Đang tải... (xem toàn văn)
+ Chân đường vuông góc trong bài toán là điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ về khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SAC thành khoảng cách từ H đến SAC .. Gọi I là trung điểm củ[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: KHAI THÁC CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CỦA HÌNH CHÓP ĐẾN MẶT BÊN Người viết: Trần Mạnh Tường THPT Chu Văn An – Thanh Hoá I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM: Nếu hình chóp S ABC có SA ABC thì d A; SBC SAd A; BC 1 d A ; SBC hay SA2 d A; BC SA2 d A; BC Chứng minh: Trong tam giác ABC , dựng đường cao AK S Trong tam giác SAK , dựng đường cao AH Khi đó H BC SA BC SAK BC AH BC AK AH SBC d A; SBC AH C A K B Trong tam giác vuông SAK có 1 1 1 2 2 2 AH SA AK SA d A; BC d A; SBC Đặc biệt: Nếu hình chóp S ABC có SA ABC và AB AC ( A là đỉnh tam diện vuông) thì d A; SBC 1 2 AS AB AC Bình luận: +) Sử dụng công thức khoảng cách phía trên giúp chúng ta không phải suy nghĩ dựng hình chiếu điểm lên mặt phẳng +) Khi gặp bài toán tính khoảng cách mà xuất chân đường vuông góc thì ta xử lí để đưa bài toán tính khoảng cách từ chân đường vuông góc đó tới mặt phẳng cần tính (2) II VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A 5a 5a B C 2a D 5a Lời giải Chọn A S Ta có d A; SBC SAd A; BC 2a SA2 d A; BC SA.AB a.2a 2a 2 2 SA AB a 4a C A a B Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có SA ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật Biết AD 2a , SA a Khoảng cách từ B đến SCD bằng: A 3a B 3a 2 C 2a 5 D 2a 3 Lời giải Chọn C S Nhận xét: Chân đường vuông góc bài toán là điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để a chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng A D cách từ A đến SCD Ta thấy d B; SCD d A; SCD SA.AD SA2 AD SAd A;CD SA2 d A;CD a.2a a 4a 2a 5 B 2a C (3) Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a , SA SB SC SD a Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD A a B a C 2a D a Lời giải Chọn C S a A D M O B C 2a Nhận xét: Chân đường vuông góc bài toán là điểm O , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng cách từ O đến SCD Gọi O AC BD Do SA SB SC SD SO AC nên các tam giác SAC , SBD cân S SO ABCD SO BD Ta có d B; SCD 2d O; SCD Và d O; SCD SO.d O;CD SO d O;CD 2 SA2 AO OM SA AO OM d B; SCD 2d O; SCD 2a SO.OM SO OM a 3.a 3a a 2 a (4) Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC có ABC cạnh a Cạnh bên SA a và vuông góc với ABC Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC A a B a 15 C a D a Lời giải S Chọn B Ta có d A; SBC SAd A; BC a SA2 d A; BC a A a a 15 15 3a 3a a C a a B Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ABCD , SA a Gọi G là trọng tâm tam giác ABD , đó khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SBC A a B a C a a D Lời giải Chọn B S Nhận xét: Chân đường vuông góc bài toán là điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ G đến SBC thành khoảng a cách từ A đến SBC A d G ; SBC d A; SBC SAd A; BC Ta có SA2 d A; BC a.a a 2 a a D G a B O a C (5) Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , BAD 60o , SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến SCD bằng? A 21a B 15a 21a Lời giải C 15a D Chọn C S Nhận xét: Chân đường vuông góc bài toán là điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng cách từ A đến SCD a A Ta có: d B; SCD d A; SCD a SAd A;CD a SA d A;CD D 60 O B C a a a 21 2 3a SA d B;CD a SAd B;CD a Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , AB BC a, AD 2a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AD và SH a Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD A d 6a C d B d a