Chuyên đề khảo sát hàm số hay

TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.Kiến thức cơ bản: 1. Định lý: )(0)(* / xfDxxf  đồng biến trên D. )(0)(* / xfDxxf  nghịch biến trên D. 2. Định lý mở rộng: Dxxf  0)(* / và 0)( / xf tại một số hữu hạn điểm )(xf  đồng biến trên D. Dxxf  0)(* / và 0)( / xf tại một số hữu hạn điểm )(xf  nghịch biến trên D. 3. Chú ý:   baxxf ;0)(* /  và f(x) liên tục trên   ba; )(xf  đồng biến trên   ba; .   baxxf ;0)(* /  và f(x) liên tục trên   ba; )(xf  nghịch biến trên   ba; . 4. Điều kiện không đổi dấu trên R: Cho )0()( 2  acbxaxxf .       0 0 0)(* a Rxxf       0 0 0)(* a Rxxf       0 0 0)(* a Rxxf       0 0 0)(* a Rxxf II. Các dạng toán: 1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn cho trước: Phương pháp: * Tính y / . * Cho y / = 0. Có các cách sau Cách 1. ( Nếu ta tìm được nghiệm của y / ) + Lập bảng biến thiên. + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. Cách 2. ( Nếu ta rút ra được y / = 0 về dạng g(x) = h(m)) + Xét sự biến thiên của g(x). + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. Cách 3. ( Không làm được như hai cách trên ) + Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát. + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. Ví dụ 1. Cho hàm số     3 2 1 1 2 1 6 3 y x m x m x       a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên   ;2 c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên   1;3 Giải: TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 a. Tập xác định: D = R.   1212 2/  mxmxy Hàm số đồng biến trên R       0 0 0 / / a Rxy 0 0 0 01 2              m m Rm m b. Tập xác định: D = R.   1212 2/  mxmxy   / 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 x y x m x m x m               * Trường hợp 1: 2 1 1 0 m m     . Ta có bảng biến thiên: x   1   y / + 0 +   y   3 1 Suy ra hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên   ;2 . Do đó m = 0 thỏa mãn. * Trường hợp 2 : 0112     mm . Ta có bảng biến thiên: x   1 2m+1   y / + 0 - 0 + y(1)   y   y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên   ;2 2 1 212  mm ( thỏa đk m>0) * Trường hợp 3 : 0112     mm . Ta có bảng biến thiên: x   2m+1 1   y / + 0 - 0 + y(2m+1)   y   y(1) TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên   ;2 Vậy hàm số đồng biến trên   ;2 khi m = 0 hoặc 2 1 m c. Tập xác định: D = R.   1212 2/  mxmxy         12 1 012120 2/ mx x mxmxy * Trường hợp 1: 0112     mm . Ta có bảng biến thiên: x   1   y / + 0 +   y   3 1 Suy ra hàm số đồng biến trên R nên không nghịch biến trên   1;3 Do đó m = 0 không thỏa mãn. * Trường hợp 2 : 0112     mm . Ta có bảng biến thiên: x   1 2m+1   y / + 0 - 0 + y(1)   y   y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên   1;3 * Trường hợp 3 : 0112     mm . Ta có bảng biến thiên: x   2m+1 1   y / + 0 - 0 + y(2m+1)   y   y(1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên   1;3 2312        mm ( Thỏa mãn điều kiện m <0 ) Vậy 2   m hàm số nghịch biến trên   1;3 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 Ví dụ 2. Cho hàm số 102 3 1 23  mxxxy a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên   ;0 c. Xác định m để hàm số đồng biến trên   1; d. Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Giải: a. Tập xác định: D = R. mxxy  4 2/ Hàm số đồng biến trên R       0 0 0 / / a Rxy 4 404 01              m m Rm m b. * Tập xác định: D = R. mxxy  4 2/ * Hàm số đồng biến trên   ;0    ;00 / xy      ;04;004 22 xmxxxmxx * Xét hàm số xxxf 4)( 2  trên   ;0 Ta có 42)( /  xxf 20)( /  xxf (loại) Ta có bảng biến thiên: x 0   f / (x) +   f(x) 0 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 0   m Vậy 0  m hàm số đồng biến trên   ;0 . c. * Tập xác định: D = R. mxxy  4 2/ * Hàm số đồng biến trên   1;   1;0 /  xy     1;41;04 22  xmxxxmxx * Xét hàm số xxxf 4)( 2  trên   1; Ta có 42)( /  xxf TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 20)( /  xxf ( nhận ) Ta có bảng biến thiên: x   -2 1 f / (x) - 0 +   f(x) -4 5 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 4    m d. * Tập xác định: D = R. mxxy  4 2/ / 2 0 4 0 y x x m      Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1  phương trình 0  ý có hai nghiệm phân biệt 21 , xx sao cho 1 21  xx                       14 4 12 04 1 0 21 2 2121 2 2 2 1 2 21 / xxxx m xxxx m xx   4 3 4 3 4 1)(42 4 2                m m m m m Vậy 4 3 m thỏa mãn điều kiện bài toán. Ví dụ 3. Cho hàm số 112 23  xmxxy a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên   ;1 c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên   2;1 d. Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2. Giải: a. Tập xác định: D = R. 1223 2/  mxxy Hàm số đồng biến trên R       0 0 0 / / a Rxy 66 66 036 03 2              m m Rm m b. Tập xác định: D = R. 1223 2/  mxxy TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 * Hàm số đồng biến trên   ;1    ;10 / xy        ;1 123 2;101223 2 2 x x x mxmxx Xét hàm số      ;1 123 )( 2 trên x x xf Ta có 2 2 / 123 )( x x xf           )(2 )(2 0 123 0)( 2 2 / lx nx x x xf Ta có bảng biến thiên: x 1 2   f / (x) - 0 + 15   f(x) 12 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 6122     mm Vậy 6  m thỏa mãn điều kiện bài toán. c. Tập xác định: D = R. 1223 2/  mxxy * Hàm số nghịch biến trên   2;1   2;10 /  xy     2;1 123 22;101223 2 2    x x x mxmxx Xét hàm số   2;1 123 )( 2 trên x x xf   Ta có 2 2 / 123 )( x x xf           )(2 )(2 0 123 0)( 2 2 / lx lx x x xf Bảng biến thiên: x 1 2 f / (x) - 15 f(x) 12 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 6122     mm Vậy 6  m thỏa mãn điều kiện bài toán. d. * Tập xác định: D = R. 1223 2/  mxxy Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2  phương trình 0  ý có hai nghiệm phân biệt 21 , xx sao cho 2 21  xx                             44 ;66; 42 036 4 0 21 2 21 21 2 2 2 1 2 2 21 / xxxx m xxxx m xx                                     m m m m m m 6 6 ;66; 44.4 3 2 ;66; 2 Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán. Ví dụ 4. Cho hàm số m x mx y    9 . a. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên   ;2 . c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên   1; Giải: a. TXĐ:   mRD  \   2 2 / 9 mx m y    Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định mxy  0 /   3;309 2  mm Vậy:   3;3m thỏa điều kiện bài toán. b. TXĐ:   mRD  \   2 2 / 9 mx m y    Hàm số đồng biến trên   ;2   mxvàxy  ;20 /           3 2 ;33; 2 ;33; ;2 09 2                    m m m m m m m Vậy: 3  m thỏa điều kiện bài toán. c. TXĐ:   mRD  \   2 2 / 9 mx m y    Hàm số nghịch biến trên   1;   mxvàxy  1;0 / TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2       13 1 3;3 1 3;3 1; 09 2                    m m m m m m m Vậy: 13    m thỏa điều kiện bài toán. Ví dụ 5. (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013) Cho hàm số 3 2 y x 3x 3mx 1 (1)      , với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +  ) Giải: Ta có y’ = -3x 2 + 6x+3m Yêu cầu bài toán  y’   0, 0;x     2 2 3 6 3 0 (0; ) 2 (0; ) x x m x m x x x               Xét hàm số 2 ( ) 2 g x x x   với x > 0 Ta có / ( ) 2 2 g x x   / ( ) 0 1 g x x    Ta có bảng biến thiên: x 0 1   g / (x) - 0 + 0   g(x) -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 1 m    Vậy 1 m   hàm số nghịch biến trên (0; )  . BÀI TẬP TỰ LÀM 1. Cho hàm số 3 2 3 4 y x x mx      có đồ thị ( ) C . Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng   0;   . ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009) 2. Cho hàm số 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 y x m x m m x       có đồ thị (C m ). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng   ;2 . 3. (Dự bị 1 khối D 2003) Cho hàm số: 2 2 x 5x m 4 y x 3      , (1) TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1. b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng   1;  . 2 .Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 1. Chứng minh rằng: a. sinx < x        2 ;0  x b.        2 ;0tan  xxx c.   1;102 24  xxx Giải: a. Ta có: sinx < x 0sin    xx Xét xxxf sin)(   Với        2 ;0  x Ta có        2 ;00 2 sin2cos1)( 2/  x x xxf ) 2 ;0(02 2 0 2 sin0)( /          xDoxkxk xx xf Suy ra, )(xf đồng biến trên       2 ;0  Do đó,        2 ;0  x Ta có   xxxxxffx  sinsin0)(00 Vậy: sinx < x        2 ;0  x b. Ta có: 0tantan     xxxx Xét hàm số xxxf tan)(   trên       2 ;0  Ta có        2 ;00tan cos 1 1)( 2 2 /  xx x xf ) 2 ;0(00tan0)( /          xDoxkxxxf Suy ra, )(xf nghịch biến trên       2 ;0  Do đó,        2 ;0  x Ta có   xxxxxffx tantan0)(00  Vậy        2 ;0tan  xxx c.   1;102 24  xxx TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 Xét hàm số 24 2)( xxxf  với   1;1x Ta có xxxf 44)( 3/             1 1 0 0140440)( 23/ x x x xxxxxf Bảng biến thiên: x -1 0 1 f / (x) + 0 - 0 f(x) -1 -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy   1;102)( 24  xxxxf (đpcm) CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai một điểm: Cách 1. ( Thường dùng cho hàm đa thức ) * f(x) đạt cực trị tại x = x 0         0)( 0)( 0 // 0 / xy xy * f(x) đạt cực đại tại x = x 0         0)( 0)( 0 // 0 / xy xy * f(x) đạt cực tiểu tại x = x 0         0)( 0)( 0 // 0 / xy xy Cách 2. ( Thường dùng cho hàm phân thức ) * Nếu f(x) đạt cực trị tại x = x 0 thì 0)( 0 / xy . * Giải phương trình 0)( 0 / xy tìm m, thay m vừa tìm được vào hàm số . * Lập bảng biến thiên và kết luận. Ví dụ 1. Cho hàm số     5231 3 1 223  xmmxmxy . a. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 0. b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. c. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. Giải: [...]... 2 khối A 2003) Cho hàm số: y  x2  (2m  1)x  m 2  m  4 , (1) 2(x  m) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=0 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) 2/ (Dự bị 1 khối A 2002) Cho hàm số: y  x 4  2m 2 x2  1 , (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm... khối D 2002) Cho hàm số: y  x2  mx , (1) 1 x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=0 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10 4/ (Dự bị 1 khối B 2002) Cho hàm số: y  mx4  (m 2  9)x2  10 , (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1 b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm... Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  9 x  m Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x 2  2 2 Cho hàm số y  (m  1) x 4  (m  2) x 2  3m Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị 3 Cho hàm số y  x 3  3 x 2  m (1) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ·  1200 AOB 4 Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m2  m Xác định m để đồ thị của hàm số đã... (1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị ấy nằm trên đường tròn có bán kính bằng 1 8 (Dự bị 1 khối A 2005) Cho hàm số: y  x2  2mx  1  3m 2 , (1) xm a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1 b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung LTĐH - Chun Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên:... x , x 1 2  Hàm số ln đạt cực trị tại x , x 1 2 Ta có: LTĐH - Chun Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam x  2 m  1  1  2m 1 x  2 m  1  1  2m  2 2  x  x  2m  2  2m  2 (hằng số) 2 1 Vậy: x1  x 2 khơng phụ thuộc m Ví dụ 11: Cho hàm số : y  x 3  3x 2  m 2 x  m Tìm tất cả các giá trò của tham số m đề hàm số có cực đại,... một góc bằng 1200 5 Cho hàm số y  x 4  2(m2  m  1) x 2  m  1 Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất LTĐH - Chun Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 3 Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực trị và cực trị của đồ thị hàm số: A Kiến thức cơ bản: a/ Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx... hàm số đạt cực đại tại x  2 Vậy m  2 2 thỏa mãn điều kiện bài tốn 2 Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước: 1 3 Ví dụ 1 Cho hàm số y  x 3  2m  1x 2  1  4m x  1 a Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu b Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x 1 , x2 sao cho x1  x 2  4 c Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3x1  x2  4 d Xác định m để hàm. .. 4  2mx 2  2 a Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị b Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vng cân c Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều d Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 1 Giải: a TXĐ: D = R y /  4 x 3  4mx LTĐH - Chun Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn...  4 2 Ví dụ 4 Cho hàm số y  x 2  m  1x  m 2  4m  2 x 1 LTĐH - Chun Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam a Xác định m để hàm số có cực trị b Xác định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Giải: a TXĐ: x 2  2 x  m 2  3m  3 x  12  x  1 (1) y/  0   2 2  x  2 x  m  3m  3  0 ( 2) Hàm số có cực trị  phương...  thỏa mãn điều kiện bài tốn b  3 LTĐH - Chun Đề Khảo Sát Hàm Số 2 TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Ví dụ 3 Xác định m để hàm số y  x 4  2m 2 x 2  5 a Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1 b Hàm số đạt cực đại tại x = - 2 Giải: a TXĐ: D = R y /  4 x 3  4m 2 x y //  12 x 2  4m 2  /  y (1)  0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1   //   y (1)  . Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 Ví dụ 2. Cho hàm số 102 3 1 23  mxxxy a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên   ;0 c. Xác định m để hàm. THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1. b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng   1;  Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 Ví dụ 3. Xác định m để hàm số 52 224  xmxy a. Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1 b. Hàm số đạt cực đại tại x = - 2. Giải: