3x 2 H x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số H Viết phương trình tiếp tuyến của H biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 Viết phương trình tiếp tuyến của H biết tiếp tuyến tạo với 2 trục toạ [r]
(1)Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số CÁC CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ PHẦN CỰC TRỊ A CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC I Tìm cực trị VD Tìm cực trị hàm số sau: 1 y x x x y x x x 3 3 y x x x II Tìm m để hàm số có cực trị Ví dụ Tìm m để hàm số sau có cực trị y x mx x y x 3x mx y mx (m 2) x x y (m 2) x 3x mx 3 y x mx (m 6) x y x mx (2m 3m 2) x III Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn điều kiện K cho trước Ví dụ Tìm m để hàm số: 1 y mx (m 1) x 3(m 2) x đạt cực trị x1, x2 t/m: x1 + 3x2 = y x 3(m 2) x x m đạt cực trị x1, x2 t/m: x1 x x mx x đạt cực trị x1, x2 t/m: x1 x2 y x mx 3x m đạt cực trị x1, x2 t/m: x1 = 4x2 y x (1 2m) x (2 m) x m đạt cực trị x1, x2 t/m: x1 x 3 y Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 x (m 2) x (5m 4) x m đạt cực trị x1, x2 t/m: x1 x y x 2(m 1) x (m 4m 1) x 2(m 1) 1 x1 x đạt cực trị x1, x2 t/m: x1 x 2 y x (m 1) x (m 4m 3) x đạt cực trị x1, x2 cho: A x1 x 2( x1 x ) đạt giá trị lớn y 5m x x 4mx đạt cực trị x1, x2 cho biểu thức: x 5mx1 12m m2 A đạt giá trị nhỏ x1 5mx2 12m m2 y 10 y x 3(2m 1) x 6m(m 1) x có cực trị, đó tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng nối điểm cực trị 11 y x 3(m 1) x 3m(m 2) x 12m có hai điểm cực trị A, B cho MA + MB nhỏ M(3 , 2) 1 12 y x mx (m 3) x đạt cực trị x1, x2 cho x1, x2 là độ dài các cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền 13 y x (m 3) x 2(m 1) x đạt cực trị x1, x2 lớn 3 14 y x mx 12 x có cực trị cách trục tung Hướng dẫn chung: dùng định lí vi – et 15 Cho hàm số y x3 3mx 3(m 1) x m3 m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O (2) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số 16 Cho hàm số : y x (1 2m) x (2 m) x m (1) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ 17 Cho hs y x 3(m 1) x 6(m 2) x Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu 1 18 Cho hàm số y x (m 1)x 3(m 2)x Với giá trị nào 3 m thì hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa x1 + 2x2 = 2 19 Cho hàm số : y x3 mx m3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2) Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng y = x Câu 1) Cho hàm số y x mx x m a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m=1 b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ x mx mx a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= b) Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 ; x2 thoả mãn x1 x2 Câu 2) Cho hàm số y Câu 3) Cho hàm số y x mx x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= -8 b) Tìm m để hàm số có đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=3x-7 Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 Câu 4) Cho hàm số y x 3(m 1) x (2m 3m 2) x m(m 1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và đường thẳng qua 1 cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y x góc 450 Câu 5) Cho hàm số y x x m x m a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y x 2 Câu 6) Cho hàm số y x x 3(m 1) x 3m a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu cách gốc toạ độ O Câu 8) Cho hàm số y x 9mx 12m x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời x CD xCT B Cực trị hàm trùng phương Cho hàm số y mx m x 10 (1) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị (ĐH KhốiB năm 2002) Cho h/s y= x4 2m2 x2 1(1) a K/s m=1 b Tìm m để đồ thị (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác vuông cân Cho hàm số y = mx4 (m2 9) x2 10 (1) a Khảo sát ,vẽ đồ thị m =1 b Tìm m để (1) có ba điểm cực trị Cho hàm số y mx x Khảo sát hàm số (C) m 2 (3) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; 16) Tìm m để hàm số có cực trị Cho hàm số y x 2mx 2m m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành tam giác Cho hàm số y kx (k 1)x 2k Xác định các giá trị tham số k để đồ thị hàm số có điểm cực trị x mx Xác định m để đồ thị hàm số 2 có cực tiểu mà không có cực đại Cho hàm số y Cho hàm số f ( x) x 2(m 2) x m 5m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số với m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Cho hàm số y x 2mx m m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –2 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200 