Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 56 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
56
Dung lượng
504,23 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ HÀ THANH Đề Tài : CÁC BÀI TOÁN MỞ RỘNG NHÓM Chuyên nghành : Đại Số LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS TRẦN HUYÊN Tp Hồ Chí MinH - 2005 Chân thành cảm ơn thầy khoa Toán – Tin – Trường Đại học Sư phạm TP Hô 2hí Minh , Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ suốt trình học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng KHCN – Sau Đại học tạo điều kiện nhiều thời gian giúp hoàn thành tốt luận văn Đặc biệt , biết ơn TS Trần Huyên – người trực tiếp đề tài hướng dẫn nhiệt tình suốt trình hoàn thành luận văn CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các khái niệm kết lý thuyết nhóm , đồng cấu nhóm , môdun , đồng cấu môdun ; khái niệm kết lý thuyết đồng điều : dãy phức , dãy khớp , đối đồng điều … xem biết Trong chương , trình bày vài khái niệm kết - môdun , hàm tử Ext cần dùng sau § : Cấu Trúc - Môdun I Vành nhóm : Định nghóa : Cho - nhóm nhân với đơn vị ký hiệu Nhóm abel tự Z( ) sinh phần tử x , bao gồm tất tổng hữu hạn x m(x)x với hệ số nguyên m(x) Z , với phép toán : + phép cộng : x m(x)x + x m'(x)x = x (m(x) + m'(x))x + phép nhân : ( x m(x)x )( y m'(y)y ) = x,y m(x)m'(y)xy , x,y Deã dàng kiểm tra Z ( ) với hai phép toán vành , ta gọi vành nhóm ( hay vành nhóm nguyên ) nhóm Do Z ( ) nhóm abel tự nên thực chất phần tử Z ( ) hàm m : Z mà m ( x ) = với hầu hết x Khi , phép cộng phép nhân hàm viết : + phép cộng : ( m + m’)( x ) = m ( x ) + m’( x ) , x + phép nhân : ( mm’) ( x ) = m ( x ) m’ ( x ) , x Ví dụ : Khi = Z ( ) = Z Liên quan đến vành nhóm Z( ) , ta có đồng cấu sau : + Toàn cấu vành : Z( ) Z x m(x)x x m(x) gọi phép làm đầy + Đơn cấu nhóm o : Z( ) y 1.y Tính chất Z( ) : Vành nhóm Z( ) đồng cấu o đặc trưng tính chất đối phổ dụng sau : Mệnh đề 1.1: cho nhóm nhân , R vành có đơn vị : R hàm có tính chất sau : i1 ) (xy) = (x) (y) i2 ) (1) = Thì tồn đồng cấu vành : Z( ) R cho o = Từ tính chất mà ta gọi Z( ) vành tự nhóm Môdun vành Z( ) Z( )- môdun hay thường gọi đơn giản môdun Trang bị cấu trúc - môdun cho nhóm abel : Bất kỳ nhóm abel có cấu trúc - môdun nhờ mệnh đề sau : Mệnh đề 1.2 : Cho A nhóm abel mà phép toán viết theo lối cộng Ba phát biểu sau tương đương : 1) A - môdun trái 2) Có hàm xác định x A A , ( x , a ) xa thỏa mãn điều kiện sau : i1 ) x(a1 + a ) = xa1 + xa i2 ) (x1x )a = x1 (x a) i3 ) 1.a = a ) Coù đồng cấu nhóm : AutA , AutA ký hiệu cho nhóm tự đẳng cấu A với phép nhân đẳng cấu Chứng minh : Từ 1) 2) hiển nhiên Từ 2) 3) : Xác định sau : : AutA , x (x): A A , a ( x )a= xa + Trước hết , ( x ) AutA : Ker ( x ) = { a A : ( x )a = } = { a A : xa = } = { } + đồng cấu : a A ; x , x’ : ( x x’)a = ( x x’)a = x ( x’a ) = ( x )( x’a) = ( x ) ( x’)a ( xx’) = ( x ) ( x’) 3) 1) : Vì AutA HomZ ( A , A ) nên ta xem đồng cấu từ vào HomZ ( A , A ) thỏa điều kiện mệnh đề 1.1 , kéo dài đến đồng cấu : Z ( ) HomZ ( A , A ) cho o = : : Z ( ) HomZ ( A , A ) m (m) : AA a ( m )a Ta định nghóa phép nhân : Z ( ) x A A ( m , a ) ma = ( m )a Thì m , m’ Z ( ) ; a , a’ A : ( m m’) a = ( mm’)a = ( m ) ( m’)a = ( m ) [ ( m’)a] = = m ( m’a) m(a + a’) = ( m )( a + a’) = ( m ) a + ( m ) a’ = ma + ma’ 1.a = ( ) a = 1A( a ) = a ( m + m’) a = ( m + m’)a = ( ( m ) + ( m’)) a = = ( m )a + ( m’)a = ma +m’a Vậy , A Z ( ) – môdun trái Từ mệnh đề có kết riêng sau : nhóm abel A dều xem x xa = a - môdun tầm thường lấy (x) = , § : Bài Toán Mở Rộng Môdun Các định nghóa : Định nghóa I.2.1: Cho A C môdun vành R Một mở rộng A nhờ C dãy khớp ngắn R – môdun R – đồng cấu: A B C 0 E: Một ví dụ mở rộng dãy khớp tổng trực tieáp : E0 : A A C C với ( a)=(a,0) ,(a,c)=c Định nghóa I.2.2 : Cho hai mở rộng E , E’ tùy ý , cấu xạ mở rộng : E E’ boä ba = ( , , ) đồng cấu R – môdun cho biểu đồ sau giao hoán : A B C E: ' ' E' : A' B' C' 0 Trường hợp cấu xạ = ( 1A , , 1C ) gọi cấu xạ toàn đẳng E gọi toàn đẳng với E’ , ký hiệu E E’ Quan hệ toàn đẳng quan hệ tương đương Tập tất mở rộng A nhờ C theo quan hệ tương đương ta ký hiệu Ext R( C , A ) , ( viết tắt Ext ( C , A ))và E Ext ( C , A ) ta viết đơn giản laø E Ext ( C , A ) Cấu trúc nhóm abel cho Ext ( C , A ) : Định nghóa I.2.3 : Cho A E: nhờ C A B C 0 mở rộng đồng cấu E': ' ' A B ' C ' Ext ( C’ , A ) gọi tích mở : C’ C Mở rộng rộng E với đồng cấu ( ký hiệu E ) tồn cấu xạ = ( , , ) : E’ E , nghóa biểu đồ sau giao hoán : A B C E: ' ' E' : A B' C' E = Mệnh đề I.2.1 : Mở rộng E tồn xác tới toàn đẳng ' ' Để xây dựng E’ = E : A B ' C ' , ta chọn : B’={ ( b , c’) : ( b ) = c’ ; b B, c’ C} ’a = ( a , ) ’( b , c’) = c’ ( b , c’) = b , Và E": để chứng : B’ B minh tính " " A B " C ' 0 , E”= , E với với cấu xaï ( 1A , ”, ) : E” E E’ E” nhờ cấu xạ toàn đẳng ( 1A , ’, 1C’ ) với ’: B” B’ maø ’( b” ) = ( ”b” , ”b” ) , ” : B” B Mệnh đề I.2.2 : Mở rộng E có tính đối phổ dụng , nghóa cấu xạ 1 = ( , 1 , ) : E1 E phân tích cách qua tức tồn cấu xạ 0 : E1 