Chuyên đề nguyên hàm tích phân

Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRC TUYN ĐặNG VIệT HùNG BI GING TRNG TM TCH PHÂN Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 01 ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân hàm số y = f(x) kí hiệu dy cho công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví dụ: d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân ta dễ dàng thu số kết sau d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )  x2  1 xdx = d   = d x = d x ± a = − d a − x   2   ( ) ( ) ( )  x3  1 x dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3   3   dx d ( ax + b ) dx = = d ( ln ax + b )  → = d ( ln x ) ax + b a ax + b a x 1 sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  sin xdx = − d ( cos2 x ) → a a 1 cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  cos xdx = d ( sin x ) → a a 1 eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b  e2 x dx = d e x → a a dx d ( ax + b ) dx = = d  tan ( ax + b )   → = d ( tan x )   2 cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a cos x ( ) ( ) ( dx sin ( ax + b ) = ( ) ) ( ) d ( ax + b ) dx = − d cot ( ax + b )   → = − d ( cot x )   a sin ( ax + b ) a sin x II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục khoảng (a; b) Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x) viết ∫ f ( x)dx Từ ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nhận xét: Với C số ta ln có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) Với giá trị cụ thể C ta nguyên hàm hàm số cho Ví dụ: Hàm số f(x) = 2x có ngun hàm F(x) = x2 + C, (x2 + C)’ = 2x Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm F(x) = –cosx + C, (–cosx + C)’ = sinx III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) g(x) liên tục tồn nguyên hàm tương ứng F(x) G(x), ta có tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chứng minh: Do F(x) nguyên hàm hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b) Tính chất 2: Chứng minh: Theo tính chất ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo định nghĩa nguyên hàm vế phải nguyên hàm f(x) + g(x) ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx c) Tính chất 3: ( ∫ k f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ Từ ta có Chứng minh: ( ) ′ → Tương tự tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k f ( x)  ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du d) Tính chất 4: Tính chất gọi tính bất biến nguyên hàm, tức nguyên hàm hàm số phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM Công thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, ( x + C )′ = ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ du = u + C Công thức 2: ∫ x n dx = x n +1 +C n +1 Chứng minh:  x n +1 ′ x n +1 Thật vậy,  + C  = x n ⇒ ∫ x n dx = +C n +1  n +1  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ u n du = u n +1 +C n +1 dx dx du + Với n = − ⇒ ∫ = 2∫ = x + C ← ∫ → =2 u +C x x u dx du + Với n = −2 ⇒ ∫ = − + C ← ∫ = − + C → x x u u Ví dụ: x3 a) ∫ x dx = + C x5 b) ∫ ( x + x ) dx = ∫ x dx + ∫ xdx = + x + C c) ∫ − x − x2 x3 x2 x x2 x2 dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x dx − = − + C = 33 x − + C x x 2 ( x + 1) + C u n du d) I = ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1)  I = → 2011 (1 − 3x ) + C 2010 2010 u n du → e) I = ∫ (1 − 3x ) dx = − ∫ (1 − x ) d (1 − x )  I = − 2011 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 f) I = ∫ dx ( x + 1) Trang d ( x + 1) u 1 ∫ ( x + 1)2 → I = − x + + C = − ( x + 1) + C du = g) I = ∫ x + 5dx = Công thức 3: ∫ 3 1 ∫ x + 5d ( x + ) ⇒ I = ( x + ) + C = ( x + ) + C dx = ln x + C x Chứng minh: dx Thật vậy, ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C x x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta du ∫u = ln u + C  dx  ∫ 2x + k = ln x + k + C d ( ax + b ) 1 dx  + ∫ = = ln ax + b + C   → ax + b a ∫ ax + b a  dx = − ln k − x + C ∫ k − x  Ví dụ: 1 dx x  +  dx = ∫ x3 dx + ∫ dx + ∫ = + x + ln x + C a) ∫  x3 + x x x x  du dx d ( 3x + ) u b) I = ∫ = ∫  I = ln 3x + + C → 3x + 3x + 2x + x + 3  dx d ( x + 1)  c) ∫ dx = ∫  x + = x2 + ∫ = x + ln x + + C  dx = ∫ xdx + 3∫ 2x + 2x +  2x + 2x +  Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Chứng minh: Thật vậy, ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ sinudu = − cos u + C + ∫ sin ( ax + b ) dx = 1 → ∫ sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − a cos ( ax + b ) + C  ∫ sin xdx = − cos x + C a Ví dụ:  dx d ( x − 1)  a) ∫  x x + s inx + dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫ = ∫ x dx − cos x + ∫ =  2x −1  2x −1 2x −1  2x = − cos x + ln x − + C  dx d ( x − 3)  b) ∫  sin x + = ∫ sin xd ( x ) + ∫ = − cos2 x + ln x − + C  dx = ∫ sin xdx +3∫ 4x −  4x − 4x −  x   c) ∫  sin + sinx + sin x  dx   1  x x Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 2 T : x x x  x 1     ∫  sin + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin dx + ∫ sin xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin d   + ∫ sin xd ( x ) + ∫ sin 3xd ( 3x )   x 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C Chứng minh: Thật vậy, ( sin x + C )′ = cos x ⇒ ∫ cos xdx = sin x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ cosudu = sin u + C + ∫ cos ( ax + b ) dx = 1 cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C  ∫ cos xdx = sin x + C → a∫ a Ví dụ: 4x −     a) ∫  cos x − sin x +  dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  −  dx = sinx + cos x + x − 5ln x + + C x +1  x +1   x2 b) ∫ ( cos x + sin x − x ) dx = ∫ cos xdx + ∫ sin xdx − ∫ xdx = sin x − cos x − + C 2 − cos x 1 1 1  c) ∫ sin xdx = ∫ dx = ∫  − cos x  dx = x − ∫ cos xd ( x ) = x − sin x + C 2 4 2  Công thức 6: ∫ dx = tan x + C cos x Chứng minh: Thật vậy, ( tan x + C )′ = dx ⇒∫ = tan x + C cos x cos x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta + dx d ( ax + b ) du ∫ cos u = tan u + C dx = tan x + C 2x → ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C  ∫ cos 2 Ví dụ: dx   a) ∫  + cos x − sin x  dx = ∫ + ∫ cos xdx − ∫ sin xdx = tan x + sin x + cos x + C 2 cos x  cos x    dx dx d ( x − 1) d (5 − 4x) b) I = ∫   cos ( x − 1) + − x  dx = ∫ cos ( x − 1) + ∫ − x = ∫ cos ( x − 1) − ∫ − x    du 1 tan ( x − 1) − ln − x + C 2 du dx d (3 − 2x ) cos u c) I = ∫ =− ∫  I = − tan ( − x ) + C → cos ( − x ) cos ( − x ) cos u  = → Công thức 7: ∫ dx = − cot x + C sin x Chứng minh: Thật vậy, ( − cot x + C )′ = dx ⇒ ∫ = − cot x + C sin x sin x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta + dx d ( ax + b ) du ∫ sin u = − cot u + C dx = − cot x + C 2x → ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C  ∫ sin 2 Ví dụ: dx x6   a) ∫  cos x − + x5  dx = ∫ cos xdx − ∫ + ∫ x dx = sin x + cot x + + C sin x sin x   Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang dx d (1 − x ) 1 sin u =− ∫  I = − − cot (1 − x )  + C = cot (1 − 3x ) + C →   sin (1 − 3x ) sin (1 − x ) 3 du b) I = ∫  x d  du dx    I = −2 cot  x  + C sin u c) I = ∫ = 2∫ →    x x 2 sin   sin   2 2 Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C Chứng minh: Thật vậy, ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ eu du = eu + C ax + b e d ( ax + b ) = e ax + b a∫ a + ∫ e ax + b dx = x+k  x+ k +C  ∫ e dx = e  + C   →  e k − x dx = − e k − x + C ∫  Ví dụ:  dx 1 d ( 3x )  −2 x +1 a) ∫  e −2 x +1 − + dx − ∫ + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ + 4.2 x  dx = ∫ e sin 3x sin x sin x x x  1 = − e −2 x +1 + cot 3x + x + C b) ∫ ( 4e x+2 + cos (1 − 3x ) ) dx = ∫ e3 x + dx + ∫ cos (1 − x ) dx = 3x+2 ∫ e d ( 3x + 2) − ∫ cos (1 − 3x ) d (1 − 3x ) = e3 x + − sin (1 − x ) + C 3 Công thức 9: ∫ a x dx = ax +C ln a Chứng minh:  ax ′ a x ln a ax Thật vậy,  +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C ln a ln a  ln a  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ a u du = a u + C + ∫ a kx + m dx = kx + m kx + m ∫ a d ( kx + m ) = k a + C k Ví dụ: 3x 23 x 32 x a u du d ( 3x ) + ∫ 32 x d ( x )  I = → + +C 3∫ 3ln 2ln 3 21− x x + − e x + ) dx = ∫ 21− x dx − ∫ 3e x + dx = − ∫ 21− x d (1 − x ) − ∫ e x + d ( x + 3) = − + e +C 2ln a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = b) ∫ (2 1− x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) I1 = I3 = ∫( ∫(x 5 )   2) I =  − 3 x  dx x  ∫ + x dx )   5) I = ∫  x + dx x  6) I = ∫ x − x3 + x3 dx  x 4) I =  − x +  dx   x   x ∫ 3) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) x4 + dx x2 Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 7) I = ∫ ( ) x −1 dx x x + x3 − x + 10) I10 = ∫ dx x2   13) I13 = ∫  x −  dx x  16) I16 = ∫ ( x − 24 x )( x − x ) dx 8) I = ∫ ( x − 1) dx 11) I11 = ∫ 9) I = ∫ x2 − x x − x dx x ∫ ∫ ∫ ∫ dx cos x 29) I 29 = ∫ tan x dx 32) I 32 = ∫ dx − cos x   35) I 35 = ∫  sin x −  dx − 5x   (x 27) I 27 = ∫ dx cos ( x − 1) 2 + 4) dx x2   12) I12 = ∫  −  dx x  x   14) I14 = ∫  x +  dx x  17) I17 = dx (2 x − 3)5 x  x π  19) I19 = sin  +  dx 20) I 20 =  sin x + sin  dx 3 2 7    π x +1 x 22) I 22 =  sin  3x +  − sin  dx 23) I 23 = ∫ cos dx 4    26) I 26 = ∫ Trang ( x − 3x 15) I15 = ∫ 18) I18 = ∫ ( x − 3) ) x x +1 dx dx x   21) I 21 = ∫  sin + x  dx   x 24) I 24 = ∫ sin dx 28) I 28 = ∫ ( tan x + x ) dx dx sin ( x + 3) 30) I 30 = ∫ cot x dx 31) I 31 = ∫   33) I 33 = ∫  x + + cot x  dx x   x+2 36) I 