Đang tải... (xem toàn văn)
Môc tiªu Kiến thức :- Nắm đợc các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy tỉ sè b»ng nhau vµ mét sè kiÕn thøc më réng do gi¸o viªn cung cÊp Kü n¨ng :- Cã kÜ n¨ng sö dông chÝnh x¸[r]
(1)Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 Buæi §Ò kh¶o s¸t Câu 1: a, cho A = + 22 + 23 + 24 + … + 220 Hái A cã chia hÕt cho 128 kh«ng? b, TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 12 12 13+2 65 10 104 10 + 10 11+3 Bµi : a, Cho A = + 32 + 33 + …+ 32009 T×m sè tù nhiªn n biÕt r»ng 2A + = 3n b, T×m sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè chia hÕt cho vµ biÕt r»ng ch÷ sè hµng chôc b»ng trung b×nh céng cña hai ch÷ sè Bµi : Cho p vµ p + lµ c¸c sè nguyªn tè( p > 3) Chøng minh r»ng p + lµ hîp sè Bµi : T×m hai sè tù nhiªn biÕt tæng cña chóng b»ng 84 , ¦CLN cña chóng b»ng Bµi 5: Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm trªn tia Ox cho OA = cm ; OB = cm Trªn tia BA lÊy ®iÓm C cho BC = cm So s¸nh AB víi AC Híng dÉn chÊm Bµi a, 2A – A = A ⋮ 128 21 12 78 10 104 Híng dÉn chÊm ⋮ 27 §iÓm 0.5 0.5 10 16 16 b, = 0.5 0.5 =3+3 =6 a, Tìm đợc n = 2010 b, Gäi sè ph¶i t×m lµ abc theo bµi ta cã a + b + c ⋮ vµ 2b = a + c nªn 3b ⋮ ⇒ b ⋮ vËy b ⋮ ⇒ c {0 ; 5} Xét số abo ta đợc số 630 Xét số ab ta đợc số 135 ; 765 0.5 P cã d¹ng 3k + 1; 3k + k N Dạng p = 3k + thì p + là hợp số trái với đề bài ⇒ p = 3k + ⇒ p + = 3k + ⋮ ⇒ p + lµ hîp sè 0.5 0.5 0.5 0.5 Gäi sè ph¶i t×m lµ a vµ b ( a 0.5 + 0.5 {0 ; ; ; 9} abc b) ta cã (a,b) = (2) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 nên a = 6a/ b= 6b/ đó (a/,b/) = ( a,b,a/,b/ N) ⇒ a/ + b/ = 14 a/ b/ 13 11 a 18 30 b 78 66 54 O C A B x 0.5 0.5 Hai ®iÓm A vµ B trªn tia Ox mµ OA< OB (4<6) nªn ®iÓm A n¨m gi÷a O vµ B suy AB = OB – OA AB = – = (cm) Hai ®iÓm Avµ C trªn tia BA mµ BA < BC ( 2<3 ) nªn ®iÓm A n¨m gi÷a hai ®iÓm B vµ C Suy AC = BC – BA = – = (cm) VËy AB > AC ( >1) 0.5 0.5 0.5 Ngµy so¹n : 23/1/ 2012 Buæi 2: ¤n tËp sè h÷u tØ sè thùc PhÇn 1: Lý thuyÕt Céng , trõ , nh©n, chia sè h÷u tØ a b Víi x= m , y= m ( a,b,m Z m 0 ) a b a b x y m m m a b a b x y m m m (3) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 a , y b a x y b a x : y b x c ( y 0) d c a.c d b.d c a d a.d : d b c b.c 2,Giá tri tuyệt đối số hữu tỉ +/ Víi x Q Ta cã x neáu x x = -x neáu x < Nhận xét : Với x Q, ta có: x 0, x = -xvaø x x +/ Víi x,y Q Ta cã x y x y x y x y ( DÊu b»ng x¶y cïng dÊu nghÜa lµ x.y 0 ) … ( // // ) PhÇn II: Bµi tËp vËn dông Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 (1 49) ( ) 44 49 12 = 9 14 14 19 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( ) 49 89 5.4.7.7.89 28 = Bài 2: Thực phép tính: A 212.35 46.92 3 510.73 255.49 125.7 3 59.143 (4) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 A 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 10 212.35 212.34 510.7 12 12 59.23.7 212.34 1 510.7 12 3 1 23 10 212.34.2 12 59.7 3.9 10 : Bµi a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = |x − 2006|+|2007 − x| Gi¶i a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 Ta cã: x + => x - + NÕu x - th× + NÕu - Khi x thay đổi |2 x+3|=x +2 => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) x < - Th× |2 x+3|=x +2 => - 2x - = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ là 2006 x 2007 Cách : Dựa vào hai số đối có giá trị tuyệt đối - GV: Gäi häc sinh tr×nh bµy Bài 4: Tìm x biết: (5) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 x a 3, 5 x 7 b x 1 x 11 x 7 0 - GV: Híng dÉn gi¶i a, 4 16 x 3, x 5 5 x 14 5 x 2 x217 3 x 21 3 x 1 x 11 x x 0 x 7 b) x 12 x 1 x 7 x 1 x 1 x 10 0 x 10 0 x x 10 1 ( x 7)10 0 x 7010 x7 x 8 ( x 7) 1,11 0,19 1,3.2 1 A ( ):2 2, 06 0,54 23 B (5 0,5) : 26 Bµi tËp vÒ nhµ : Bµi 1,Cho a, Rót gän A vµ B b, Tìm x Z để A < x < B Bµi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M= x 2002 x 2001 (6) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 Ngµy so¹n : /2/2012 Buæi 3: Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ CI.Lý thuyÕt 1/ §Þnh nghÜa +/ Víi x Q Ta cã x neáu x x = -x neáu x < 2, TÝnh chÊt : Với x Q, ta có: x 0, x = -xvaø x x +/ Víi x,y Q Ta cã x y x y x y x y II.Bµi tËp ( DÊu b»ng x¶y cïng dÊu nghÜa lµ x.y 0 ) ( // … // ) Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a, A= 3x2- 2x+1 víi x= 1 Ta cã x= suy x= hoÆc x= HS tÝnh gi¸ trÞ trêng hîp +/ Víi x= th× A= 11 +/ Víi x= th× A= (7) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 b, B= x3 3x x c, C= 2x3y d, D= víi x= -2/ víi x=1/2 vµ y=-3 x 1 x víi x=4 x x 1 e, E= 3x víi x= (vÒ nhµ ) T¬ng tù phÇn a gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh lµm vµ ch÷a phÇn b vµ c KQ: B=20/ C= -8 D = -5 Bµi 2: T×m x biÕt a, |x − 7|+2 x+ 5=6 Do Trêng hîp 1: |x − 7| |x − 7| =1-2x víi mäi x nªn xÐt víi – 2x Trêng hîp 2: x – = 2x -1 ⇒ x = - 6( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña x) 2x x x c, |x +3|+|x +1|=3 x GV: yªu cÇu häc sinh lµm gäi lªn b¶ng tr×nh bµy Bµi 3: T×m x vµ y biÕt a, b, c, 2x 7,5 x 4, x y 0 GV: Tæ chøc cho häc sinh lµm bµi Häc sinh lªn b¶ng tr×nh bµy Bµi T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Ta cã a, A= 4,3 x 0 x-7 = 1-2x => 3x =8 => x= (lo¹i kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x ) b, x 3, 4,3 x víi mäi x 4,3 x 3, 3, Hay A 3, 4,3 x 0 4,3 x 0 DÊu b»ng x¶y vµ chØ x 4,3 VËy gi¸ tri nhá nhÊt cña A= 3,7 x= 4,3 T¬ng tù gi¸o viªn cho häc sinh lµm phÇn b, c (8) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 b, B= x 8, 24, x y 7,5 17, c, C= Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau a, D 5,5 x 1,5 b, E 10, x 14 c, F 4 x y 12 ` Buæi 4: Ngµy so¹n : 10 /2/2012 Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ.(tiếp theo) I Lý thuyÕt 1/ §Þnh nghÜa +/ Víi x Q Ta cã x neáu x x = -x neáu x < 2, TÝnh chÊt Với x Q, ta có: x 0, x = -xvaø x x +/ Víi x,y Q Ta cã x y x y ( DÊu b»ng x¶y cïng dÊu nghÜa lµ x.y 0 ) x y x y ( // … // ) II Bµi tËp : Bµi 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè a tho¶ m·n mét c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|; d) |a| = - a; e) a |a| Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng: a) |a| = |b| a = b; b) a > b |a| > |b| Bài 3: Cho |x| = |y| và x < 0, y > Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai a) x2y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0; 1 0; x y d) x 0 y d) Bµi 4: T×m gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: a) B = 2|x| - 3|y| víi x = 1/2; y = -3 b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| víi x = 4; Bµi 5: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a; e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1| Bài 6: Tìm x các đẳng thức sau: (9) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|; c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = Bµi 7: T×m c¸c sè a vµ b tho¶ m·n mét c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a| Bµi 8: Cã bao nhiªu cÆp sè nguyªn (x; y) tho¶ m·n mét c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20 Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu , , để các khẳng định sau đúng với a vµ b Hãy phát biểu khẳng định đó thành tính chất và rõ nào xảy dấu đẳng thức ? a) |a + b|…|a| + |b|; b) |a – b|…|a| - |b| víi |a| |b|; a |a| b | b | d) c) |ab|…|a|.|b|; Bµi 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1; c) C = x2 + 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x| Bµi 11: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc: ; b) B = | x | 3 a) A = - |2x – 1|; Bµi 12: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc C = (x + 2)/|x| víi x lµ sè nguyªn Bµi 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < Chøng minh r»ng: |a – b| < Bài 14: Đa biểu thức A sau đây dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối: A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2| (10) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 Ngµy so¹n : 18 /2/ 2012 Buæi 5: Luü thõa cña sè h÷u tØ A Lý thuyÕt 1, x m x n x m n 2, x m : x n x m n ( x 0, m n ) 3, ( x m ) n x m n 4, ( x y ) m x m y m x m xm 5, ( ) m ( y 0) y y 6, a n n a GV: Cho häc sinh ghi l¹i néi dung c¸c c«ng thøc B – Bµi tËp Bµi 1: a,Có thể khẳng định đợc x2 luôn luôn lớn x hay không ? Không khẳng định đợc nh chẳng hạn x=1/2 thì b, Khi nµo x2< x ( ) 2 x2< x x x x( x 1) x¶y nÕu x vµ x-1 tr¸i dÊu V× x-1 < x nªn x-1 < vµ x > suy < x <1 VËy < x <1 th× x2 < x Bµi 2: TÝnh a, (32 ) (23 ) ( 52 ) 1 1 ) ( ) ( 2) : : 2 2 c,(4.25 ) : (23 ) 16 b, 23 3.( GV : Yªu cÇu häc sinh lµm vµ gäi häc sinh lªn b¶ng tr×nh bµy Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 1 − − +1 :(− −1) 3 3 2 ( )2003 − −1 2 − 12 a- [( ) ( ) ] b- ()( ) ()( ) − ? H·y nªu thø tù thùc hiÖn phÐp tÝnh GV: yªu cÇu häc sinh lµm bµi , gäi häc sinh tr×nh bµy (11) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 Bµi 4: TÝnh 15 15 12 a, 10 81− 16 15 4 675 b, Gv: Híng dÉn häc sinh gi¶i 15 15 124 a, =1 4 675 = 124 24 = Bµi 5: a,TÝnh tæng A = ❑5 2 2 2 (5 − 1) −2 = =… 8 2 16 15 b, 10 81− 28 4 2 5 = 24 = 3 14 =4 3 = 1+5+52+53+… +52008+52009 b , B= 2100-299+298-297+… +22 suy 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22suy 2B+B= 2101-2 3B = 2( 2100-1) Suy B = 2(2100-1)/3 C, Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 Bµi 2: TÝnh tæng C = 3100- 399 + 398 - 397 +… +32 - + Bµi 3: TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau t¹i x = -1 x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100 (12) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 TuÇn 12- Buæi Ngµy d¹y :10/11 Chuyên đề : Luỹ thừa số hữu tỉ.(tiếp theo) I Môc tiªu Kiến thức: Nắm đợc các kiến thức, quy tắc và công thức biến đổi c¸c lòy thõa cña mét sè h÷u tØ vµ mét sè kiÕn thøc bæ sung n©ng cao Biết vận dụng linh hoạt các công thức, kiến thức để biến đổi các biểu thức lòy thõa cña mét sè h÷u tØ qu¸ tr×nh lµm bµi tËp Kỹ :- Có kĩ thành thạo việc biến đổi các lũy thừa và trình bµy chÝnh x¸c khoa häc mét biÓu thøc cã chøa lòy thõa cña mét sè h÷u tØ Thái độ : Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng việc biến đổi các biểu thức có lũy thừa qua đó có thái độ tích cực việc học bài và làm bài II ChuÈn bÞ : Gi¸o ¸n båi dìng häc sinh giái to¸n Các tài liệu, t liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên đề III TiÕn tr×nh tiÕt d¹y: Bài 1: Dùng 10 chữ số khác để biểu diễn số mà không dùng các phép tính céng, trõ, nh©n, chia Bµi 2: TÝnh: 82.45 20 c) ; 8111.317 10 15 d) 27 a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; Bµi 3: Cho x Q vµ x ≠ H·y viÕt x12 díi d¹ng: a) Tích hai luỹ thừa đó có luỹ thừa là x9 ? b) Luü thõa cña x4 ? c) Thơng hai luỹ thừa đó số bị chia là x15 ? Bµi 4: TÝnh nhanh: a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9); b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 )…(1000 – 503) Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ cña: a) M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12; b) N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12); c) P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1 Bµi 6: T×m x biÕt r»ng: a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36; e) 5x + = 625; f) (x – 1)x + = (x – 1)x + 4; g) (2x – 1)3 = -8 30 31 h) 10 12 62 64 = 2x; Bµi 7: T×m sè nguyªn d¬ng n biÕt r»ng: a) 32 < 2n 128; b) 2.16 ≥ 2n 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243 ( x 5) ( x 6)( x6) ( x 5) Bµi 8: Cho biÓu thøc P = ( x 4) Bµi 9: So s¸nh: a) 9920 vµ 999910; b) 321 vµ 231; H·y tÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = ? c) 