Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm trên C các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị hàm Ví dụ 8.Cho hàm số số tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị hàm số.. Cho hàm số.[r]
(1)Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) xác định trên D, với D là khoảng, đoạn nửa khoảng 1.Hàm số y f ( x) gọi là đồng biến trên D x1 , x2 D, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 2.Hàm số y f ( x) gọi là nghịch biến trên D x1 , x2 D, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng D 1.Nếu hàm số y f ( x) đồng biến trên D thì f '( x) 0, x D 2.Nếu hàm số y f ( x) nghịch biến trên D thì f '( x) 0, x D III.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: a, b và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn ít 1.Định lý Nếu hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn điểm c (a, b) cho: f (b) f (a ) f '(c)(b a ) 2.Định lý Giả sử hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng D 1.Nếu f '( x) 0, x D và f '( x ) 0 số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số đồng biến trên D 2.Nếu f '( x) 0, x D và f '( x ) 0 số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịch biến trên D 3.Nếu f '( x) 0, x D thì hàm số không đổi trên D PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1.Xét chiều biến thiên hàm số y f ( x) *Phương pháp : Xét chiều biến thiên hàm số y f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số y f ( x) 2.Tính y ' f '( x) và xét dấu y’ ( Giải phương trình y’ = ) 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Ví dụ : Xét tính biến thiên các hàm số sau: 3x 1.y = -x3+3x2-3x+1 y= x y= 2x4 +5x2 -2 y= (x+2)2(x-2)2 y x2 x x 1 y x2 2x x 10 y x2 x x 1 y x x 10 9.y= x x 10.y=2x + x 11.y = x + cosx trên khoảng (0; ) ; 13.y= x.tanx trên khoảng ( 2 ) 12 y= sin2x - x trên khoảng (0; ) 14.y = -6sinx +4tanx -13x trên (0; ) Dạng Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước Ví dụ: 1.Tìm m để hàm số y= 2x3-3mx2+2(m+5)x-1 đồng biến trên R (2) x2 x m 2.Tìm m để hàm số y= mx đồng biến R 3.Tìm m để hàm số y= 3mx+ x đồng biến trên R 4.Tìm m để hàm số y f ( x) mx x ( m 2) x nghịch biến trên R 2 Tìm m để hàm số y f ( x) x (m 1) x (m 2) x m nghịch biến trên R 1 m y f ( x) x m x m x Tìm m để hàm số nghịch biến trên R y f ( x) m 1 x3 mx 3m x Tìm m để hàm số tăng trên R 8.Tìm m để hàm số y= 3x -2x +mx-4 tăng trên (-1; ) 9.Tìm m để hàm số y= 4mx3-6x2+(2m-1)x+1 tăng trên (0;2) mx x x2 10.Tìm m để hàm số y= giảm trên [1; ) 11.Tìm m để hàm số y=mx -4x +2m-1 giảm trên (0;3) 12.Tìm m để hàm số y= x3+3x2+(m+1)x+4m giảm trên (-1;1) x 3x m ; x 1 13.Tìm m để hàm số y= giảm trên ( ) x mx 2m x2 14.Cho hàm số y= a.Tìm m để hàm số tăng trên khoảng xác định b.Tìm m để hàm số giảm trên khoảng (a;b) với b-a =2 15.Tìm giá trị tham số m để hàm số sau nghịch biến trên đoạn có độ dài y f ( x ) x 3x mx m y f ( x) x m 1 x m 3 x 0,3 16 Tìm m để hàm số tăng trên 17 Tìm m để hàm số y f ( x) x x m 1 x 4m giảm trên 1,1 mx x m giảm trên khoảng ,1 18 Tìm m để hàm số 1 y f ( x) mx3 m 1 x m x 3 tăng trên 2, 19 Tìm m để hàm số x m 1 x 4m 4m y f ( x) x m 1 0, 20 Tìm m để hàm số đồng biến trên Dạng Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT y f ( x) Ví dụ: x 3x x x ( ĐK x3+3x 0 x 0 ) 2.Giải phương trình x5+x3- 3x +4=0 1.Giải phương trình x x 3.Giải phương trình Giải phương trình sinx =x x ( x 1) 5.Tìm m để phương trình có nghiệm x x m 6.Tìm để phương trình có nghiệm m x - x = (3) x2 x2 cos x y f ( x) 1 cos x 2 7.Chứng minh (HD xét hàm số ) 2 x x x : e x x y f ( x ) e x x 2 8.Chứng minh (HD xét hàm số ) x x (0; ) : tan x x 9.Chứng minh x4 y4 4 ( HD xét hàm số y f ( x) x (1 x) ) 10.Chứng minh : Nếu x y 1 thì 2 x y y y y z z z z x3 x x 11.Giải hệ phương trình x y z 1 HD Xét hàm đặc trưng y f ( x) t t t , t Chứng minh hàm số tăng trên R ĐS x y z x :1 y3 x sin y z3 y sin z x3 z sin x 12.Giải hệ phương trình Chủ đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) xác định trên D và x0 D x0 gọi là điểm cực đại hàm số y f ( x) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho (a, b) D và f ( x ) f ( x0 ), x (a, b) \ x0 Khi đó f ( x0 ) gọi là già trị cực đại hàm số và M ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm cực đại hàm số x x gọi là điểm cực tiểu hàm số y f ( x) tồn (a,b) chứa điểm cho (a, b) D và f ( x ) f ( x0 ), x (a, b) \ x0 Khi đó f ( x0 ) gọi là già trị cực tiểu hàm số và M ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm cực tiểu hàm số 3.Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị hàm số II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số y f ( x) có cực trị x0 Khi đó, y f ( x) có đạo hàm điểm x0 thì f '( x0 ) 0 III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : 1.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y f ( x) liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a, x0 ) và ( x0 , b) Khi đó : + Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại x0 2.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) (4) Giả sử hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó: + Nếu f ''( x0 ) thì hàm số đạt cực đại điểm x0 + Nếu f ''( x0 ) thì hàm số đạt cực tiểu điểm x0 PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Tìm cực trị hàm số *Phương pháp1 (Quy tắc 1)Tìm cực trị hàm số y f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) và giải phương trình f '( x) 0 tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Ví dụ1: Dùng quy tắc tìm cực trị hàm số 1 y = x3+x2-3x+2 3x y = x y= 2x2 x y = x x x2 x 2 x 1 y = 2 11 y ( x 2) ( x 2) 2.y = x4+2x2-3 x 3x 4.y = x y=(2x+1) x 2x y= x2 x 1 10 y x x x 25 12 y 15 x 15 x *Phương pháp (Quy tắc 2)Tìm cực trị hàm số y f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) và giải phương trình f '( x) 0 tìm nghiệm xi (i 1, 2,3 ) thuộc tập xác định 3.Tính f ''( x) và f ''( xi ) 4.Kết luận +Nếu f ''( xi ) thì hàm số đạt cực đại điểm xi +Nếu f ''( xi ) thì hàm số đạt cực tiểu điểm xi Ví dụ 2: Dùng quy tắc II tìm cực trị hàm số 1.y= 3x5-20x3+1 3.y = cos23x 5.y = -2sin3x+3sin2x-12sinx y x x y x 3x 2 y = x x x x sin cos 2 y = y= sin3x + cos3x ( x 2 ) x3 y x2 y s inx cos x, x , 10 Dạng Một số bài toán liên quan đến điểm cực trị đồ thị hàm số (5) Dạng 2.Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trước VD1: Tìm điều kiện m cho : y= x3-mx2+2(m+1)x-1 đạt cực đại x= -1 x mx x m y= đạt cực tiểu x=2 2 y= x mx 2m đạt cực đại x= VD2:Cho hàm số y= x3-(7m+1)x2+16x-m Tìm m để a Hàm số có cực đại và cực tiểu b Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu x1,x2 (1; ) VD3:Cho hàm số y= x3-mx2+(m+36)x-5 Tìm m để a Hàm số không có cực trị x x 4 b Hàm số đạt cực đại ,cực tiểu các điểm x1,x2 và 2 x mx 2m x 1 VD3:Cho hàm số y= Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu VD4:Cho hàm số y= 2x -3(2m+1)x +6m(m+1)x+1 Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y=x+2 VD5: Cho hàm số y= x3-3x2-mx+2 Tìm m để a Hàm số có cực đại ,cực tiểu khoảng (0;2) b Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đường thẳng y=x-1 x (3m 1) x 4m y 2x VD6:Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng : x y 0 VD1: Cho hàm số y= x3+mx2-x a CMR hàm số có cực đại cực tiểu với m b Xác định m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) y=-2x x (3m 2) x m x VD2:Cho hàm số y= a Tìm m để hàm số có CĐ,CT và CĐ,CT và điểm M(-2;1) thẳng hàng b Tìm m để hàm số có CĐ,CT và trung điểm đoạn nối điểm CĐ,CT cách gốc O khoảng 3 VD3.Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Tìm giá trị tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu 2 (C) hai phía khác đường tròn : x y 2mx 4my 5m 0 4 VD4.Cho hàm số y x 2mx 2m m Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác x mx y x Tìm để điểm cực tiểu đồ thị hàm số nằm trên Parabol (P) y x x VD5.Cho hàm số x ( m 2) x 3m x 1 VD6.Cho hàm số a Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu y b Giả sử hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu là yCĐ , yCT Chứng minh : 2 VD7.Cho hàm số y x (2m 1) x (m 3m 2) x 2 yCD yCT (6) a Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía khác trục tung b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu VD8.Cho hàm số y 2 x 3(2m 1) x 6m(m 1) x 1 a.Chứng minh với giá trị tham số m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu x1 , x2 và x2 x1 không phụ thuộc vào tham số m b.Tìm m để yCD 1 y f ( x) x3 mx2 x m VD9.Cho hàm số Chứng minh với m hàm số đã cho luôn có cực đại cực tiểu Hãy xác định m để khoảng cách hai điểm cực trị là nhỏ x 2(m 1) x m 4m y f ( x) x2 VD10.Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ( A – 2007) y f ( x) mx x Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực tiểu VD11.Cho hàm số đồ thị hàm số đền tiệm cận xiên (A – 2005) 2 VD12.Cho hàm số y f ( x) x x 3(m 1) x 3m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách gốc tọa độ O ( B – 2007) x ( m 1) x m y f ( x) x 1 VD13.Cho hàm số (Cm) CMR với m (Cm) luôn có cực đại cực tiểu và khoảng cách hai điểm cực trị 20 ( B – 2005) VD14.Cho hàm số y f ( x ) x (2m 1) x (2 m) x Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương ( CĐ – D – 2009) VD15 Cho hàm số y x 2(m 1) x m (1) m là tham số a.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C cho OA=BC; đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại ( B – 2011) Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) xác định trên D 1.Nếu tồn điểm x0 D cho f ( x) f ( x0 ), x D thì số M f ( x0 ) gọi là giá trị lớn M Max f ( x) xD hàm số f(x) trên D, ký hiệu x D, f ( x) M M Max f ( x) xD x0 D, f ( x0 ) M Như Nếu tồn điểm x0 D cho f ( x) f ( x0 ), x D thì số m f ( x0 ) gọi là giá trị nhỏ m Min f ( x ) xD hàm số f(x) trên D, ký hiệu x D, f ( x) m m Min f ( x) xD x0 D, f ( x0 ) m Như II.Phương pháp tìm GTLN,GTNN hàm số : Cho hàm số y f ( x) xác định trên D Bài toán 1.Nếu D (a, b) thì ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: (7) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) và giải phương trình f '( x) 0 tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận D a, b Bài toán Nếu thì ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) và giải phương trình f '( x) 0 tìm nghiệm x1 , x2 thuộc tập xác định 3.Tính f (a ), f ( x1 ), f ( x2 ) f (b) M Max f ( x) m Min f ( x ) x a ,b x a ,b 4.Kết luận: Số lớn là và số nhỏ là Bài toán 3.Sử dụng các bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki, … Bài toán 4.Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình, tập giá trị hàm số PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Tìm GTLN, GTNN hàm số Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( có ) các hàm số sau: y f ( x) x x 2 y f ( x ) x x (B-2003) x 1 y f ( x) x trên 1, (D-2003) , y f ( x) 5cos x cos5x trên 4 3x x trên 0; 2 ln x y f ( x) x trên 1, e (B-2004) x 10 x 20 y f ( x) x x (SPTPHCM2000) y f ( x) y f ( x) 1 3sin x cos x y f ( x) s inx cosx 10 y f ( x) 2cos x cosx-3 11 y x x x x 2 x x 1 y x 1 13 trên ( 1, ) y x3 3x 2, 4 15 trên 12 y 2sin x.cos x sin x cos x 13 0, y x x 3x 14 trên đoạn 16 y sin x cos x 3sin x Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN hàm số có chứa tham số y x2 2x a 2,1 đạt GTLN .Tìm a để giá trị lớn hàm số trên 4 VD2 Cho hàm số y f ( x ) sin x cos x m sin x.cos x Tìm m cho giá trị lớn hàm số k cos x y cos x Tìm k để giá trị nhỏ hàm số nhỏ -1 VD3 Cho hàm số ax +b y f ( x) x có giá trị lớn và giá trị nhỏ VD4 Tìm các giá trị tham số a,b cho hàm số -1 y f ( x) x x 2a VD5.Cho hàm số với x 4 Xác định a để giá trị lớn hàm số đạt giá trịDạng nhỏ dụng bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 3.