Độ đo véc tơ và độ đo ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TÔ LÊ DIỄM HẰNG ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TÔ LÊ DIỄM HẰNG ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN CHUYÊN NGÀNH: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội – Năm 2017 Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành vói sn hưóng dan t¾n tình het súc nghiêm khac cna GS.TSKH Đ¾ng Hùng Thang Trưóc trình bày nđi dung chớnh cna luắn vn, tỏc gia muon by to lịng biet ơn chân thành sâu sac tói ngưịi thay đáng kính cna Thay ln t¾n tình hưóng dan giai đáp thac mac cna tác gia suot q trình làm lu¾n văn Tác gia muon gui tói tồn the thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia H Nđi, cỏc thay cụ ó am nhắn giang day khóa Cao HQc 2014 - 2016, đ¾c bi¾t thay tham gia giang day nhóm xác suat thong kê 2014 - 2016 lòi cam ơn chân thành đoi vói cơng lao day suot thịi gian cna khóa HQc Tác gia xin cam ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p anh ch% em nhóm Xác suat thong kê 2014 - 2016 quan tâm, giỳp ừ, tao ieu kiắn v đng viờn tinh than đe tác gia có the hồn thành đưoc khóa HQc Tác gia xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày tháng năm 2017 HQc viên Mnc lnc Lài cam ơn1 Lài ma đau2 Đ® đo vector4 1.1 Các tính chat ban cna đ® đo vector .4 1.2 Đ® đo vector c®ng tính đem đưoc .16 Tích phân Bochner tích phân Bartle22 2.1 Các hàm đo đưoc 22 2.2 Tích phân Bochner .24 2.3 Tích phân Bartle 34 Đ® đo vector ngau nhiên36 3.1 Các dang h®i tu cna dãy bien ngau nhiên X-giá tr% 36 3.2 Đ® đo vector ngau nhiên tích phân ngau nhiên .37 3.3 H®i tu cna đ® đo vector ngau nhiên .43 3.4 H®i tu theo phân phoi cna đ® đo vector ngau nhiên 48 3.5 H®i tu yeu cna đ® đo vector ngau nhiên .52 Tài li¾u tham khao58 Lài ma đau Lý thuyet xác suat mđt chuyờn ngnh cna Toỏn HQc, nghiờn cỳu cỏc hiắn tưong ngau nhiên quy lu¾t ngau nhiên Tù nhung úng dung cna trò chơi may rni, lý thuyet xác suat đưoc phát trien thành m®t ngành HQc có vai trị quan TRQNG cu®c song Ngày nay, lý thuyet xác suat đưoc phát trien manh me ch¾t che lý thuyet có úng dung sâu r®ng khoa HQc tn nhiên, khoa HQc xã h®i, cơng ngh¾, kinh te nhieu ngành khoa HQc khác Xuat phỏt tự van e o đ di, tớnh diắn tớch the tích Lý thuyet đ® đo địi tro thành m®t nhung lí thuyet quan TRQNG b¾c nhat cna tốn HQc nen tang tốn HQc cho sn phát trien cna Xác