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 (13) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 Bµi 10: Chøng minh r»ng nÕu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 th× víi bÊt k× sè h÷u tØ x vµ y nµo ta còng cã: ax + b2 – 2x4y4 = ? Bài 11: Chứng minh đẳng thức: + + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – Bài 12: Tìm số có chữ số, là bình phơng số tự nhiên và đợc viết b»ng c¸c ch÷ sè 0; 1; 2; 2; Ngµy d¹y : 17/11 Buæi Chuyên đề: biểu thức đại số ( tiết 1) I Môc tiªu Kiến thức : Nắm đợc các kiến thức liên quan để giải các dạng toán : TÝnh gi¸ trÞ cña mét biÓu thøc Thùc hiÖn phÐp tÝnh mét c¸ch hîp lý Bµi to¸n vÒ d·y cã quy luËt Một số bài toán khác biểu thức đại số Kĩ : Giải đợc hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài toán Biết vận dụng vào các bài toán khác tơng tự Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và tổng qu¸t hãa cho c¸c bµi to¸n Thái độ : Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo học bài Cẩn thận, cầu tiến, kh«ng nao nóng lµm bµi IIChuÈn bÞ: GV : Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đa các bài tập đầy đủ và đa dạng Hsinh: - ¤n tËp kiÕn thøc cò cã liªn quan III.TiÕn tr×nh tiÕt d¹y: (14) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 PhÇn Mét sè d¹ng chÝnh D¹ng D·y Sè viÕt theo quy luËt - D·y c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt A- Kiến thức cần nắm vững: B- Bài tập áp dụng I D·y sè céng Bài 1: Tìm chữ số thứ 1000 viết liên tiếp liền các số hạng dãy số lẻ 1; 3; 5; 7; Bài 2: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số c) Tính: S 1 2n 1 với (n N ) * d) Tính: S 2 2n với (n N ) Bài 3: Có số hạng nào dãy sau tận cùng hay không? 1;1 2;1 3;1 4; n(n 1) Híng dÉn: Sè h¹ng thø n cña d·y b»ng: NÕu sè h¹ng thø n cña d·y cã ch÷ sè tËn cïng b»ng th× n(n + 1) tËn cïng b»ng §iÒu nµy v« lÝ v× n(n + 1) chØ tËn cïng b»ng 0, hoÆc 2, hoÆc Bài 4: a) Viết liên tiếp các số hạng dãy số tự nhiên từ đến 100 tạo thành số A Tính tổng các chữ số A b) Cũng hỏi trên viết từ đến 1000000 Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số vào vị trí đầu tiên dãy số (không làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xét số 100 Từ đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp: và 99; và 98; và 97;… cặp có tổng các chữ số 18 Tổng các chữ số 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thêm số 100 có tổng các chữ số ĐS: 901 b) Tương tự: ĐS: 27000001 S1 1 2, S2 3 5, S3 6 9, S4 10 11 12 13 14, Bài 5: Cho Tính S100 ? Hướng dẫn: Số số hạng S1, , S99 theo thứ tự 2; 3; 4; 5; …100 ĐS: S100 = 515100 Bài 6: Khi phân tích thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố với số mũ băng bao nhiêu? Bài 7: Tính số hạng thứ 50 các dãy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; b) 1.4; 4.7; 7.10; 20 21 Bài 8: Cho A 1 ; B 3 : Tính B A (15) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 Bài 9: Tính các tổng sau: A 1 22 23 2007 B 1 2 23 n C 1 2 2008 D 1 22 24 22 n E 2 23 25 2007 F 2 23 25 22 n 1 Bài 10: Tổng quát bài n Tính : a) S 1 a a a a , với ( a 2, n N ) 2n b) S1 1 a a a a , với ( a 2, n N ) n 1 * c) S2 a a a a , với ( a 2, n N ) 99 100 Bµi 11: Cho A 1 , B 4 Chứng minh rằng: Bài 12: Tính giá trị biểu thức: a ) A 9 99 999 999 A B b) B 9 99 999 999 50 ch÷ sè 200 ch÷ sè TuÇn 14- Buæi Ngµy d¹y :24/11 D·y Sè viÕt theo quy luËt - D·y c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt ( tiÕp ) II D·y ph©n sè cã quy luËt Các công thức cần nhớ đến giải các bài toán dãy các phân số viết theo qui luật: 1 1) n(n 1) n n k 1 k n n 1 2) n(n 1) 1 1 3) n(n k ) k n n k k 1 4) n(n k ) n n k 1 1 1 5) 2n(2n 2) 4n(n 1) 2n 2n n n 1 1 1 6) (2n 1)(2n 3) 2n 2n (16) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 1 2 7) n.(n 1) n (n 1).n (Trong đó: n, k N , n ) Bài tập TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chúng ta cùng bài toán tính tổng quen thuộc sau : Bài toán A : Tính tổng : Lời giải : Vì = ; = ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó chút xíu Bài : Tính tổng : Và tất nhiên ta nghĩ đến bài toán ngược Bài : Tìm x thuộc N biết : Hơn ta có : ta có bài toán Bài : Chứng minh : Do vậy, cho ta bài toán “tưởng khó” Bài : Chứng tỏ tổng : không phải là số nguyên Chúng ta nhận a1 ; a2 ; ; a44 là các số tự nhiên lớn và khác thì (17) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau : Bài : Tìm các số tự nhiên khác a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 cho Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán sau : Bài : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn Chứng minh rằng, 44 số này, tồn hai số Bài : Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < < a44 < a45 và Các bạn còn phát điều gì thú vị ? Bài toán 2: Tính nhanh: 1 1 1 A 3 3 3 a) 1 1 1 B 2007 2008 3 3 3 b) 1 1 1 C n n ; n N 3 3 3 c) Bài toán 3: (Bài toán tổng quát bài toán 2) 1 1 1 S n n ; ( n N ; a 0) a a a a a a Tính nhanh: Bài toán 3: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên các dãy saug: 1 1 ; ; ; ; a) 1.2 2.3 3.4 4.5 1 1 ; ; ; , b) 66 176 336 Hướng dẫn: b) Ta thấy = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,… Do đó số hạng thứ n dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1) Bài toán 4: Tính tổng: 1 1 S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 a) 1 1 S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008 b) 1 1 S ; (n N ) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n 1).