Ứng VD1 Cho hàm số (8) VD1 Một tôn hình vuông cạnh a Người ta phải cắt bỏ bốn hình vuông bốn góc để gò thành bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp, cạnh hình vuông cắt bao nhiêu thì bể có thể tích lớn a ĐS Cạnh hình vuông cắt VD2 Tìm các kích thước hình chữ nhật có diện tích lớn nội tiếp đường tròn bán kính R cho trước ĐS.Các kích thước hình chữ nhật là R (hình vuông) VD3 Trong các khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy xác định khối trụ có thể tích lớn 2R h2 h r R2 bán kính đáy ĐS.Hình trụ có chiều cao 2 VD4 Cho đường (C) có phương trình x y R Hãy tìm các điểm H trên (C) cho tiếp tuyến đó cắt hai trục tọa độ A và B có độ dài đoạn AB nhỏ VD5 Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ ngoại tiếp đường tròn bán kính R cho trước 2( xy y ) P 2 xy x VD6 Cho x y 1 Tìm Max, Min biểu thức 2 2 , MinP 2 ĐS x y P 1 x 1 y VD7.Cho x, y và x y 1 Tìm Min biểu thức 2 3 VD8.Cho hai số thực thay đổi x, y thõa mãn x y 2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P 2( x y ) xy MaxP ( CĐ Khối A – 2008) 2( x xy ) P 2 xy y VD9 Cho hai số thực thay đổi x,y thõa mãn x y 1 Tìm GTLN, GTNN biểu thức ( ĐH Khối B – 2008) VD10.Cho hai số thực không âm x, y thay đổi và thõa điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn 2 biểu thức P (4 x y )(4 y 3x) 25 xy ( ĐH Khối D – 2009) Chủ đề ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Đường tiệm cận đứng Đường thẳng (d): x x0 gọi là đường tiệm cận đứng đồ thị (C) hàm số y f ( x) lim f ( x ) x x0 lim f ( x) x x0 lim f ( x ) lim f ( x ) Hoặc x x0 x x0 2.Đường tiệm cận ngang Đường thẳng (d): y y0 gọi là đường tiệm cận ngang đồ thị (C) hàm số y f ( x) lim f ( x ) y0 lim f ( x ) y0 x x 3.Đường tiệm cận xiên Đường thẳng (d) y ax b(a 0) gọi là tiệm cận xiên đồ thị (C) đồ thị hàm số y f ( x) lim f ( x) (ax b) 0 lim f ( x ) (ax b) 0 x x Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f ( x) Đường thẳng (d) y ax b(a 0) là tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f ( x) và (9) f ( x) f ( x) ; b lim f ( x) ax a lim ; b lim f ( x ) ax x x x x x x PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số a lim Ví dụ Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: 2x x2 2x y f ( x) y f ( x) x 1 x2 2 3x y f ( x) y f ( x) 5 x x 27 Ví dụ Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số sau: 3x x y f ( x) 2 x y f ( x) x 1 3x 1 2 x3 x x2 x 1 Ví dụ 3.Tìm các tiệm cận các đồ thị hàm số sau: x 1 y f ( x) 2x 1 y f ( x) y f ( x) y f ( x) x 5x 2x 2x x2 x 2 y f ( x) 2 x x x y f ( x) x x Tìm cận đồsao thị hàm VíDạng dụ 1.Tìm giácác trịtiệm tham số m cho: số có chứa tham số x 2m y f ( x) xm 1.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1) x 3mx m y f ( x) x 2.Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích y f ( x) x mx và đường thẳng (dm) y mx m Xác định m Ví dụ Cho đường cong (Cm): cos biết (Cm) có cực đại cực tiểu và tiệm cận xiên nó tạo với đường thẳng (dm)một góc có 2x m y f ( x) mx Tìm m cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các Ví dụ Cho hàm số tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích bắng 3x y f ( x) x có đồ thị (C) Tìm M (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận Ví dụ Cho hàm số (C) là nhỏ ? x y f ( x) x có đồ thị (C) Tìm M (C ) để khoảng cách từ M đến giao điểm hai tiệm Ví dụ Cho hàm số cận là nhỏ ? Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x) có đồ thị (C) điểm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M ( x0 , y0 ) (C ) có dang : y y0 f '( x0 )( x x0 ) Trong đó f '( x0 ) gọi là hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm M ( x0 , y0 ) (10) 2.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x) có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước 1.Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm tiếp tuyến, ta có M (C ) y0 f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến có dạng y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) 2.Vì hệ số góc tiếp tuyến k nên f '( x0 ) k , giải PT f '( x0 ) k tìm x0 y0 3.Kết luận Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc Nếu hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc -1 3.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x) có đồ thị (C) qua điểm A( x A , y A ) 1.Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A với hệ số góc k d: y k ( x xA ) y A (1) 2.d là tiếp tuyến đồ thị hàm số và hệ phương tình có nghiệm f ( x) k ( x x A ) y A f '( x ) k (I) 3.Giải hệ (I) tìm k Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ Cho hàm số y f ( x ) 4 x x x có đồ thị (C) a.Viết phương trình tiếp tuyến (C) A có hoành độ là b.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) x y 0 c.Chứng minh trên (C) không tồn hai tiếp tuyến vuông góc với x y f ( x) x có đồ thị (C) Ví dụ 2.Cho hàm số a.Viết phương trình tiếp tuyến (C) M có tung độ b.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư thứ hai c.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0, -2) Ví dụ 3.Cho hàm số y f ( x) x x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến y x vuông góc với đường thẳng ( Khối D – 2010) Ví dụ Cho hàm số y f ( x ) 4 x x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm M(-1, -9) ( Khối B – 2008) 3x y f ( x) x biết : Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số b Tung độ tiếp điểm c Tiếp tuyến song song với đường thẳng : x y 0 d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : x y 10 0 Tiếptrình tuyếntiếp qua điểm Dạng2 Viết e phương tuyến củaM(2,0) đồ thị hàm số thõa mãn điều kiện cho trước Dạng 2.Viết phương trình tiếp tuyến thõa điều kiện cho trước m y f ( x) x x ( C ) 3 ( m là tham số ) Gọi M là điểm thuộc (Cm ) có Ví dụ Gọi m là đồ thị hàm số hoành độ -1.Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) M song song với đường thẳng x y 0 ( Khối D – 2005) (11) Ví dụ 2.Cho hàm số y f ( x) x 3x mx (Cm ) a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phan biệt A(0,1), B, C b.Tìm m để các tiếp tuyến B và C vuông góc với Ví dụ 3.Cho hàm số y f ( x) x 3x x (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ x 1 y f ( x) x (C) Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân Ví dụ 4.Cho hàm số biệt A, B cho tiếp tuyến (C) A và B song song với 2x y f ( x) x có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến (C) M Ví dụ 5.Cho hàm số cắt hai trục Ox, Oy A,B và tam, giác OAB có diện tích ( Khối D – 2007) x2 y f ( x) x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ví dụ 6.Cho hàm số hoành, trục tung A và B và tam giác OAB cân O ( Khối A – 2009) x x y f ( x) x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến Ví dụ Cho hàm số vuông góc với tiệm cận xiên đồ thị hàm số ( Khối B – 2006) x x2 y f ( x) x có đồ thị (C) Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến đồ thị hàm Ví dụ 8.Cho hàm số số A vuông góc với đường thẳng qua A và tâm đối xứng đồ thị hàm số ( Đại học An Ninh – 2001) x 1 y f ( x) x có đồ thị (C) Xác định m để đường thẳng d : y 2 x m cắt đồ thị (C) Ví dụ 9.Cho hàm số hai điểm phân biệt A,B cho tiếp tuyến (C) A và B song song với (CĐ-SPTPHCM – 2005) Ví dụ 10.Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C) Viết phương trình Parabol qua các điểm cực trị đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng y x ( Đại học An Ninh – 1999) y f ( x) x3 x x Ví dụ 11 Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn 4x y f ( x) x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp Ví dụ 12 Cho hàm số tuyến tạo với trục Ox góc 45 3x y f ( x) x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết : Ví dụ 13.Cho hàm số a Tiếp tuyến song song với đường thẳng x y 0 b Tiếp tuyến tạo với : y x góc 45 c Tiếp tuyến tạo với : y x góc 60 2x x có đồ thị (C) và điểm M thuộc (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm Ví dụ 14 Cho hàm số cận đồ thị (C) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A và B y f ( x) (12) a Chứng minh M là trung điểm đoạn AB b Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi c Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ x 1 y 2x Ví dụ 15 Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b Chứng minh với m đường thẳng y x m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A và B Gọi k1 , k2 là hệ số góc tiếp tuyến với ( C) A và B Tìm m để tổng k1 k2 đạt giá trị lớn ( Khối A – 2011) Dạng 3.Biện luận số tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) qua A( xA , y A ) 1.Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A với hệ số góc k d: y k ( x xA ) y A (1) 2.d là tiếp tuyến đồ thị hàm số và hệ phương tình có nghiệm f ( x) k ( x x A ) y A f '( x ) k (I) 3.Số nghiệm hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến qua điểm A Ví dụ 1.Cho hàm số y f ( x) x x (C) Tìm trên đường thẳng x = điểm mà từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số Ví dụ Cho hàm số y f ( x) x x (C) Tìm trên đường thẳng y= điểm mà từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số Ví dụ 3.Cho đường thẳng (d):x = và hàm số y f ( x) x x x có đồ thị (C) Từ điểm trên (d) có thể bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C) Ví dụ 4.Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ đó kẻ đến đồ thị (C) hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với Ví dụ 5.Cho hàm số y f ( x) x x có đồ thị (C) f Viết phương trình tiếp (C) qua gốc tọa độ O g Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) M còn cắt (C) hai điểm A và B cho A là trung điểm MB h Tìm điểm M trên trục tung cho qua M có thể kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Ví dụ 6.Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C) Tìm điểm trên trục Ox cho từ đó có thể kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) Ví dụ 7.Cho hàm số y f ( x) x x x có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y 2 x các điểm kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) Ví dụ 8.Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y x các điểm kẻ hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C) x 1 y f ( x) x có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết khoảng cách từ Ví dụ Cho hàm số điểm I(1,1) đến tiếp tuyến này là lớn Ví dụ 10.Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hoành mà từ đó có thể kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), đó có hai tiếp tuyến vuông góc với (13) y f ( x) xm x Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ hai tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị Ví dụ 11 Cho hàm số hàm số cho ABC ( Với B, C là hai tiếp điểm ) Ví dụ 12.Cho hàm số y f ( x) x m( x 1) có đồ thị (C) a.Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) và trục Oy b.Tìm m để chắn trên hai trục Ox, Oy tam giác có diện tích Chủ đề SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Giao điểm hai đồ thị Cho hàm số y f ( x) có đồ thị (C1 ) và hàm số y g ( x) có đồ thị (C2 ) + Hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) cắt điểm M ( x0 ; y0 ) ( x0 ; y0 ) là nghiệm hệ phương trình y f ( x) y g ( x) +Hoành độ giao điểm hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) là nghiệm phương trình f ( x) g ( x) (1) +Phương trình (1) gọi là phương trình hoành độ giao điểm (C1 ) và (C2 ) +Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C1 ) và (C2 ) 2.Sự tiếp xúc hai đường cong Cho hai hàm số y f ( x) và y g ( x) có đồ thị là (C1 ) và (C2 ) và có đạo hàm điểm x0 +Hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc với điểm chung M ( x0 , y0 ) điểm đó chúng có chung cùng tiếp tuyến Khi đó điểm M gọi là tiếp điểm +Hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc với và hệ phương trình sau có nghiệm f ( x ) g ( x) f '( x ) g '( x) Nghiệm hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN x 1 y f ( x) x có đồ thị (C) và đường thẳng (d) : y x m Ví dụ 1.Cho hàm số i Chứng minh với m, (d) và (C) cắt hai điểm phân biệt j Giả sử (d) và (C) cắt hai điểm A và B Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ Ví dụ 2.Cho hàm số y f ( x) x x x (C) Định m để đường thẳng (d): y mx 2m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt Ví dụ 3.Cho hàm số y f ( x) x 2( m 2) x 2m (Cm ) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Ví dụ 4.