E cho 1 = .0 0 xác định : 0 = ( , ’ , 1C ) , với : ’ : B1 B’ b1 ’(b1 ) = ( 1b1, 1b1) biểu đồ sau giao hoán 1 = .0 E: A B C 0 ' ' E : A B' C' 0 ' 1 A1 B1 E1 : C' 0 Định nghóa I.2.4: Cho A B C mở rộng A E: nhờ C đồng cấu : A A’ Mở rộng E ' : đồng ' ' A' B' C Ext (C , A' ) gọi tích cấu với mở rộng E tồn cấu xạ = ( , , ) : E E’ , nghóa biểu đồ sau giao hóan : E: A B C 0 ' ' E = E' : A' B' C Tương tự E , E có tính chất sau : Mệnh đề I.2.3 : Mở rộng E tồn xác định xác tới toàn đẳng ' ' Để xây dựng E’ = E : A' B ' C , ta chọn : Ta xác định : B’ = A' B N , với N = { ( - a , a ) ; a A } , N môdun A' B ’( a’) = ( a’, ) + N , a’ A’ ’[( a’, b ) + N] = ( b ) ; a’ A , b B (b)=(0,b )+N ; bB " " Và để chứng minh tính , với bất kyø E " : A' B " C 0 , E”= E với cấu xạ ( , ”, 1C) : E E” E’ E” nhờ cấu xạ toàn đẳng ( 1A’ , ’, 1C ) với ’: B’ B” mà ’[( a’, b ) + N = ”a’ + ”b , ” : B B” Mệnh đề I.2.4 : E có tính phổ dụng , nghóa cấu xạ 1 = ( , 1, ) : E E1 phân tích cách qua , tức tồn cấu xạ 0 : E E1 cho 1 = 0 Cấu xạ 0 xác định sau 0 = ( 1A’, ’, ) , với ’: B’ B1 mà ’[( a’, b ) + N] = 1a’+ 1b biểu đồ sau giao hoán 1 = 0 : E: A B C 0 ' ' E : A' B' C 0 ' 1 A' B1 E1 : C1 0 Hai mệnh đề sau suy từ tính đối phổ dụng E tính phổ dụng E : Mệnh đề I.2.5 : Nếu cho E : A B C mở rộng A nhờ C đồng cấu : A A’ , : C’ C ( E ) ( E ) Mệnh đề E E’ I.2.6 : Nếu cho cấu xạ mở rộng = ( , , ) : E E’ Từ định nghóa tính chất E , E ta xác định cấu trúc nhóm abel cho Ext( C , A ) với phép toán sau : Cho E1 , E2 Ext ( C , A ) , tổng hai mở rộng E1 , E2 xác định sau : E1 + E = A ( E1 E )C Với Ei : i i A Bi C 0 A : A A A ( a1 , a ) a1 + a C : C C C c χ χ (c,c) σ σ 2 E1 E : A A B1 B2 C C 0 Phép cộng gọi phép cộng Berơ Phép cộng có tính chất kết hợp , giao hoán Phần tử nhóm mở rộng E0 – dãy khớp tổng trực tiếp Phần tử đối mở rộng E mở rộng E(-1C ) ( -1A)E Chương II : CÁC BÀI TOÁN MỞ RỘNG NHÓM § : Đặt Vấn Đề Trong toán mở rộng môdun , R = Z vành số nguyên , toán mở rộng môdun trở thành toán mở rộng nhóm abel Do , kết toán mở rộng nhóm abel coi biết Câu hỏi đặt trường hợp mở rộng nhóm tùy ý , đạt kết có mở rộng nhóm abel không ? Để tìm câu trả lời , trước hết đưa khái niệm khái niệm mở rộng môdun : Định nghóa II.1.1: Cho A , nhóm tùy ý , mở rộng nhóm A nhờ dãy khớp ngắn nhóm đồng cấu nhóm : E: A B 1 Chú ý với cách viết , ta ký hiệu phép toán nhóm , A , B theo lối cộng ; phép toán , theo lối nhân Phần tử đơn vị ; phần tử trung hòa A , B Tập hợp tất mở rộng A nhờ ký hiệu Sext ( , A ) Một ví dụ mở rộng nhóm A nhờ dãy khớp ngắn E0 : p A i A x 1 Với i ( a ) = ( a , ) , p ( a , x ) = x ; a A , x Mở rộng đươc gọi mở rộng tích trực tiếp Định nghóa II.1.2 : Cho E , E’ hai mở rộng nhóm tùy ý , cấu xạ hai mở rộng E E’ ba = ( , , ) : E E’ đồng cấu nhóm cho biểu đồ sau giao hoán : E: A B ' ' E' : A' B' ' Định nghóa II.1.3 : Cho E , E’ Sext( , A ) , E gọi toàn đẳng với E’ ( ký hiệu E E’ ) có cấu xạ = ( 1A , , 1 ) : E E’, nghóa biểu đồ sau giao hoaùn : E: A B ' ' E' : A B' Ta cuõng nói cấu xạ toàn đẳng đồng cấu có tính chất : At = { a A : ta = a } = A vaø Nt A = mA Vaäy Opext (Cm( t ) , A , ) A mA ExtZ (Cm( t ) , A ) Như , để tìm mở rộng dạng Opext (Cm( t ) , A , ) , ta cần tìm hai nhóm At N t A Sau vài ví dụ cụ thể : Ví dụ : Lấy A = Z8 , m = Khi , AutZ8 = { Id , f1 ( ) = , f ( ) = , f3 ( ) = f1f ( ) = } Các đồng cấu từ C6( t ) vào Aut Z8 gồm có 2 ( t ) = f , ( t ) = f ( t ) = Id , 1( t ) = f , Tìm Opext ( C6( t ), Z8 , ) : 1( t ) a = a At = { a Z8 : a = a } = { , } ti a i=0 = 3i a = 4a , a Z8 N t Z = { a , a Z8 } = { , } Vaäy At N t Z8 = , trường hợp Opext ( C6( t ), Z8 , ) có mở rộng tích nửa trực tiếp : p i Z8 Z8 x1 C6 C6 ( t ) 1 E0 : Với i ( a ) = ( a , ) , p ( a , t i ) = t i , ti C6( t ) phép cộng Z8 x C6( t ) laø : ( a , t i ) + ( a' , t j )= ( a + 3i a' , t i+ j ) Tìm Opext ( C6( t ), Z8 , ): 2( t ) a = a At = { a Z8 : a = a } = { , , , } 5 i=0 t i a = 5i a = 2a , a Z8 Nt Z8 = { 2a , a Z8 } = { , , , } Vậy At N t Z8 = , trường hợp naøy Opext ( C6( t ), Z8 , ) có phần tử : E0 : p i Z8 Z8 x 2 C6 C ( t ) Với i ( a ) = ( a , ) , p ( a , t i ) = t i , ti C6( t ) phép cộng Z8 x C6( t ) laø : ( a , t i ) + ( a' , t j )= ( a + 5i a' , t i+ j ) Tìm Opext ( C6( t ), Z8 , ): 3( t ) a = a At = { a Z8 : a = a } = { , } 5 i=0 t i a = 7i a = , a Z8 Nt Z8 = { } At Vaäy N t Z8 = { + N t Z8 , + N t Z8 } , trường hợp Opext ( C6( t ), Z8 , ) có hai phần tử : E0 : p i Z8 Z8 x2 C6 C ( t ) Với i ( a ) = ( a , ) , p ( a , t i ) = t i , ti C6( t ) phép cộng Z8 x C6( t ) laø : ( a , t i ) + ( a' , t j )= ( a + 7i a' , t i+ j ) E : Z8 B C6 ( t ) Với B = { ( a , i ) : a Z8 , i { , ,…, 5} } phép cộng B : ( a , i ) + ( a + 7i a' , i + i' ) ; i + i' ( a' , i’) = i ( a + a' + , i + i' - ) ; i + i' Tìm Opext ( C6( t ), Z8 , ): Nt Z8 = { 6a , a Z8 } = { 0, 2, 4, 6} A N t Z8 = { + N t Z8 ,1 + N t Z8 , + N t Z8 , N t Z8 , N t Z8 } Trường hợp , Opext ( C6( t ), Z8 , ) có năm phần tử : p E0 : i Z8 Z8 x C C6 ( t ) 1 Ei : i i Z8 Bi C6 ( t ) 1 Với Bi = { ( a , j ) : a