( n 2) c) Bài toán 5: Tính giá trị biểu thức: (18) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 1 1 97 99 A 1 1 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 a) 1 1 99 100 B 2 99 98 97 99 b) Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: (1 1 1 1 100 100 100 100 ) ( ) ( ) ( ) 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 100 100 100 100 99 99 100 99 100 100 100 99 99 1 1 1 1 100 100 99 1 100 99 99 100 2 2 b) Biến đổi số chia: B 100 Biểu thức này 100 lần số bị chia Vậy Bài toán 6: Tìm tích 98 số hạng đầu tiên dãy: 1 1 1 ; ; ; ; ; 15 24 35 Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên dãy viết dạng: 16 25 36 ; ; ; ; ; 15 24 35 22 32 52 62 ; ; ; ; ; 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 Hay 992 Do đó số hạng thứ 98 có dạng 98.100 22 32 42 52 62 992 99 A 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50 Ta cần tính: A 1 1 100 Hãy chứng minh A không phải là số Bài toán 7: Cho tự nhiên Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu các phân số A ta chọn mẫu chung là tích 26 với các thừa số lẻ nhỏ 100 Gọi k1, k2, …, k100 là các thừa số phụ tương ứng, tổng A có dạng: (19) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 B k1 k k n 6.3.5.7.9 99 Trong 100 phân số tổng A, có phân số 1/64 có mẫu chứa 26 nên các thừa số phụ k1, , k100 có k64 là số lẻ, còn các thừa số phụ khác chẵn Bài toán tổng quát bài toán 7: Cho A không phải là số tự nhiên A 1 1 n Hãy chứng minh TuÇn 15- Buæi Ngµy d¹y :1/12 D·y Sè viÕt theo qui luËt - D·y c¸c ph©n sè viÕt theo qui luËt ( tiÕp ) PhÇn C¸c d¹ng kh¸c C¸c bµi to¸n (20) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 n 1 22 Bài 2: Tính a) Bài 2: So sánh (22 ) b) 5 (n 1) n 5 c) 814 412 224 và 316 Bài 3: Tính giá trị biểu thức 0,8 215.94 0, a) b) c) 63.83 Bµi 1: Khai triÓn c¸c tÝch sau: a) (x – 2)(y + 3); 4510.510 7510 d) 810 410 84 411 10 x 27 1 3 x y 1 x y ; c) b) Bµi 3: ViÕt c¸c tæng sau thµnh tÝch: a) ax2 - bx2 + bx - ax + a - b; b) y2 – 5y + 6; c) x2 - 7x + 12; d) 2a2 + 4a + Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = ax + ay + bx + by + x + y biÕt x + y = -9/4 vµ a + b = 1/3; N = ax + ay - bx - by - x - y biÕt x - y = -1/2 vµ a - b = 1/2 Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 1 1 1 1 P = 3.10 + 10.17 + 17.24 + … + 73.80 - 2.9 - 9.16 - 16.23 - 23.30 Bµi 6: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 1 1 1 Q = 1.3 - 2.4 + 3.5 - 4.6 + … + 97.99 - 98.100 Bài 7: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị 0: 1 1 1 1 x x x xx x 2 10 2 C= Bài 8: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên: 3x x y x y x K= Bài 9: Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: 1996x H = 1997x 1997 Bài 10: Tìm mối quan hệ các số nguyên a; b; c (b ≠ 0; c ≠ 0) để có đẳng thøc sau: a a a b c b.c (21) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 Bµi 2: TÝnh: 82.45 8111.317 20 10 15 a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c) ; d) 27 Bµi 4: TÝnh nhanh: a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9); b)B=(1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)…(1000 - 503) Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ cña: M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12; N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12); P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1 Bµi 6: T×m x biÕt r»ng: a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36; e) 5x + = 625; f) (x – 1)x + = (x – 1)x + 4; 30 31 h) 10 12 62 64 = 2x; g) (2x – 1)3 = -8 Bµi 7: T×m sè nguyªn d¬ng n biÕt r»ng: a) 32 < 2n 128; b) 2.16 ≥ 2n 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243 ( x 5) Bµi 8: Cho biÓu thøc P = ( x 4) ( x 6)( x6) ( x 5) H·y tÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = ? Bµi 9: So s¸nh: a) 9920 vµ 999910; b) 321 vµ 231; c) 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 2 Bµi 10: Chøng minh nÕu a = x y; b = x y ; c = xy3 th× víi bÊt k× sè h÷u tØ x vµ y nµo ta còng cã: ax + b2 – 2x4y4 = ? Bài 11: Chứng minh đẳng thức: + + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – TuÇn 16 -Buæi 10 Ngµy d¹y : 08/12 Chuyên đề: TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng I Môc tiªu Kiến thức :- Nắm đợc các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy tỉ sè b»ng vµ mét sè kiÕn thøc më réng gi¸o viªn cung cÊp Kü n¨ng :- Cã kÜ n¨ng sö dông chÝnh x¸c tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng việc làm bài tập, đặc biệt là phải hoàn thiện kĩ trình bày khoa học sáng sủa và đúng đứng trớc bài tập đã biết đợc đờng lối giải Thái độ :- Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số là chuyên đề quan trọng chơng trình toán từ đó có thái độ nghiêm túc việc học tập nghiên cứu các dạng toán chuyên đề II ChuÈn bÞ : Gi¸o ¸n båi giái to¸n C¸c tµi liÖu t liÖu su tËp qua s¸ch b¸o, héi th¶o chuyªn m«n (22) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 III TiÕn tr×nh tiÕt d¹y : a c Bµi 1: Cho tØ lÖ thøc b d Chøng minh r»ng: a b cd a b c d d ; d ; a) b b) b Bµi 2: T×m hai sè x vµ y biÕt: x y vµ 5x – 2y = 87; a) x y b) 19 21 vµ 2x – y = 34; Bµi 3: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30 Bµi 4: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: 186; x y z a) 10 24 vµ 5x + y – 2z = 28; c) 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32; x y y z b) ; vµ 2x + 3y – z = 2x 3y 4z d) vµ x + y + z = 49; x y z vµ 2x + 3y – z = 50; e) Bµi 5: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: = 14 x y3 z3 b) 64 216 vµ x2 + y2 + z2 x y z a) vµ xyz = 810; Bµi 6: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: y z 1 x z x y x y z x yz ; a) 2y 4y 6y 2x 3y 2x 3y 24 6x ; 6x b) 18 c) Bµi 7: Cho ba tØ sè b»ng nhau: Bµi Bµi Bµi a b c , , b c c a a b Tìm giá trị tỉ số đó ? a c 2a 13b 2c 13d d 3c 7d Chøng minh r»ng: b 8: Cho tØ lÖ thøc: 3a 7b a c 9: Cho tØ lÖ thøc: b d ; Chøng minh r»ng: 5a 3b 5c 3d 7a 3ab 7c 3cd 2 a) 5a 3b 5c 3d ; b) 11a 8b 11c2 8d bz cy cx