Lời giải 6a Chọn C S Nhận xét: Chân đường vuông góc bài toán là điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ a khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SCD thành khoảng cách từ H đến SCD Ta có d B; SCD d H ; SCD a a 2 a 2 6a 2a SH d H ;CD 4 SH d H ;CD 15a D d A H a a a B a M a C D (6) Ví dụ 8: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh 2a và SCA 900 Biết góc đường thẳng SA và mặt đáy 450 Tính khoảng cách SBA từ điểm B đến mặt phẳng SAC A 15 a B 15 a C 15 a D 51 a Lời giải Chọn B Nhận xét: +) Trong bài toán chưa có chân đường vuông góc, nên ta cần tìm và chứng minh chân đường vuông góc đó chính là trọng tâm H tam giác đáy +) Chân đường vuông góc bài toán là điểm H , nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến SAC thành khoảng cách từ H đến SAC Gọi I là trung điểm SA Tam giác SAB và SAC là các tam giác vuông B,C IS IA IB IC I là S tâm mặt cầu I ngoại tiếp tứ diện S ABC Gọi H là trọng tâm tam giác ABC IH ABC M C Ta có H d B; SAC 3.d H ; SAC HA.HM HA2 HM HI HM HI HM 2a 2a B 2a 2a 2 2a 15 45 A (7) Ví dụ 9: (Mã 102-2020 Lần 1) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác cạnh a và AA 2a Gọi M là trung điểm CC (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC A a B 5a C 57a 19 D 57a 19 Lời giải Chọn D Nhận xét: Nhận thấy điểm A cùng với A’, B, C tạo thành hình chóp có A là chân đường vuông góc nên ta cần sử dụng tỉ lệ khoảng cách để chuyển khoảng cách từ M đến A ' BC thành khoảng cách từ A đến A ' BC Ta có : d M ; A ' BC d C '; A ' BC d A; A ' BC AA '.d A; BC AA '2 d A; BC a a 57 19 3a 4a 2a (8) Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A B C D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC 600 , AA 2a , hình chiếu vuông góc điểm A trên mặt phẳng A B C D là trọng tâm tam giác A B C Gọi M là điểm di động trên cạnh BB Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng CDD C là A 165a 30 B 165a 15 C 165a 15 D 165a Lời giải Chọn C Gọi G và G là trọng tâm các tam giác ADC và A B C Từ giả thiết suy ra: AG ' A B C D và C G ABCD Do đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC 600 nên các tam giác A B C và ADC là các tam giác Ta có ABB A CDD C d M , CDD C d A, CDD C 3d G, CDD C GC '.GH GC '2 GH a a a 11 với GH ; C 'G AG AA2 A G 2 4a Thay vào (*), ta có d M , CDD C a 165 15 * (9) Ví dụ 11: (Đề tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông A , AB 2a , AC 4a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a (hình minh họa) Gọi M là trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SM và BC A 2a B 6a 3a C D a Lời giải Chọn A Nhận xét: Đây là dạng toán tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta vận dụng ý tưởng đưa tính khoảng cách từ điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng đó và song song với đường thẳng còn lại Gọi N là trung điểm AC , ta có: MN //BC nên ta BC // SMN Do đó d BC , SM d BC , SMN d B, SMN d A, SMN Tứ diện ASMN vuông A nên ta có: 1 1 1 2a h 2 2 h AS AM AN a a 4a 4a Vậy d BC , SM 2a (10) Ví dụ 12: (Đề Minh Hoạ 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang, AB 2a , AD DC CB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 3a (minh họa hình bên) Gọi M là trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SB và DM 3a A B 3a C 13a 13 D 13a 13 Lời giải Chọn A Nhận xét: Đây là dạng toán tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta vận dụng ý tưởng đưa tính khoảng cách từ điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng đó và song song với đường thẳng còn lại S Ta có : 3a d DM , SB d DM , SBC d M , SBC d A, SBC A; BC SAd SA.2d M ; BC SA2 d A; BC SA2 4d M ; BC a 3a 9a 3a 3a a A M a B a a a D a C (11) Ví