G t lim mm1− m→ 1, 0, , 1, t 0, # t, Ta xét f m x G m fx m ln ∗ fx m i Xét ≤ x ∈ X : fx Từ ∗ 1,3 ta suy lim f m x 0, fx, 1, a e x ∈ X m→ Chú ý rằng, , a e x ∈ X, t ≤ 1 t ∀ ≥ 1, ∀t ≥ ln1 t ≤ ln1 t ≤ t, ∀ ≥ 1, ∀t ≥ V y ≤ f m x m ln fx m ≤ m fx m fx # # 57 Do định lý hội tụ bị ch n, ta có f m d → fd X lim m ln m→ f m X X d lim f m d X m→ , 0, X fd, # ii Xét E x ∈ X : fx 0 Suy E 0, fd (vì X ngược lại E 0, d n đến fd 0, fd (do f X E Điều E XE nầy mâu thu n với fd 0, b i fd fd fd 0) X X E XE Ta có lim f m x , x ∈ E, 1, m→ f m x m ln fx m 0, x ∉ E # Do bổ đề Fatou, lim inf f m d ≥ lim inf f m d m→ X X m→ lim f m d ≥ lim f m d d X m→ E m→ E (do E 0) Do lim inf f m d , v y lim sup f m d lim f m d m→ X V y lim m ln m→ H X ng d n s l f m m→ X m→ X d c BÀI T P.9 Do lim |f m − f|d 0, d n đến tồn dãy f m k ⊂ f m , cho X m→ f m k x → fx a,e x ∈ X Mà f m x → gx a,e x ∈ X, m → , d n đến f m k x → gx a,e x ∈ X Do f g a,e x ∈ X H ng d n s l c BÀI T P.10 Nếu có m cho m |f| m d |f| m d a,e x ∈ X, ‖f‖ X V y m ∀m ∈ ℕ Ta có |f| m1 |f||f| m ≤ ‖f‖ |f| m a,e x ∈ X Do # 58 m1 ≤ ‖f‖ m Điều nầy d n đến lim sup m1 m m→ ≤ ‖f‖ ∗ Cho c 0, c ‖f‖ Đặt E x ∈ X : c ≤ |fx| ≤ ‖f‖ Suy E 0, Trên E c , ta có: m | 1c f| 1, | 1c f| ↓ Vì E c E , Do định lý hội tụ bị ch n, ta có E c | 1c f| m d → Mặt khác ta có E | 1c f| m d ≥ E 1d E Ta suy E 1c f m1 dE c X 1c f m1 d lim inf lim inf X 1c f m d E 1c f m dE c m→ m→ E 1c f m1 d lim inf E 1c f m d m→ Nhưng E, ta có: | 1c f| m1 m m | 1c f|| 1c f| ≥ | 1c f| Ta suy E | 1c f| m1 d ≥ E | 1c f| m d Do X 1c f m1 d lim inf ≥ X 1c f m d m→ Điều nầy d n đến lim inf m→ m1 c −m−1 m c −m ≥ hay lim inf m→ m1 m ≥ c c f m1 c f m d d # 59 Điều nầy với c ‖f‖ , lim inf m1 m m→ lim inf m1 m m→ ≥ ‖f‖ ∗ ∗ Cuối (*) (**) d n đến tồn lim m→ H ng d n s l lim 1 − m m→ x m f m x 1 − c BÀI T P.11 m e x/2 dx lim 1 − m→ x m x m x m 1 − m e x/2 0,m Chú ý lim 1 − m1 m f m x 1 − x m ‖f‖ m e x/2 0,m dx lim f m xdx m→ x m m e x/2 , ≤ x ≤ m, x ≥ m 0, m e −x ∀x ∈ Cho x ∈ 0, : ∀m ≥ x, ta có m→ ≥ ‖f‖ m e x/2 0,m 1 − V y lim f m x fx e −x/2 ∀x ≥ x m m e x/2 → e −x e x/2 e −x/2 m→ Chú ý đến bất đẳng thức e x ≥ x ∀x ∈ Thay x b i − mx , ta có e− m ≥ − x m , ∀m ∈ ℕ, ∀x ∈ e −x ≥ 1 − x m m , ∀m ∈ ℕ, ∀x ∈ 0, m x Suy 1 − x m m e x/2 ≤ e −x/2 , ∀m ∈ ℕ, ∀x ∈ 0, m ≤ f m x 1 − x m m e x/2 0,m ≤ e −x/2 ≡ gx, ∀m ∈ ℕ, ∀x ≥ g khả tích định lý hội tụ bị ch n, ta có lim 1 − m m→ x m m e x/2 dx lim f m xdx e −x/2 dx m→ 0 lim e −x/2 0,m dx m→ m→ lim e −x/2 dx lim 2 − 2e −m/2 m H ng d n s l lim 1 m m→ x m c BÀI T P.12 m e −2x dx lim 1 m→ x m m→ m e −2x 0,m dx lim f m xdx m→ 60 f m x 1 x m m e −2x 0,m 1 x m m e −2x , ≤ x ≤ m, x ≥ m 0, V y lim f m x fx e −x ∀x ≥ m→ Chú ý đến bất đẳng thức e x ≥ x ∀x ∈ x m Thay x b i e x m Suy , ta có ≥ 1 , ∀m ∈ ℕ, ∀x ∈ x m e x ≥ 1 1 x m x m m , ∀m ∈ ℕ, ∀x ≥ m e −2x ≤ e −x , ∀m ∈ ℕ, ∀x ≥ 0 ≤ f m x 1 x m m e −2x 0,m ≤ e −x ≡ gx, ∀m ∈ ℕ, ∀x ≥ g khả tích định lý hội tụ bị ch n, ta có lim 1 m m→ x m m e −2x dx lim 1 m→ x m m e −2x 0,m dx lim f m xdx e −x dx m→ # lim e −x 0,m dx m lim e −x dx lim 1 − e −m m→ m→ H m→ ng d n s l c BÀI T P.13 Cho x, y ∈ , ∈ 0, 1 Chọn f x 0, y ,1 Ta có ftdt ftdt ftdt x 0, dt y ,1 dt 1 x 1 − y V y fxdx x 1 − y Mặt khác ftdt ftdt ftdt xdt ydt x 1 − y H ng d n s l # c BÀI T P.14 61 x ∈ X : fx ≠ 0 x ∈ X : |fx| 0 x ∈ X : |fx| n An, n1 n1 An Do |fx| n ∀x ∈ A n , ta có A n d ≤ n|f|d ≤ n |f|d A A X n H ng d n s l n c BÀI T P.15 Giả sử – hữu hạn Do X X n , X n ∀n ∈ ℕ Đặt E n X n X X X n−1 Khi t p E n r i E n ∀n ∈ ℕ Xét hàm f : X → sau n1 n E n fx , x ∈ E n E n 0, x ∈ E n E n 0, 1, Ta có fx ∀x ∈ X f ∑ En n E n , với ∑ lấy tất n cho E n Do định lý hội tụ đơn điệu, ta có n X fd ≤ ∑ n n2 n V y – hữu hạn, ta có f ∈ ℒX, : fx ∀x ∈ X Đảo lại, f ∈ ℒX, : fx ∀x ∈ X, X x ∈ X : fx 0 x ∈ X : fx n1 X n d ≤ n|f|d ≤ n |f|d X X X n Xn n1 Xn n n ... g hàm đo được? ?: Ta có g hàm đo được, suy −g hàm đo V y f − g f −g hàm đo Ví d 1.2.6 (Xem t p) Cho X, M không gian đo hàm f : X → hàm thực đo X, M, Chứng minh |fx| hàm đo. .. nh nghĩa 1.1.5 Cho X không gian đo với − đại số M cho hàm độ đo (dương phức) M Ta nói X, M, không gian đo (measure space) Chú thích 1.1.2 i Với độ đo phức, chuỗi ∑ j1 A j hội... a ∈ M n1 14 (ii) inf f n hàm đo được, inf f n − sup −f n n n n (iii) lim sup f n hàm đo được, lim sup f n x inf n→ n→ k≥1 (iv) lim inf f n hàm đo được, lim inf f n x sup n→