suat Thong kê Sn phát trien cna lí thuyet đ® đo dan en khỏi niắm đ o vector ú l đ o mà giá tr% cna khơng nhat thiet so thnc khơng âm nua mà m®t vector phan tu cna m®t khơng gian Banach tőng qt Lý thuyet thu đưoc nhieu ket qua hay bat ngị, có nhieu úng dung lĩnh vnc cna Tốn HQc Muc tiêu cna lu¾n văn tù cuon sách chuyên khao ve đ® đo vector báo cna GS TSKH Đ¾ng Hùng Thang tác gia tìm hieu, tng ket, hắ thong húa lai mđt so ket qua ve đ® đo vector tat đ%nh ngau nhiên, chi tiet chúng minh vói mong muon lu¾n văn tro thnh mđt ti liắu chuyờn khao cho van e Trên so lu¾n văn đưoc chia thành chương Chương Đ® đo vector Trong chương ny, tỏc gia giúi thiắu khỏi niắm đ o vecto, tính chat ban cna đ® đo vector, đ® đo vector c®ng tính đem đưoc Chương Tích phân Bochner tích phân Bartle Trong chương này, tác gia trình bày khái ni¾m ve hàm đo đưoc, đ %nh nghĩa tích phân Bochner tích phân Bartle tính chat có liên quan Chương Đ® đo vector ngau nhiên Trong chương này, tác gia trình bày ve đ® đo ngau nhiên, tích phân ngau nhiên, h®i tu cna đ® đo vector ngau nhiên, h®i tu theo phân phoi cna đ® đo vector ngau nhiên, h®i tu yeu cna đ® đo vector ngau nhiên Rút ket luắn ve moi liờn hắ cna ba loai hđi tu Đe nghiên cúu ve đe tài “Đ® đo vecto đ® đo ngau nhiên”, tác gia tham khao mđt so ti liắu v ngoi núc ve lý thuyet xỏc suat Trong ú ã Nđi dung chớnh chng cna lu¾n văn tham khao tài li¾u [1], [3], [4], [6] ã Nđi dung chớnh chng cna lu¾n văn tham khao tài li¾u [1], [2], [3], [5], [6] ã Nđi dung chớnh chng cna luắn tham khao tài li¾u [1], [3], [4], [7] Chương Đ® đo vector 1.1 Các tính chat ban cua đ® đo vector Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho F trưịng cna t¾p Ω, X khơng gian Banach F : F → X đưoc GQI đ® đo vector c®ng tính huu han hay GQI đ® đo vector, neu E1 , E2 hai t¾p rịi cna F thì: F (E1 ∪ E2) = F (E1) + F (E2) ∞ F (E ) ∀ E t¾p rịi cna F cho Σ n i Hơn nua, neu F S ∞ EnΣ = n=1 S ∞ n= n= Ei ∈ F F đưoc GQI đ® đo vector c®ng tính đem đưoc (hay F c®ng tính đem đưoc) Ví dn 1.1.1 Đ® đo vector c®ng tính huu han Cho T : L∞[0, 1] → X toán tu tuyen tính liên tuc Cho E ⊆ [0, 1] t¾p Lebesgue đo đưoc Đ%nh nghĩa 1 (x) =   χE F (E) = T (χE), neu x ∈ E neu x ∈/ E Do T tốn tu tuyen tính suy F đ® đo vector c®ng tính huu han Ví dn 1.1.2 Đ® đo vector c®ng tính đem đưac Cho T : L1[0, 1] → X m®t tốn tu tuyen tính liên tuc Cho E ⊆ [0, 1] t¾p Lebesgue