Định m để đồ thị hàm số y f ( x) x mx m cắt trục Ox ba điểm phân biệt Ví dụ 5.Cho hàm số y f ( x) x (3m 2) x 3m có đồ thị (Cm ) Tìm m để đường thẳng y = - cắt đồ thị (Cm ) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ ( Khối D – 2009) Ví dụ 6.Cho hàm số y f ( x) x 3x (C) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1,2) với hệ số góc k (k>-3) cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm AB ( Khối D – 2008) Ví dụ Cho hàm số y f ( x) x 3x (C) Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3,20) và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt ( Khối D – 2006) (14) x 1 x có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị (C) hai Ví dụ Cho hàm số điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích ( O là gốc tọa độ ) ( Khối B – 2010) Ví dụ Cho hàm số y f ( x) x x (1 m) x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm y f ( x) 2 phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thõa mãn điều kiện x1 x2 x3 ( Khối A – 2010) y f ( x) x3 mx x m 3 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm Ví dụ 10.Cho hàm số x x22 x32 15 phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thõa mãn điều kiện 1 y f ( x) x x có đồ thị (C) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d: y = m cắt Ví dụ 11.Cho hàm số đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho OA vuông góc với OB (Với O là gốc tọa độ ) Ví dụ 12.Chứng minh đồ thị hàm số y f ( x) x ax bx c (C) cắt trục hoành ba điểm cách thì điểm uốn nằm trên trục hoành x 1 y x 1 Ví dụ 13 Cho hàm số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho b Tìm k để đường thẳng y kx 2k cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A,B cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành ( Khối D – 2011) Chủ đề KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I PHƯƠNG PHÁP Các bước chính tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y f ( x) Tìm tập xác định hàm số Tính giới hạn và tìm các tiệm cận đồ thị hàm số (Nếu có) Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = Lập bảng biến thiên Nêu kết luận tính biến thiên và cực trị hàm số Tìm điểm uốn đồ thị hàm số (Đối với hàm bậc ba và hàm trùng phương ) Tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số Vẽ đồ thị hàm số và nhận xét PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Khảosát sátvàvàvẽvẽđồđồthịthịcủa hàm VíDạng dụ 1.1.Khảo cácsốhàm số sau: a y f ( x) x 3x c y f ( x) x 3x e y f ( x) x x x g y f ( x) x x x Ví dụ Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: a y f ( x) 3 x x c y f ( x) x x 1 y f ( x) x x 2 e Ví dụ Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: b y f ( x ) 2 x 3x 12 x 13 d y f ( x ) x 3x 3x 2 f y f ( x) x( x 3) h y f ( x ) x x x b y f ( x) 2 x x d y f ( x) x x f y f ( x) x x (15) x 1 x2 a x y f ( x) x 1 c Ví dụ Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: x2 x y f ( x) x2 a x 1 x b x 1 y f ( x) x d y f ( x) y f ( x) b y f ( x) x2 2x x y f ( x) x 3x x 2 c y f ( x) x x x d e y f ( x) x x 1 x 1 f y f ( x) x2 2x 2x Dạng Một số bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Ví dụ 1.Cho hàm số y f ( x) x x có đồ thị (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình: x 3x k 0 y f ( x) mx x có đồ thị (Cm) Ví dụ Cho hàm số m a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên (Cm) (Khối A – Năm 2005) Ví dụ 3.Cho hàm số y f ( x) 2 x x 12 x a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x x 12 x m b Tìm m để phương trình sau có nghiệm phận biệt : x y f ( x) x có đồ thị (C) Ví dụ Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b Tìm điểm trên đồ thị (C) thõa : Có tọa độ nguyên Cách hai tiệm cận đồ thị hàm số Cách hai điểm A(0;0) và B(2;2) Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ Ví dụ 5.Cho hàm số y f ( x) x 3x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số x x a b Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình: 2 Ví dụ 6.Cho hàm số y f ( x) x 3mx 3(1 m ) x m m a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = (C1) 3 b Tìm k để phương trình x 3x k 3k 0 có ba nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai cực trị đồ thị hàm số (C1) CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ (Khối A – Năm 2006) (16) Dạng 1: Phương pháp đưa cùng số f (x) a g ( x ) (1) Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho dạng : a Nếu số a là số dương khác thì (1) f ( x) g ( x) a (1) ( a 1) f ( x) g ( x) 0 (ít gặp) Nếu số a thay đổi (có chứa biến chứa tham số) thì Bài : Giải các phương trình sau 2; 3 x x8 41 x ĐS : x2 x 1 3 ĐS: 2x 125 x x 16 4 7 0 49 x2 x 16 ĐS : ĐS : 1 ĐS : 3x (3 2) 3 2 x 1 x x 6.5 3.5 52 x 3 x 3 35 x.55 x x 1 x 1;7 1 3 x x 25 x 2x 129 x 10 x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 11 9.5 ĐS : 0 2 2 ĐS : x x1 12 72 ĐS : x x x 13 12 x 9 x 14 x 81x 15 2 x 16 ( x x 2) 4 x x x x x 17 4.3 0 Bài : Giải các phương trình sau ĐS : x 1 1 ĐS : ĐS : 0;2 ĐS : 2; 3 ĐS : 3 2 x 2 x ( x 1)3 ( x 1) x 1 ( x 1) x x x x x x 3 ( 10 3) x x ( 10 3) x x x 8.3 3.2 24 2 ĐS : x1 x3 x x x x 2x 4.2 0 Dạng : Phương pháp đặt ẩn phụ (ĐH Quốc Gia HN-2000) (ĐH D-2006) ĐS : 1;3 ĐS : 0;1 ĐS : (17) f (x) Đặt t a , t với a và f ( x) thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho phương trình với biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) từ đó tìm x Bài : Giải các phương trình sau x x 4.3 45 0 ĐS : 2x x 2 0 x x 8.3 0 2 x x 4 6.2 0 x x 6.2 0 7 x 1 x 1 x 5 26 1 x 7 ĐS : ĐS : 1; -1 0 ĐS : k ĐS : 2 sin x 9cos x 10 x 16 10.2 x x 5 x 10 x 2 x 5 x ĐS : 3; 11 (đặt t= x 3 x 12 0 11 x x 12 (7 3) (2 3) 0 x x 13 (2 3) (2 3) 14 x2 x2 x2 14 15.25 34.15 15.9 0 x x x 15 6.9 13.6 6.4 0 2x 4x x 16 3.4 2.3 5.36 x x 3 2 x x ( 1) ( 1) 2 0 x x x 4.3 9.2 5.6 2 x 1 9.2 x x 22 x2 0 x x x 25 15 2.9 x x x1 125 50 2 x x 2 4 x 6 x 5 4 ) ĐS : ĐS : 3; log ĐS : ĐS : ĐS : 1; -1 x x 3 x 17 (3 5) 16.(3 5) 2 2 x 6 x 4.15x 3 x 3.52 x 6 x 18 Bài : Giải các phương trình sau x x x x 3.8 4.12 18 2.27 0 x2 x x 5 x ĐS : 0; 1/2 log 3 ( ) ĐS : ĐS : 1; -4 (ĐH A-2006) ĐS : (ĐH D-2003) ĐS : -1; (ĐH B-2007) ĐS : 1; -1 (ĐH Hàng Hải-1999) ĐS : (ĐH Thủy Lợi-2000) ĐS : -1; (ĐHSP Hải Phòng-2000) ĐS : (ĐH Quốc Gia HN-1998) x 3 x7 1 ĐS : (HV Quan Hệ Quốc Tế-1999) ĐS : 1;2; cos x cos x ( ) ( ) 4 (ĐH Luật HN-1998) 12 23 x 6.2 x 3( x 1) x 1 2 10 (ĐH Y HN-2000) Dạng : Phương pháp lôgarit hóa Biến đổi phương trình đã cho các dạng sau : ĐS : k ĐS : (18) a f ( x ) b f ( x) log a b a f ( x ) b g ( x ) f ( x ) g ( x) log a b f ( x) g ( x) c f ( x) g ( x )log a b log a c a b Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia các hàm số mũ VD Giải các phương trình sau x2 x 2 x 3x 1 ĐS : 0; log3 ĐS : 2;log x x ĐS : 3;2 log 3x.4 2 x x 2 36.3 ĐS : 4; log 57 75 3 log x 25 x ĐS : x x6 2 x 3 x x 18 x x 53 5log x ĐS : 2; log log (log 7) ĐS : ; ĐS : x log x x 10 5x.8 x 500 9.x ĐS : ĐS : 3; log Dạng : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Cách : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm nhất) Đưa phương trình đã cho dạng f ( x) g ( x) (*) Bước : Chỉ x0 là nghiệm phương trình (*) Bước : Chứng minh f ( x ) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm nghịch biến f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm f ( x ) là hàm nghịch biến, g ( x) là hàm Từ đó suy tính nghiệm ◦ Cách : Đưa phương trình đã cho dạng f (u ) f (v) , chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D) Từ đó suy f (u ) f (v) u v Ví dụ 1: x Giải phương trình x 0 3x x 0 3x x 4 (*) Cách : Ta thấy x 1 là nghiệm phương trình (*) f ( x) 3x x g ( x) 4 Đặt : x Ta có : f '( x) 3 ln >0 x x x Cách : x 0 x 4 (*) Ta thấy x 1 là nghiệm phương trình (*) 3x 31 3 x 1 x Nếu , ta có 3x x 4 (vô lý) x Suy f ( x ) 3 x là hàm đồng biến trên R Mà g ( x ) 4 là hàm 3x 31 3 x 1 Nếu x , ta có 3x x 4 (vô lý) Vậy phương trình (*) có nghiệm là x 1 Vậy phương trình (*) có nghiệm là x 1 Ví dụ 2: x x Giải phương trình 3 x x x x Ta có : 3 ( 3) ( ) x ( ) x 2 (*) Ta thấy x 2 là nghiệm phương trình (*) x x Giải pt 3.9 (3x 7).3 x 0 (1) x Đặt t 3 , t Phương trình (1) 3.t (3 x 7).t x 0 Ví dụ 3: (3 x 7) 12(2 x) 9 x 30 x 25 (3 x 5) (19) f ( x ) ( ) x ( ) x 2 g ( x) 1 Đặt : Ta có : Suyra x 1 ) ln( ) ( ) x ln( ) x R 2 2 f '( x) ( f ( x) ( x x ) ( ) 2 là hàm nghịch biến trên R Mà g ( x ) 1 là hàm Vậy phương trình (*) có nghiệm là x 2 3x 3x t t x 3x x 1 t 3x x 0 3 x t x x (*) Ta thấy x 1 là nghiệm phương trình (*) f ( x ) 3x g ( x) x Đặt : x Ta có : f '( x ) 3 ln x R x Suy f ( x ) 3 là hàm đồng biến trên R g '( x) x R Suy g ( x) là hàm nghịch biến trên R Vậy phương trình (*) có nghiệm là x 1 Vậy pt (1) có nghiệm là x 0; x 1 Bài : Giải các phương trình sau x x 1 17 x x 5 ĐS : x ĐS : x x x ( 2) ( 2) 10 x x 3.25 (3 x 10).5 x 0 ĐS : 2;2 log5 3 0;2 ĐS : ĐS : x x x (2 3) x 2(1 ) 0 x 3 x x.2 x 0 x ĐS : x x (2.3 1) 3 1 e x e x 2x x 3x 2x x x.2 (1 x ).2 x x 0 x 2x x1 x x1 x 2 10 2 Bài : Giải các phương trình sau x x x (2 3) (2 3) 4 x x2 x ( x 1) 2 x 1 x x x ( 2) ( x x 6 x 2 x 2) ( 5) x ĐS : ĐS : 2; ĐS : ĐS : (Học Viện Công Nghệ BCVT-1998) ĐS : (ĐH Thủy lợi-2001) ĐS : (ĐH Bách khoa TPHCM-1995) ĐS : (Học Viện Quan Hệ Quốc Tế-1997) ĐS : 0;1 ĐS : (ĐH Sư Phạm HN-2001) CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Dạng 1: Phương pháp đưa cùng số Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho dạng 0 a 1 log a f ( x) log a g ( x) f ( x ) g ( x) (20) 0 a 1 log a f ( x ) b b f ( x) a Bài : Giải các phương trình sau log (5 x 1) 4 ĐS : log x log x log 27 x 11 log x log ( x 2) 1 ĐS : 729 ĐS : log ( x 3) log (6 x 10) 0 log( x3 1) log( x x 1) log x ĐS : ĐS : log (1 x 1) 3log x 40 0 ĐS : 48 log ( x 3) log ( x 7) 0 log ( x 2) 6log 3x 2 8 log ĐS : ĐS : 17 ĐS : x log (3 x) log8 ( x 1)3 2 10 log3 ( x 1) log (2 x 1) 2 log ( x 1) ĐS : ĐS : 1 log x log x1 11 Bài : Giải các phương trình sau log (4 x 15.2 x 27) 2log 0 4.2 x log ( x 2).log x 1 2 log ( x 3x 2) log ( x x 12) 3 log 2log9 x log x.log ( x 1) log x log x log x.log x log x log x log 3.log 225 log ( x 1) log x log8 ( x 4) (ĐH D-2007) ĐS : log (ĐH Huế-1999) ĐS : (ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0;-5 (ĐH Thủy Lợi-1998) ĐS : 1; (ĐH Đông Đô-1999) ĐS : 1; (ĐH Y Hà Nội-1999) ĐS : (ĐH Bách Khoa HN-2000) ĐS : 2; (ĐH Y Thái Bình-1998) ĐS : 3 ĐS : log 2 ( x x) log 2 ( x x) 6 x log9 ( x x 6)2 log log3 x 2 (HV BCVT-2000) Dạng : Phương pháp đặt ẩn phụ Biến đổi phương trình dạng chứa loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số x đã cho phương trình với biến t, giải phương trình này tìm t từ đó tìm x Bài : Giải các phương trình sau 2; log x 2log x 0 ĐS : log x log (8 x) 0 log ( x 1) log x ĐS : 2; 16 3; ĐS : (21) log x2 16 log x 64 3 ĐS : 4;2 log (3x ).log 2x 1 1 ĐS : log x2 (2 x) log 2 x x 2 log x log x ( ) 1 x log x 2log x log ĐS : ĐS : 2x ĐS : lg(10 x ) 6lg x 2.3lg(100 x ) 11 log x 3log2 x x log 12 x log ( x 1) 6log x 0 4log x log x 3 2 log ( x 1) log ( x 1) 25 log x 2.3 x(2 2) log x 1 x ĐS : 3; ĐS : 1; ĐS : (ĐH Sư Phạm TPHCM-2001) log x7 (9 12 x x ) log x3 (6 x 23 x 21) 4 10 (2 2) ĐS : 1; (ĐH Sư Phạm HN-1998) 2 log x (2 x x 1) log x1 (2 x 1) 4 log x (Cao Đẳng -2008) (HV CNBCVT-1999) x x1 log (5 1).log 25 (5 5) 1 ĐS : (ĐH Y HN-2000) x x (ĐH Công Đoàn-2000) (ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998) log 2 log x 3 28 27 (đặt t= log x ) 2 log log 10;log ĐS : 13 log4(log2x) + log2(log4x) = Bài : Giải các phương trình sau log x log x log 2 x 25 ĐS : ĐS : 100 2 10 log1 x (6 x x 1) log1 x (4 x x 1) 0 1;5; ĐS : x x1 log3 (3 1).log3 (3 3) 6 26 25 ĐS : ĐS : ĐS : 2; (ĐH Khối A-2008) (ĐH Kinh Tế Quốc Dân-2001) (ĐH Quốc Gia HN-2000) log 6;log ĐS : 0;1 log20 (5 log20 ) ĐS : 1; 2 2 11 log ( x x 1).log ( x x 1) log 20 ( x x 1) (ĐHSP Vinh-2001) Dạng : Phương pháp mũ hóa Đưa phương trình đã cho các dạng sau 0 a 1 log a f ( x) g ( x) g (x) f ( x ) a f ( x ) a t g ( x) bt log f ( x ) log g ( x ) t a b đặt suy Khử x hpt để thu phương trình theo ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x (22) Bài : Giải các