36 = ∫ dx x−3   34) I 34 = ∫  x +  dx 3x +   2x −1 37) I 37 = ∫ dx 4x + x + x + 11 dx x+3 2x2 − x + dx x −1 38) I 38 = ∫ x dx − 5x 39) I 39 = ∫ 41) I 41 = ∫ 3x + x + x + dx x+2 42) I 42 = ∫ 43) I 43 = ∫ 44) I 44 = e−2x +3dx x3 + x − dx 2x + 45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx     47) I 47 = ∫  e− x +  dx sin (3 x + 1)    e− x  48) I 48 = ∫ e x  +  dx cos x   49) I 49 = ∫ ( 21− x − e x + ) dx ∫ 50) I 50 = ∫ dx 2x 51) I 51 = ∫ 2x dx 7x Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) 40) I 40 = ∫ x2 + 6x + dx 2x + 46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 02 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1 1 xdx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d ( a − x ) 2 dx = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) sin x 1 x dx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d ( a − x3 ) 3 dx =d x sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) dx = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) cos x ( x) = d( 10 dx = ( ) ( ) 1 d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) a a ∫ ( ) ( dx = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: x a) I1 = dx b) I = x(1 + x )10 dx 1+ x Hướng dẫn giải:  x  1 2  xdx = d   = d x = d x ± a    a) Sử dụng công thức vi phân   du  u = d ( ln u )  ∫ ) x ± a = −d a − x ( c) I = ∫ x dx x3 + ) ) 2 du x d x d x +1 ∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C dx = = ←→ I1 = ln x + + C Ta có I1 = 2 2 1+ x 2 1+ x 1+ x   x2  1 2  xdx = d   = d x = d x ± a    b) Sử dụng công thức vi phân   u n +1   n u du = d     n +1  ∫ ∫ ∫ ( ( ) ∫ ( Ta có I = x + x ) 10 dx = ∫ (1 + x ) d ( x 10 ) +1 ( (1 + x ) = ) 11 22   x3  x dx = d   = d x ± a    3 c) Sử dụng công thức vi phân   du 2 u = d u  ( ) + C ) ( ) 3 d ( x + 1) d ( x + 1) x3 + Ta có I = ∫ = ∫ = ∫ = + C x3 + x3 + x3 + Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: dx a) I = ∫ x − x dx b) I = ∫ 2x −1 Hướng dẫn giải: x dx Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) c) I = ∫ − x dx Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95   x2  1 2  xdx = d   = d x = − d a − x  2   a) Sử dụng công thức vi phân   u n +1   n u du = d     n +1  ( ) ( Trang ) (1 − x ) 1 1 Ta có I = ∫ x − x dx = ∫ (1 − x ) d ( x ) = − ∫ (1 − x ) d (1 − x ) = − 2 1  dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  b) Sử dụng công thức vi phân   du = d u  2 u + C ( ) du d ( x − 1) u = d ( u ) dx d ( x − 1) = ∫ =∫ ← I = x − + C → 2x −1 2x − 2x −1 1   dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  c) Sử dụng công thức vi phân   n +1  u n du = d  u    n +1  Ta có I = ∫ (5 − 2x) 1 (5 − 2x )2 ⇒ I = ∫ − x dx = ∫ − x d ( x ) = − ∫ ( − x ) d ( − x ) = − +C = − + C 2 3 Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: x3 ln x dx a) I = dx b) I = ∫ c) I = ∫ dx (3 − x)5 x x −5 ∫ Hướng dẫn giải:  x  1 4  x dx = d   = d x ± a = − d a − x  4   a) Sử dụng công thức vi phân   u − n +1   du =d   un  −n +    x4  d  5 x4 − 5 x4 − 5 −  2x  d x4 − = ⇒ I7 = dx = = x −5 +C = 5 4 x −5 x −5 ( ∫ ∫( ∫ ) ( ) ( ( ) ) ( ) ) + C ( − x ) + C dx b) Ta có I = ∫ = − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = − (3 − x) 12 dx ln x ln x = d ( ln x ) ta I = ∫ dx = ∫ ln x d ( ln x ) = + C x x Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx cos x a) I10 = ∫ b) I11 = dx c) I12 = cos x sin x dx 2010 x ( − 2x) c) Sử dụng công thức vi phân ∫ ∫ Hướng dẫn giải: a) Ta có I10 = ∫ ( − 2x ) 3 (4 − 2x) −2010 = − ∫ ( − 2x ) d (4 − 2x) = − 2 −2009 −2009 dx 2010 cos u du = d ( sin u )  b) Sử dụng công thức vi phân  dx =d x  2 x +C = 4018 ( − x ) 2009 + C ( ) Ta có I11 = ∫ cos x cos x dx = dx = cos x d x x ∫ ∫ ( x ) = 2sin x + C Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 10 cos u du = d ( sin u )  c) Sử dụng công thức vi phân  sin x dx = −d ( cos x )  Ta có I12 = ∫ cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ ( cos x ) =− cos3 x + C Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: sin x dx cos5 x Hướng dẫn giải: sin u du = −d ( cos u )  a) Sử dụng công thức vi phân  cos x dx = d ( sin x )  a) I13 = ∫ Ta có I = b) I14 = ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx =   u du = d  u      c) I15 = ∫ sin x cos x dx → ∫ ( sinx ) d (sin x ) ← I13 = ( sinx ) +C = 3 sin x +C ( cos x ) + C = + C sin x d (cos x) dx = − ∫ =− 5 cos x cos x −4 cos x cos x dx = d ( sin x )  c) Sử dụng công thức vi phân  n  u n +1   u du = d   n +1  −4 b) Ta có I14 = ∫  u5  u du = d       Khi ta I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← I15 = → 4 sin x + C Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) I16 = ∫ tanx dx