2 10 Cho hàm số y x 2(m m 1) x m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn PHẦN II TIẾP TUYẾN A Tiếp tuyến điểm, hệ số góc tiếp tuyến Cho hàm số y x x a khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 b Viết phương trình tiếp tuyến (C): a Tại điểm có hoành độ x b Tại điểm có tung độ y = c Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x y 2009 d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d : x 24 y 2009 Cho hàm số y 2x x 1 (ĐH KhốiD 2007) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B và diện tích tam giác OAB m Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y x3 x 3 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m=2 b Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng x y (ĐH KhốiD 2005) Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH KhốiB 2008) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó qua điểm M(–1;–9) ( Khối D - 2007) x Cho hàm số y (C) x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến d (C) cho d và hai tiệm cận (C) cắt tạo thành tam giác cân a) CMR tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 2x + có hệ số góc nhỏ (4) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số b) CMR tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số y = - x3 + 3x + có hệ số góc lớn Cho hàm số y 2x 1 1 x Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng y = (m2 + 2)x + m song song với tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm đồ thỉ (C) với trục tung m Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y x x Gọi M là điểm 3 thuộc (Cm) có hoành độ – Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x – y = Cho hàm số y x x (C) Tìm trên đồ thị (C) điểm mà đó 3 tiếp tuyến đồ thị vuông góc với đường thẳng y x 3 10 Cho hàm số y x (m 1) x (3m 2) x có đồ thị (C m ), 3 Tìm m để trên (C m ) có hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ), M ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 và tiếp tuyến (C m ) điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x y 11: Cho hàm số y x (1 2m) x (2 m) x m (1) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x y góc , biết cos 26 12: Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + Tìm m để (d) cắt (C) M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc x 1 (C) Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + x 1 m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến (C) A và B song song với 13: Cho hàm số y x (C) x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn 14: Cho hàm số y 2x x 1 Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) tới tiếp tuyÕn cña (C) t¹i M lµ lín nhÊt 2x 16: Cho hàm số y có đồ thị (C) x2 Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn 2x 17 Cho hàm số y Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết x 1 khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến x3 18: Cho hµm sè y có đồ thị là (C) x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành A, cắt trục tung B cho OA = 4OB 15 : Cho hàm số y x 1 Tìm điểm M trên (C) cho 2( x 1) tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa độ tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 19: Cho hàm số: y 2x Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp x 2 tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A và B Gọi I là 20 Cho hàm số y Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 (5) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số giao điểm các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ 2x 21 Cho đồ thị ( C): y Tìm m để đường thẳng (d): x2 y = 2x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt cho tiếp tuyến (C ) hai điểm đó song song với x4 22 : Cho hàm số y = 3x Cho điểm M thuộc (C) có hoành 2 độ xM = a Viết phương trình tiếp tuyến (C) M, với giá trị nào a thì tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M Giải a 5 3a 2/ + Vì M (C ) M a ; 2 b) Tìm m để tiếp tuyến giao điểm cuả (Cm) với trục Oy chắn trên hai trục toạ độ tam giác có diện tích Câu 2) Cho hàm số y x 3x mx (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= b) Tìm m để đường thẳng y=1 cắt (Cm) điểm phân biệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến D và E (Cm) vuông góc với Câu 3) Cho hàm số y x 3x (C ) và đường thẳng y=m(x+1)+2 (d) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (C ) điểm cố định A Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C ) điểm A,M,N mà tiếp tuyến M và N