phương trình sau x log (9 8) x ĐS : 0;log3 x 1 x log5 (5 20) 2 3log (1 x x ) 2 log x ĐS : ĐS : 4096 k 2 ĐS : 2log3 tan x log sin x log ( x x 2) log3 x 2log ( x x ) log x Bài : Giải các phương trình sau x x log (9 ) 3 log5 x log ( x 2) log x log ( x 2) 2log ( x x ) log x ĐS : (ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991) ĐS : 16 (ĐH Huế-2000) ĐS : 0; (ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : (ĐH Thái Nguyên-2000) ĐS : 49 (ĐH Y HN-1998) ĐS : 256 k 2 ĐS : 2log cot x log cos x (ĐH Y Dược TPHCM-1986) Dạng : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Cách : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm nhất) Đưa phương trình đã cho dạng f ( x) g ( x) (*) Bước : Chỉ x0 là nghiệm phương trình (*) Bước : Chứng minh f ( x ) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm nghịch biến f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm f ( x ) là hàm nghịch biến, g ( x) là hàm Từ đó suy tính nghiệm ◦ Cách : Đưa phương trình đã cho dạng f (u ) f (v) , chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D) Từ đó suy f (u ) f (v) u v Bài : Giải các phương trình sau log ( x 3) 4 x ĐS : 2 lg( x x 12) x lg( x 3) log 22 x ( x 3).log x x 0 x (log x 3) x log x 0 2 ln( x x 1) ln(2 x 1) x x ĐS : ĐS : 2; ĐS : ĐS : 0; Bài : Giải các phương trình sau 2 log x ( x 1) log x 6 x x2 x log x 3x 2 x x (ĐH Đông Đô-1997) ;2 ĐS : (ĐH Ngoại Thương-2001) ĐS : 1; CHUYÊN ĐỀ:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT Bài : Giải các hệ phương trình sau : 2 log ( x y ) 1 log ( xy ) x2 xy y 81 (ĐH A-2009) ĐS : (2;2), (-2;-2) (23) 23 x 5 y y x x 1 y x log ( y x ) log y 1 x y 25 x y 1 3log (9 x ) log y 3 y x 2 3x y 18 log y x log x y 2 x y 12 (ĐH D-2002) ĐS : (0;1), (2;4) (ĐH A-2004) ĐS : (3;4) (ĐH B-2005) ĐS : (1;1), (2;2) 3 972 log 3 ( x y ) 3 x ( ; log 4) ĐS : y ĐS : (3;3) y 1 log x y x 4096 ĐS : (16;3), (1/64;-2) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau : x y 3 1152 log ( x y ) 2 log1 x (1 y y ) log1 y (1 x x ) 4 log (1 y ) log1 y (1 x) 2 1 x log ( xy ) log 4 2 ( xy ) x y x y 22 x y y x x y x x y ln(1 x) ln(1 y) x y x 12 xy 20 y 0 x x x 3 y y y y 3x 32 4 log ( x y ) 1 log ( x y ) x y 0 10 log x log y 0 ĐS : (-2;7) ĐS : ( 2 ; ) 5 ĐS : (1;3), (3;1) ĐS : (-1;-1), (1;0) ĐS : (0;0) ĐS : (1;1) CHUYÊN ĐỀ:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I PHƯƠNG PHÁP Áp dụng các phương pháp giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất : f ( x) a g ( x ) f ( x) g ( x) Nếu a thì a f ( x) a g ( x) f ( x) g ( x) Nếu a thì a a a f ( x) a g ( x) (a 1) f ( x) g ( x ) Tổng quát : II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương pháp đưa cùng số ĐS : (5;2) x y y x ĐS : (2;1) ĐS : (1;1), (9;3) (24) Bài : Giải các bất phương trình sau : x 2 x 27 x ( 2) ( 2) ( ) x 2 x ( )16 x 3 ĐS : x x x 1 ĐS : 2; 1 1; ĐS : x x x 1 x 2 16 x x x x x x2 x x2 x x2 x 12 ( 10 3) x x x 5 x x x ( 10 3) ĐS : x ĐS : x x ĐS : x x 4 x1 x3 ĐS : x x 1; \ 0;1 ĐS : 9 3x 2 ĐS : x x 10 x2 x 1 x 2 10 Bài : Giải các bất phương trình sau : x x 1 x x 1 3 ĐS : x 3 x (Học Viện Quân Y-1995) ĐS : x 2 1 1 x x 1 ĐS : (ĐH Bách Khoa HN-1997) ĐS : x 2 (ĐH Sư Phạm TPHCM-1976) ĐS : x (ĐH Quốc Gia HN-1996) x x 1 x ( 1) ( 1) x x 1 x2 x 3 x x x 1 Dạng : Phương pháp đặt ẩn phụ Bài : Giải các bất phương trình sau : x x 2.3 2 2 x 6 x 2 2 x 7 3 x x 17 9 x 2.49 7.4 9.14 ĐS : x 9 ĐS : x x x x x 5.2 10 2.5 x x x x 1 3.2 2 2x x 13.62 x x 6.42 x x 6.9 x 1 x ĐS : x ĐS : x x x x x x.3 x 8.3x 2 1 x x 3 Bài : Giải các bất phương trình sau : ĐS : x ĐS : x 4 x 1 ĐS : ĐS : ĐS : x log 32 x 3 x log (25) x2 x 1 2. 3 2 x x2 3 x x 1 x 1 3 12 2.3x x2 1 3x x ĐS : (ĐH Văn Hóa HN-1996) ĐS : x (HV CNBCVT-1998) ĐS : x (HV Hành Chính QG-2001) ĐS : 2 x x log 3 x2 x x 1 (ĐH Phương Đông-2000) Dạng : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số x 1 x ĐS : x 1 x 1 1 1x 1x 3. 12 3 x2 x (Dự Bị D-2005) ĐS : x x x x 2 x x x 2.2 3.3 ĐS : x ĐS : x CHUYÊN ĐỀ : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I PHƯƠNG PHÁP Nếu a thì log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) Nếu a thì log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) a log a f ( x) log a g ( x) f ( x ) 0; g ( x) (a 1) f ( x) g ( x) Tổng quát : II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Giải các bất phương trình sau : x4 log (2 x 1) ĐS : 31 log log 0,5 (2 x ) 2 16 ĐS : x log x ( 3x ) 1 x2 ĐS : x 2log (4 x) log (2 x 3) 2 (ĐH A-2007) x 3 ĐS : x x log 0,7 log 0 x4 2x 1 log ( ) x 1 log3 x 5x log x log ( x 3) 3 ĐS : x x x 1 (ĐH Văn Hóa HN-1998) ĐS : (ĐH B-2008) (ĐH GTVT-2000) ĐS : x 10 (26) log x log3 (9 x 72) 1 ĐS : log 73 x 2 3 x x (ĐH Văn Lang-1997) ĐS : 1 x x 4 (ĐH Y Hà Nội-1997) ĐS : 33 x (ĐH Kiến Trúc HN-1997) ĐS : (ĐH Dược HN-1997) ĐS : x x (ĐH B-2002) log x (5 x x 3) 10 log x 64 log x2 16 3 lg( x x 2) 2 lg x lg 11 x 1 x2 x2 12 x x.2 3.2 x x 12 CHUYÊN ĐỀ :NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I NGUYÊN HÀM I.1 Nguyên hàm các hàm số thường gặp: 0dx C dx x C x 15 a 16 1 dx x C 1 1 x e dx e x kx b a kx b dx C k ln a 1 dx ln x C x ax b ax b e dx e C a cos ax b dx a sin ax b C 17 C sin ax b dx a cos ax b C 18 ax a dx ln a C x cos ax b dx a tan ax b C 19 cos xdx sin x C sin xdx cos x C 1 sin ax b dx a cot ax b C 20 tan ax b dx 1a tan ax b C 21 dx tan x C cos x dx cot x C 10 sin x cot ax b dx 1a co t ax b C 22 11 tan x dx tan x C cot x dx co t x C 12 23 x 13 ax b dx 1 1 ax b C 1 a ( 1) dx ln ax b C a 14 ax b dx 1 C x dx 1 C a ax b 24 ax b 25 u x dx ln u x C u ' x (27) Các công thức trên với: a 0 I.2 Các tính chất: f ' x dx f x C ; k f x dx k f x dx k 0 ; f x g x dx f x dx g x dx I.3 Bài tập áp dụng: Dạng 1: Tìm nguyên hàm các hàm số sau 3x x3 x dx x ;2 1 dx cosx x 1 x 1 x 1 dx dx ; tanx ;3 sin 3xcos2 xdx ;4 sin 1 dx dx x.cos x ; s inx e 3 x e x e2 x dx ; dx ; cotx x x 1 x dx ; 10 Dạng 2: Tìm nguyên hàm các hàm số thõa điều kiện cho trước x 1 2 dx dx sin xc os xdx 3x , Biết: F(2)=5 ; x x , Biết: F(1)=2; , Biết: F( )=2 sin 3xdx sin 3xdx , Biết: F( )=2 ; , Biết: F( )=2 ; xdx x2 −5 x +4 , Biết: F(0)=3 x −3 x − 20 dx , Biết: F(-2)=3 x −2 x − * Chú ý: Việc tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến và phương pháp phần các dạng và cách đặt giống tính tích phân II TÍCH PHÂN: b II.1.ĐN: b f x dx F x a F b F a a II.2.Tính chất: a b f x dx 0 f x dx f x dx a ; b a a b b a ; b f x g x dx f x dx g x dx b a a b kf x dx k f x dx k 0 a a b ; c b f x dx f x dx f x dx a a c Với: a<c<b II.2.1 Bài tập áp dụng: Tính các tích phân sau: 1 3x 2 x x 2x 1 x3 x x dx dx x dx x x x x dx dx x 4x x x ; ; ; ;5 (28) sin 3x.cos5 xdx sin 3xdx ;8 sin 1 dx 2 sin x c os x 3xdx ; 12 ; sin x tan xdx dx dx c os x x 1 x ; 13 ; 14 ;15 dx cot x cos x dx cos x ;10 ; 11 2 2 x cos2 xdx 3x dx ;16 1 II.3.Phương pháp đổi biến số: b f u x u ' x dx a 3.1 Đổi biến số loại I : B1: Đặt: u=u(x) và lấy vi phân hai vế B2: Đổi cận: Khi :x=a =u(a); x=b =u(b) b B3: Tính: f u x u ' x dx f u du F u a *Chú ý: Các tích phân thuộc dạng này rất nhiều VD: Tính các tích phân sau: 1 x x 2011 2 dx ; x (1 x )3 dx x dx sin ; x dx 2sin x 0 sin x dx ;17 ; 13 x 3 x2 dx 1 x dx ;18 ; sin x 0 cos x dx ; 14 sin x e cos2 xdx ;19 ln x 1 x dx 22 e ln x 1 x dx ; 23 e 0 e x dx b 3.2 Đổi biến số loại II : f x dx a ; 25 ; dx ; 10 x3 0 x2 1 dx ;15 cos5 x 0 sin x dx ; 20 2t anx 0 cos2 x dx ex e 1 x x dx 4x sin x 0 cos x dx x e ln x 1 x dx ; 24 x x2 ln3 e 2 x5 x x dx ; x e xdx 0 sinx 0 cos x dx ; 12 ; 11 0 2 x x cos xdx ; 3 16 x dx ;21 ln3 x x2 dx x e ; 26 ln dx (29) B1: Đặt: x=u(t) và lấy vi phân hai vế B2: Đổi cận: Khi :x=a =u(a); x=b =u(b) b B3: Tính: f x dx f u t u ' t dt g t dt G t a *Chú ý: Cách giải này vận dụng để tính các dạng tích phân sau: a a x dx, a Dạng 1: t ; Cách giải: Đặt: x=asint ;với VD: Tính các tích phân sau: 2 x dx ; 3 x x dx a Dạng 2: a ; x2 3 x2 dx x2 ; ; ; 2 (1 x ) dx 2x dx 6 x x dx ; x x dx x x 3dx ; x x 7dx t ; Cách giải: Đặt: x=asint ;với dx, a VD: Tính các tích phân sau: 2 2 x x3 4 x x dx ; 2 dx 2 x ; dx a2 x x a Dạng 3: 2 dx ; 4 x x 2 x dx ; x 4 x 2 2 dx ; x2 (1 x ) dx dx t ; Cách giải: Đặt: x=a.tant ,với a Chú ý: Khi gặp tích phân dạng: a 2 x a dx và x a2 dx Cách giải: Đặt x=a.tant CYQT: Khi gặp các tích phân dạng trên, ta đổi biến mà các cận không có các giá trị đặt biệt thì ta biến đổi biểu thức dấu tích phân áp dụng phương pháp đổi biến dạng II để giải các tích phân dạng này VD: Tính các tích phân sau: (30) 1 0 x 1 dx x dx 0 x 1 dx 1 x2 ; ; ; 2a 2a x a dx, a a Dạng 4: x2 a2 3a x2 1 x2 dx ; 3 1 x2 (3 x2 ) dx ; x x2 dx dx, a a a t sin t (hoặc ta đặt x2 làm nhân tử chung và đưa x2 ngoài, đặt x đó các tích phân Cách giải: Đặt: này trở lại dạng và dạng 2) x VD: Tính các tích phân sau: √2 π dx ¿ x √ x −1 (ĐS: 12 ;2 x 2 4x dx √3 8 ) (ĐS: 3 2 2 x 4 dx x ;4 2 x 4 dx x2 ;5 x 1dx b ax b R x , a cx d dx Dạng : Cách giải: Đặt : t ax b cx d , lấy vi phân và đổi cận thì ta tính tích phân dạng này VD: Tính các tích phân sau: dx x 1 x ; dx 3x 1 x 1 b b 2 dx x x ; ; x 3x 1 x 1 b udv uv vdu a II Phương pháp tích phân phần: a a * Chú ý: Vận dụng để tính các dạng tích phân sau: b Dạng 1: P x hs lg dx a ( P(x): là hs đa thức) u P x dv hs lg dx Đặt: VD: Tính các tích phân sau: x 1 cos xdx x(2cos x ; 2 x 1)dx x 1 sin xdx ; x 1 cos(2 x ; ( x cos x)sinxdx )dx ; ( x cosx)sin xdx x 1 cos x sinxdx x 1 cos x sin2xdx ; ; dx (31) x 1 cos 2 x sinxdx 2 x cos x sin xdx ; 10 * Chú ý: Nếu tích phân trên mà P(x) có bậc n thì ta phải tính tích phân đó n lần b Dạng 2: P x hsmudx a ( P(x): là hs đa thức u P x dv hsmudx Đặt: VD: Tính các tích phân sau: 1 (2 x 1)e 2x dx ; 2 xe x dx (1 3x)e (2 x 1)3 dx ; dx ; ; ( x (4 x x 1)e x ; x)e x dx dx 1 2x 2 x (1 3x x )2 2 x dx (1 x )4 2 x dx ; * Chú ý: Nếu tích phân trên mà P(x) có bậc n thì ta phải tính tích phân đó n lần b Dạng 3: P x hs log aritdx a u hs log arit dv P( x)dx Đặt : ( P(x): là hs đa thức) VD: Tính các tích phân sau: e ln xdx 1 e ; e ln( x x)dx x ln( x x)dx ( x 1) ln xdx (2 x 1) ln( x 1)dx ;3 2 ( x x ) ln( x e x)dx ; ;4 1 e 2 x ln x dx ln x dx x ; ; ; e e ln x dx x ; 10 ln x dx x3 * Chú ý: Nếu tích phân trên, ta đặt ngược lại thì tính không (vì hàm số logarit không có nguyên hàm) b Dạng 4: hsmu lg dx a u hsmu dv hs lg dx ( P(x): là hs đa thức) Đặt : VD: Tính các tích phân sau: e s inxdx ; x e e 3x cos4xdx ; x cosxdx ; e 3 x e ; cos2xdx ; sin2xdx 3 x 2 3 x e cosxdx ; 3 x 3x 3 sin(3x+ )dx sin2xdx * Chú ý: Khi gặp tích phân dạng này thì ta phải tính tích phân phần hai lần (với cùng cách đặt) (32) III TÍCH PHÂN CHỨA HÀM HỮU TỈ: b Dạng: P( x) Q( x) dx a + Nếu bậc P(x) Với P(x), Q(x) là các hàm đa thức, đó ta có các trường hợp sau: bậc Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x) P( x) + Nếu bậc P(x) <bậc Q(x) thì ta phân tích Q( x) thành các phân thức đơn giản hơn,theo quy tắc sau: QT1: A A A P ( x) P( x ) n Q( x) x a1 x a2 x an x a1 x a2 x an QT2: A3 P ( x) P( x) A A A4 n Q( x) x a x c x a x c ( x c) ( x c) n QT3: A A x B2 A x B3 P( x) P( x) 22 2 Q ( x ) x a x px q x a x px q ( x px q ) Muốn tìm các hệ số các đẳng thức trên thì ta thực đồng thức Tích phân hàm số phân thức mà mẫu thức là đa thức bậc hai: I Dạng 1: Tính tích phân dạng tổng quát sau: (trong đó ax bx c 0 I +)Nếu 0 thì với x ; ) a 0 Xét b 4ac dx a x b dx ax bx c 2a tính +)Nếu thì I dx I a x x1 x x2 (trong đó x1 b b ; x2 2a 2a ) x x1 ln a x1 x2 x x2 dx dx I 2 ax bx c b a x a a +) Nếu thì x Đặt: b tan t dx tan t dt 2 2a 4a a , ta tính I (33) I Dạng 2: Tính tích phân: f ( x) (trong đó Ta xét: mx n dx, ax bx c a 0 mx n ax bx c liên tục trên đoạn ; ) A(2ax +b) mx +n B = + 2 ax + bx +c ax + bx+ c ax + bx+ c +) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A và B cho: β +)Ta có I= β ❑ α β A (2ax +b) mx+n B dx= ❑ dx+ ❑ dx ax + bx +c ax + bx+ c ax + bx +c α α β A (2 ax+ b) ❑ ax 2+ bx +c dx Tích phân α β ε A ln |ax + bx +c|¿ = ;Tích phân dx ax bx c tính VD: Tính các tích phân sau: 2 x7 x3 3x dx dx dx dx ( x 1) ; x( x 1) ; ; x( x 2) ; x( x 2) ; 