Z8 , j { , ,…, 5} } , i a = ( a , ) , i (a , j ) = tj phép cộng Bi : Trong B1 : ( a + a' , i + i' ) ; i + i' ( a , i ) + ( a' , i’) = ( a + a' + , i + i' - ) ; i + i' Trong B2 : ( a + a' , i + i' ) ; i + i' ( a , i ) + ( a' , i’) = ( a + a' + , i + i' - ) ; i + i' Trong B3 : ( a + a' , i + i' ) ; i + i' ( a , i ) + ( a' , i’) = ( a + a' + , i + i' - ) ; i + i' Trong B4 : ( a + a' , i + i' ) ; i + i' ( a , i ) + ( a' , i’) = ( a + a' + , i + i' - ) ; i + i' Kết trường hợp , đạt dùng : Opext ( C6( t ), Z8 , ) = ExtZ( C6 , Z8 ) Z8 6Z8 = {0 , , , , 7} Ví dụ : Lấy A = Z8 , m = 11 Khi , AutA = { Id , f1 ( ) = , f ( ) = , f3 ( ) = f1f ( ) = } Các đồng cấu từ C11( t ) vào AutA có đồng cấu ( t ) = Id ( đồng cấu ( t ) = fik [ ( t )]11 = ( fik )11 = fi11k = , fi ( i = , , fik ) có cấp = Id , k 2Z ) Tìm Opext ( C11( t ), Z8 , ) neân Z8 11k 11Z8 : k 2Z nhöng ={ } Trường hợp Opext ( C11( t ), Z8 , ) có mở rộng tích trực tiếp : E0 : p i Z8 Z8 x C11 C11 ( t ) Mệnh đề II.4.2 : Cho C x C nhóm abel tư viết theo lối nhân với hai phần tử sinh t1 t2 Khi : Opext ( C x C , A , ) A S Với S = < a2 – t1a2 – a1 + t2 a1 > Chứng minh : Xây dựng : Opext ( C x C , A , ) A S Lấy mở rộng E Opext ( C x C , A , ) tùy ý E : A B C x C 1 Ta đồng a với a , a A Chọn đại diện cho t1 , t2 B u1 , u2 , nghóa ( u1 ) = t1 , ( u2 ) = t2 Khi , C x C nhóm abel nên : ( u1 + u2 ) = ( u2 + u1 ) = t1.t2 (u2 + u1 – ( u1 + u2 ) )= ( u2 + u1 )[ ( u1 + u2 )]- = =( t1 t2 ) (t1 t2 )- = u2 + u1 – ( u1 + u2 ) Ker = Im ! a A : a = u2 + u – ( u1 + u2 ) Hay : u2 + u1 = a0 + u1 + u2 ( ) Toaùn tử : C x C AutA t ( t ) : A A a ( t ) a = ta ( t1 )a = t1a = ( u1 ) a = u1 + a – u1 , ( t2 )a = t2a = ( u2 ) a = u2 + a – u2 , a A u1 + a = t1a + u1 , aA u + a = t a + u Vậy : ' Lấy t C x C t = t1m1 t 2m1 (2) , m1 , m1' Z ' t = ( ( u1 ))m1 ( ( u )) m1 = (m1u1 ). (m1' u ) = (m1u1 + m1' u ) Vì toàn cấu nên b B : b = t ( b – (m1u1 + m1' u ) ) = ! a A : a = a = b – (m1u1 + m1' u ) Hay b = a + m1u1 + m1' u Vậy a + m1u1 + m1' u phần tử B ñeàu ; a A , m1 , m1' Z biểu diễn Từ ( ) : - ( u + u1 ) = - u1 - u = - ( a + u1 + u ) = - u - u1 - a - u - u1 = - u1 - u + a = t1-1.t -1 a - u1 - u ( ( ) ) Vaø : u = a + u1 + u - u1 u - u1 = - (a u1 )+ u = = - u1 - a + u = - t1-1a u1 + u u1 = - u + a + u1 + u = t -1 - u u1 + u - u + u1 = - t -1 a + u1 - u Từ : m1 1 i m2 1 j t1 t a m1u1 + m u j=0 i=0 m1 m2 1 t i t j a + m u + m u 1 2 i=-1 j=0 m u + m1u1 = m1 1 i m2 j t1 t a + m1u1 + m u i=0 j=-1 m1 m2 ti t j a + m u + m u 1 2 i=-1 