vuông góc với nhau\ x a 2 g ( x) x 2ax 3a YCBT pt g(x) = có nghiệm phân biệt khác a a | a | ' a g (a) a 1 Câu 1) Cho hàm số y x mx m (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 3x (H ) x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến tạo với trục toạ độ tam giác cân Gọi I là giao điểm đường tiệm cận Tiếp tuyến M thuộc (H) cắt tiệm cận A,B Chứng minh M là trung điểm AB Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB nhỏ Câu 4) Cho hàm số y Ta có: y’ = 2x – 6x y ' (a) 2a 6a a) Vậy tiếp tuyến (C) M có phương trình : b) a4 y (3a 6a)( x a) 3a 2 c) + Xét pt : x4 a4 3x (3a 6a)( x a) 3a ( x a) ( x 2ax 3a 6) d) 2 2 e) f) xm ( Hm) x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= b) Tìm m để từ A(1;2) kẻ tiếp tuyến AB,AC đến (Hm) cho ABC là tam giác (A,B là các tiếp điểm) 2mx Câu 6) Cho hàm số y ( Hm) xm Câu 5) Cho hàm số y (6) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m=1 2) Tìm m để tiếp tuyến hàm số (Hm) cắt đường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích 2x (H ) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) b) Viết phương trình đường thẳng cắt (H) B, C cho B, C cùng với điểm A(2;5) tạo thành tam giác Câu 7) Cho hàm số y 2x (H ) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) Tìm M thuộc (H) cho tiếp tuyến M (H) cắt trục Ox, Oy A, B cho tam giác OAB có diện tích Câu 8) Cho hàm số y 2x (H ) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Gọi I là giao điểm đường tiệm cận (H) Tìm M thuộc (H) cho tiếp tuyến (H) M vuông góc với đường thẳng IM Câu 9) Cho hàm số y 2x (H ) x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số (H) đến tiếp tuyến là lớn Câu 10) Cho hàm số y Câu 11) Cho hàm số y x 3x x 1(C ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm hai điểm A,B thuộc đồ thị cho tiếp tuyến (C ) A, B song song với và độ dài AB nhỏ Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 19 Câu 12) Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A ;4 đến đồ 12 thị hàm số y x 3x B ĐỊNH LÍ ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC Cho hàm số y x3 3mx x 3m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành Cho hàm số y x x3 m 1 x x m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành Cho đồ thị hàm số C : y x3 3x Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành cho từ đó có thể kẻ tiếp tuyến với (C) Cho đồ thị hàm số C : y x x Tìm các điểm M nằm trên Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) Cho đồ thị hàm số C : y x3 3x Tìm các điểm trên đường thẳng y = cho từ đó có thể kẻ tiếp tuyến với (C) Cho hàm số y x x Chứng minh từ điểm A( ,0 ) có thể kẻ tiếp tuyến với đồ thị (C) và hai tiếp tuyến Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 –m(x – 1) – tiếp xúc với trục hoành Cho hàm số y = x3 – 3x + Tìm trên đường thẳng y = các điểm cho từ đó kẻ tiếp tuyến với ( C ) (2m 1) x m (1) x 1 Tìm m để đồ thị (1) tiếp xúc với đường thẳng y x 10 Cho hàm số: y 3x x3 Tìm trên đường thẳng y = – x các điểm kẻ đúng tiếp tuyến tới đồ thị (C) Câu 13) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y x x mà qua đó kẻ tiếp tuyến đến đồ thị Cho hàm số y (7) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số Câu 14) Tìm điểm thuộc đường thẳng y=2 mà từ đó có thể kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hs y x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m=1 x3 (C ) Đường thẳng d có hệ số góc k và qua x 1 M(-1, 1) cắt đồ thị (C) điểm A, B thỏa mãn M là trung điểm AB Tìm k 2x 4 Cho hàm số y (C ) Đường thẳng d có hệ số góc k và qua 1 x M(1, 1) cắt đồ thị (C) điểm A, B thỏa mãn: AB = 10 Tìm k 2x Cho hàm số y (C ) Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng x 1 d: y x m điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O x2 Cho hàm số y (C ) CMR với m đồ thị (C) luôn có cặp x2 x A y A m điểm A, B nằm nhánh (C) thỏa mãn: xB y B m b) Tìm m để đồ thị hs tiếp xúc với trục Ox Cho hàm số y Câu 15) Tìm điểm thuộc trục tung qua đó có thể kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hs y x x Câu 16) Tìm điểm thuộc đường thẳng x=2 từ đó kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hs y x 3x Câu 17) Tìm điểm thuộc trục Oy qua đó kẻ tiếp x 1 tuyến đến đồ thị hs y x 1 Câu 1) Cho hàm số y 2mx (4m 1) x 4m Câu 2) Cho hàm số y x 2mx m m a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m=1 Tìm m để đồ thị hs tiếp xúc với trục Ox điểm phân biệt PHẦN III TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ A Tương giao hàm biến với đường thẳng x 1 Ví dụ Cho hàm số y (C ) CMR với m đồ thị (C) luôn 2x cắt đường thẳng d: y x m điểm phân biệt A, B tìm m để các tiếp tuyến A, B có tổng hệ số góc lớn 2x Cho hàm số y (C ) CMR với m đồ thị (C) luôn cắt x2 đường thẳng d: y x m điểm phân biệt A, B Tìm m để AB ngắn Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 Cho hàm số y x (C ) Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng d: 1 x y mx m điểm phân biệt A, B cho: MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ biết M(-1, 1) 2x Cho hàm số y (C ) Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng x 1 d: y mx điểm phân biệt A, B và d cắt hai đường tiệm cận M, N đó chứng minh MA = NB 2x Cho hàm số y (C ) và A(-2, 4) Viết phương trình đường x 1 thẳng d cắt (C) điểm phân biệt B, C cho tam giác ABC (8) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số 3x + 10 Cho hàm số : y = , có đồ thị (C ) Tìm m để đường x- thẳng (d m ) : y = (m + )x + m - cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt cho tam giác AOB có diện tích x H x 1 Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hs H điểm A, B 11 Cho hàm số y cho AB 10 2x (C) x2 Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt thuộc nhánh khác đồ thị cho khoảng cách điểm đó là nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó 2x 1 x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị C hàmsố trên 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; ) và có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N và MN 10 2x VD8: Cho hàm số y (C) x 1 Khảo sát hàm số Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = VD7: Cho hàm số y 12 Cho hàm số y = x 1 13 Cho haøm soá y x 1 Tìm a và b để đường thẳng (d): y ax b cắt (C) hai điểm phân biệt đối xứng qua đường thẳng ( ): x y x 1 ( ) có đồ thị (C ) x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( 1) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng (d ) : y x m lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c X¸c định m để đoạn AB có độ dài ngắn 2x VD6: Cho hàm số y = (1) x 1 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm M, N cho tam giác OMN vuông góc O ( O là gốc tọa độ) VD5: Cho hµm sè y Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 II Tương giao hàm bậc với trục hoành: (số nghiệm pt bậc 3) Bài 3: Cho hàm số : y = y = x + 2mx + (m - )x + , có đồ thị (C m ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C )của hàm số m = Tìm tất các giá trị tham số m Î ¡ để đường thẳng x + y - = cắt đồ thị điểm A (0;2 ), B, C cho tam giác MBC có diện tích , biết M (3;1 ) x mx x m có đồ thị (Cm) 3 a) Khảo sát m =-1 Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn 15 Bài 5: Cho hàm số y Câu 7) Cho hàm số y x 2(1 2m) x (5 7m) x 2(m 5) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= 5/7 b) Tìm m để đồ thị hs cắt Ox điểm có hoành độ nhỏ (9) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số Câu 8) Tìm m để đồ thị hs y x 3mx 2m(m 4) x 9m m cắt trục Ox điểm tạo thành cấp số cộng Câu 9) Tìm m để hàm số y x (3m 1) x (5m 4) x cắt Ox điểm lập thành cấp số nhân Bài 9: Cho hàm số y x 2mx m 3x C m 1) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m 2) Cho I 1;3 Tìm m để đường thẳng d : y x cắt C m điểm phân biệt A0;4 , B , C cho IBC có diện tích C Bài 15: Cho hàm số y x 3x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số C 2) Chứng minh đường thẳng qua I 1;2 với hệ số góc k k 3 cắt C điểm phân biệt I , A, B đồng thời I là trung điểm AB Bài 17: Cho hàm số y x ax 1) Khảo sát hàm số với a 2) Tìm a để phương trình x ax m có nghiệm phân biệt với m thỏa mãn m Bài 30: Cho hàm số y x 3x mx C m 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m 2) Chứng minh với m ta luôn có C m luôn cắt đồ thị hs y x x điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AB 11 Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho các tiếp tuyến (Cm) B và C vuông góc với VD9: Cho hàm số y x 6x 9x (C) Định m để đường thẳng (d): y mx 2m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 VD10: Cho hàm số y x mx x m (C m ) Tìm m để (Cm) 3 cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x12 x 22 x 32 15 VD11: Cho hàm số y x 3x 9x m (C m ) Xác định m để đồ thị (Cm) hàm số đã cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp số cộng VD12: Cho hàm số y x 3mx 2m(m 4)x 9m m (C m ) Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số cắt trục hoành