1 x 1 dx x2 1 x dx x 1 dx ( x x 1)( x2 x 1) 2 dx ( x 1)( x 2) ; x ( x 2) ;9 ;10 x x dx x 11 x3 dx x2 2x 1 ;12 x2 dx x6 x 1 dx x( x 2) 3 x4 1 dx x 1 ;13 IV TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: *Các công thức lượng giác thường vận dụng: Công thức sin2 cos2 1 R tan .cot 1 k , k Z 1 tan k, k Z cos 1 cot 2 k, k Z sin Công thức hạ bậc: cos 2a cos 2a 2 cos2a = ;sin2a = Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b cos(a b) cos(a b) sin a.sin b cos(a b) cos( a b) sin a.cos b sin(a b) sin(a b) Công thức tính sinx, cosx, tanx, cotx theo x t tan 2: 2t sinx = t 2t tanx = t 1 t2 ; cosx = t 1 t2 ; cotx = 2t (34) b s inmx.cos nxdx Dạng 1: a ta áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng b R s inx, cos x dx Dạng : a Phương pháp giải chung đặt: t tan x , biểu diễn sinx,cosx theo t Tuy nhiên dạng này có số trường hợp riêng sau: +Nếu R(sinx, cosx) =R(-sinx,-cosx) hàm chẵn sinx và cosx, đặt: t=tanx, đó: t2 sin x ; cos x 1 t 1 t2 +Nếu R(sinx, cosx) =-R(sinx,cosx) hàm lẻ cosx, đặt: t=sinx +Nếu R(sinx, cosx) =-R(sinx,cosx) hàm lẻ sinx, đặt: t=cosx b Dạng 3: sin m x.cosn xdx a xảy các trường hợp sau : Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt: t= cosx Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt: t= sinx Nếu m chẵn, n chẵn thì đặt: t= tanx Nếu m chẵn, n chẵn và dương thì áp dụng công thức hạ bậc Nếu m lẻ, n lẻ và dương thì ta phân tích, áp dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng Dạng 4: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác (Để tính các tích phân dạng này thì ta sử dụng cách tìm nguyên hàm sau): I Loại 1: dx x 2dt t tan dx asinx b cos x c Phương pháp:Đặt 1 t2 2t sin x 1 t2 Ta có: I 1 t2 cos x 1 t2 và dx asinx b cos x c Ví dụ minh họa: 2dt c b t 2at b c Tính dx 4cos x 3sin x đã biết cách tính (35) x 1 x 2dt t tan dt tan dx dx 2 2 t Giải:Đặt: 2dt x tan dx dt t 1 1 t ln C ln C 1 t 2t x cos x 3sin x t 3t t 3 3 tan 2 1 t2 1 t2 m sin x n cos x p dx a sin x b cos x c I .Loại 2: Tính Phơng pháp: +)Tìm A, B, C cho: m sin x n cos x p A a sin x b cos x c B a cos x b sin x C , x m sin x n cos x p dx a sin x b cos x c = I +) Vậy Tích phân dx Tích phân Ví dụ minh họa: tính được; Tích phân dx a sin x+ b cos x+ c Tính: I A dx+ B a cos x − b sin x dx dx+C a sin x +b cos x+ c a sin x +b cos x +c a cos x − b sin x a sin x+ b cos x+ c dx=ln|a sin x +b cos x +c|+C tính cos x 2sin x dx 4cos x 3sin x Giải: Bằng cách cân hệ số bất định, tìm A và B cho: cos x 2sin x A 4cos x 3sin x B 4sin x 3cos x , x cos x 2sin x A 3B cos x A B sin x, x A 4 A 3B 1 3 A B 2 B 4sin x 3cos x I dx x ln 4cos x 3sin x C 5 5 4cos x 3sin x I Loại 3: Tính dx a sin x b sin x cos x c cos x d dx dx cos x I a d sin x b sin x cos x c d cos x a d tan x b tan x c d Phơng pháp: (36) dt a d t bt c d dx t tan x dt I cos x Đặt Ví dụ minh họa: Tính: I đã tính dx sin x 2sin x cos x 3cos x dx dx cos x I sin x 2sin x cos x 3cos x tan x tan x Giải: Ta có Đặt I t tan x dt dx cos x dt dt t1 tan x ln C ln C t 2t tan x t 1 t 3 t VD: Tính các tích phân sau: 1 cos xdx ; ; 2 sin xcos xdx 2 12 ;8 sin cos x dx 6 dx sin x ;9 sin ;13 xdx xcos3 xdx 3sin x cos x 5dx ;4 tan ; sin x cos xdx 4 cos xdx ;10 1 sin xdx dx x s inx cos x 3cos x ;6 sin xcos ;11 ;14 sin 3x dx 4sin x 3cos x 5dx dx x 5s inx cos x 6cos x a sin x b cos x Chú ý: dx Nếu gặp nguyên hàm dạng: c s inx d cos x a sin x b cos x c cos x d sinx a.sin x b cos x A B |c sin x +d cos x| dx c sinx d cos x c sinx d cos x c sin x d cos x Ta xét: =Ax+Bln +C Ta quy đồng và đồng thức tìm hệ số A và B, gặp tích phân dạng này thì ta làm tương tự trên VD: Tính các tích phân sau: 0 ; 3sinx 2sinx+ cos xdx 2sinx+3cos x dx s inx-2 cos x sinx-3cos x s inx cos x dx ; ; 3cos x s inx 2cos xdx ; 2sinx+ cos x s inx-cos x dx 2sinx 3cos x ; s inx cos x 5dx 3sinx-cos x 2s inx+ cos xdx (37) 2 Khi gặp tích phân dạng: sin n x I n dx sin x cos n x x t cách giải đặt : thì ta có tích phân n sin x cos n x I n dx n dx sin x cos n x sin x cos n x 0 =J Hai tích phân I và J là hai tích phân liên hợp với và I nhau, ta muốn tính I ta làm sau :I+J=2I= Tính J cos n x n dx n sin x c os x thì ta làm tương tự VD: Tính các tích phân sau: cosx dx sin x c os x ;2 sin x dx 3 sin x c os x ; cos x dx 6 sin x c os x sin 2011 x dx 2011 2011 sin x c os x ; Chú ý: Nếu tìm nguyên hàm thuộc dạng này thì ta làm b V TÍCH PHÂN TRUY HỒI : Cho tích phân I n f x, n dx; n N a b I +Nếu tìm hệ n và tích phân đồng dạng với nó, ví dụ : I n f x, n 1 dx; n N a b I n f x, n dx; n N a +Nếu tính , thì ta bảo hệ thức đó là hệ thức truy hồi In I1 I thì ta tính I n theo bước +Để có hệ thức truy hồi ta thường dùng phương pháp tích phân phần để giải * Chú ý : Cho tích phân I n f x, n dx; n N thì ta làm tương tự VD: Tính các tích phân sau: Cho Cho I n ln n xdx; n N Tìm hệ thức I n cos n xdx; n N Tìm hệ thức In và In và I n 1 .Hãy tính In .Hãy tính KQ: I n Cho x 1 n dx; n N * I n 1 Chứng minh rằng: I2 KQ: I n 1 x ln n1 x n 1 I n I I3 I , và nI n s inx.cos n x n 1 I n x 2n In n 2n x 1 2n (38) Cho I n x n e x dx; n N Lập công thức truy hồi cho Cho I n x n cos xdx; n N Chứng minh rằng: In I n và tính I Cho I n 1 Chứng minh rằng: I n e nI n n n n 1 I n I I 2n Hãy tính , I n x n xdx; n N KQ: 2n In 2n Hãy tính I n Tính các tích phân sau: a I n cos n xdx; n N ; b I n sin n xdx; n N ; c I n tan n xdx; n N VI TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM ĐẶT BIỆT : VI.1 Các bài tập mẫu : I VD 1: Chứng minh Giải: Đặt xdx 4 sin Do đó : I= 0 x x t dx − π dt Khi x= π , thì t = - π =− I tdt − sin2 t π I t thì xdx 0 sin x Suy : 2I = Ta x a VD Cho hàm số y f ( x ) liên tục a I Chứng minh : Ta có a; a và chẵn trên đoạn a I f ( x) dx 2 f ( x)dx Khi đó a f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a (1) J Ta tính: f ( x)dx cách đặt x t t a dx dt a a a J f ( x)dx f ( t )dt f (t )dt f ( x)dx a a (2) a a (39) a I Thay (2) vào (1) ta được: I Giải: Ta có x cos x dx x 4 sin VD 3: Tính tích phân: I f ( x)dx 2f ( x)dx a a x cos x x dx dx 2 sin x sin x 2 x f1 ( x) ; sin x Do: là hàm số lẻ trên nên và cos x sin x là hàm số chẵn trên cos x dx sin x f ( x) x dx 0 sin x ; nên ta có: cos x cos x d (sin x) dx 2 dx 2 sin x sin x (sin x 2) sin x 2 sin x I ln ln sin x 2 Vậy: VD Cho hàm số y f ( x ) liên tục và chẵn trên đoạn [ −α : α ] α Khi đó α f (x ) I = x dx= f (x)dx −α −α a + Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx at 1 t Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= a Khi x= - α thì t = α α Vậy I = −α α thì t =- α α t f (x) a f (t ) dx= t dt= x a +1 − α a +1 −α α Suy ;x= α α f (t ) f (t ) dt t dt f ( x)dx I a +1 −1 f (t )dt a 1 t a +1 t f (x) I = x dx= f ( x)dx −α −α a + (40) x4 I dx x 1 VD : Tính tích phân: Giải: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx Khi x= - thì t = ; x =1 thì t =-1 I = Vậy −1 4 1 x5 I x dx 1 Suy t x t dx= − t dt= t t dt x +1 − +1 −1 +1 1 1 t dt= x dx − I t − +1 −1 −1 0; VD Cho f(x) liên tục trên đoạn ¿ t dt − f (sin x)dx f (cos x)dx .Khi đó: 0 t x dx dt Chứng minh: Đặt t x , Khi x = thì f (sin x )dx Do đó thì t = f (sin( t )dt f (cos t )dt f (cos x)dx 0 Nhận xét : Bằng cách làm tương tự hãy chứng minh các công thức a+T 1) Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T, liên tục trên [0;T]; [a;a+T] thì a α 2) Với a>0, f(x) là hàm chẵn, liên tục trên R, Với số thực α ta có : −α π 3) Nếu f(x) liên tục trên [0; π ¿ thì i/ T f ( x)dx= f ( x)dx α f ( x)dx = f ( x)dx −α ax +1 ❑ xf (sin x)dx= 2 π f ( sin x )dx 2❑ 2 xf (cos x) dx f (cos x)dx 2i/ 4) Nếu f(x) liên tục trên [ ; π a) π ¿ thì π f (sin x) dx= f (cos x)dx b) f (cot x)dx f (tan x)dx 0 (41) VD 7: Tính tích phân: x sin x dx cos x x t t dx dt Giải: Đặt x sin x dx cos x Khi đó t sin t dt sin t dt t sin t dt sin x dx x sin x dx cos t cos t cos x cos x cos t 0 0 x sin x sin x 2 dx dx 2 cos x cos x 0 Vậy x sin x sin x 2 dx dx 2 cos x cos x 0 BT: Tính các tích phân sau: ln x x dx 2 x cos x dx x 1 ; 2 x sinx dx x 1 ; cos x dx ex ; DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY Lý thuyết b 1.Miền (D) giới hạn các đường : y=f(x); y=g(x); x=a;x=b có diên tích:SD= |f ( x )− g (x)|dx a 2.Miền (D) giới hạn các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b quay quanh trục Ox nó tạo vật trể tròn xoay có b thể tích : VOx = π f (x) dx a 3.Miền (D) giới hạn các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b quay quanh trục Oy nó tạo vật trể tròn xoay có b thể tích : VOy = π f ( y )dy a Bài tập áp dụng Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: 1) y= |x − x +3| ;y=3 (ĐS: 8(đvdt)); 2) y= |x − 1|; y =|x|+5 ¿ 73 (ĐS: ¿ đvdt)) ¿ 3) x= x √ y ; x+y-2=0 ;y=0 (ĐS: ¿ đvdt)) ; 4) y=x2 ; y= ; y = x (ĐS: 8ln3) 5) y=x2 ; y= x 27 ; y= 27 x (ĐS: 27ln3) ;6) y=x2 ; x=y2 7) y=ex ; y=e-x ;x=1 Bài : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay miền (D) giới hạn các đường: 1.y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox (ĐS : 16 π ¿ ; y=x2 ; x=y2 quanh Ox (42) 16 π ¿ y=2x-x2 ; y=x2-2x quanh Ox (ĐS : a.Quanh Ox (ĐS : 512 π ¿ ; 15 y=(x-2)2 và y=4 a Quanh Ox ; y=-x2+4x và trục Ox : b Quanh Oy 256 π ¿ ; b Quanh Oy (ĐS : y=x2+1 ,Ox ,Oy và x=2 a Quanh Ox 128 π ¿ (ĐS : 128 π ¿ (ĐS : 206 π ¿ ; b Quanh Oy (ĐS : 12 π ¿ 15 (ĐS : VII BÀI TẬP ÔN TẬP: 1 A (cos x sin x )dx ( KQ : A ) C x x e5 11 e ; ; B x x dx( KQ : B 6) dx( KQ : ) 624 ; e5 ln x dx x ln x 2 x ln x ln ln x dx e 1 64 D dx( KQ : D ln ) 33 x x 1 x 1 dx x x ; ; 1 dx 2 ( x 1)( x 3) e 1 x2 1 x3e x dx KQ : ln xdx KQ : e 3 2 ; 11 10 CĐ2002: x ; 12 f x 13.CĐ2003 Cho hàm số: 14.ĐH:2002D x a x 1 2 x dx KQ : 15 16.ĐH 2003D ln 20 dx KQ : ex f x dx 5 .Tìm a, b biết rằng:f’(0)=-22 và ;15.ĐH:2002A x ; 17 ĐH 2003B 2sin x dx KQ : ln sin x 1 5 4 x xdx KQ : x x2 dx KQ : ln 15 18 ĐH 2003A ; 19.TN2003 ln8 22 CĐ2003 x 1076 dx KQ : x 15 ; 21.CĐ2003 x e ;23 CĐ2003 1 cos2 xdx KQ : ln 1076 e2 x e x dx KQ : 15 20.TH2003 ln x2 1 dx x x ; e2 x bxe x 2 x x dx KQ :1 ln 1 1076 dx KQ : x 15 cos x sin xdx KQ : (KQ:a=8,b=2) (43) 24 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bỡi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bỡi trục Ox x s inx x và đường y= KQ: V 3 x4 x 1 16 17 dx KQ : ln ln x x dx KQ : 3ln x 4 25 CĐ2003 ;26 ĐH 2004D e 27 ĐH 2004B 3ln x ln x 116 dx KQ : x 135 x 11 dx KQ : 4ln ;28 ĐH 2004A 1 x 3 sin x t anx dx KQ : ln 8 29.CĐ2004A 31.CĐ2004D t anx e sinx ;30.CĐ2004B 1 x 1 cos xdx KQ : 2 33.TH2004 ln x 76 dx KQ : 15 ; 34 TH2004 x ln x sinx cos x e cos xdx KQ : e 35 ĐH 2005D ;36 ĐH 2005B sin x sin x 34 dx KQ : 27 37 ĐH 2005A 3cos x ; 38 CĐ2005A x 1 sin xdx KQ : 39 CĐ2005B ;40 CĐ2005D 41 TH2005 x x dx KQ : ln 1 ; 42 TH2005 dx KQ : ln 1 x ln xdx KQ : 2ln e ln x 10 11 dx KQ : x 2ln x sin x cos x cos x 10 2 cos x dx KQ : ln e 1 x s in xdx KQ : 2 ;32.TH2004 x2 231 dx KQ : 10 x 1 2 x 1 1 dx KQ : ln 12 x 1 43.TH2005Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi các đường:y=x2-x+3 và y=2x+1;KQ: S= 3 3e 2x dx KQ : ln x e dx KQ : x x e 2e 2 44 ĐH 2006D ;45 ĐH 2006B 46 ĐH 2006A 2 2 dx KQ : x cos xdx KQ : 3 cos x 4sin x ;47 CĐ2006D sin x (44) x x 1 x 1 dx KQ :1 ln ln dx KQ : ln x x 48 CĐ2006B ; 49 CĐ2006A H y x , y x , ( KQ : S ) 50 TH2006 Tính diện tích hình phẳng x 1 x H y 0, y , ( KQ : S ln 2) x 1 51 TH2006 Tính diện tích hình phẳng H y x , y x 52 TH2006 Cho hình phẳng .Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên H quay quanh 128 KQ : V 15 trục Ox e 3e x ln xdx KQ : 16 53 ĐH2007D 54 ĐH2007B Cho hình phẳng H y x ln x, y 0, x e .Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên H 5e3 KQ : V 27 quay quanh trục Ox 55 ĐH2007A Tính diện tích hình phẳng H y e 1 x, y e x x ,( KQ : S e ) x ln x 1 H y , x 0, x e 1, y , ( KQ : S ) x 1 56.ĐH2008BD Tính diện tích hình phẳng 3 ln x ln dx KQ : dx KQ : ln e e x e 1 x 1 57 ĐH2009D ; 58 ĐH2009B e 3 e2 cos x 1 cos xdx KQ : x ln xdx KQ : x 59 ĐH2009A ; 60 ĐH2010D e 61 ĐH2010A x e x x2 e x 1 2e dx KQ : ln x 2e 3 ln x x ln x ;62 ĐH2010B 3 dx KQ : ln 2 63 ĐH 2011A x sin x x 1 cos x dx KQ : ln 1 x sin x cos x 64 ĐH 2011D 4x x 1 2dx KQ : 34 3 10 ln 5 x sin x 2 dx KQ : ln x ;65 ĐH 2011B Bài tập rèn luyện Bài 1.Tính các tích phân sau: ; cos (45) sin x cos x 1) dx cos x 2) dx sin x (sin x cos x 3) x5 x3 3 9)x3 x 1dx 10) ; x x 4 x dx 17) x 1 e ; x e x 18) dx ( x 2) e 21) x(e2 x x 1)dx 22) (esin x cos x) cos x.dx ; 1 26) x x π 2 e dx ; 28) 29) 23) ; 25) e cos (ln x)dx ; 30) |ln x|dx e x.tan x √1 − x dx ; 24) e sin x sin x cos3 x dx π e e x3 19) ln x.dx 20)ln( x x).dx x ; 2 ln(1 x) 16) dx x ; dx 15) x x3 ; ; 1 12) dx x x dx 11) 2 x ( x 1) 13) x x dx 14) ( x 1)e dx ; 3 tan x 7) dx 8) x tan x.dx cos x cos x dx ; x 1 dx 6) dx x x 1 ; 5) x dx cos x 3) (2 x 1) cos x.dx 4) ; π π sin xdx 41+cos x dx x √ 1− ln x ln1+xx2 dx ; 26) ; 27) sin √ x dx ; 31) xdx π π 32) e2 sin(ln x)dx ;33) ;34) cos x ln(1+cos x )dx π xdx sin x 37) π π π dx ;35) 0 π xe −x π ; 38) x sin x dx cos x ; 39) −π 41) sin2005 xdx π ;42) √1 −cos x dx ; 43) x dx 4x+cos − sin x −π ;44) ( π2 ) sin √3 x dx 2004 π ; 36) x − x +7 x − x +1 dx cos x −π 2π cos (ln x)dx π sin x ln (tgx) dx e2 x +1 x +√ ¿ ¿ cos x ln ¿ π ¿ −π ;40) (46) π 45) dx (e x +1)( x 2+1) ;46) −1 x |sin x| dx x+ −π π π π 2 ;47) x sin x dx 49) x sin x cos xdx ; 50) 0 1+ cos x 53) CMR : π ;48) ; 51) x cos x sin xdx ; 52) 54)Tính: a) n x dx sin n n sin x +cos x ; b) π ; sin x+ cos x ¿ ¿ ¿ cos x −6 sin x c) ¿ π ¿ ¿ 0 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bỡi các đường sau: D y xe x , y 0, x 1, x 2 ; x 3x D y , y 0, x 0, x 1 x 1 D y xe x , y 0, x 1, x 2 D y x 1 , y e x , x 0, x 1 D y sin xcos3 x, y 0, x 0, x 2 ;6 1 D y , y , x , x sin x cos x 3 ;8 D y 2 s inx, y 1 cos x, x 0, x ;10 D y e x , y e x , x 1 11 Tìm a cho diện tích hình phẳng giới hạn bỡi các đường sau x2 D y , y 1, x 0, x a x 1 12 14 16 18 3x D y , ox, oy x ;13 D y x x , y 0, x 1 D x y , x y 0, y 0 D y y x, y x 0 ln x D y , y 0, x 1, x e x ; ln x D y , y 0, x 1, x 2 x D y x x , y x 0 x +cos x dx x +1 x dx 9+x4sin cos2 x √sin x (¿− √cos x ) dx π π sin −π sin n x dx= cosn xdx sin x sine x2+1x cos x dx −π π π π ;15 D y x x, y x x ;17 D y x 0, y x 0 x2 x D ,y 4 ;19 (47) Bài 3: Tính thể tích các vật thể tròn xoay giới hạn bỡi các đường sau quay quanh trục Ox:1 y t anx, x 0, x , y 0 ; y x ln x, x 1, x e, y 0 CHƯƠNG SỐ PHỨC I Bài tập rèn luyện: Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: B 1 6 11 A i 4i i 5 5 C 3i 2 i i 3 i 1 i E i 1 2010 3 i 1 i 1 ; 1 i i 1 i i 1 i i 1 i i D ; 2010 1 i F 1 i ; G 1 i i i i 2008 2009 i 2010 2011 i 2012 i i i i 2007 20 30 1 i 10 3i 3i H 1 i i i i 20 ; Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a (7+2i)x-4+5i = -2+8i ;b (3+2i)x-6ix=(1-2i)[x-(1+5i)] 2i 3i z i c i e ; d z z 2 4i z g z2+ =0 k (1-ix)2 + (3+2i)x-5=0 m 2x4+3x2+1=0 i z i iz 0 2i ; f 1 i 18 x x 3i x i ; h z2+ z =0 ; l x -x -6=0 ; n 4x4+4x2+1=0 1 i ; i z2+ z =0 x1 , x2 là hai nghiệm PT: x x 0 Hãy tính: x1 x2 1 2 3 4 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x x x x2 a A= ; b B= ; c C= ; d D= ; e E= Bài 3: Biết Bài 4: Tìm các số a, b để có phân tích sau: a 2z3-9z2+14z-5=(2z-1)(z2+az+b)=0 giải PT trên tập C: 2z3-9z2+14z-5=0 b x4-4x2-16x-16=(x2-2x-4)(x2+ax+b) giải PT trên tập C: x4-4x2-16x-16=0 Bài 5: Lập PT bậc hai có nghiệm là: a i và i ; Bài 6: Tìm số phức z thõa : b 2i và 2i ; c i và i 2 1.(z+i)2=1 ; 2.(z+1)(z-1)=2+4i ; z 1 i z 1 ; z -2z=1+2i đs:z=-I ; 108 12 161 17 z 2i z i 3Z Z 5i 3; kq : z i i kq : z 2 90 z i z ; z 10 1 1 ; kq : z i 10; z i 10; z 10; z 10 z z z ; kq : z 0; z i; z i z lasothuc 2 2 ;8 i (48) z i z z.z 2 i 640 16 640 16 640 16 640 16 z i; z i 20 80 20 80 z i kq : z 4i 1 z ; 11 z i 10 +z=3-4i (đs:z=0;z=1;z=-1) ; 12 13 z 2i z z i z (đs: z=1+i); 14 z z 1 z i z 3i 1 z i ; và z2 là số ảo 6 6 6 6 i; z i; z i; z i kq : z 2 2 2 2 z i 2 z.z 20 2 z z z z 2i 5 14 ; 15 ;16 và z2 là số ảo Bài 7:Tìm tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số z thõa điều kiện sau: 1 ; z z 4 z z i 2 z 1 a và phần ảo z thuộc đoạn ;b ; c z i z z 2i z ( z )2 4 d (2-z)(i- z ) là số thực tùy ý ; e (2-z)(i+ z ) là số ảo tùy ý; f ; g h n z 1 ; i z 2i z i z 3i z z 2i ; p ; k z 3i 14 z z 2 ; q ; l z z 1 ; m z 2i z 2i 6 z z 3i 13 ; r z+2i là số thực z 3i 1 z i 2 z z 4 z i s z-2+i là số ảo; t z z =9 ; v ; u ; x II Các bài các đề thi tốt nghiệp và đại học: 7 x1 i; x2 i 4 4 TN 2006 Giải PT: 2x2-5x+4=0 trên tập số phức KQ: x 2 i 3; x2 2 i TN 2007 lần Giải PT: x2-4x+7=0 trên tập số phức KQ: TN 2007 lần Giải PT: x2-6x+25=0 trên tập số phức KQ: x1 3 4i; x2 3 4i 3i TN 2008 lần Tìm giá trị biểu thức: A= 3i KQ: A=-4 TN 2008 lần Giải PT: x2-2x+2=0 trên tập số phức KQ: x1 1 i; x2 1 i 1 1 x1 i; x2 i 4 4 TN 2009(CB) Giải PT: 8z2-4z+1=0 trên tập số phức KQ: x1 i; x2 i TN 2009(NC) Giải PT: 2z2-iz+1=0 trên tập số phức KQ: 3 x1 i; x2 i 2 2 TN 2010(GDTX) Giải PT: 2z2+6z+5=0 trên tập số phức KQ: TN 2010(CB) Cho hai số phức z1 1 2i; z2 2 3i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1 z2 KQ: Phần thực: -3; phần ảo: (49) 10 TN 2010(NC) Cho hai số phức z1 2 5i; z2 3 4i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1.z2 KQ: Phần thực: 26; phần ảo: 2 z1 z2 z , z 2 11 ĐH 2009A(CB) Gọi là hai nghiệm PT z +2z+10 = Tính giá trị biểu thức A= KQ:A=20 z i 10 12 ĐH 2009B(CB) Tìm số phức z thõa mãn và Z Z =25 KQ: z=3+4i ; z=5 13 ĐH 2009D Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn diều kiện z 4i 2 KQ: Đường tròn tâm I(3;-4), bán kính R=2 14 CĐ 2009A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn: (1+i)2(2-i)z=8+i(1+2i)z Xác định phần thực và phần ảo z KQ: phần thực: -2; phần ảo: z 7i z 2i z i 15 CĐ 2009A,B,D (NC) Giải PT: trên tập số phức KQ: z1 1 2i; z2 3 i 16 ĐH 2010A(CB) Tìm phần ảo số phức z, biết: Z 3i Z 1 i 1 2i KQ: i Tìm môđun Z iZ KQ: 17 ĐH 2010A(NC) Cho số phức z thõa mãn: 18 ĐH 2010B Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn diều kiện z i 1 i z KQ: Đường tròn tâm I(0;1), bán kính R= z 19 ĐH 2010D Tìm số phức z thõa mãn điều kiện và z2 là số ảo KQ: z1 1 i; z2 1 i; z3 i; z4 i 3i Z i Z 3i Xác định phần thực và phần 20 CĐ 2010A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn: ảo z KQ: phần thực: -2; phần ảo: 21 CĐ 2010A,B,D (NC) Giải PT: z2-(1+i)z+6+3i=0 trên tập số phức KQ: x1 1 2i; x2 3i 22 TN 2011(CB) Giải PT: (1-i)z+2-i=4-5i trên tập số phức KQ:z=3-i 23 TN 2011(NC) Giải PT: (z-i)2+4=0 trên tập số phức KQ: z1 3i; z2 i 24 ĐH 2011D(CB) Tìm số phức z, biết: 25 ĐH 2011B(CB) Tìm số phức z, biết: z 3i z 1 9i z KQ: z=2-i 5i 0 kq : z1 i 3; z2 2 i z 1 i z i 26 ĐH 2011B(NC) Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: (kq: phần thực và phần ảo 2) 1 1 z z z; kq : z1 0; z2 i; z3 i 2 2 27 ĐH 2011A(CB) Tìm số phức z, biết: 28 ĐH 2011A(NC) Tính môđun số phức z, biết: z 1 i z 1 i 2 2i; kq : z Chuyên đề: THỂ TÍCH A Thể tích khối chóp, khối chóp cụt I Tóm tắt lý thuyết 2 (50) V B.h Thể tích khối chóp đó B là diện tích mặt đáy, h là chiều cao khối chóp Thể tích khối chóp cụt V (B B' B.B').h đó B, B’ là diện tích hai mặt đáy, h là chiều cao khối chóp cụt (là khoảng cách hai đáy) II Bài tập Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Tính thể tích khối chóp theo a và trường hợp sau: a là góc mặt bên và mặt đáy b là góc cạnh bên và mặt đáy c là góc đường cao và mặt bên d là góc hai mặt bên kề a3 a tan V V Đs: a b a co t V ; a3 a3 V V tan 1 cot 2 d 2.tan c 1 Ví dụ 2: Cho hình chóp cụt tứ giác có diện tích xung quanh nửa diện tích toàn phần, cạnh đáy lớn a, cạnh đáy nhỏ b Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp cụt (a b ab)ab V Sxq a b 3(a b) Đs: ; Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a và cạnh bên tạo với mặt đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy Góc SC và mặt phẳng (SAB) 300 a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Xác định và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông b Tính thể tích các khối tứ diện SACD, SBCD biết SA = AB = a Bài tập 4: Cho tứ diện cạnh a a Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b Tính diện tích mặt cầu (51) c Tính thể tích khối tứ diện Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD a Biết AB = a và SA = b, tính thể tích khối chóp b Biết SA = b và góc mặt bên và mặt đáy , tính thể tích khối chóp c Biết trung đoạn d và góc cạnh bên và mặt đáy là , tính thể tích khối chóp Bài tập 6: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 a Xác định tâm và tính bán kính mạt cầu ngoại tiếp hình chóp b Tính thể tích khối chóp Bài tập 7: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, các mặt bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp Bài tập 8: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy Từ A kẻ các đường thẳng AD SB , AE SC Biết AB = a, BC = b, SA = c a Tính thể tích khối chóp S.ADE b Tính khoảng cách từ E đên mặt phẳng (SAB) Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD = b, SA = c Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc các đoạn SB, SD cho AB' SB , AD' SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp đó Bài tập 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy là a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng qua AM và song song với BD cắt SB E, cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF Bài tập 12: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất các cạnh a a Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C b Mặt phẳng qua A’B’ và trọng tâm ABC cắt AB và BC E và F Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE Bài tập 13: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a Gọi B’ là trung điểm SB, C’ là chân đường cao hạ từ A ABC a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Chứng minh SC (AB'C') c Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ Bài tập 14: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, AB = 2a, ABC vuông C và BAC 30 Gọi H, K là hình chiếu vuông góc A trên SC và SB a Tính thể tích khối chóp H.ABC b Chứng minh AH SB và SB (AHK) c Tính thể tích khối chóp S.AHK Bài tập 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài tập 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh SB, BC, CD a Chứng minh AM BP b Tính thể tích khối tứ diện CMNP (52) Bài tập 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ABC BAD 90 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD) Bài tập 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AB = a, AD = a và SA (ABCD) Gọi M, N là trung điểm AD và SC, I là giao điểm BM và AC a Chứng minh (SAC) vuông góc với (SMB) b Tính thể tích khối tứ diện ANIB SA (ABC) Bài tập 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và Gọi M, N là hình chiếu vuông góc A trên các đường thẳng SA và SC Tính thể tích khối chóp A.BCMN Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, cạnh huyền BC = a, mặt bên SBC tạo với mặt đáy góc Hai mặt bên còn lại vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp Bài tập 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAC) vuông góc với mặt đáy, ASC 900 và SA tạo với đáy góc Tính thể tích khối chóp Bài tập 22: Cho hình chóp S.ABC có BAC 90 , ABC , SBC là tam giác cạnh a và (SAB) (ABC) Tính thể tích khối chóp Bài tập 23: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao h, góc đỉnh mặt bên 2 Tính thể tích khối chóp Bài tập 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành có diện tích a và góc hai đường chéo 600 Biết các cạnh bên hình chóp nghiêng trên mặt đáy góc 450 a Chứng minh ABCD là hình chữ nhật b Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài tập 25: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA = x, tất các cạnh còn lại có độ dài a Chứng minh SA SC b Tính thể tích khối chóp Bài tập 26: Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD là nửa lục giác với AB = BC = CD =a, AD = 2a Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy, (SBD) tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 450 a Tính thể tích khối chóp b Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) Bài