b) I17 = ∫ sin x cos x dx Hướng dẫn giải: sin x dx = −d (cos x)   a) Sử dụng công thức  du  ∫ u = ln u + C  d ( cos x ) sin xdx = −∫ = − ln cos x + C Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫ cos x cos x 1 b) Ta có I17 = sin x cos x dx = sin x cos x d ( x ) = 4 ∫ ∫ ∫ c) I18 = ∫ sin x dx + 3cos x sin x d ( sin x ) ( sin x ) sin x = +C = + C d ( cos x ) sin x dx d ( 3cos x + 1) c) Ta có I18 = ∫ = −∫ =− ∫ = − ln + 3cos x + C + 3cos x + 3cos x + 3cos x Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: 2cos x dx cos x dx a) I19 = ∫ b) I 20 = ∫ c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx 4sin x − ( − 5sin x ) Hướng dẫn giải: cos xdx = d (sin x)  a) Sử dụng công thức vi phân  du  1  u2 = d  − u     d ( sin x ) 2cos x dx d ( − 5sin x ) ⇒ I19 = ∫ =∫ =− ∫ = + C 2 ( − 5sin x ) ( − 5sin x ) ( − 5sin x ) ( − 5sin x ) cos xdx = d (sin x)  b) Sử dụng công thức vi phân  du 2 u = d u  ( ) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: sin x 1) I1 = ∫ dx + cos x 4) I = ∫ 2) I = ∫ dx sin x − 6cos x 7) I = ∫ ( cot x + cot x ) dx ∫ sin dx (sin x − 2cos x ) dx 6) I = sin x − 2cos x + 3) I = ∫ dx x − 9cos x 2cos x − 3sin x 8) I = ∫ dx 2sin x − 3cos x + 5) I = dx sin x cos3 x Trang 54 ∫ 2   →  d( A sin x ± B cos x ± C ) ← ( A B ) sin x dx Dạng Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân  4  → d sin x + cos x ← − sin x dx   ( ) Cách giải: 1 − cos x Ta có sin x + cos x = ( sin x + cos x ) − 2sin x.cos x = − sin 2 x = − = + cos x 2 4 3  Từ d ( sin x + cos x ) = d  + cos4 x  = − sin x dx 4  Dạng nguyên hàm thường “ngụy trang” vào hàm số phức tạp, nên bạn cố gắng nhớ vi phân Với nguyên hàm lượng giác mà mẫu số “dài dịng” kinh nghiệm em lấy vi phân mẫu số xem tử số có quan hệ với vi phân hay khơng ? Chú ý: Ngồi hai cơng thức trên, dạng ngun hàm chứa sin6 x + cos x = − sin 2x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: sin x sin x dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ dx 2 2sin x − 4cos x + 5cos x cos x + 4sin x Hướng dẫn giải: a) Ta có d ( cos x + 4sin x ) = ( −2sin x.cos x + 8sin x.cos x ) dx = 6sin x.cos x dx = 3sin x dx 2  sin x dx = d ( cos x + 4sin x ) → 2 2 sin x d ( cos x + 4sin x ) d ( cos x + 4sin x ) Từ I1 = ∫ dx = ∫ = ∫ = cos x + 4sin x + C 2 2 3 cos x + 4sin x cos x + 4sin x cos x + 4sin x Bình luận: Ngồi cách giải trên, mạnh dạn vận dụng kiến thức lượng giác để biến đổi mẫu số gọn + cos2x − cos2x gàng sau cos x + sin x = + = − cos2x + 2 2 5 5   d  − cos2x +  d  − cos2x +  sin 2x dx 2 2 Khi I = ∫ = ∫  = ∫  = − cos2x + + C 3 2 3 5 − cos2x + − cos2x + − cos2x + 2 2 2 Rõ ràng hai kết thu hoàn toàn giống nhau! 5 b) Ta có 2sin x − 4cos x + 5cos x = (1 − cos x ) − 4cos x + (1 + cos x ) = − cos x + 2 d ( 5cos x − ) sin x dx sin x dx Khi I = ∫ = −2 ∫ = ∫ = ln 5cos x − + C 5cos x − 5cos x − − cos x + 2 Ví dụ Tính nguyên hàm sau: 2sin x dx sin x dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ 2010 4 sin x + cos x ( sin x + cos x ) c) I = ∫ sin x + 2cos x dx sin x + cos x d) I = sin x cos x dx x + cos6 x ∫ sin Hướng dẫn giải: Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 55 Bình luận: Ngoài cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức mẫu số, thầy giới thiệu cách làm thiên biến đối lượng giác kết hợp với vi phân a) Ta có 1 − cos x 2sin x dx 4sin x dx sin x + cos x = − sin 2 x = − = + cos x  I1 = ∫ → =∫ = 2 4 3 + cos x + cos x 4 d (cos x) d (3 + cos x) = −∫ = −2 ∫ = −2 + cos x + C  I1 = −2 + cos x + C → + cos x + cos x d ( cos x ) sin x dx b) Tương tự, thay sin x + cos x = + cos x  I = ∫ → =− ∫ = 2010 2010 4 3 3    + cos x   + cos x  4  4  3  d  cos x +  1 4 = −∫  = +C = + C 2010 2009 2009 3  3  2009 ( sin x + cos x ) 2009  + cos x   + cos x  4  4  sin x + 2cos x sin x + 2cos x 2sin x + 4cos x 2sin x 4cos x c) I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx 4 2 sin x + cos x − sin x − sin x − sin 2 x − sin 2 x d (cos x) 2sin x 2sin x 2sin x ∫ − sin 2 x dx = ∫ − (1 − cos 2 x ) dx = ∫ + cos2 x dx = − ∫ + cos 2 x = arctan ( cos x ) + C1 ( ) ( )( ) ) t+ − t− −2 −1  4cos x d (sin x) dt  dx = 2∫ = 2∫ =   2 ∫ − sin 2 x ∫ t − t + dt = ∫  t − − t +  dt = − sin x 2−t 2 = ( −1 t − −1 sin x − + C2 = + C2 ln ln t+ 2 sin x + Từ ta I = arctan ( cos2 x ) + C1 + −1 sin x − sin x − ln + C2 = arctan ( cos2 x ) − ln + C sin x + 2 sin x +  sin x sin x cos x = sin x 2sin x −d (cos x)  d) Ta có   I = → dx = dx = − 3sin x − + 3cos 2 x sin x + cos6 x = − sin 2 x − sin x   Đặt ∫ t = cos x → I = ∫ −dt =− + 3t ∫ dt ( ) 3t +1 =− ∫ ∫ ( 3t ) = − arctan 3t + C = − ( ) ∫ 3t + ( ) d arctan ( ) cos x + C x    → dx ←  + tan x  dx   → Dạng Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân d  tan  ←    2 2 2 x  cos Cách giải: Xét nguyên hàm I1 = dx ∫ A sin x + B cos x + C Để tính nguyên hàm ta xét hai trường hợp: Nếu C = ± A2 + B  A sin x + B cos x + C = A sin x + B cos x ± A2 + B = A2 + B cos ( x + φ ) ± A2 + B → Ở đây, ta biết phép biến đổi lượng giác A sin x + B cos x = A2 + B cos ( x + α ) A2 + B cos ( x + β ) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 56 A +B Khi I1 = ∫ dx A2 + B cos ( x + α ) ± A2 + B = A2 + B ∫ dx = cos ( x + α ) ± −1 A + B2 ∫ ∫ dx  x+α 2cos     dx  x+α 2sin     dx 1 x 2dt = 1 + tan  dx  dx = → cos x  2 1+ t2 2t sin x = 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 dt = Nếu C ≠ ± A2 + B ta đặt t = tan x  → Thay vào ta tính I1 nguyên hàm theo ẩn t Chú ý: Một số cơng thức tính nhanh: π π   sin x + cos x = sin  x +  = cos  x −  4 4   π π   sin x + cos x = sin  x +  = cos  x −  6 3   π π   sin x − cos x = sin  x −  = −2 cos  x +  3 6   Ví dụ Tính nguyên hàm sau: dx a) I1 = ∫ sin x + cos x + dx c) I = ∫ 3sin x + cos x + a) I1 = ∫ b) I = ∫ dx sin x − cos x − dx d) I = sin x − cos x − Hướng dẫn giải: ∫ dx sin x + cos x + π    Ta có 12 + 12 =  sin x + cos x =  → sin x + cos x  = cos  x −  4     x π d −  dx dx dx 1  x π 2 8 I1 = ∫ = =  ∫ ∫  x π  = ∫  x π  = tan  −  + C π  + cos  x − π  2cos  cos  x −  + −  cos  −     4 4   2 8 2 8  x π tan  −  + C 2 8 Bình luận: Trong nguyên hàm trên, biểu thức sinx + cosx ta thống chuyển hàm cos để sử dụng công thức lượng a dx dx giác + cos a = cos  → = a + cos a cos 2   π  b) Ta có sin x − cos x =    sin x − cos x  = −2cos  x +       x π d +  dx dx dx 1 6  x π I2 = ∫ =∫ =− ∫ =− ∫  = − tan  +  + C π π 2    x π sin x − cos x − 2 6 −2cos  x +  − + cos  x +  cos  +  3 3   2 6 Vậy I1 = ∫ ∫ Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 57 x dx 1 x 2dt ⇒ dt = = 1 + tan  dx  dx = → 2 cos x  2 1+ t2 2t 1− t2 Ta có sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 Khi 2dt 2dt 2dt d(6t + 2) 1 x + t2 I3 = ∫ =∫ = = = ln 6t + + C = ln tan + + C 6t 1− t2 6t + − t + + t ∫ 6t + ∫ 6t + 3 + +1 2 1+ t 1+ t x dx 1 x 2dt d) Đặt t = tan ⇒ dt = = + tan  dx  dx = → x 2 2 cos 2 1+ t2  2t 1− t2 Ta có sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 2dt dx 2dt dt x 1+ t2 Khi I = = = = = ln t + C = ln tan + C 2 sin x − cos x − t 2t 1− t 2t − + t − − t − −1 2 1+ t 1+ t A sin x + B cos x + C Xét nguyên hàm I = dx A′ sin x + B ′ cos x + C ′ Với dạng nguyên hàm ta sử dụng phương pháp đồng với nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ m ( A′ cos x − B′ sin x ) + n ( A′ sin x + B′ cos x + C ′ ) + p A sin x + B cos x + C xét việc phân tích: = A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B′ cos x + C ′  A = −mB′ + nA′ m   Đồng theo hệ số sinx cosx ta  B = mA′ + nB′  n → C = nC ′ + p p   c) Đặt t = tan ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ m ( A′ cos x − B′ sin x ) dx dx + n dx + p = A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B ′ cos x + C ′ dx = m ln A′ sin x + B′ cos x + C ′ + nx + p ′ sin x + B′ cos x + C ′ A Ví dụ Tính nguyên hàm sau: sin x + 3cos x − 7sin x − 5cos x a) I1 = ∫ b) I = ∫ dx dx sin x + cos x + ( 3sin x + 4cos x ) Từ ta I = A sin x + B cos x + C ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ dx = ∫ ∫ ∫ ∫ Hướng dẫn giải: 1 = − A + B A =1 sin x + 3cos x − A(cos x − sin x) + B (sin x + cos x + 2) + C   a) Ta có phân tích =  3 = A + B ⇔  B = → sin x + cos x + sin x + cos x + −1 = B + C C = −5   (cos x − sin x) + 2(sin x + cos x + 2) − (cos x − sin x)dx dx Từ I1 = ∫ dx = ∫ + ∫ dx − 5∫ = sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + d (sin x + cos x + 2) =∫ + x − J = ln sin x + cos x + + x − J sin x + cos x + dx 1 x 2dt dt = = 1 + tan  dx  dx = → cos x  2 1+ t2 dx x 2t Xét J = ∫ Đặt t = tan  → sin x = sin x + cos x + 2 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 58 2dt 2d ( t + 1) dx 2dt 2dt 1+ t2 Khi J = ∫ =∫ =∫ =∫ =∫ = 2 2 2t 1− t sin x + cos x + 2t + − t + + 2t t + 2t + t + 1) + ( + +2 1+ t2 1+ t2 x x      tan +   tan +   t +1 = arctan  →  + C1  I1 = ln sin x + cos x + + x − arctan   + C  + C = arctan  2           ( ) b) Ta có phân tích 43   A = − 25 7 = −4 A + 3B  =   → ⇔ 2 ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x )  −5 = A + B B =  25  43 − ( 3cos x − 4sin x ) + ( 3sin x + 4cos x ) 7sin x − 5cos x 25 25 Từ ta có I = ∫ dx = ∫ dx = 2 ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x ) A ( 3cos x − 4sin x ) + B ( 3sin x + 4cos x ) sin x − 5cos x =− = 43 ( 3cos x − 4sin x ) dx dx 43 d ( 3sin x + 4cos x ) dx ∫ ( 3sin x + 4cos x )2 dx + 25 ∫ 3sin x + 4cos x = − 25 ∫ ( 