điểm cách VD13: Cho hàm số y 2x 3x (C) Tìm điều kiện a và b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, D cho AB = BD Khi đó chứng minh đường thẳng (d) luôn luôn qua điểm cố định VD14: Cho hàm số y x mx m (C m ) Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox ba điểm phân biệt VD15 : Cho hàm số y x3 2mx 3(m 1) x (1), m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : y x điểm phân biệt A(0; 2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M (3;1) III TƯƠNG GIAO CỦA HÀM TRÙNG PHƯƠNG Câu 1) Tìm m để hàm số y x 2(m 1) x 2m Cắt Ox điểm tạo thành cấp số cộng Câu 2) Cho hàm số y x 2m2 x m 2m (1), với m là tham số (10) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox ít hai điểm phân biệt, với m Câu 3) Cho hàm số y x 2m2 x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Chứng minh đường thẳng y x luôn cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m Câu 4: Tìm m để (Cm): y = x4 + 2mx2 – 2m + cắt trục Ox điểm laäp thaønh caáp soá coäng Câu 5) Cho hàm số y x 2(m 2) x m 5m (C m ) Khảo sát hàm số (C) m Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt Câu 6) Cho hàm số y x 2mx 2m (C m ) Khảo sát hàm số m Biện luận theo m số cực trị hàm số Xác định m cho (C m ) cắt trục hoành bốn điểm có các hoành độ lập thành cấp số cộng Xác định cấp số cộng này PHẦN 4: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Câu 3) Cho hàm số y x4 3x 2 Câu 5) Cho hàm số y x 3x (C ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Tìm m để phương trình x x 4m 4m có nghiệm phân biệt Câu 13) Cho hàm số y x 3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hs b) Biện luận số nghiệm phương trình x ( x 1) m Câu 14) Cho hàm số y x3 3x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 x 1( ) 2m PHẦN BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM, KHOẢNG CÁCH a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3x để tổng khoảng cách từ M đến x2 đường tiệm cận H là nhỏ b) Tìm để phương trình sau có nghiệm phân biệt x x m 2m Câu 2) Tìm M thuộc (H) : y Câu 1) Tìm M thuộc (H) y x 1 để tổng khoảng cách từ M đến x 1 trục toạ độ là nhỏ Câu 4) Cho hàm số y x 3mx 6mx a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m=1/4 b) Biện luận số nghiệm x x x 4a Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 Câu 3) Tìm trên nhánh đồ thị hàm số (H): y 4x các x3 điểm M1, M2 để M M nhỏ 10 (11) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số x 2x Câu 4) Tìm trên nhánh đồ thị hàm số y các x 1 điểm M, N để độ dài MN nhỏ x 2x điểm M cho MI x 1 nhỏ với I là giao điểm đường tiệm cận Câu 5) Tìm trên đồ thị hàm số y Câu 6) Tìm m để hàm số y=-x+m cắt đồ thị hàm số y 2x x2 điểm A,B mà độ dài AB nhỏ 2x Câu 7) Cho hàm số y x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên đồ thị (C), hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN, biết M(–3; 0), N(–1; –1) Câu8 Cho hàm số y x2 2x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm điểm trên đồ thị (C) cách hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2) câu Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Câu 10) Cho hµm sè x2 x y= x2 (C) Chøng minh tích các khoảng cách từ điểm bất kì trên đồ thị (C) đến c¸c tiÖm cËn cña nã lµ mét h»ng sè Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 x3 11 Cõu 11) Cho hàm số y = x 3x Tìm trên đồ thị (C) 3 hai điểm phân biệt M,N đối xứng qua trục tung Câu 12) Cho hµm sè y= x3 – 3x2 + m (1) ( m lµ tham sè ) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ Câu 13) Cho hàm số y x mx m (Cm) Chứng minh m thay đổi thì (Cm) luôn luôn qua hai điểm cố định A, B Tìm m để các tiếp tuyến A và B vuông góc với BÀI TẬP TỔNG HỢP 1) Cho hàm số y x 3x (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = các điểm mà từ đó có thể kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) 2) Cho hàm số y x 3mx x có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m Tìm m để (Cm) cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A và B song song với và độ dài đoạn AB = 4) Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (m là tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ (1 ) 5) Cho hàm số y x x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1) + luôn cắt đồ thị (C) điểm M cố định và xác định các giá trị m để (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P 3) 11 (12) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số cho tiếp tuyến với đồ thị (C) N và P vuông góc với 6) Cho