tập 27: Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a, AC = AD = BC = BD = CD = a Thể tích khối lăng trụ, khối hộp I Tóm tắt lý thuyết Thể tích khối lăng trụ V = B.h đó B là diện tích mặt đáy, h là chiều cao khối lăng trụ (là khoảng cách hai đáy) Lưu ý: Nếu là lăng trụ đứng thì h là độ dài cạnh bên Thể tích khối hộp chữ nhật V abc Thể tích khối lập phương II Bài tập V a (53) Bài tập Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cạnh a, và đỉnh A cách các đỉnh A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ a3 V Đs: Bài tập Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên a và hợp với đáy góc 600 Đáy là hình thoi có góc BAD 60 và AC 2a Mặt chéo ACC’A’ vuông góc với đáy Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V a Bài tập Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất các cạnh và a, 'AB BAD 'AD 600 A A Tính thể tích khối hộp V a Đs: 2 Bài tập Cho khối hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD , góc AC và mặt đáy Tính thể tích khối hộp V 2a sin .cos tan Đs: Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ a a1 ,a , a , b b1 , b , b3 Tọa độ vectơ: Cho Ta có a b a1 b1 ;a b2 ;a b3 k.a ka1;ka ;ka a b1 a b a b a b a.b a1b1 a b a 3b a a12 a 22 a 32 Tọa độ điểm: Cho a a a b 1 b1 b b3 a cùng phương a b a1b1 a b a 3b 0 a1b1 a b a 3b3 cos a, b a12 a 22 a 32 b12 b 22 b 32 A(x A; y A ;z A ), B(x B; y B ;z B ),C(x C; y C ;z C ) AB x B x A ; y B y A ;z B z A 2 AB AB x B x A yB yA z B z A x x B yA yB zA zB M A ; ; 2 M là trung điểm AB x x B x C y A yB yC z A z B zC M A ; ; 3 G là trọng tâm tam giác ABC a a1 , a , a , b b1 , b , b3 Tích có hướng hai vectơ: (54) a a a a1 a1 a a, b b b ; b b ; b b 3 1 2 Tích có hướng hai vec tơ a và b là vectơ, k/h: a, b c 0 - Điều kiện để vectơ đồng phẳng: a, b,c đồng phẳng b a, b 0 a - cùng phương SABCD AB, AD - Diện tích hình bình hành ABCD : SABC AB, AC - Diện tích tam giác ABC : VABCD AB, AC AD - Thể tích tứ diện ABCD : VABCD.A ' B 'C ' D ' AB, AD AA ' - Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': B BÀI TẬP Bài Cho tam giác ABC, biết A(2; 0; 1), B(1; -1; 2), C(2; 3; 1) a) Tam giác ABC có góc A nhọn hay tù? b) Tính chu vi tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm M trên trục tung cho tam giác MBC vuông M Bài Cho tam giác ABC biết A(3;4; -1), B(2; 0; 3), C(-3; 5; 4) Tính độ dài các cạnh tam giác ABC Tính cosin các góc A, B, C và diện tích tam giác ABC Bài Cho điểm A(3 ; ; -1), B(-2 ; ; 3), C(0 ; ; 2) a Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H tam giác ABC b Xác định tọa độ điểm A' là chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A c Gọi I là điểm chia đoạn HG theo tỉ số k = Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài Cho điểm A(a ; ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; ; b), D(a ; a; b) với a b a Chứng minh AB vuông góc với CD b Gọi I, J là trung điểm AB và CD Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung AB và CD Bài Cho điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2), C(0; 2; -1) và D(1; 4; 0) Chứng minh ABCD là tứ diện Tính thể tích nó Bài Cho A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D Oy Biết thể tích tứ diện ABCD Tìm tọa độ D Tìm tọa độ hình chiếu H O lên mp(ABC) Bài Cho hình chóp S.ABC, biết A(1; 2; -1), B(5; 0; 3), C(7; 2; 2), SA (ABC) , S (Oyz ) Tìm tọa độ điểm S Bài Cho điểm cố định A(1 ; 1; 0), B(0 ; ; 1) và điểm di động M(m ; ; 0), N(0 ; n ; 0) (m, n R * ) a) Tìm quan hệ m, n để OA MN b) Tính thể tích hình chóp B.OMAN c) M, N di động cho m.n = Tính m, n để VB.OMAN nhỏ Bài Cho điểm A(1 ; 1; 1), B(2 ; -1 ; 3), C(2 ; 1; 1) và D(3 ; ; 2) a Chứng minh A, B, D, C đồng phẳng b Cho E(1 ; ; 3) Chứng minh EA (ABC) Tính thể tích tứ diện E.ABC c Tính khoảng cách từ B đến (ACE) Bài 10 Cho điểm A(2 ; -1 ; 3), B(1 ; ; -2), C(-1 ; ; 3) và D(0 ; m ; p) Xác định m và p để điểm A, B, C, D theo thứ tự tạo thành hình bình hành (55) Bài 11 Cho điểm A(-2 ; ; 2) và B(1 ; -2 ; 2) a Chứng minh OAB là tam giác vuông cân b Tìm M thuộc Ox nhìn đoạn AB góc vuông c Tìm tập hợp điểm N thuộc mp(Oxy) nhìn đoạn AB góc vuông BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng: * n là VTPT mp( ) nếu: n ( ) a , b a , b Chú ý Hai vectơ không cùng phương có giá chứa song song với ( ) Khí đó: là vectơ pháp tuyến ( ) Nhận xét: Một mp có vô số VTPT cùng phương với 2) Phương trình tổng quát mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = (A2 + B2 + C2 0 ) + Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = thì có VTPT: n ( A; B; C) + Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) và có VTPT là n ( A; B; C) thì có pt: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = + Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz các điểm (a ; ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là: x y z 1 a b c (phương trình theo đọan chắn) + MpOxy: z = + Mp(Oyz): x = + Mp(Ozx): y = d M ;( P ) Ax By0 Cz0 D M x0 ; y0 ; z0 A2 B C 3) Khoảng cách từ đến (P) tính theo công thức : 3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng): Ax+By + Cz +D = và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = (m, n không đồng thời 0) B CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I. Phương pháp: Để viết phương trình mặt phẳng (P) ta thường tìm điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ( P ) và VTPT A x x0 B y y0 C z z0 0 n A; B; C mặt phẳng (P): đó (P): Nhận xét 1: Để tìm VTPT mp ta thường sử dụng chú ý D ' D Nhận xét Cho (P): Ax + By + Cz + D = Nếu (P)//(Q) thì (Q): Ax + By + Cz + D’ = II Bài tập Bài 1: Viết PT mp (P) qua A(-2 ; -1 ; 0) và song song với mp (Q): x - 3y + 4z + = Bài 2: Viết PT mặt phẳng (P) các trường hợp sau: a) Qua ba điểm A(1 ; -1; 2), B(2 ; ; 0) và C(-2 ; ; 2) b) (P) Là mặt trung trực AB c) Qua C và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 2z = và (R): x - z + = Bài 3: Cho A(1 ; -1 ; 3), B(3 ; ; 1) và C(0 ; ; 5) a) Viết phương trình mp(ABC) b) Viết phương trình mp qua O, A và vuông góc với (Q): x + y + z = c) Viết phương trình mặt phẳng chứa Oz và qua điểm P(2 ; -3 ; 5) Bài Trong không gian Oxyz, M(-4 ; -9 ; 12) và A( ; ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, A và cắt Oy, Oz B và C cho OB = + OC (B, C khác O) (56) Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua F(4 ; -3 ; 2) và vuông góc với giao tuyến hai mặt phẳng: (Q): x - y + 2z - = và (T): 2x - y - 3z = Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua E(3 ; ; 1) và vuông góc với giao tuyến hai mặt phẳng:(R): 19x - 6y - 4z + 27 = và (K): 42x - 8y + 3z + 11 = Bài Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: (P): x - 2y = 0, (Q): 3x - 2y + z - 3= và vuông góc với mặt phẳng: (R): x - 2y + z + = Bài Cho hai mặt phẳng: (P): 2x - y + z = 0, Q): x - 3y + = a) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua giao tuyến (P), (Q) và song song với Ox b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua giao tuyến xOy và (Q) và tạo với mặt phẳng tọa độ 125 tứ diện có thể tích 36 Bài (ĐH- 2010D Phần riêng chương trình chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – = ; (Q) : x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) cho khoảng cách từ O tới (R) Bài 10 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G(-2 ; ; 5) và cắt Ox, Oy, Oz A, B, C cho G là trọng tâm tam giác ABC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ) DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG I Phương pháp: Cho hai mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = Khi đó: A B C D A' B ' C ' D ' - (P)//(Q) A B C D ( P ) (Q ) A' B ' C ' D ' A B B C A C A ' B ' B ' C ' A ' C ' - (P) cắt (Q) Chú ý ( P) (Q) AA ' BB ' CC ' 0 II Bài tập Bài Xét vị trí tương đối các mặt phẳng cho các phương trình sau : 1) ( P ) :2 x y z 0;(Q) : x y z 0 2) ( P) : x y 3z 0;(Q) : x y z 0 ( P) : x y z 10 0;(Q) : x y z 0 2 3) Bài Cho hai mặt phẳng a) ( P) / /(Q) ( P ) : mx 10m y z 0 ; (Q ) : x m y z 0 Tìm m để b) (P) cắt (Q) DẠNG3.CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG Bài Tính khoảng cách từ các điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng () : 2x –2y + z – = Bài Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = Bài Cho (P): 2x + y – z – = 0, (Q): -4x – 2y + 2z + = a) Tính khoảng cách (P) và (Q) b) Viết phương trình mp(R) song song và cách mặt phẳng (P) và (Q) Bài (ĐH- 2010B) Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z +1 = Xác định b và c, biết mp(ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Các dạng phương trình đường thẳng: (57) x x a1t y y a t z z a t a (a1 ; a ;a ) là vectơ phương đường thẳng , với -Phương trình tham số: x x y y0 z z a a a a1.a2 a3 0 -Phương trình chính tắc: 2) Vị trí tương đối, tìm giao điểm hai đường thẳng: M x ; y ; z u a1 ; a2 ; a3 1 1 Cho đường thẳng qua điểm có VTCP và đường thẳng qua điểm M x2 ; y2 ; z2 u b1 ; b2 ; b3 có VTCP Khi đó: u ; u M M 0 - 1 và đồng phẳng x1 a1t x2 b1t ' u1 ; u2 M 1M 0 y1 a2t y2 b2t ' z a t z b t ' u1 ; u2 0 (t ; t ') - và cắt có nghiệm 0 Khi ' đó để tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng thì thay t và phương trình 1 thay t0 vào phương trình 2 u1 ; u2 0 M u1 ; u2 - 1 / / cùng phương và M 1 u1 ; u2 0 M 2 u1 ; u2 - 1 cùng phương và M x1 a1t x2 b1t ' y1 a2t y2 b2t ' z a t z b t ' u1 ; u2 - 1 và chéo không cùng phương và hệ vô nghiệm u1 ; u2 M 1M 0 B CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Lập phương trình chính tắc đường thẳng d qua M(2; 3; -6) và song song với đường thẳng d1 : x y2 z 1 Bài 2: Cho A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y - 17 = a) Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) b) Tìm giao điểm d với trục Oz x 2 t y t z 3 4t (d ) : Bài Cho (d1) : ; qua A vuông góc với (d1) và (d2) x y z 2 13 11 và điểm A(1 ; ; -3) Viết phương trình đường thẳng (d) x 1 y z , mặt phẳng ( P) : x y z 0 Viết Bài Cho điểm A(2 ;1 ; -2), đường thẳng (d) : phương trình đường thẳng (d’) qua A, song song với (P) và vuông góc với đường thẳng (d) (58) Bài Cho M(1 ; ; -3) và đường thẳng và cắt (d) x 1 2t (d ) : y 2 t z 3 3t Viết phương trình đường thẳng () qua M vuông góc x 2 t x y z 2 d1 : y t ;(d ) : z 3 2t Bài Cho (P) : x - 2y + z – = 0, đường thẳng đường thẳng () chứa mp(P) và cắt (d ), (d ) Bài Cho A(2 ; -1 ; -1) đường thẳng A vuông góc với (d1) và cắt (d2) Viết phương trình x 1 t x 2k d1 : y t ; (d ) : y 1 k z z k Viết phương trình đường thẳng (d) qua x 2t (d ) : y 2 t z 2t Bài Cho (P): x - y + z – = 0, đường thẳng Viết phương trình đường thẳng () Chứa (P) vuông góc với (d) và qua giao điểm (P) với (d) x y 3 z 4 và song song với đường Bài Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: thẳng d': x 1 t y 2 t z 1 2t x 1 t y 2 t z 1 2t Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d: và vuông góc với mp(Q): 2x - y - z = Bài 11 Lập phương trình chính tắc đường thẳng d qua điểm A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng d1 : x y2 z 1 và cắt đường thẳng: x 1 t y 2 t z 1 2t Bài 12 Lập phương trình đường thẳng d: x 1 y z x y2 z 3 a) d qua A(1 ; ; 3) và cắt hai đường thẳng: d1: và d2: b) d vuông góc với (P): x - y - z - = và cắt hai đường thẳng: x y 3 z x y 1 z và d2: 1 2 d1: (59) d1 : x y2 z 1 xuống măt phẳng: (P): x - y - z + = c) d là hình chiếu Bài 13 Lập phương trình đường thẳng d qua A(2 ; -5 ; 6), cắt Ox và song song với mp(P): x + 5y - 6z = Bài 14 Tìm tọa độ hình chiếu điểm A(1 ; -2 ; 1) lên mp(P): x + 5y - 6z = Bài 15 Lập phương trình tham số đường thẳng d cắt hai đường thẳng: x y z x 1 y z x y z ; 2 : 2 1 và song song với đường thẳng: d': Bài 16 Lập phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng: 1 : x 3 4t x 6t d1 : y t ; d : y 1 t z t z 2 2t Bài 17 Lập phương trình đường thẳng d qua A(-4 ; -2 ; 4), cắt và vuông góc với d': đường thẳng: x y z 1 1 Bài 18 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: x 1 y z x y z 1 : ; 2 : 1 2 a) Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 