đo đưoc Đ¾t F (E) = T (χE) Hien nhiên F đ® đo vector c®ng tính huu han M¾t khác, vói E ⊆ [0, 1], ta có: ǁF (E)ǁ ≤ λ(E) ǁTǁ Khi đó, neu (En )∞n=1 dãy t¾p Lebesgue đo đưoc rịi thu®c [0, 1] ta có: lim F m [∞ En Σ m − n=1 Σ n=1 F (E ) = limn F m Σ ∞ [ En n=m+1 n=∞ [m+ ≤ lim λ EnΣ ǁTǁ = m F (En) hay F đ® đo vector cđng tớnh em oc Vắy: F En = ∞ Sn=1 n= Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho F : F → X m®t đ® đo vector M®t bien phân cna F hàm không âm |F |, giá tr% cna |F | t¾p E ∈ F đưoc cho boi: |F | (E) = sup Σ ǁF (A)ǁ π A∈ π c¾n đưoc lay tat ca phân hoach π cna E thnh mđt so huu han cỏc rũi cna F Neu |F | (Ω) < ∞ F đưoc GQI l đ o bien phõn b% chắn Bỏn bien phân cna F hàm không âm ǁFǁ, giá tr% cna ǁFǁ t¾p hop E ∈ F cho boi: ǁF ǁ (E) = sup {|x∗ F | (E) : x∗ ∈ X ∗ ; ǁx∗ ǁ ≤ 1} |x∗ F | bien phân cna đ® đo có giá tr% thnc x∗ F Neu ǁF ǁ (Ω) < ∞ F đưoc gQI đ® đo bán bien phân b% ch¾n De thay bien phân cna F l hm cđng tớnh huu han, n iắu trờn F, bán bien phân cna F hàm c®ng tính dưói, đơn đi¾u F k = Fk(E) h®i tu đen G theo phân phoi Q Đ%nh lý 3.4.3 Cho (Fn), n ≥ đ® đo ngau nhiờn s.i.s X-giỏ tr% vỏi đ o ieu khien cho Fn h®i tn tái F0 theo phân phoi Σ Ngồi ra, neu khơng gian mêtric ( , d) Đ%nh lý 3.3.1 tách đưac ton tai m®t {Gn} , n ≥ đ® đo ngau nhiên s.i.s X - giá tr% cho: Gn c Fn (n ≥ 0) p − lim Gn = G0 Σ Chúng minh Cho A = (Ak) t¾p đem đưoc, trù m¾t ( , d) Xét bien ngau nhiên ξn = {Fn (Ak )}∞k=1 (n ≥ 0), X N -giá tr% Do Fn h®i tu đen F0 theo phân phoi, L (ξn) h®i tu yeu tói L (ξ0) Đ%nh lý Skorokhod chi ton tai bien ngau nhiên Vn = {Vnk tr% cho } ∞ (n ≥ 0), XN -giá k= L (Vn1 , , Vnk ) = L (Fn(A1), , Fn(Ak)), ∀n, k (3.6) p − lim Vnk = V0k , vói moi k (3.7) n Vói moi n ≥ 0, đ%nh nghĩa hàm Gn : A −→ 0LX(Ω); Gn(Ak) = Vnk Khi hàm Gn có the mo rđng trờn ton bđ khụng gian (, d) Thắt v¾y, cho E ⊂ Σ (Ak) ⊂ A cho lim µ(Ak∆E) = k Theo phan chúng minh cna Đ%nh lý 3.3.1 p-lim Fn(Ak) = Fn(E), ket hop vói k (3.6) suy ∃p − lim Gn(Ak) k Đ¾t Gn(E) = p − lim Gn(Ak) (n ≥ 0) k Hơn nua, vói MQI dãy t¾p huu han (E1 , , Ek ), L (Gn(E1), , Gn(Ek)) = L (Fn(E1), , Fn(Ek)) suy Gn đ® đo ngau nhiên s.i.s X-giá tr% Gn c Fn vói n ≥ Cuoi cùng, ta chúng minh: p − lim Gn = G0 Th¾t v¾y, E ∈ Σ, cHQN dãy (Ak ) ⊂ A cho lim µ(Ak∆E) = 0, k vói t > 0, ta có: lim P{ǁGn(E) − Gn(Ak)ǁ ≥ t} =n lim P{ǁGn(E ∩ Ack ) − Gn(Ak ∩ Ec)ǁ ≥ t} n = lim P{ǁGn(E∆Ak)ǁ ≥ t} n = lim P{ǁFn(E∆Ak)ǁ ≥ t} n ≤ P{ǁF0(E∆Ak)ǁ t} Vỡ Fn(EAk) hđi tu en F0(EAk) theo luắt Áp dung Đ%nh lý 3.2.2, ta có: k n lim lim P{ǁGn(E) − Gn(Ak)ǁ ≥ t} ≤ lim P{ǁF0(E∆Ak)ǁ ≥ t} = k Theo (3.7), suy lim P{ǁGn(Ak) − G0(Ak)ǁ ≥ t} = n V ¾ y n lim P{ǁGn(E) − G0(E)ǁ ≥ 3t} ≤ lim P{ǁGn(E) − Gn(Ak)ǁ ≥ t} + lim P{ǁGn(Ak) − G0(Ak)ǁ ≥ t} n n + P{ǁG0(Ak) − G0(E)ǁ ≥ t} = lim P{ǁGn(E) − Gn(Ak)ǁ ≥ t} + P{ǁG0(Ak) − G0(E)ǁ ≥ t} n Cho k −→ ∞, suy lim P{ǁG n(E) − G0(E)ǁ ≥ 3t} = Q 3.5 H®i tn yeu cua đ® đo vector ngau nhiên Cho T m®t khơng gian mêtric vói σđai so Borel Tắp Borel A oc GQI l à-liờn tuc vúi đ o dng huu han neu à(A) = Đ%nh nghĩa 3.5.1 Cho (Fn ), n ≥ dãy đ® đo ngau nhiên X-giá tr% Ta nói Fn h®i tu yeu đen F0 neu Fn (A) hđi tu en F0 (A) theo luắt vúi mQI Borel A à-liờn tuc, ú l đ o đieu khien F0 Đ%nh lý 3.5.1 Cho (Fn) n ≥ đ® đo ngau nhiên s.i.s X-giá tr%, khang đ%nh sau tương đương: Fn h®i tn yeu đen F0; ∫ ∫ Vái MQI hàm f giá tr% thnc liên tnc, b% ch¾n, ta có: f dFn h®i tn đen f dF0 theo lu¾t lim lim P{ǁFn(Em)ǁ ≥ t} = m n vỏi mi dóy (Em) cỏc úng à-liờn tnc cho lim µ(Em) = m Chúng minh (1) → (2) Gia su f hàm liên tuc b% chắn Cho l đ o trờn R xỏc %nh boi λ(B) = µ{t : f (t) ∈ B} Do f b% ch¾n nên λ đưoc t¾p trung khoang b% ch¾n (a, b) Vói moi m > 0, ta có the tìm đưoc so s1, , sk cho a = s0 < · · · < sk = b, si − si−1 < m µ{t : f (t) = sj} = ∀j Đ¾t Aj = {t : sj−1 ≤ f (t) < sj} suy Aj rịi µ(∂Aj) = V¾y Fn (Aj ) −L→ F0 (Aj ) ∀j Σ k Đ¾t fm sj−1 λA , Yn,m = fm dFn(n ≥ 1), Ym = fm dF0 = j= ∫ ∫ ∫ ∫ j Xn = f dFn, X = f dF0 Do {Fn (Aj )} đc lắp v Fn (Aj ) −L→ F0 (Aj ) n −→ ∞ suy Yn,m −→ Ym n −→ ∞ Hơn nua, εm = sup |fn (t) − f (t)| < m t Áp dung Đ%nh lý 3.2.4, ta có: t } = 0, lim P{ǁYm − Xǁ ≥ t} ≤ lim P{ǁF0(T )ǁ ≥ m εm m t lim lim P{ǁYn,m − Xnǁ ≥ t} ≤ lim lim 2P{ǁFn(T )ǁ ≥ m n m n t }=0 εm ≤ lim P{ǁF0(t)ǁ ≥ } = m εm Áp dung Bő đe 3.5.1 ta có Xn hđi tu theo luắt en X Bo e 3.5.1 Cho X không gian Banach tách đưac Xn m®t dãy bien ngau nhiên X-giá tr% cho vái mői m ∈ N, ton tai dãy {Yn,m} L bien ngau nhiên X-giá tr% thóa mãn Yn,m −→ Ym n −→ ∞; Ym −→ X L m −→ ∞ lim lim P {ǁYn,m − Xn ǁ ≥ t} = vái t > 0, Xn −→ X m n n −→ ∞ Tiep tuc chúng minh Đ%nh lí 3.5.1 Do lim µ(Em ) = Fn (Em ) −L→ F0 (Em ) n −→ ∞ m Áp dung Đ%nh lý 3.2.2, ta có: lim lim P{ǁFn(Em)ǁ ≥ t} ≤ lim P{ǁF0(Em)ǁ ≥ t} = m n m V¾y (1) (2) Cho A l à-liờn tuc Vúi moi m, đ¾t: Em = {t : d(t, A) , ≥} m Gm = {t : d(t, Ac) ≥ } m d(t, A) khoang cách tù điem t đen A De thay Em, Gm hai t¾p đóng rịi nhau, ton tai hàm liên tuc fm cho 1 f (t) =  m  vói t ∈ Gm, vói t ∈ Em ≤ fm(t) ≤ Hơn nua, ta có the cHQN so m −→ ∞ cho Em , Gm l à-liờn tuc Yn,m = ∫ fm dFn, Ym = ∫ fm dF0, Xn = ∫ χA dFn X = ∫ χA dF0 Khi Yn,m − − − → Ym n → ∞ theo lu¾t Hơn nua, |fm (t) − χA (t)| = 0, t ∈ Gm ∪ Em c c |fm (t) − χA (t)| ≤ ∀t ∈ Bm = Gm ∩ Em Ta có: Bm P{ǁ Ym − Xǁ > t} = P ∫ Bm (fm − χA)dF0 > tΣ ≤ 2P {ǁF0(Bm)ǁ > t} Σ P {ǁYn,m − Xnǁ > t} = P ∫ (fm − χA)dFn > tΣ ≤ 4P Fn(Bm) > t Do Bm úng, à-liờn tuc v lim µ(Bm) = µ(∂A) = theo Đ%nh nghĩa 3.5.1 m Đ%nh lý 3.3.2, ta có: P {ǁYm − Xǁ > t} −→ m −→ ∞ m lim lim P {ǁYn,m − Xnǁ > t} = n Áp dung Bő đe 3.5.1, ta có Xn hđi tu en X theo luắt Vắy Fn(A) hđi tu đen F0(A) theo lu¾t Q M¾nh đe 3.5.1 Neu X loai E |M (T )| cho E ∫ f dM Σ∫ ≤C ǁfǁ Σ 1/ ∀f ∈ L2 (T, Σ, µ) dµ Chúng minh Gia su M = M1 + M0, đó: X M ∼ [ , m , µ ] , M ∼ [ k , m , µ ] m0(B) = m{B ∩ [−1, 1]}, m1(B) = m{B ∩ [−1, 1]c} Σ Vói moi A ∈ , ta có: E |M1(A)| ≤ c1µ(A), E |M0(A)| = c0µ(A) ∫ ∫ đó: c1 = |u| m1(du) = |u|>1 |u| m(du) < ∞ (Do E(M (T )) < ∞) Σ k2 + ∫ u2m(du)Σ −1 c0 = Lay f m®t hàm đơn gian, f = Σn Khi đó, E∫ n Σi=1 f dM1 ≤ i= n t¾p rịi xiχAi , vói (Ai) Σ∫ ǁxiǁ E |M1(Ai)| ≤ c1 ǁxiǁ µ(Ai) Σ1/2 ∫ = c1 Σi=1 1/2 ǁfǁ dµ ≤ c1[µ(T )] ǁfǁ dµ Do X loai 2: E∫ E ∫ f dM0 ≤ f dM0 =  n ≤ K Σi= = c2 Σ∫ Σ 1/2 1/2 n xM (A 0) i Σ i n  E  ǁxiǁ E |M0(Ai)| Σ1/2 = Kc0 ǁfǁ i=1 Σi=  ǁxiǁ µ(Ai) Σ1/2 Σ dµ 1/2 c2 = (Kc0 ) , K l hắ so chi phu thuđc X Do đó, 1/2 E ∫ f dM ≤ E ∫ f dM1 + E ∫ f dM0 ≤ C Σ∫ ǁf ǁ dµΣ √ vói C = c Doà(T tớnh) + trực mắt cna cỏc hm n gian L2X(T, Σ, µ), ta có: LX2(T, Σ, µ) ⊂ LX(M ) E ∫ f dM ≤ C Σ∫ ǁf ǁ dµΣ 21 Q Đ%nh lý 3.5.2 Cho {Fn}, n ≥ đ® đo ngau nhiên s.i.s X-giá tr% có dang Fn(E) = ∫ g dMn, M (k2, m, µn) g : T X hàm liên tnc b% ∼ E ch¾n −→ Gia su E |Mn(T )| < ∞ (n ≥ 0) X loai Khi neu µn hđi tn yeu tỏi à0 thỡ Fn hđi tn yeu tái F0 Chúng minh Trưóc het ta chúng minh vói moi hàm hàm so h liên tuc, b% ∫ ∫ chắn, X-giỏ tr% thỡ hdMn hđi tu en hdM0 theo lu¾t Th¾t v¾y, áp dung đ %nh lý Prokhorov, vói moi m, tỡm oc mđt compact K T cho sup µn(T ) = N < ∞, sup µn(Kc) < m−1 n n Hơn nua, ta có the cHQN m®t hàm đơn gian hm = Σs i=1 xiχAi cho ǁhm(t) − h(t)ǁ < ,t∈K m {Ai} l à0-liờn tuc, sup hm(t) sup h(t) = L < ∞ t Đ¾t t Yn,m = ∫ hm dMn; Ym = ∫ hm dM0; Xn = ∫ hdMn; X = ∫ hdM0 Do µn(Ai) −→ µ0(Ai) n v Mn(Ai) đc lắp nờn Yn,m hđi tu đen Ym theo lu¾t M¾t khác, ∫ ǁh − hmǁ dµn = ∫ ≤ ǁh − hmǁ dµn + ∫ c µn(K) + (2L) m2 Áp dung Đ%nh lý 3.5.2, có: E ǁYn, − X m µn(K ) ≤ N+ (2L)m2 ǁh − hmǁ dµn m nǁ 1m ≤ D Σ 2N + (2L)2 Σ m vói D = c1 N 1/2 + c2 Su dung bat thúc Chebyshep, ta có: lim lim sup P {ǁYn,m − Xnǁ > t} = vói t > m n Tương tn, lim P {ǁYm − Xǁ > t} = m Tiep tuc áp dung Bő đe 3.5.1, ta có: Xn −→ X theo ∫ ∫ lu¾t V¾y hdMn −→ hdM0 Cuoi cùng, can chúng minh vói MQI hàm f liên tuc b% ch¾n có giá tr% thnc ∫ ∫ f dFn −→ f dF0 theo lu¾t Th¾t v¾y, áp dung Đ%nh lý 3.2.7 ∫ f dFn = ∫ fg dMn −→ ∫ fg dM0 = ∫ f dF0 theo lu¾t Theo Đ%nh nghĩa 3.5.1 M¾nh đe 3.5.1, ta có: E ǁFn(Em)ǁ = E ∫ g dMn ≤ (c1 Em √ N+ c 2) Σ∫E g m dàn 1/2 Do àn hđi tu yeu đen µ0 nên lim sup ∫ ǁgǁ dµn ≤ ∫ Em ∫ V¾y lim lim sup E m n g dM n ǁgǁ dµ0 = E m Áp dung bat thúc Chebyshep, ta có đieu can chúng minh Q Tóm lai: Moi quan h¾ giua dang h®i tu cna đ® đo vector ngau nhiên s.i.s H®i tu −→ H®i tu theo phân phoi −→ Hđi tu yeu Ti liắu tham khao [1]Pham Kỡ Anh – Tran Đúc Long (2001), Giáo trình hàm thnc giai tích hàm, Nhà xuat ban Đai HQc quoc gia H Nđi [2]Hunh Vn Hoi (2012), Tớch phõn Bochner, luắn văn Thac sĩ Tốn HQc, Trưịng Đai HQc Sư pham Thành Ho Chí Minh [3]Đ¾ng Hùng Thang (2010), Xác suat nâng cao, Nhà xuat ban Đai HQc quoc gia Hà N®i [4]Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giai tích hàm (Giai tích hi¾n đai), Nhà xuat ban Đai HQc quoc gia Hà N®i [5]Robert G Bartle (1966), The Elements of Integration, John Wiley and Sons, Inc.,New York [6]J DIESTEL and J J UHL, JR (1977), Vector measures, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island [7]Dang Hung Thang (20/11/1989), On the convergence of vector random measures, Probability Theory and Related Fields ... HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TÔ LÊ DIỄM HẰNG ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN CHUYÊN NGÀNH: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN... 34 Đ® đo vector ngau nhiên3 6 3.1 Các dang h®i tu cna dãy bien ngau nhiên X-giá tr% 36 3.2 Đ® đo vector ngau nhiên tích phân ngau nhiên .37 3.3 H®i tu cna đ® đo vector ngau nhiên .43... đ® đo vector ngau nhiên, h®i tu theo phân phoi cna đ® đo vector ngau nhiên, h®i tu yeu cna đ® đo vector ngau nhiên Rút ket lu¾n ve moi liên h¾ cna ba loai h®i tu Đe nghiên cúu ve đe tài “Đ® đo