dụ 13: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông A với AC a Biết BC hợp với mặt phẳng AA C C góc 30o và hợp với mặt phẳng đáy góc cho sin Gọi M , N là trung điểm cạnh BB và A C Khoảng cách MN và AC là: A a a B C a D a Lời giải Chọn A Ta có MNP / / ABC ' A' d MN ; AC ' d MN ; ABC ' d M ;ABC ' 1 CC '.CA d C ; ABC ' 2 CC '2 CA2 A 30o +) Ta có: BC , AAC C BC P 3a x M A CC BC tan a α B AC AB.cot 30o 3x +) Mặt khác ta có: AC CC 2 AC 2 x a CC a 3; AB a 30 B' * BC +) Mặt khác BC , ABC C +) Gọi AB x BC 3a x C' N a 3.a a Thay vào (*), ta có: d MN ; ABC ' 3a 3a C (12) Ví dụ 14: Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA SB SC a , SAB 30 , 60 , SCA 45 Tính khoảng cách d đường thẳng AB và SD ? SBC A 4a 11 11 B a 22 22 C a 22 11 D 2a 22 11 Lời giải Chọn C S a a a A D a a H B C a 60 nên SBC đều, đó BC a Do SB SC a và SBC Lại có SA SC a và SCA 45 nên SAC vuông cân S , suy AC a 30 nên AB 2.SA.cos 30 a SA SB a và SAB Do đó AB BC AC , suy ABC vuông C Gọi H là trung điểm AB Khi đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Vì SA SB SC nên SH ABC Lại có CH 3a a AB nên SH SC CH a Ta có d AB, SD d AB, SCD d H , SCD SH d H ;CD SH d H ;CD Trong đó d C ; AB Vậy d AB, SD CACB CA2 CB a 22 11 a 2.a 2a a a SH d C ; AB SH d C ; AB * (13) BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A , biết SA ABC và AB 2a , AC 3a , SA 4a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC A d 2a 11 B d 6a 29 29 C d 12a 61 61 D a 43 12 Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a và chiều cao a Tính khoảng cách d từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên theo a A d 2a B d a C d a D d a Bài 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , d1 khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC , d2 khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC Khi đó d1 d2 có giá trị A 2a 11 B 2a 33 C 22a 33 D 2a 11 Bài 4: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông A, AC a, I là trung điểm SC Hình chiếu vuông góc S lên ABC là trung điểm H BC Mặt phẳng SAB tạo với ABC góc 60 Tính khoảng cách từ I A 3a B 3a đến mặt phẳng SAB C 5a D 2a Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AB 2a Tam giác SAB vuông S , mặt phẳng SAB vuông góc với ABCD Biết góc tạo đường thẳng SD và mặt phẳng SBC , với sin A 2a B a Tính khoảng cách từ C đến SBD theo a C 2a D a Bài 6: Cho hình chớp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a , ABC 60 , mặt bên SAB là tam giác Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm AO Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và CD A a 560 112 B a 560 10 C a 560 D a 560 28 (14) Bài 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông A và D , SA ABCD ; AB 2a , AD CD a Gọi N là trung điểm SA Tính khoảng cách đường thẳng SC và DN , biết thể tích khối chóp S ABCD A a B a C a3 a D a 10 Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ABCD trùng với O Biết tam giác AA C vuông cân A Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng ABB A A h a B h a C h a D h a Bài 9: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân B , AB a Gọi M là trung điểm AC Biết hình chiếu vuông góc S lên mp ABC là điểm N thỏa mãn BM 3MN và góc hai mặt phẳng SAB và SBC 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SM theo a A 17a 68 B 17a 51 C 17a 34 D 17a 17 Bài 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có độ dài cạnh bên a , đáy ABC là tam giác vuông A , AB a, AC a Biết hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng ABC là trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AA và B C bằng: A a Bài C B Bài D 3a C a Bài Bài Bài Bài Bài C A A D A D Bài D a Bài Bài 10 D D (15)