và song song với b) Cho điểm M(2 ; ; 4) Tìm tọa độ điểm H cho độ dài MH nhỏ x y 1 z 2 Bài 19 Trong không gian cho hai điểm A(2 ; ; 0), B(0 ; - ; 0) và đường thẳng d: a) Lập phương trình mp(P) qua A và vuông góc với d b) Tìm tọa độ N thuộc mặt phẳng (Q): x - 2y + z - = cho NA + NB nhỏ Dạng VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Vị trí tương đối hai đường thẳng: Tìm M0(x0 ;y0 ;z0) trên đường thẳng (d) và VTCP VTCP u ' = ( a’; b’; c’) (d’) u, u ' M M 0' 0 (d) và (d’) đồng phẳng u, u ' M M ' 0 0 u, u ' 0 (d) và (d’) cắt u, u ' 0 M (d) (d) // (d’) 0 u, u ' 0 M (d) (d) (d’) u = ( a; b; c) (d) Tìm M’0(x’0 ;y’0 ;z’0) trên (d’) và (60) u, u ' M M 0' 0 (d) và (d’) chéo Chú ý: có thể dùng cách khác để xét vị trí tương đối đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng (d) qua M(x0 ;y0 ;z0), có VTCP có VTPT n (A; B; C) u = ( a; b; c) và mặt phẳng ( ): Ax + By + Cz + D = Cách (d) cắt ( ) n.u 0 Aa +Bb +Cc Aa Bb Cc 0 n u (d) / /() M () Ax By Cz 0 Aa Bb Cc 0 n u (d) () M () Ax By0 Cz 0 x x0 at x y bt (*) x z0 ct Ax By Cz D 0 Cách Xét hệ phương trình - Nếu (*) vô nghiệm thì (d) / /() - Nếu (*) có nghiệm đúng với t thì (d) () x ;y ;z - Nếu (*) có nghiệm 0 thì (d) cắt ( ) và nghiệm hệ là tọa độ giao điểm Một số lưu ý: 1) Khi (d) cắt ( ) để tìm tọa độ giao điểm (d) và ( ) ta giải hệ gồm các phương trình (d) và ( ) 2) Tìm hình chiếu vuông góc điểm M trên mặt phẳng () - Viết phương trình đường thẳng () qua điểm M và () () - Tìm giao điểm () với () đó là điểm cần tìm 3) Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng () - Tìm hình chiếu vuông góc H M trên () - M’ đối xứng với M qua () H là trung điểm đoạn MM’ 4) Tìm hình chiếu vuông góc H M trên đường đương thẳng (d) - Viết phương trình mặt phẳng () qua M và () (d) - Tìm giao điểm () với (d) , đó là tọa độ H cần tìm 5) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d) - Tìm hình chiếu vuông góc H M trên (d) - M’ đối xứng với M qua (d) H là trung điểm đoạn MM’ B BÀI TẬP Bài 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau, chúng cắt hãy tìm tọa độ giao điểm : x y z a) d: và d’ x y t x 1 t x 1 2t y t x y z 3 z t 5 1 b) d: và d’: x y z x y z và d’: c) d: Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng sau, chúng cắt hãy tìm tọa độ giao điểm chúng: (61) x y z 3 và () : 4x + 2y – 8z +2 = a) d: x y z 3 và () : 2x + y – z –3 = b) d: x 12 4t y 9 3t z 1 t c) d: () : 3x + 5y – z – = x 1 t y 2 t z 1 2t Bài Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) : a) Tìm hình chiếu vuông góc H M trên (d) b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; ) và mặt phẳng () : x + 2y – z + = a) Tìm hình chiếu vuông góc N trên mặt phẳng b) Tìm điểm N’ đối xứng với N qua () x y z 2 3 Bài Cho mặt phẳng () : 2x + y + x – = và đường thẳng (d) : a) Chứng minh (d) cắt () b) Tìm tọa độ giao điểm A (d) với () c) Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A vuông góc với (d) và nằm mp(P) x y2 z 3 2m , () : x +3y – 2z – = Định m để: Bài Cho (d) : m a) (d) cắt () b) (d) // () c) (d) () x 1 t d y t z 3t x y 2 z 2 và Bài Cho a) Chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt b) Lập phương trình tổng quát mp(P) chứa (d1) và (d2) (d1 ) : x 3 2t d1 y 1 t z 5 t x 3 4k d y 2k z 1 2k x 1 d1 y 2t z 3 t x 3 3k d y 1 2k z Bài Cho và a) Chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) song song b) Lập phương trình tổng quát mp(P) chứa (d1) và (d2) Bài Cho và a) Chứng minh (d1) và (d2) chéo b) Viết phương trình đường vuông góc chung (d1) và (d2) BÀI KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ (62) d M ,() Ax By Cz0 D A B2 C M M1 , u d M1 , u Khoảng cách từ điểm M1 đến đt qua M0 và có vectơ phương u là: Khoảng cách hai đường thẳng chéo và ' đó: qua điểm M0 và có vectơ phương u , ' qua điểm M0' và có vectơ phương u ' u, u ' M M ' d , ' u, u ' Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) đến mp (): Ax + By + Cz = là: Góc hai mặt phẳng: Cho P : A1 x B1 y C1 z D1 0 và Q : A2 x B2 y C2 z D2 0 Khi đó góc n1.n2 A1 A2 B1B2 C1C2 cos n1 n2 A1 B12 C12 A2 B2 C2 n1 , n2 (P) và (Q) là xác định bởi: với là VTPT (P) và (Q) 0 Chú ý: 90 nên dấu giá trị tuyệt đối công thức là bắt buộc B BÀI TẬP x2 y z 1 Bài Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng : Bài Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo : x 1 y z x y2 z và (2): 1 1 (1): Bài Tìm trên Oz điểm M cách điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = x 1 2t y 2 t z 3t Bài Cho đường thẳng (d): và mặt phẳng () : 2x – y – 2z +1 = Tìm các điểm M (d) cho khoảng cách từ M đến () x y z4 x 1 y z và (d2): 1 Bài Cho hai đường thẳng (d1): Tìm hai điểm M, N trên (d1) và (d2) cho độ dài đoạn MN nhỏ Bài (ĐH 2003-B) Cho A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C cho AC (0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA x y 3 z d : 1 và mp(P): 2x + y -2z + = Bài (ĐH- 2005A) Cho đường thẳng a) Tìm điểm I d cho khoảng cách từ I đến mp(P) b) Tìm A là giao điểm mp(P) và (d) Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mp(P), biết qua A và vuông góc với d Bài (Dự bị ĐH- 2006D) Cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3) a) Viết phương trình đường thẳng d qua O và vuông góc với mp(ABC) b) Viết phương trình mp(P) chứa OA cho khoảng cách từ B đến mp(P) bẳng khoảng cách từ C đến mp(P) Bài Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 5) và song song với mp 2x - y + z – 17 = và mặt phẳng (Q) qua điểm B(1; -2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) Tính góc hợp (P) và (Q) (63) Q : x y z 0 góc 600 Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và tạo với BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R: (S) : (x a) (y b) (z c) R - Phương trình: x2 + y2+ z2 +2Ax + 2By + 2Cz + D = với A + B2 +C2 - D > là phương trình mặt cầu 2 tâm I(-A ; -B; -C), bán kính R A B C D 2) Giao mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn: 2 2 Cho mặt cầu (S) : (x a) (y b) (z c) R với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = + d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung + d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S) + d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là hình chiếu I xuống (P), bán kính r R d2 B BÀI TẬP 2x 2y z 0 x y z 6x 4y 2z 86 0 Bài 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn (C): Bài 2: Cho (S): x2 + y2 + z2 -2mx + 2my -4mz + 5m2 + 2m + = a) Định m để (S) là mặt cầu Tìm tập hợp tâm I (S) b) Định m để (S) nhận mặt phẳng (P): x + 2y + = làm tiếp diện x t y 2t z t c) Định m để (S) cắt d: hai điểm A, B cho AB 2 Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng (Oyz) và (P): 2x + y - 2z + = Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;1), C(1;6;1), D(-1;6;2) a CMR: ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối b Tính khoảng cách AB và CD c Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài Cho điểm I(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + = a Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I cho giao (S) và mặt phẳng (P) là đường tròn có chu vi π b CMR Mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 2x – 2y = – z c Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (CMN) Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương ( d1): ( d 2) : x=2 t x+ y −3=0 trình y=t x + y +3 z −12=0 z =4 ¿{ ¿{{ a CMR: (d1) và (d2) chéo b Tính khoảng cách (d1) và (d2) c Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung (d1) và (d2) Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có phương trình tương ứng là: ( P1 ) :2 x − y +2 z −1=0 ( P2 ) :2 x − y +2 z+5=0 (64) Và điểm A(-1;1;1) nằm khoảng hai mặt phẳng đó Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2) a.CMR: Bán kính hình cầu (S) là số và tính bán kính đó b.Gọi I là tâm hình cầu (S) CMR: I thuộc đường tròn cố định xác định tâm và tính bán kính đường tròn đó BÀI TẬP TỔNG HỢP x y2 z Bài (ĐH-2007D) Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng (d): a) Viết phương trình đường thẳng qua trọng tâm G tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc cho: MA2 + MB2 nhỏ Bài (ĐH-2007B) Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z – = và mp (P): 2x – y + 2z – 14 = a) Viết phương trình mp (Q) chứa Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến (P) lớn x 2t d : y 1 t x y z2 d1 : z 3 1 và Bài (ĐH-2007A) Cho hai đường thẳng a) Chứng minh hai đường thẳng chéo b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = và cắt hai đường thẳng d1, d2 x y z Bài (ĐH-2008A) Cho A(2;5;3) và đường thẳng d: a) Tìm tọa độ hình chiếu A trên d b) Viết phương trình mp (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Bài (ĐH-2005B) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0); C1(0;0;4) a) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mp(BCC1B1) b) Gọi M là trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt A1C1 N Tính độ dài MN Bài (ĐH-2010D) Chương trình Chuẩn: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – =0 và (Q): x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (R ) vuông góc với (P) và (Q) cho khoảng các htu72 O đến (R) x 3 t d1 : y t x y z d2 : z t 2 Xác định tọa độ Chương trình Nâng cao: Cho hai đường thẳng và điểm M thuộc d1 cho khoảng cách từ M đến d2 Bài (ĐH-2010A) x y z 3 : và mặt phẳng (P): x – 2y + z = Gọi C là Chương trình Chuẩn: Cho đường thẳng giao điểm và (P), M là điểm thuộc Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = x 2 y z 3 : Tính khoảng cách từ A Chương trình Nâng cao: Cho A(0;0;-2) và đường thẳng đến Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt hai điểm B và C cho BC = Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3;2;1) cắt và vuông góc với đường thẳng (Δ) có phương x y z +3 = = trình: (65) x−1 z+ = y= Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm −3 (d) và (P) vuông góc với (d) và nằm (P) ( Δ): y+ z − 4=0 Bài 10 Cho A(2;-1;1) và x − y − z +2=0 ¿{ a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với (Δ) b) Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (Δ) x 1 t x −5 y −2 z − d : y 2t ( Δ): = = z 12 t Bai 11 Cho và a) CMR: (d) và (Δ) thuộc mặt phẳng b) Viết phương trình mặt phẳng đó c Viết phương trình hình chiếu song song (d) theo (Δ) lên mặt phẳng (P) x −2 y −2 z −1=0 x − y −1 z − x −7 y −3 z −9 = = = = Bài 12 Cho ( Δ ) : ; ( Δ): −7 −1 a) Hãy viết phương trình chính tắc đường thẳng (Δ3) đối xứng với (Δ2) qua (Δ1) b) Viết phương trình chính tắc đường phân giác góc A Bài 13 Cho A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng x − y +7 z −1=0 a) Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng AB và mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ C ∈ ( P ) cho tam giác ABC Bài 14 Cho các điểm A(-2;1;0), B(-2;0;1), C(1;-2;-6), D(-1;2;2) a) Chứng minh điểm A, B, C, D lập thành tứ diện b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (BCD) Viết phương trình tham số CD d) Viết phương trình đường thẳng qua d qua A vuông góc với (BCD) e) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (BCD) f) Tính khoảng cách AB và CD g) Tìm trên CD điểm I cho I cách (ABC) và (ABD) Bài 15 Cho A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C Chứng minh O nằm trên mặt phẳng (P) b) Chứng minh tứ giác OABC là hình chữ nhật, tính diện tích hình chữ nhật c) Tính thể tích hình chóp S.OABC biết S(9;0;0) Bài 16 Cho A(1;3;-2), B(13;7;-4) và ( α ) : x −2 y+ z −9=0 a) Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên α Xác định H b) Cho K(5;-1;1) CMR: A, I, K, H tạo thành tứ diện Tính thể tích tứ diện Bài 17 Cho mặt phẳng (P): 16x – 15y – 12z + 75 =0 a) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm là gốc toạ độ O, tiếp xúc với mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ tiếp điểm H mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) c) Tìm điểm đối xứng gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P) Bài Cho (P): x + y + z −1=0 và ( d ) : (66)