3sin x + 4cos x )2 + 25 ∫ 3sin x + 4cos x = 25 43 + J 25 ( 3sin x + cos x ) 25 dx 1 x 2dt = + tan  dx  dx = → x 2 cos 2 1+ t2  2t sin x = 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 dt = Xét J = ∫ dx x Đặt t = tan  → 3sin x + 4cos x 2dt dx dt dt (2t − 1) − 2(t + 2) 1+ t2 J= = = = =− dt = 2 3sin x + 4cos x (2t − 1)(t + 2) (2t − 1)(t + 2) 6t 4(1 − t ) 2t + 3t − − 1+ t2 1+ t2 x tan − 1 dt 1 2t − 1 = − ln t + + = − ln t + + ln 2t − + C1 = ln + C = ln + C1 x 5 2t − 5 t+2 tan + 2 x tan − 43 Vậy I = + ln + C x 25 ( 3sin x + 4cos x ) 125 tan + 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: sin x dx 1) I1 = ∫ 3sin x + cos x 4) I = ∫ dx cos x − sin x − sin x + 3cos x − 7) I = ∫ dx sin x + cos x + sin x dx 10) I10 = ∫ sin x + cos x 2) I = ∫ cos x sin xdx a sin x + b cos x dx 5) I = ∫ cos x − sin x + dx 8) I8 = 3sin x + cos x sin x dx 11) I11 = ∫ cos ( sin x + cos x ) ∫ Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) 3) I = ∫ 6) I = ∫ sin x − cos x dx sin x + cos x + dx cos x + sin x + sin x − cos x + 9) I = ∫ dx sin x + 2cos x + sin x dx 12) I12 = ∫ tan ( sin x + cos x ) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 59 09 CÁC TÍNH TỐN CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN Ví dụ Tính tích phân sau: 1) ∫(x ) + x dx 2) ∫(x + )   3) ∫  x +  dx x 1 x + dx 4) ∫ ( ) x −1 x3 dx Hướng dẫn giải: 1) ∫( ) 2) 4  x4  x4   44   14  989  − + = x + x dx =  + x  =  + x  = +     1   4  12  ∫(x +  x2  x + dx =  + ( x ) + x  2  )  x2  =  + x x + x  2  = 24 − = 24 3) 9  −1   2  4    4  4  116 2         ∫  x + x  dx = ∫  x +x  dx =  x + x  =  x + x  =  +  −  +  =    1 4) ∫ ( ) x −1 x3 dx = ∫ 4 −      x − x +1 1 −3 +  dx = ∫  − x + x −3  dx =  − + x − x −2  dx = ∫  − x x x  x x   x  1 1 4       11 = − + −  = − + − −  −1 + − =− + =  x   43 2.4   96 96 13 2.1   x x Ví dụ Tính tích phân sau: π ∫ 1) sin π x dx 2) π dx cos x ∫ 3) π tan x dx π cos x ∫ 4) tan x dx cos x ∫ Hướng dẫn giải: π π x 1 1) sin dx = (1 − cos x ) dx = ( x − s inx ) 20 ∫ ∫ π dx 2) = ( tan x ) cos x ∫ π = tan 1 π π π =  − sin  − ( − s in ) = − 2 4 π − tan = π π π 4 π tan x dx tan x 3) ∫ = ∫ tan x.d ( tan x ) = 2 π cos x π π π π = − =1 2 π 2  tan x tan x  tan x dx tan x ( tan x + 1) dx =∫ = ∫ ( tan x + tan x ) d (tan x) =  + 4) ∫  cos x cos x   0 π = 35 33 14 + = 5 Ví dụ Tính tích phân sau: e x2 − x + 1) dx x −1 ∫ 2) ∫ ln x dx x e 1   3) ∫  x + + + x  dx x x  1 Hướng dẫn giải: Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 60 1) 4 x ( x − 1) + x − + x2 − x +   dx = dx =  x + +  dx = x + x + 6ln x − x −1 x −1 x −1   2 ∫ ∫ e ln x dx = x ∫ 2) e ∫  ln x  ln x.d (ln x) =     ( ∫ e ) = 20 + 6ln − = 14 + 6ln 1 −0= 8.3 24 = e e  x2 1 x3  e2 e3  1  e3 e   3) ∫  x + + + x  dx =  + ln x − +  = + − + −  − +  = + − − x x x 31 e 2 3 e   1 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) ∫ dx x 2) ∫ π x π 3) sin  +  dx 2 3 ∫ π π ∫ 4) sin 2 x dx 5) π π ∫ ( cos x − sin x ) dx 6) dx ∫ 2x + − e2 14) ∫ xe dx ∫ ln x dx x ln 2 ln x2 sin π 17) ∫ e dx cos x π dx x 2 x −1 11) ∫ dx 4x + − 1   13) ∫  x +  dx 3x +  0 π ∫ 8) ∫ 0 dx 7) ∫ π sin x 16) π 10) x − 2x + dx 2− x x x dx Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) 9) cot x dx ∫ sin x π 12) ∫ 4x + dx 3− x ln 15) ∫e 2x dx  18) ∫  x −  33 x2 1   dx   Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 61 10 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN Ví dụ Tính tích phân sau: 1) ∫ x x + dx 2) ∫x ∫ ( ) x +2 19 4) dx = x dx ∫ ) ( ) d x + = x3 + x2 + x +2 = 19 ∫ ) ( ) ( ( d ( x2 + 8) 3 = ( x + 8) 2 x2 + ) 19 (x = x2 + d x2 + = x2 + ) ( 2 ∫ dx x3 + Hướng dẫn giải: ∫ ( 3x ∫ x + dx = 20 x ( ∫ 19 3x ∫ 3) 4) ∫ 0 3) 1 x + dx = x + d x3 + = x3 + 30 3 2) ) + dx 2 1) ∫ (x x ) ) +1 (x = +4 ) 5 x2 + 54 = = 2 x dx = 128 − 32 =2 −2 = 33 ( x + 8) 19 = 27 15 −3= 4 Ví dụ Tính tích phân sau: π 1) π sin x dx x ∫ cos π ∫ 2) sin x cos x dx 3) π π ∫ sin x cos4 x dx 4) tan x dx x ∫ cos Hướng dẫn giải: π π π sin x tan x tan x dx = dx = tan x.d ( tan x ) = 1) cos3 x cos x 0 ∫ ∫ ∫ π π sin x 2) sin x cos x dx = sin x d ( sin x ) = π π ∫ ∫ 3) π = 1  3 = −   = −  5   160  π 14 sin x cos4 x dx = ∫ sin x d ( sin x ) = sin x 40 ∫ π 4) π π π ∫ π = ( sin x ) π =0 π 2 tan x dx = ∫ tan x ( tan x + 1) d ( tan x ) =  tan x + tan cos x 7  x  π = 20 21 Ví dụ Tính tích phân sau: ln 1) ∫ e x π x 2) dx e e 2tan x dx cos x ∫ 3) dx ∫ x ( 3ln x + 2) e 4) ∫ 1 + ln x dx x Hướng dẫn giải: ln 1) ∫ π 2) e x x 2tan x ln dx = ∫ π e x x ln dx = ∫ d (e π x ) = 2e ln x = − 2e e tan x dx = e tan x d (tan x) = e d (2 tan x) = e tan x 20 cos x 0 ∫ ∫ ∫ π = ( ) e −1 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 