j=-1 Chẳng hạn : với m2 < , m1> : m u + m1u1 = - u (u u1 ) + + u1 = m lan m1 - lan ; m1 , m ; m1 < , m ; m1 , m < ; m1 < , m < dạng ( b1) = - u u t -1 a + u1 +(- u + u1 ) + + u1 = m 1 lan m1 1- lan -1 ( b2) = - u u t -1 a + u1 t a + u1 +(- u + u1 ) + + u1 = m 1 lan m1 2- lan -1 -1 ( bm1 ) = - u u t -1 a + u1 t a + u1 + t a + u1 - u m 1 lan m2 m2 m m1 -1 = t m a -u ( u + u1 )+ + u1 -u 2 a -t t1a -t t1 a - -t t1 m2 1 lan m1 lan bước , ta : m u + m1u1 = - tm m1 1 i=0 1 t1i a - t m m1 1 t1i a i=0 - u (u + u1 )+ + u1 - 2u m2 lan m1 lan Tính toán qua m2 m1 bước , ta có : m1 1 m1 1 m1 1 i=0 i=0 i=0 m u + m1u1 = - t 2m2 t1i a - t 2m2 1 t1i a - - t 21 t1i a m1 m 1 i= -1 i=0 m1u1 +m u - t1i t i2 a + m1u1 +m u Từ , suy tổng phần tử b1 , b2 B : bi = a i + mi u1 + mi' u ; a i A , mi , mi' Z tiếp tục m1 m 1 m1' m1 m1' m1 j a1 + t1 t a - t1 t1i t a +(m1 + m )u1 + (m1' + m '2 )u ; i=0 j=-1 m1' < , m m2 m1' m1 m1' m1 j i a1 + t1 t a + t1 t1 t a + (m1 + m )u1 +(m1' + m 2' )u ; i=-1 j=-1 m1' , m < b1 + b = m 1 m1' 1 m1 m1' m1 j a1 + t1 t a + t1 t1i t a +(m1 + m )u1 +(m1' + m'2 )u ; i=0 j=0 m1' , m m m1' 1 m1 m1' m1 j a1 + t1 t a - t1 t1i t a +(m1 + m )u1 +(m1' + m '2 )u ; Phần tử a0 i=-1 j=0 m1' , m < không bất biến : Nếu ( u1' ) = t1 , u1' B ( u1' - u1) = ( u '2 )= t2 , u '2 B ( u '2 - u2 ) = u1' = a1 + u1 u '2 = a + u ; a1 , a A Khi , u '2 + u1' = a + u + a1 + u1 a + t a1 + u + u1 = a + t a1 + a + u1 + u = a + t a1 + a - a1 + a1 -t1a +( t1a + u1 )+ u = a + t a1 + a - a1 -t1a + a1 + u1 + a + u = = a + t a1 + a - a1 -t1a + u1' + u '2 = a 0' + u1' + u '2 Với a '0 = a2 + t2 a1 + a0 – a1 – t a1 = a0 + a2 + t2 a1 – a – t a1 Đặt S = < a2 + t2 a1 – a1 – t 1a1 > , S nhóm chuẩn tắc A Thiết lập tương ứng : : A Opext ( , A , ) S E a ánh xạ : E E’ ( E ) = ( E’) Thật : Giả sử E : A B E' : ' ' A B' vaø E E’ nghóa biểu đồ sau giao hoán : A B E: ' ' A B' 1 Goïi u1 , u đại diện t1 , t B : ( E ) = a0+ S u1' , u '2 đại diện t1 , t B’: ( E’)= a '0 + S E' : u2 + u1 = a0 + u1 + u2 u '2 + u1' = a '0 + u1' + u '2 Vì đẳng cấu nên ! b1 B : ( b1 ) = u1' ! b2 B : ( b1 ) = u '2 Ta laïi coù : ’( b1 ) = ( b1 ) = ’( u1' ) = t1 = ( u1 ) ’( b2 ) = ( b2 ) = ’( u '2 ) = t2 = ( u2 ) a , a A : b1 = a + u1 b2= a2 + u2 u '2 + u1' = a '0 + u1' + u '2 ( b2 + b1 ) = a '0 + ( b1 + b2 ) a '0 = ( b2 + b1 – ( b1 + b2 )) = = ( a2 + u2 + a1 + u1 – ( a1 + u1 + a2 + u2 )) = = ( a2 + t2a1 + a0 + u1 + u2 – u2 – u1 – a1 – t1a2 ) = = ( a2 + t2a1 + a0 – a1 – t1a2 ) = ( a0 ) + ( a2+t2a1–a 1– t1a2 ) = a '0 + S = a0 + S Hay ( E ) = ( E’) = a0 + s đơn ánh : giả sử ( E ) = a0 + S vaø ( E’) = a '0 + S maø ( E ) = ( E’) a0 + S = a '0 + S a '0 - a0 S s S , s = k ( a2+ t2a1– a1– t1a2 ) , k Z , a1 , a A Goïi u1 , u đại diện t1 , t B u1' , u '2 đại diện t1 , t B’ Maø u2 + u1 = a0 + u1 + u2 u '2 + u1' = a '0 + u1' + u '2 Trong B thay đại diện cho t1 u1" = ka1 + u1 t2 laø u"2 = ka2 + u2 ( với a1 , a2 ) u"2 + tử Z B dạng a + m1 u1" + m1' u"2 u1" a '0 + , u1" + a , thay đại diện cho u "2 biểu diễn phần A , m1 m1' A B E: Trong biểu đồ : ' ' A B' 1 Xác định ( a + m1 u1" + m1' u"2 ) = a + m1 u1' + m1' u '2 ánh xạ đồng cấu : giả sử với m1' , m2 : bi = a i + mi u1 + mi' u ; a i A , mi , mi' Z ( b1 + b2 ) = ( a1 + m1u1" + m1' u"2 + a + m u1" + m 2' u"2 ) = E' : = [a1 + ' t1m1 t 2m1 a + t1m1 m 1 m1' 1 t1i t 2j a 0' +(m1 +m2 )u1" + (m1' +m'2 )u"2 ] i0 j=0 ' m 1 m1 1 m1 m1' m1 = a1 + t1 t a + t1 t1i t 2j a 0' +(m1 +m )u1' + (m1' +m 2' )u 2' i 0 j=0 ' ( b1 ) + ( b ) = a1 + m1u1 + m1' u '2 + a + m u1' + m'2 u '2 = = a1 + ' t1m1 t 2m1 a + t1m1 m 1 i0 t1i m1' 1 t 2j a 0' + (m1 +m )u1' + (m1' +m'2 )u '2 j=0 Vaäy ( b1 + b2 ) = ( b1 ) + ( b2 ) Hoàn toàn tương tự trường hợp lại m1' , m2 Và a + m1 u1" + m1' u "2 B : ’ (a + m1 u1" + m1' u "2 ) = = ’ ( a + m1 u1' + m1' u '2 ) = ’ ( a )’( m1 u1' ) ’( m1' u '2 ) = ' ' = 1[’( u1' )]m1 [’( u '2 )]m1 = [ ( u1" )]m1 [ ( u"2 )]m1 = = ( m1 u1" + m1' u"2 ) = ( a ) ( m1 u1" + m1' u"2 ) = = ( a + m1 u1" + m1' u "2 ) ’ = Vậy biểu đồ E E’ giao hoán Hay E E’ toàn ánh : Với a A S , lấy phần tử đại diện a0 Laáy B = { ( a , m , m’) ; a A , m , m’ Z } xác định phép tóan cộng sau : bi = ( a i , mi , mi' ) ; a i A , mi , mi' Z , i = , m 1 m1' 1 m1 m1' m1 j (a1 + t1 t a + t1 t1i t a , m1 + m , m1' + m '2 ;m1' ,m i=0 j=0 m2 m1' 1 m1 m1' m1 j i ' ' ' (a1 + t1 t a - t1 t1 t a ,m1 + m ,m1 + m ; m1 0,m = < > Vaäy : Opext ( C x C , Q , 1 ) Q Tìm Opext ( C x C , Q , ) với đồng cấu : C x C Q t1 Thì q1 , q2 Q: ( t ) q1 = - q1 t -1 = t2 q1 , ( t1 ) q = t1 q = q , vaø t n2 q = (t n2 q ) = (-1) n q Do ñoù : S = < q + t q1 - t1 q - q1 > = < -2q1 > = Q Vaäy : Opext ( C x C , Q , ) Q = { } Q Nghóa Opext ( C x C , Q , 2 ) có mở rộng : 0 E : Q Q x C x C C x C , với : m m' 0q = ( q , 1.1 ) ; ( q , t1m t m' ) = t1 t Và phép cộn g Q x C x C xác định : ( q1 , t1m t 2m' ) + ( q , t1n t 2n' ) = (q1 +(-1) m'q , t1m+n t 2m'+n' ) Tìm Opext ( C x C , Q , ) với đồng cấu : : C x C Q t1 -2 t2 Thì q1 , q2 Q: ( t ) q1 = q1 = t2 q1 , ( t1 ) q = t1 q = -2 q , : S = < q + t q1 - t1 q - q1 > = < q + q1 + q - q1 > = = < q + q1 > = Q Vaäy : Opext ( C x C , Q , ) Q {0} Q Nghóa laø Opext ( C x C , Q , 2 ) có mở rộng : 0 E : Q Q x C x C C x C , với : 0q = ( q , , ) ; ( q , t1m t 2m' ) = t1m t 2m' Và phép cộng Q x C x C xác định : ( q1 , t1m t 2m' ) + ( q , t1n t 2n' ) = (q1 +(-2)m 5m'q , t1m+n t 2m'+n' ) Ví dụ : Xét A = Z12 Thì : Aut Z12 = { Id , f1 (1) , f (1) = , f3 (1) = 11 } – nhóm abel Có tất 16 đồng cấu từ C x C Aut Z12 Ta xét Opext vài đồng cấu : Tìm Opext ( C x C , Z12 , ) với đồng cấu : : C x C Aut Z12 t1 Id t Id Thì a1 , a Z12 , ( t ) a1 = a1 , ( t1 ) a = a , : S = < a + t a1 - t1 a - a1 > = < > Vaäy : Opext ( C x C , Z12 , ) Z12 Nghóa Opext ( C x C , Q , 2 ) có 12 mở rộng : i i E i : Z12 Bi C x C , với : Bi { ( a, m , m') ; a Z12 ; m , m' Z } i a ( a , , ) ; i ( a, m , m' ) = t1m t 2m' Và phép cộng Bi xác định : b1 = ( a1 , m,m') , b = (a ,n,n') Bi , i = , , ,11 (a1 + a + m'ni , m + n , m' + n') ; nm' b1 + b = (a1 +a + 12+m'ni , m + n , m' + n') ; nm' < Tìm Opext ( C x C , Z12 , ) với đồng cấu : : C x C Aut Z12 t1 Id t f1 Thì a1 , a Z12 , ( t ) a1 = 5a1 , ( t1 ) a = a , : S = < a + t a1 - t1 a - a1 > = < 4a1 > = < a1 > = Z12 = { 0, 4,8 } Vaäy : Opext ( C x C , Z12 , ) Z12 4Z12 Nghóa Opext ( C x C , Q , 2 ) có 10 mở rộng : i i E i : Z12 Bi C x C , với : Bi { ( a, m , m') ; a Z12 ; m , m' Z } i a ( a , , ) ; i ( a, m , m' ) = t1m t 2m' Và phép cộng Bi xác định : b1 = ( a1 , m,m') , b = (a ,n,n') Bi , i = 0,1,2,3,5,6,7,9,10,11 m'-1 m' j (a ; n , m' + a + n i , m + n , m' + n') -m' (a1 +5m' a +12+n ji , m + n , m' + n') ; n 0, m' < b1 + b = m'-1 m' a +12+n (a + ji , m + n , m' + n') ; n< , m' -m' ; n , m' < (a1 +5m' a n j i , m + n , m' + n') Tìm Opext ( C x C , Z12 , ) với đồng cấu : : C x C Aut Z12 t1 f t f1 Thì a1 , a Z12 , ( t ) a1 = 5a1 = t a1 , ( t1 ) a = 7a = t1 a , ñoù : S = < a + t a1 - t1 a - a1 > = 4a1 6a = < 4a1 - 6a > = < 2a1 - 3a > Vì ( , -3 ) = nên a1, a2 Z : 2a1 – 3a2 = 2a1 – 3a2 1 ( mod 12 ) hay 2a1 - 3a , a1 , a Z12 < 2a1 - 3a = Z12 S = Z12 Vaäy : Opext ( C x C , Z12 , ) Z12 2Z12 {0,1,3, 5, 7, 9,11} Nghóa Opext ( C x C , Q , 2 ) có mở rộng : i i E i : Z12 Bi C x C , với i { 0,1,3,5,7,9,11} Bi { ( a, m , m') ; a Z12 ; m , m' Z } i a ( a , , ) ; i ( a, m , m' ) = t1m t 2m' Và phép cộng Bi xác định : b1 = ( a1 , m , m') , b = (a , n , n') Bi , i = 0,1,3,5,7,9,11 n-1 m'-1 n m' m k j (a + a +7 i , m + n , m' + n') ; n , m' 0 n-1 -m' (a1 +7 n 5m' a +12-7m 7k ji,m+n,m'+n') ; n 0, m'