az ay bx a b c 10: Cho d·y tØ sè : Chøng minh r»ng: x y z a b c Bµi 11: Cho sè a1; a2; a3; a4 tho¶ m·n: a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4 a13 a 32 a 33 a1 3 a a a a4 Chøng minh r»ng: (23) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 Bµi 12*: Cho tØ lÖ thøc : Ngµy d¹y :22/12/10 Chuyên đề: a b2 ab 2 c d cd Chøng minh r»ng: a c b d TuÇn 18 - Buæi 11 TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng (TiÕp theo ) I Môc tiªu Kiến thức : - Nắm đợc các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy tỉ sè b»ng vµ mét sè kiÕn thøc më réng gi¸o viªn cung cÊp Kü n¨ng : - Cã kÜ n¨ng sö dông chÝnh x¸c tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng việc làm bài tập, đặc biệt là phải hoàn thiện kĩ trình bày khoa học sáng sủa và đúng đứng trớc bài tập đã biết đợc đờng lối giải Thái độ : - Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số là chuyên đề quan trọng chơng trình toán từ đó có thái độ nghiêm túc việc học tập nghiên cứu các dạng toán chuyên đề - II ChuÈn bÞ : Gi¸o ¸n båi giái to¸n (24) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 C¸c tµi liÖu t liÖu su tËp qua s¸ch b¸o, héi th¶o chuyªn m«n II TiÕn tr×nh tiÕt d¹y : a b Bµi 1: T×m ph©n sè biÕt r»ng nÕu céng thªm cïng mét sè kh¸c vµo tö vµ mÉu th× gi¸ trÞ phân số đó không thay đổi ? Më réng: Víi mét ph©n sè bÊt kú y a b ta céng thªm vµo a sè x, céng thªm vµo b sè Hãy tìm quan hệ x và y để giá trị phân số céng ? Bµi 2: Cho a b c ; b c a Bµi 6: Cho a b c , , b c c a a b a c tØ lÖ thøc: b d ; Chøng 5a 3b 5c 3d a) 5a 3b 5c 3d ; Bµi 5: Cho tØ lÖ thøc: a b c b c d không thay đổi sau CMR: a = b = c; với giả thiết các tỉ số có nghĩa Bµi 3: Cho ba tØ sè b»ng nhau: Bµi 4: Cho a b Tìm giá trị tỉ số đó ? minh r»ng : b) 2a 13b 2c 13d 3a 7b 3c 7d ; 7a 3ab 7c 3cd 11a 8b 11c 8d Chøng minh r»ng: a c b d CMR: a a bc d bcd ; với giả thiết các tỉ số có nghĩa a a a1 a 2008 a2 a3 a4 a 2009 Bµi 7: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: a1 a a a a 2008 a a a a 2009 2008 CMR: Ta có đẳng thức: a 2009 Bµi 8: Cho sè a1; a2; a3; a4 tho¶ m·n: a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4 a13 a 32 a 33 a1 3 Chøng minh r»ng: a a a a Bµi 9: Cho d·y tØ sè : bz cy cx az ay bx a b c ' Bµi 10: Cho biÕt : ; CMR: x y z a b c ' a b b c 1; ' 1 a' b b c CMR: abc + a’b’c’ = a c b d a b2 ab 2 c d cd Bµi 11*: Cho tØ lÖ thøc : Chøng minh r»ng: Bµi 12: T×m c¸c sè x, y, z biÕt : a) x : y : z = : : vµ 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Bµi 13: T×m hai sè h÷u tØ a vµ b biÕt r»ng hiÖu cña a vµ b b»ng th¬ng cña a vµ b vµ b»ng hai lÇn tæng cña a vµ b ? Bài 14: Cho 2002 số tự nhiên, đó số chúng lập nên mét tØ lÖ thøc CMR: các số đó luôn luôn tồn ít 501 số (25) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 Bµi 15: Cã 130 häc sinh thuéc ba líp 7A, 7B, 7C cña mét trêng cïng tham gia trång c©y Mỗi học sinh 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc cây, cây, cây Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây biết số cây trồng đợc cña ba líp b»ng ? Ta cã : a b2 ab 2 cd c d Híng dÉn gi¶i : Bµi 11: 2 2ab a 2ab b a b ab a b a b a.b 2 = 2cd c 2cd d c d cd c d c d c.d ; c a b b c d ca cb bc bd ca bd a c 1 ca cb ac ad cb ad a c d d a b ac ad da db ca bd b d Bµi 12: a) §¸p sè: x = 9; y = 12; z = 15 hoÆc x = - 9; y = - 12; z = - 15 b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác nên 2y – x = 0, đó : x = 2y Từ đó tìm đợc : x = 4/3; y = 2/3 Bài 13: Rút đợc: a = - 3b, từ đó suy : a = - 2,25; b = 0,75 Bài 14: Nhận xét: Trong 2002 số đã cho nhận nhiều giá trị khác ThËt vËy: Gi¶ sö cã nhiÒu h¬n gi¸ trÞ kh¸c nhau, ta gäi a1 < a2 < a3 < a4 < a5 lµ sè kh¸c bÊt kú Khi đó với số đầu tiên ta có: a1.a2 kh¸c a3a4; a1a3 kh¸c a2a4; ChØ cã thÓ a1a4 = a2a3 (1) Nhng đó với số a1, a2, a3, a5 thì có a1a5 = a2a3 (2) Tõ (1) vµ (2) suy a1a4 = a1a5 suy a4 = a5 v« lý VËy cã Ýt nhÊt 2002 div + 1= 501 sè b»ng (26) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 TuÇn19 – Buæi12 Ngµy d¹y :29/12/10 / Môc tiªu Kiến thức : - Kiểm tra khảo sát chất lợng học sinh qua đề thi tham khảo, đánh giá việc nắm kiến thức học sinh Kü n¨ng : - RÌn cho häc sinh kÜ n¨ng tÝnh to¸n , kÜ n¨ng tr×nh bµy Thái độ : - Có ý thức tự học tự nghiên cứu nghiêm túc II/ ChuÈn bÞ - Thày : soạn đề kiểm tra - Trß : ¤n tËp l¹i néi dung c¸c kiÕn thøc III/ TiÕn tr×nh tiÕt d¹y : häc sinh giái huyÖn ( trùc ninh ) M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) §Ò 1.1 A/ Phần đề chung C©u (1,5®iÓm): a (0,75®) TÝnh tæng B = 1+5+52+53+… +52008+52009 b (0,75®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh 1 1 + +1 ) : ( − − 1) ( √625 25 √25 C©u (2®iÓm): a (1®) T×m x, y biÕt : x +1 = y −2 = x +3 y −1 6x x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 + + = + 10 11 12 13 14 b (1®) T×m x biÕt C©u (1,5®iÓm): Vẽ đồ thị hàm số: y = - |x| C©u (3®iÓm): a (1,5®) HiÖn anh h¬n em tuæi Tuæi cña anh c¸ch ®©y n¨m vµ tuæi cña em sau n¨m n÷a tØ lÖ víi vµ Hái hiÖn anh bao nhiªu tuæi? Em bao nhiªu tuæi? b (1,5đ) Cho Δ ABC (góc A=900) Kẻ AH BC, kẻ HP AB và kéo dài để có PE = PH Kẻ HQ AC và kéo dài để có QF = QH a./ Chøng minh Δ APE = Δ APH vµ Δ AQH = Δ AQF b./ Chøng minh ®iÓm E, A, F th¼ng hµng B/ Phần đề riêng C©u A (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh chuyªn to¸n) a (1,5®) TÝnh tæng (27) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 n −1 S = + + + 14 + …+ +1 (víi n Z+) b (0,5®) Cho ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nµo lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) C©u B (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn to¸n) a (1,5®) T×m x Z để A có giá trị nguyên x −2 A= x −2 b (0,5®) Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 