hàm số y x3 2mx (m 3) x có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C1) hàm số trên m = 2) Cho (d) là đường thẳng có phương trình y = x + và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị tham số m cho (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích 7) Cho hàm số y x3 3m2 x 2m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) và trục hoành có đúng điểm chung phân biệt 8) Cho hàm số: y 3x x3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên đường thẳng y = – x các điểm kẻ đúng tiếp tuyến tới đồ thị (C) 9) Cho hàm số y x3 3x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M và N vuông góc với 10) Cho hàm số f ( x) x3 3x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: 1 1 G(x)= 2sin x 2sin x 2 11) Cho hàm số y x 2mx (m 3) x có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên m = 12) Cho đường thẳng (d): y = x + và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị tham số m cho (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích 13) cho hàm số y x3 3x m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 4 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho AOB 1200 Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 14) Cho hàm số y x x 1) Khảo sát biến thiên và đồ thị (C) hàm số 2) Dựa và đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: x3 – x = m3 – m 15) Cho hàm số : y x3 (1 2m) x (2 m) x m (1) ( m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ 16) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y ( x – m)3 – 3x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: x 3x k 1 log x log ( x 1) 2 17) Cho hàm số : y x3 mx m3 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2) Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng y = x 18) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0; 1), D, E cho các tiếp tuyến (Cm) D và E vuông góc với 19) Cho hàm số y x x x (1) 3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân O (O là gốc toạ độ) 20) Cho hàm số y x 2mx (m 3) x (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 12 (13) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số 2) Cho điểm I(1; 3) Tìm m để đường thẳng d: y x cắt (Cm) điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho IBC có diện tích 21) Cho hàm số y x x mx có đồ thị (Cm) (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = điểm phân biệt C(0; 1), D, E cho các tiếp tuyến (Cm) D và E vuông góc với 22) Cho hàm số y x3 x x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến này qua gốc tọa độ O 23) Cho hàm số y f ( x) x3 mx 2m (1) ( m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm tất các giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm 24) Cho hàm số y x x mx có đồ thị là (Cm); ( m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho các tiếp tuyến (Cm) D và E vuông góc với 25) Cho hàm số y x 9mx 12m2 x (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm tất các giá trị m để hàm số có cực đại xCĐ, cực tiểu xCT thỏa mãn: x 2CÑ xCT 26) Cho hàm số y x –3 x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : m x2 2x x 1 HÀM TRÙNG PHƯƠNG 27) Cho hàm số f ( x) x 2(m 2) x m 5m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số với m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân 28) Cho hàm số y x x 4, có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Tìm m để phương trình x x log2 m có nghiệm 29) Cho hàm số: y x (2m 1) x 2m (m là tham số ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm tất các giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt cách 30) Cho hàm số y x x 4, có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2) Tìm m để phương trình | x x | log m có nghiệm 31) Cho hàm số y x 2mx m m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –2 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200 32) Cho hàm số y x mx3 x 3mx (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu 33) Cho hàm số: y x x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x x log m (m>0) 13 (14) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số 34) Cho hàm số y x 2(m2 m 1) x m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn 2) Tìm trên trục tung tất các điểm từ đó kẻ tiếp tuyến tới (C) 41) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y 35) Cho hàm số y x mx m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = –2 2) Chứng minh m thay đổi thì (Cm) luôn luôn qua hai điểm cố định