dx d ( 3ln x + ) ∫ x ( 3ln x + ) = ∫ 3ln x + = ln 3ln x + 1 e 3) e = + ln x dx = ∫ + ln x d (1 + ln x ) = (1 + ln x ) x e 4) e e ∫ Trang 62 ln − ln = ln 3 e = (1 + ln x ) e = −2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) ∫ x x + dx 2) ∫ ∫ (x 5) x+2 ∫ − x dx + 4) ∫ 6) 8) ∫ − x2 3x 9) + x3 ∫3 π π 11) dx π cos x dx x π 10) ∫ x x + dx 3x + dx x dx π 1 dx 2x + 22 −2 5x dx ∫ dx −1 7) 3) 0 4) ∫ x 1− x dx ∫ 12) ∫ cos x sin x dx 13) ∫ sin x cos x dx 14) ∫ π π cot x 16) ∫ dx π sin x 17) ∫ π cos x dx 4sin x − ∫ x.e x +1 e ∫ e 28) 15) dx ∫ e 2ln x + dx x + ln x dx 2x 18) 23) π e π 21) x 24) dx ∫ (e sinx + cos x ) cos x dx cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) + ln x ∫ x dx e 27) 29) sin x dx ∫ + 3cos x π 26) ∫ cos x + 4sin x dx π 2 tan x ∫ cos 3cos x dx ∫ (1 − 5sin x ) π ln x 20) ∫ dx x π tan x ∫ cos x dx π cot x dx sin x e 25) ∫ π 4 π 22) sin x cos3 x dx π 19) π π 30) ∫ 6cos x + 1sin x dx π Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 63 11 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I ĐẶT ẨN PHỤ LƯỢNG GIÁC dx = a cos tdt  x = a sin t a − x →   2 2  a − x = a − a sin t = a cos t  adt  dx =  a + x x = a tan t  cos t    →  2 a + x  a + x = a + a tan t = a   cos t  −a cos dt  a dx = sin t x=  sin t x − a   → a2  x2 − a2 = − a = a cot t  sin t  Chú ý: Sau đặt ẩn phụ ta phải đổi cận theo ẩn phụ vừa đặt Ví dụ 1: Tính tích phân sau I1 = ∫ − x dx I = ∫ + 3x dx x2 I = 2 ∫ x2 − x2 dx dx + x2 I = ∫ I = ∫ x2 − dx x3 Hướng dẫn giải: dx = cos tdt  Đặt x = sin t ⇒  2  − x = − sin t = cos t  x = ⇒ t =  → Đổi cận :  π  cos t = cos t x = ⇒ t =  π π ⇒ I1 = ∫ − x dx = ∫ π π 16 π 1 6 − sin t cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt =  x + sin 2t  = + 20 2 0 12 0  3dt  dx =  cos t Đặt x = tan t ⇒   + x = + tan t =  cos t  π  x = ⇒ t =  Đổi cận :   cos t = cos t → x = ⇒ t = π   π I2 = ∫ π 4 + 3x + tan t dx = 3∫ dt = 3∫ 2 x2 π 3tan t cos t π π π dt cos tdt = 3∫ = 3∫ = 2 2 sin t π cos t sin t π cos t sin t cos t.cos t 6 cos t π π 6 dt π  d (sin t ) 1  1   = 3∫ = 3∫  +  d (sin t ) = 3∫  + +  d (sin t ) = 2 sin t  2(1 + sin t ) sin t  π (1 − sin t ).sin t π  − sin t π  2(1 − sin t ) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 π π π π 6 π d (sin t ) d (sin t ) d (sin t ) + sin t = ∫ + ∫ + 3∫ = ln 2 π − sin t π + sin t − sin t π sin t π − sin t π Trang 64  3 2+ =  ln − ln  + −  2−  2  dx = cos tdt  Đặt x = sin t ⇒  2  − x = − sin t = cos t  x = ⇒ t =  → Đổi cận :  π  cos t = cos t ⇒t = x =  π π π π π π sin t cos t 1 4 π =∫ I3 = ∫ dt = ∫ dt = ∫ sin tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt =  t − sin 2t  = − 2 cos t 20 2 0 1− x − sin t 0 3dt   dx = cos t = (1 + tan t ) dt Đặt x = 3tan t ⇒  9 + x = (1 + tan t )  x dx sin t cos t π x = ⇒ t = dx (1 + tan t )dt π  Đổi cận :  → = 3∫ = t = π  I = ∫ + x2 + tan t 12 0 x = ⇒ t =  2cos tdt  dx = − sin t  ⇒ Đặt x = sin t  x − = cos t = cot t  sin t  π π  x = ⇒ t =  Đổi cận :   cot t = cot t → x = ⇒ t = π  3  I5 = π π π π x −4 2cos t.2cos t 1 1 2 π dx = − ∫ dt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  = − π 2π 4π 4 24 16 x  π sin t sin t 3 sin t ∫ II ĐẶT ẨN PHỤ t = f(x) Trong biểu thức f(x)dx có chứa đặt t Trong biểu thức f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao đặt biểu thức t Trong biểu thức f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức mũ hàm số đặt biểu thức mũ t Ví dụ 2: Tính tích phân sau: x dx I1 = ∫ + x2 e I = ∫ 1 + 3ln x ln x dx x I = ∫ x( x − 4) 20 dx I = ∫ x15 + 3x8 dx e3 I = ∫ ln x dx x ln x + I = − ∫ −2 x2 + x x2 + dx Hướng dẫn giải:  xdx = 3t dt  Đặt + x = t ⇔ + x = t ⇒  x = t −1  Đổi cận : 7 2   3t 3t  x3 dx x xdx (t − 1)t 141 x = ⇒ t =  I1 = ∫ → =∫ = ∫ dt = ∫ (t − t )dt =  −   = 3 21 t 21  20 x = ⇒ t = 1+ x 1+ x  10 0  Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 65  dx = dt Đặt x − = t ⇒  x = t + 1  t 22 4t 21  x = ⇒ t = 109 Đổi cận :   I = ∫ x( x − 4) 20 dx = ∫ (t + 4)t 20 dt = ∫ t 21dt + ∫ t 20 dt =  → +  = x = ⇒ t =  22 21  462 0 tdt  7 24 x dx = 2tdt ⇒ x dx = 12  Đặt + x8 = t ⇔ + x8 = t ⇒   x8 = t −   x = ⇒ t = Đổi cận :  x = ⇒ t = 2  I = ∫ x15 + x8 dx = ∫ x8 + 3x8 x dx = → 2 (t − 1) 1  t5 t3  29 t.tdt = ∫ (t − t )dt =  −  = ∫ 12 36 36   270 + 3ln x ln x dx = ∫ + 3ln x ln xd (ln x) x e e I = ∫ 3d (ln x) = 2tdt  Đặt + 3ln x = t ⇔ + 3ln x = t ⇒  t2 −1 ln x =   2 e 2  2t 2t  x = ⇒ t = t2 −1 2 116  I = ∫ + 3ln x ln xd (ln x) = ∫ t → − Đổi cận :  tdt = ∫ (t − t )dt =   = 3 91 x = ⇒ t =  45 27  135 1 e3 I = ∫ ln x x ln x + e3 ln x dx = ∫ ln x + 1 d (ln x)  d (ln x) = 2tdt Đặt + ln x = t ⇔ + ln x = t ⇒  ln x = t − Đổi cận : e 2 x = ⇒ t =  t 2t  ln x (t − 1) 2t 76  I = ∫ → d (ln x) = ∫ dt = ∫ (t − 2t + 1)dt =  − +t =  t ln x + 5  15 x = e ⇒ t = 1  xdx = tdt x2 + = t ⇔ x2 + = t ⇒  2 x = t −1 −  x = −2 ⇒ t = x2 +  Đổi cận :   I = ∫ → dx = x = − ⇒ t = −2 x x +  Đặt = ∫ dt + dt ∫ t −1 − dt  t −   ∫ t + =  t + ln t +   5 t2 ∫ t − dt = t −1 + ∫ t − dt = 3  ∫ 1 + t    dt −1 1 −1 −1 = − +  ln − ln   2 +1 +1  III SỬ DỤNG VI PHÂN Ví dụ 3: Tính tích phân sau: 1 ∫ I1 = (1 + x)(1 + x + x )3 dx I = ∫ I = I = x ( x + 4) dx ∫ π 3x x +2 e I = dx ∫ 1 + ln x dx x e cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) I = + ln x dx x ∫ Hướng dẫn giải: ∫ I1 = (1 + x)(1 + x + x )3 dx = ( 1 (1 + x + x )3 d (1 + x + x ) = + 3x + x 30 12 ∫ Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ) 41 = 200 Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 I = 3x ∫ x3 + e I = dx = ∫ + ln x dx = x ∫ d ( x3 + 2) x3 + ∫ = ( x3 + − 2) + ln xd (1 + ln x) = ( ∫ ( I = π ∫ cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) ) = 2( − 2) ) 2 (1 + ln x ) = 2 − 3 1 I = x ( x + 4) dx = ( x + 4)3 d ( x + 4) = x + 20 ( x3 + e e ∫ d ( x + 2) = Trang 66 π d ( sinx + 1) = =− (2sin x + 1) 4(2sin x + 1) ∫ π ) = = ( ) 2 − 32 16 e e e e  + ln x ln x  I = dx = (1 + ln x)d (ln x) = d (ln x) + ln xd (ln x) =  ln x +  = x   1 1 e ∫ ∫ ∫ ∫ IV TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Thứ tự ưu tiên đặt u : Hàm loga → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ Ví dụ 4: Tính tích phân sau: e ln x I = ∫ dx ( x + 1) I1 = ∫ e sin xdx x e I = ∫ x ln xdx e 1 I = ∫ x ln(1 + x )dx I = ∫ x e x dx 0 Hướng dẫn giải: 1 e = u e dx = du Đặt  ⇒ ⇒ I1 = ∫ e x sin xdx = − ( e x cos x ) + ∫ cos x.e x dx = − ( e x cos x ) + J 0 sin xdx = dv  − cos x = v 0 1 cos xdx = dv v = sinx Đặt  ⇒ ⇒ J = ∫ cos xe x dx = ( e x sin x ) − ∫ sin xe x dx = e x sin x − I1 ' x x u = e  du = e dx 0 1 − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 = ( e x sin x ) − ( e x cos x ) = − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 = 0  dx ln x = u e e e  = du ln x ln x dx  x Đặt  dx ⇒ ⇒ I2 = ∫ dx = − +∫ x + 1 x( x + 1) ( x + 1)  ( x + 1) = dv v = − e  e e  x +1  x ln x x +1 e e e e e e e e e =− x e dx dx ln x x −∫ =− + ln = −1 + = x +1 x +1 1 x ( x + 1) +∫ dx  e e du = 2ln x e e e ln x = u   x2  dx  x 2   x 2 Đặt  ⇒ ⇒ I = ∫ x ln xdx =  ln x  − ∫ x ln x =  ln x  − ∫ x ln xdx x   1 1  xdx = dv v = x   dx  e e e e du = x  x2   x2 u = ln x x2   Xét J = ∫ x ln xdx Đặt  ⇒ ⇒ J =  ln x  − ∫ xdx =  ln x −  1  xdx = dv v = x  1    e  x2 x2 x2  e2 −  I =  ln x − ln x +  = → 1  Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 67 xdx  du = + x ln(1 + x ) = u  Đặt  ⇒  xdx = dv v = x   1 1  x2   x dx  x x   ⇒ I = ∫ x ln(1 + x )dx =  ln(1 + x )  − ∫ =  ln(1 + x )  − ∫  x −  dx = x +1   0 1+ x  0 0 1 1 1  x2  x2    x2  xdx  x 1   =  ln(1 + x )  −   + ∫ =  ln(1 + x )  −   +  ln ( x + 1)  = ln − 0     0 x +1  0  0 2 1 1 x2 = u  du = xdx  Đặt  x ⇒ ⇒ I = ∫ x e x dx = ( x e x ) − ∫ xe x dx = ( x e x ) − J x 0 e dx = dv v = e 0  1 1 x = u  du = dx x Xét J = ∫ xe x dx Đặt  x ⇒ ⇒ ∫ xe dx = ( xe x ) − ∫ e x dx = ( xe x − e x ) x 0 e dx = dv v = e 0 Vậy I = ( x e x ) − J = ( x e x ) − ( xe x − e x ) = e − 1 1 0 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 68 MỤC LỤC ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM 01 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM 07 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIÊN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM 13 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM 20 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ 23 KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM 35 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 40 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 46 TÍCH PHÂN CƠ BẢN 60 10 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN .62 11 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN .64 MỤC LỤC 69 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn ... F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) Với giá trị cụ thể C ta nguyên hàm hàm số cho Ví dụ: Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm F(x) = x2 + C, (x2 + C)’ = 2x Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm F(x) = –cosx... Trang 24 05 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc tử số P(x) lớn Q(x) ta phải chia đa thức để quy nguyên hàm có bậc... CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) g(x) liên tục tồn nguyên hàm tương ứng F(x) G(x), ta có tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chứng minh: Do F(x) nguyên hàm hàm số f(x)