đáp án 1.1 I Phần đề chung C©u (1,5®) a (0,75®) - Nh©n vÕ tæng B víi 2010 - Lấy 5B - B rút gọn và tính đợc B = − b (0,75®) - Khai quy động ngoặc - Thực phép chia đợc kết -1 29 C©u (2®) a (1đ) - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (2) đợc tỉ số (4) Từ tỉ số (3) và tỉ số (4) ta có 6x + 12 ⇒ x = tù đó tính đợc y = b (1®) - ChuyÓn c¸c sè h¹ng ë vÕ ph¶i sang vÕ tr¸i - §Æt thõa sè chung ®a vÒ tÝch b»ng - Tính đợc x = -1 Câu (1,5đ) (Mỗi đồ thị cho 0,75đ) y = - |x| = - x víi x 3 x víi x < C©u (3®) a (1,5®) - Gäi tuæi anh hiÖn lµ x (x > 0), tuæi em hiÖn lµ y (y>0) → tuæi anh c¸ch ®©y n¨m lµ x – Tuæi cña em sau n¨m n÷a lµ y + Theo bµi cã TLT: x −5 = y +8 vµ x - y = Từ đó tính đợc: x = 20; y = 12 - VËy tuæi anh hiÖn lµ 20 tuæi em lµ 12 b (1,5®) - APE = APH (CH - CG ) - AQH = AQF (CH - CG ) - gãc EAF = 1800 ⇒ E, A, F th¼ng hµng II Phần đề riêng C©u 5A (2®) n −1 a (1,5đ) - Biến đổi S = ⋅n + ( + + + + ¿ 2 2 - §a vÒ d¹ng 3S – S = 2S n - Biến đổi ta đợc S = n+3 −1 (n +¿ ) Z¿ b (0,5®) - NghiÖm l¹i c¸c gi¸ trÞ 1, -1, 5, -5 vµo ®a thøc (28) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 - Giá trị nào làm cho đa thức thì giá trị đó là nghiệm C©u B (2®) a (1,5®) A = + x −2 A nguyªn ⇔ nguyªn x −2 LËp b¶ng x -2 -8 -4 -2 -1 x -6 -2 V× x ⇔ x–2 Z ⇒ x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} th× A b (0,5®) 76 + 75 – 74 (8) 4 10 Z = 74 (72 + – 1) = 55 ⋮ 55 TuÇn 20 – Buæi13 Ngµy d¹y : 05/ 1/11 I Môc tiªu - Kiến thức : - Kiểm tra khảo sát chất lợng học sinh qua đề thi tham khảo, đánh giá viÖc n¾m kiÕn thøc cña häc sinh - Kü n¨ng : - RÌn cho häc sinh kÜ n¨ng tÝnh to¸n , kÜ n¨ng tr×nh bµy - Thái độ : - Có ý thức tự học tự nghiên cứu nghiêm túc II/ ChuÈn bÞ - Giáo viên: Soạn đề kiểm tra - Häc sinh: ¤n tËp l¹i néi dung c¸c kiÕn thøc III/ TiÕn tr×nh tiÕt d¹y : §Ò thi häc sinh giái huyÖn (29) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) §Ò 1.2 A/ Phần đề chung C©u (1,5®iÓm) a (1®) TÝnh tæng: M = - 4 4 − − −⋯− 5 9 13 ( n+4 ) n b (0,5®) T×m x biÕt: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3 C©u (1,5®iÓm) a (1®) T×m x, y, z biÕt: x3 y3 z3 = = 64 216 vµ x2 + y2 + z2 = 14 b (0,5®) Cho x1 + x2 + x3 + …+ x50 + x51 = vµ x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = … = x49 + x50 = tÝnh x50 C©u (2®iÓm) a (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ, cho điểm M(-3;2) và N(3;-2) Hãy giải thích vì gốc toạ độ O và hai điểm M, N là điểm thẳng hàng? b (1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x ( x2 1 − x + x − − x4 + x2 2 2 )( ) a./ T×m bËc cña ®a thøc Q(x) b./ TÝnh Q − ( 2) c./ Chøng minh r»ng Q(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi sè nguyªn x C©u (3®iÓm) a (1®) Ba tæ c«ng nh©n A, B, C ph¶i s¶n xuÊt cïng mét sè s¶n phÈm nh Thêi gian tæ hoµn thµnh kÕ ho¹ch theo thø tù lµ 14 ngµy, 15 ngµy vµ 21 ngµy Tæ A nhiÒu h¬n tổ C là 10 ngời Hỏi tổ có bao nhiêu công nhân? (Năng suất lao động các c«ng nh©n lµ nh nhau) b (2đ) Cho hình vuông ABCD Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đờng thẳng AD vẽ tia AM (M CD) cho gãc MAD = 200 Còng trªn nöa mÆt ph¼ng nµy vÏ tia AN (N BC) cho gãc NAD = 65 Tõ B kÎ BH AN (H AN) và trên tia đối cña tia HB lÊy ®iÓm P cho HB = HP chøng minh: a./ Ba ®iÓm N, P, M th¼ng hµng b./ TÝnh c¸c gãc cña Δ AMN B/ Phần đề riêng C©u A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a (1®) Chøng minh r»ng: 222333 + 333222 chia hÕt cho 13 b (1®) T×m sè d cña phÐp chia 109345 cho C©u B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) T×m sè nguyªn d¬ng n biÕt 5 5 5 5 5 + + + +6 + +6 +6 + ⋅ 5 5 +3 +3 +2 = 2n b (1®) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×: 3n+3 + 2n+3 – 3n+2 + 2n+2 chia hÕt cho đáp án 1.2 I Phần đề chung C©u (1,5®) a (1®)- §a dÊu “ – “ ngoµi dÊu ngoÆc - Tách phân số thành hiệu phân số rút gọn đợc A = −1 n (30) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 b (0,5®) Biến đổi rút gọn ta đợc x = - C©u (1,5®) a (1đ)- Biến đổi các mẫu dới dạng lập phơng đa dạng a = c = e b d f - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN råi t×m x, y, z b (0,5®) KÕt qu¶ x50 = 26 C©u (2®) a (1®) Gọi đờng thẳng (d) qua O và M(-3;2) là đồ thị hàm số dạng y = ax (a tính a để xác định hàm số ⇒ OM là đồ thị hàm số - Kiểm tra điểm N(3;-2) có thuộc đồ thị hàm số không? → kÕt luËn: O, M, N th¼ng hµng b (1®) - Thu gän Q(x) = x − x ⇒ bËc Q(x) lµ − ¿2 −1 ¿ − - Q(- ) = = −3 = − ¿ −¿ 16 ¿ ¿ x (x − 1) lµ mét sè ch½n - Q(x) = ⇒ Q(x) 0) từ đó (0,25®) (0,25®) Z (0,5®) C©u 4(3®) a (1®) Gäi sè ngêi tæ A, tæ B, tæ C lÇn lît lµ x, y,z tØ lÖ nghÞch víi 14, 15, 21 1 ; ; Từ đó tính đợc x = 30; y = 28; z = 20 ⇒ x, y, z TLT víi 14 15 21 b (2®) * - BNA = PNA (c.c.c) ⇒ gãc NPA = 90 (1) - Δ DAM = Δ PAM (c.g.c) ⇒ gãc APM = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ gãc NPM = 1800 ⇒ KÕt luËn * Gãc NAM = 450 ; gãc ANP = 650; gãc AMN = 700 II phần đề riêng C©u A (2®) a (1®) 222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222 = 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111) 111 111 V× 888 + = (888 + 9)(888110 – 888109.9 + … - 888.9109 + 9110) = 13.69 (888110 – 888109.9 + …- 888109 + 9110) ⋮ 13 ⇒ KL 345 b (1®) Ta cã 109 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + v× 109345 – 4345 ⋮ 4345 – ⋮ ⇒ 109345 chia hÕt cho d C©u B (2®) §¸p ¸n a (1®) VT: - §a tæng c¸c luü thõa b»ng díi d¹ng tÝch và biến đổi đợc 212 ⇒ n = 12 b (1®) - Nhóm số hạng thứ với số hạng thứ đặt TSC Số hạng thứ với số hàng thứ đặt TS C - §a vÒ mét tæng cã c¸c sè h¹ng ⋮ cho vµ mµ UCLN(2;3) = ⇒ tæng ⋮ (31) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 TuÇn 21 – Buæi14 Ngµy d¹y : 12/1/11 I Môc tiªu Kiến thức : - Kiểm tra khảo sát chất lợng học sinh qua đề thi tham khảo, đánh