A, B Tìm m để các tiếp tuyến A và B vuông góc với 36) Cho hàm số y x 2m2 x m 2m (1), với m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox ít hai điểm phân biệt, với m 37) Cho hàm số y x 2m2 x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Chứng minh đường thẳng y x luôn cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m 38) Cho hàm số y là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Xác định m cho đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm A, B cho độ dài đoạn AB là ngắn 42) Cho hàm số y 2x có đồ thị (C) x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Với điểm M thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến M cắt tiệm cận Avà B Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ 2x 39) Cho hàm số y có đồ thị là (C) x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2) Chứng minh đường thẳng d: y = –x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ x 1 40) Cho hàm số y (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 2x 1 (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) cho tổng các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận (C) là nhỏ 43) Cho hàm số y 2x x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3;0) và N(–1; –1) 44) HÀM PHÂN THỨC x 3m có đồ thị là (Cm) (m m x 4m Cho hàm số y 2x 1 x 1 (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O 45) Cho hàm số y 2x x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A và B Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ 46) Cho hàm số y x2 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh với giá trị thực m, đường thẳng (d) 14 (15) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số y = – x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ đoạn AB 2x 1 47) Cho hàm số y = 1 x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P và Q Chứng tỏ A là trung điểm PQ và tính diện tích tam giác IPQ x2 48) Cho hàm số y = (1) 2x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B cho OAB cân gốc tọa độ O 2x 1 49) Cho hàm số y x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M là giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm trên đồ thị (C) điểm I có hoành độ dương cho tiếp tuyến I với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A và B thoả mãn: MA2 MB 40 2x 50) Cho hàm số y x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên đồ thị (C), hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN, biết M(–3; 0), N(–1; –1) 2x 1 51) Cho hàm số y x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng MI Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 52) Cho hàm số y (2m 1) x m x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x 53) Cho hàm số y x2 2x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân O x 3 54) Cho hàm số y x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I 1;1 và cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I là trung điểm đoạn MN 2x 55) Cho hàm số y x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến tiếp tuyến là lớn 2x 1 56) Cho hàm số y x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB 15 (16) Tài liệu ôn thi Đại học 2013 - Chuyên đề Khảo sát hàm số Sao gặp lại phải chia tay Con tàu đến nhanh quá đỗi Sân ga cô đơn tự mình không hiểu Tháng năm vơi đầy nỗi nhớ niềm thương Mười hai năm sống mái trường Trong tình thương thầy cô, bè bạn Mười hai năm - tưởng dài vô hạn Đã hết rồi, nhanh quá, thời gian Nhớ thuở lần đầu đến lớp Rụt rè sau mẹ, ngơ ngác xung quanh Lá e dè mở mắt màu xanh Ta khẽ gọi thì thầm tên cô giáo Bảng hãy đen cùng với năm, với tháng Xin đừng xóa bài học hôm qua Thật là gần, mà xa Ta lẩm nhẩm đếm lại tên đứa Ve đừng khóc, phượng đừng đốt lòng ta Nắng đừng vàng ngơ ngẩn buổi chia tay Lớp học hãy lại nơi này Khung cửa sổ, thôi ta chào nhé Bằng lăng tím sân trường lặng lẽ Lá vẫy tay chào, tạ từ nhé người ! Ôi nhớ câu thơ nhớ nét chữ Với bóng hình núi sông Quê hương ta bát ngát cánh đồng Cô bà tiên cổ tích Là học trò lại không tinh nghịch Ta chẳng thể quên lần phạt ngày xưa Cô bắt đứng góc lớp - và ta òa khóc Nước mắt hôm qua còn mặn đến bây Tháng năm học trò trôi êm ả Háo hức đón hè, chờ đợi tiếng ve Ta biết lăng màu tím Và nghĩ phượng vĩ khóc nhè Thời gian qua chẳng nói với hàng me Ta vô tình lật trang Khi hoa gạo hết thời rực rỡ Ta hiểu mình đánh thời gian Còn lại đây dòng chữ khắc trên bàn Bụi phấn trắng để tóc thầy thêm bạc Biên soạn: Lê Minh Đạt - ĐT: 0918 344 200 16 (17)