giá việc nắm kiến thức học sinh Kü n¨ng : - RÌn cho häc sinh kÜ n¨ng tÝnh to¸n , kÜ n¨ng tr×nh bµy Thái độ : - Có ý thức tự học tự nghiên cứu nghiêm túc II/ ChuÈn bÞ - Giáo viên: Soạn đề kiểm tra - Häc sinh: ¤n tËp l¹i néi dung c¸c kiÕn thøc III/ TiÕn tr×nh tiÕt d¹y : §Ò thi häc sinh giái M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) §Ò 1.3 A/ Phần đề chung C©u (2,5®iÓm): a b 1 761 4 (1,75®) TÝnh tæng: M = 417 762 139 762 417.762 139 (0,75®) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau t¹i x = -1 x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100 C©u (1®iÓm): a (0,5®) Cho tØ lÖ thøc x − y = tÝnh gi¸ trÞ cña x+ y a c = b d x y a+3 b c+ d = a − b c −3 d b (0,5®) Cho tØ lÖ thøc chøng minh r»ng C©u (2,5®iÓm): a (1,5®) Cho hµm sè y = - x vµ hµm sè y = x -4 * Vẽ đồ thị hàm số y = - x * Chứng tỏ M(3;-1) là giao hai đồ thị hàm số trên * Tính độ dài OM (O là gốc toạ độ) b (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« cïng khëi hµnh tõ A B, vËn tèc «t« lµ 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h Khi ôtô tải đến B thì ôtô đã đến B trớc 45 phút Tính độ dài quãng đờng AB C©u (2®iÓm): Cho Δ ABC cã gãc A = 900, vÏ ph©n gi¸c BD vµ CE (D AC ; E AB) chóng c¾t t¹i O a (0,5®) TÝnh sè ®o gãc BOC b (1®) Trªn BC lÊy ®iÓm M vµ N cho BM = BA; CN = CA chøng minh EN// DM c (0,5®) Gäi I lµ giao cña BD vµ AN chøng minh Δ AIM c©n B/ Phần đề riêng C©u A (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh chuyªn b (1®) Chøng minh r»ng ®a thøc sau kh«ng cã nghiÖm: P(x) = 2x2 + 2x + c (1®) Chøng minh r»ng: 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263 (32) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 C©u B (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) T×m nghiÖm cña ®a thøc 5x2 + 10x b (1®) T×m x biÕt: 5(x-2)(x+3) = đáp án 1.3 I Phần đề chung C©u (2,5®) a (2®) - Biến đổi M dới dạng tổng đặt a = 417 ; b = - Rút gọn thay giá trị a, b, c vào ta tính đợc M = 762 762 ; c = b (0,5®) (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + … + (-1)100 = + +1 + … + = 50 C©u (1®) a (0,5®) ¸p dông tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc b (0,5®) Tõ 139 a c x = ⇒ad=bc ⇒ = b d y a c a b a b a+3 b a −3 b a+3 b c +3 d = ⇒ = ⇒ = = = ⇒ = b d c d c d c +3 d c − d a −3 b c −3 d C©u (2,5®) a (1,5®) * Vẽ đồ thị hàm số y = - x * Từ hàm số trên ta đợc phơng trình hoành độ - x = x -4 - Thay điểm M(3; -1) vào phơng trình hoành độ ta đợc - = – = -1 ⇒ M(3; -1) là giao đồ thị hàm số trên * Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy ΔOMP vu«ng t¹i P ⇒ OM2=OP2 +PM 2=12+ 32 ⇒ OM= √1+9=√ 10 (®v®d) b (1®) - §æi 45 phót = 45 h= h 60 - Gäi vËn tèc cña «t« t¶i vµ «t« lµ v1 vµ v2 (km/h) t¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h) Ta cã v1.t1 = v2.t2 - Vì vận tốc và thời gian là hai đại lợng TLN ⇒ - Tính đợc t2 = = (h) T1 = ⋅3= (h) 4 S = v t = 30 = 90km ⇒ 2 C©u (2®) a (0,5®) Cã gãc B + gãc C = 900 v1 t = v2 t ; t – t1 = (33) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 gãc OBC + gãc BCO = 90 =45 (BD, CE lµ ph©n gi¸c) ⇒ gãc BOC = 1800 – 450 = 1350 b (1®) B Δ ABD = Δ MBD (c.g.c) N gãc A = gãc M = 90 ⇒ DM BC (1) I Δ ECN = Δ ECA (c.g.c) M gãc A = gãc N = 900 ⇒ EN BC (2) E O Tõ (1) vµ (2) ⇒ EN // DM ⇒ A c (0,5®) Δ IBA = Δ IBM (c.g.c) ⇒ IA = IM thay Δ IAM c©n t¹i I II Phần đề riêng C©u A (2®) a (1®) P(x) = (x+1)2 + x2 + ≥ 4 vËy P(x) kh«ng cã nghiÖm b (1®) víi ∀ x 2454 5424 210 = (23.3)54 (2.33)24 210 = 2196 3126 7263 = (23 32)63 = 2189 3126 Từ đó suy 2454 5424 210 ⋮ 7263 C©u B (2®) a (1®) Cho 5x2 + 10x = ⇒ 5x(x + 10) = ⇔ x=0 ¿ x+ 10=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x=0 ¿ x=−10 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ NghiÖm cña ®a thøc lµ x = hoÆc x = -10 D C (34) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 b (1®) ⇔ x − 2=0 ¿ x +3=0 ¿ x=2 ¿ x=−3 ¿ ¿ ¿ ⇒¿ ¿ ¿ ¿ ⇒ (x-2)(x+3) = 5(x-2)(x+3) = = 50 VËy x = hoÆc x = -3 TuÇn 22– Buæi15 Ngµy d¹y : 19/1/11 I Môc tiªu Kiến thức : - Kiểm tra khảo sát chất lợng học sinh qua đề thi tham khảo, đánh giá việc nắm kiến thức học sinh Kü n¨ng : - RÌn cho häc sinh kÜ n¨ng tÝnh to¸n , kÜ n¨ng tr×nh bµy Thái độ : - Có ý thức tự học tự nghiên cứu nghiêm túc II/ ChuÈn bÞ - Giáo viên: Soạn đề kiểm tra - Häc sinh: ¤n tËp l¹i néi dung c¸c kiÕn thøc III/ TiÕn tr×nh tiÕt d¹y : §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) §Ò 1.4 A/ Phần đề chung C©u (1,5®iÓm): (35) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 a (0,75®) TÝnh tæng M = ⋅27 +4 ⋅(−5 ) 23 47 47 23 b (0,75®) Cho c¸c sè a1, a2, a3 …an mçi sè nhËn gi¸ trÞ lµ hoÆc -1 Biết a1a2 + a2a3 + … + ana1 = Hỏi n có thể 2002 đợc hay không? C©u (2 ®iÓm) a (1®) T×m x biÕt 1+2 y = 1+ y = 1+6 y 18 24 6x b (1®) T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32 C©u (1,5®iÓm) Cho hình vẽ, đờng thẳng OA là đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a 0) a TÝnh tØ sè y o− xo − y B y0 b Gi¶ sö x0 = tÝnh diÖn tÝch Δ OBC o A C X0 x C©u (3®iÓm) a (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« cïng khëi hµnh tõ A B, vËn tèc «t« lµ 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h Khi ôtô tải đến B thì ôtô đã đến B trớc 45 phút Tính độ dài quãng đờng AB b (2®) Cho Δ ABC, gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AC vµ AB Trªn tia đối tia MB lấy điểm D cho MD = MB, trên tia đối tia NC lấy điểm E cho NE = NC Chøng minh r»ng: Ba ®iÓm E, A, D th¼ng hµng A lµ trung ®iÓm cña ED B/ Phần đề riêng C©u A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a (1®) So s¸nh √ vµ √ + b (1®) Cho hai ®a thøc P(x) = x2 + 2mx + m2 vµ Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2 T×m m biÕt P(1) = Q(-1) C©u B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) So s¸nh 2300 vµ 3200 b (1®) TÝnh tæng A = + + 22 + … + 22010 đáp án đề 1.4 I Phần đề chung C©u (1,5®) a (0,75đ) - Biến đổi M dới dạng tổng =b - §Æt =a ; 23 47 - Rút gọn thay giá trị a, b vào đợc A = 119 b (0,75®) XÐt gi¸ trÞ cña mçi tÝch a1a2, a2a3, …ana1 n ⇒ sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng b»ng sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng -1 vµ b»ng v× 2002 ⋮ ⇒ n = 2002 C©u (2®) a (1®) T×m x biÕt 1+2 y (1) 1+4 y(2) 1+ y(3) = = 18 24 6x - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4) (36) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 - XÐt mèi quan hÖ gi÷a tØ sè (4) vµ (2) ⇒ 6x = 24 = 48 ⇒ x = b (1®) - §a vÒ d¹ng a = c = e b d f - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN ⇒ tÝnh x, y, z C©u (1,5®) a (0,75đ) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm số y = f(x) = ax y0 =a x0 y0 = ⇒ a= x0 y y0 − = = x0 x0 − ⇒ y0 = ax0 ⇒ Mµ A(2;1) - Δ OBC vu«ng t¹i C b (0,75®) ⇒ S ❑Δ OBC = OC BC OC y = Víi x0 = ⇒ S Δ OBC= ⋅5 ⋅ = 6,25 (®vdt) 2 C©u (3®) a (1®) - §æi 45 phót = 45 h= h 60 - Gäi vËn tèc cña «t« t¶i vµ «t« lµ v1 vµ v2 (km/h) t¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h) Ta cã v1.t1 = v2.t2 - Vì vận tốc và thời gian là hai đại lợng TLN ⇒ = (h) t1 = - Tính đợc t2 = ⇒ S = v2 t2 = 30 = 90km v1 t = v2 t ; t – t1 = ⋅3= (h) 4 b (2®) - Δ MAD = Δ MCB (c.g.c) ⇒ gãc D = gãc B ⇒ AD // BC (1) - Δ NAE = Δ NBC (c.g.c) ⇒ gãc E = gãc C ⇒ AE // BC (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ E, A, D th¼ng hµng - Tõ chøng minh trªn ⇒ A lµ trung ®iÓm cña ED E A D N M B II Phần đề riêng C©u A (2®) a (1®) So s¸nh √ vµ √ 5+1 ta cã < √ ⇒ + < √5 + = √5 + + < ( √ 5+1¿ ⇒ √ 8< √ + ⇒ b (1®) - Thay gi¸ trÞ cña x vµo ®a thøc - Cho đa thức ta tính đợc m = - C©u B (2®) C (37) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 a (1®) 100 Ta cã 2300¿ ⇒ b (1®) ❑ =¿ 100 3200¿ ❑ =¿ 3200 > 2300 - Nh©n hai vÕ cña tæng víi A víi 2010 - Lấy 2A – A rút gọn đợc A = − TuÇn 23– Buæi16 Ngµy d¹y : 26/1/11 I Môc tiªu Kiến thức : - Kiểm tra khảo sát chất lợng học sinh qua đề thi tham khảo, đánh giá việc nắm kiến thức học sinh Kü n¨ng : - RÌn cho häc sinh kÜ n¨ng tÝnh to¸n , kÜ n¨ng tr×nh bµy Thái độ : - Có ý thức tự học tự nghiên cứu nghiêm túc II/ ChuÈn bÞ - Giáo viên: Soạn đề kiểm tra - Häc sinh: ¤n tËp l¹i néi dung c¸c kiÕn thøc III/ TiÕn tr×nh tiÕt d¹y : (38) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) §Ò 1.5 A/ Phần đề chung C©u (1,5 ®iÓm): (1®) TÝnh tæng: A = a (0,5®) T×m c¸c sè a1, a2, a3, … a9 biÕt a1 − a2 − a − a −9 = = = = 9 1 1 − − 11 4 − − 11 3 − − 25 125 625 4 − ,16 − − 125 625 0,6 − + vµ a1 + a2 + a3 + … + a9 = 90 C©u (2 ®iÓm) a (1®) T×m x, y biÕt 1+3 y = 1+5 y = 1+7 y 12 5x 4x b (1®) ChØ c¸c cÆp (x;y) tho¶ m·n |x 2+ x|+| y −9| =0 C©u (1,5®iÓm) a (1®) Cho hµm sè y = f(x) = x + víi x ≥ -1 -x – víi x < -1 * Viết biểu thức xác định f * T×m x f(x) = b (0,5®) Cho hµm sè y = x * Vẽ đồ thị hàm số * Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hoành độ M (giải tính to¸n) C©u (3®iÓm) a (1đ) Một ôtô dự định từ A đến B thời gian dự định với vận tốc 40km/h Sau đợc 1/2 quãng đờng AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đờng còn lại Do đó ôtô đến B sớm dự định 18 phút Tính quãng đờng AB b (2®) Cho Δ ABC vu«ng c©n ë A, M lµ trung ®iÓm cña BC, ®iÓm E n»m gi÷a M và C Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đờng thẳng AE) Chứng minh r»ng: * BH = AK * Δ MBH = Δ MAK * Δ MHK lµ tam gi¸c vu«ng c©n B/ Phần đề riêng C©u A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a (1đ) Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức x − √ ¿2 y + √ 2¿ + + |x + y + z| = ¿ ¿ √¿ √¿ b (1®) T×m x, y, z biÕt: x + y = x : y = 3(x – y) C©u B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) T×m x biÕt: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120 (39) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 b (1®) Rót gän biÓu thøc sau mét c¸ch hîp lÝ: A = §¸p ¸n 1.5 I phần đề chung Câu (1,5đ: ý đúng 0,75đ) a A = b áp dụng tính chất dãy TSBN ta tính đợc a1 = a2 = … = a9 = 10 √7 ¿ ¿ ¿ 1 1− + −¿ √ 49 49 ¿ Câu (2điểm: ý đúng 1đ) a - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4) - Tõ tØ sè (4) vµ tØ sè (2) 12 + 4x = 2.5x x = - Từ đó tính đợc y = - 15 | y − 9|≥ b - V× |x + x|≥ vµ ⇒ x2 + 2x = và y2 – = từ đó tìm các cặp (x;y) C©u (1,5®) a (1®) - Biểu thức xác định f(x) = |x +1| - Khi f(x) = ⇒ |x +1| = từ đó tìm x b (0,5®) - Vẽ đồ thị hàm số y = x x O (0;0) y A (5;2) - Biểu diễn O(0;0); A(5;2) trên mặt phẳng toạ độ x - M đồ thị y = -2 = x ⇒ ⇒ OA là đồ thị hàm số y = x x = -5 C©u (3®iÓm) a (1®) 18 phót = 18 = (h) 60 10 - Gọi vận tốc và thời gian dự định nửa quãng đờng trớc là v1; t1, vận tốc và thời gian đã nửa quãng đờng sau là v2; t2 - Cùng quãng đờng vận tốc và thời gian là đại lợng TLN đó: V1t1 = v2t2 ⇔ ⇒ t 1= v v v − v 100 = = = t t t −t B (giờ) ⇒ thời gian dự định quãng đờng AB là - Quãng đờng AB dài 40 = 120 (km) b (2®) - HAB = KCA (CH – GN) ⇒ BH = AK - Δ MHB = Δ MKA (c.g.c) ⇒ MHK c©n v× MH = MK (1) Cã Δ MHA = Δ MKC (c.c.c) ⇒ góc AMH = góc CMK từ đó M K E H A C (40) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp7 ⇒ gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ Δ MHK vu«ng c©n t¹i M II Phần đề riêng C©u A (2®) x − √ ¿2 ¿ a (1®) – V× víi ∀ x ¿ √¿ y + √ 2¿ víi ∀ y ¿ √¿ víi ∀ x, y, z |x + y + z| x − √ ¿2 ¿ ¿0 ¿ y + √2 ¿2 ¿ ⇔ §¼ng thøc x¶y ¿0 ¿ |x + y + x|=0 ¿ ¿ √¿ ¿ x=√ y=− √2 z=0 ¿{{ ¿ b (1®)Tõ x + y = 3(x-y) = x : y nªn 2y – x = ⇒ x = 2y ⇒ 2y(2y – x) = mµ y Từ đó ⇒ x = ;y= 3 C©u B (2®) a (1®) - §Æt 2x lµm TSC rót gän - Biến đổi 120 dới dạng luỹ thừa số tìm x b (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rút gọn đợc A = 4 (41)