Gọi D là điểm di động trên D không trùng với A, B và điểm chính giữa của cung và C là giao điểm cung lớn AB thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn O; R.. a Giả sử H là giao điểm của[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ Lớp THCS năm học 2011-2012 Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC - Câu (3,0 điểm) Tìm tất các số nguyên dương n để hai số n 26 và n 11 là lập phương hai số nguyên dương nào đó Câu (4,0 điểm) Giả sử a là nghiệm phương trình: 2x x 0 Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức 2a A 2a 2a 3 2a Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình 8x x 3x b) Giải hệ phương trình 2x y 1 xy x 2 Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A và B là các tiếp điểm) Gọi D là điểm di động trên (D không trùng với A, B và điểm chính cung) và C là giao điểm cung lớn AB thứ hai đường thẳng MD với đường tròn (O; R) a) Giả sử H là giao điểm các đường thẳng OM với AB Chứng minh MH.MO MC.MD, từ đó suy đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD luôn qua điểm cố định b) Chứng minh dây AD song song với đường th ẳng MB thì đường thẳng AC qua trọng tâm G tam giác MAB c) Kẻ đường kính BK đường tròn (O; R), gọi I là giao điểm các đường thẳng MK và AB Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, biết OM = 2R Câu (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc a b 3ab Chứng minh ab b a a b 1 bc c ca c Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ (2) ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS, NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi gồm trang) I Một số chú ý chấm bài Hướng dẫn chấm thi đây dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số II Đáp án và biểu điểm Câu (3,0 điểm) Tìm tất các số nguyên dương n để hai số n 26 và n 11 là lập phương hai số nguyên dương nào đó ĐÁP ÁN ĐIỂM 3 Giả sử có số nguyên dương n cho: n 26 x ; n 11 y (với x, y là hai số nguyên dương và x > y) x y3 37 x y x xy y 37 Khi đó 1,5 đ 2 Lại có x y x xy y và 37 là số nguyên tố nên (1) x y 1 2 x xy y 37 (2) 1,5 đ Thay x = y + vào (2) ta được: y y 12 0 y = là nghiệm thoả mãn Vậy n = 38 là giá trị cần tìm Câu (4,0 điểm) Giả sử a là nghiệm phương trình: hãy tính giá trị biểu thức 2a A 2a 2a 3 2a 2x x 0 Không giải phương trình, ĐÁP ÁN Vì a là nghiệm phương trình nên: ĐIỂM 2a a 0 2a 1 a * 1,0 đ 2a a 2a Thay vào biểu thức A ta được: 1,0 đ (3) A = 2a a 4a 2a 2a 2 a 2a 2a 2a a 2a 2 a 2a 2a 2a a 2a 3 * ( vì theo thì a ) 1,0 đ 1,0 đ Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình 8x x 3x b) Giải hệ phương trình 2x y 1 xy x 2 ĐÁP ÁN x 3x 0 (1) 8x x 6x 7x 6x 1 (2) a) (2,0 điểm) Phương trình ĐIỂM 1,0 đ x x 6x 7x 14 0 x 6x 7x 14x Ta có (2) x x 1 x 7x 14 0 x 0 x 1 Kết hợp (1) ta tìm x =1 là nghiệm phương trình b) (2,0 điểm) 2 2 Từ hệ đã cho ta suy ra: xy x 4x -2y 3x xy 2y 0 x y (x y)(3x 2y) 0 3x 2y Nếu x y thì: x2 = x 1 y2 1 Nếu 3x 2y thì: (không thỏa mãn) Vậy tập nghiệm hệ phương trình đã cho là: 1,0 đ 1,0 đ 1,0 đ S 1; 1 , 1; 1 Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến (D MA, MB tới đường tròn (A và B là các tiếp điểm) Gọi D là điểm di động trên cung lớn AB không trùng với A, B và điểm chính cung) và C là giao điểm thứ hai đường thẳng MD với đường tròn (O; R) a) Giả sử H là giao điểm OM với AB Chứng minh MH.MO = MC.MD, từ đó suy đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD luôn qua điểm cố định b) Chứng minh dây AD song song với đường thẳng MB thì đường thẳng AC qua trọng tâm G tam giác MAB (4) c) Kẻ đường kính BK đường tròn (O; R), gọi I là giao điểm các đường thẳng MK và AB Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, biết OM = 2R K A I D C M H O E B ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (2,5 điểm) Vì tam giác AOM vuông A có AH OM nên MH.MO MA Mặt khác MAC ADC nên MAC đồng dạng MDA (g.g), đó MA MC MC.MD MA MD MA Vậy MH.MO MC.MD 1,5 đ MH MC Khi đó MD MO Do đó MHC đồng dạng MDO MHC MDO Từ đó suy OHCD nội tiếp, vì đường tròn ngoại tiếp HCD luôn qua điểm O cố định b) (2,5 điểm) Giả sử AC cắt MB E, vì CBE EAB nên EBC đồng dạng EAB EB EC EA.EC EB2 Do đó EA EB Vì AD // MB nên EMC MDA MAC Do đó EMC đồng dạng EAM EM EC EA.EC EM EA EM Vậy EB = EM, tức là E là trung điểm MB Tam giác MAB có MH và AE là các đường trung tuyến, nên AC luôn qua trọng tâm G MAB 1,0 đ 1,0 đ 1,5 đ (5) I M N B c) (2,0 điểm) Vì OM = 2R nên MAB là tam giác đều, đó MBA 60 Kẻ đường kính MN đường tròn ngoại tiếp BMI thì tam giác vuông IMN ta IM IM 2IM sin INM MN MN sin 60 (1) có IM MH Ta có AK // MO nên HIM đồng dạng AIK (g.g) Do đó IK AK R 3R IM 3IK OH MH IM nên AK = R và , đó IK 2 (2) Dễ thấy IH IH IA AH Mặt khác R 3R R IH , IA nên 10 Vì 2R 3R IK IM , đó Khi đó (3) 1,0 đ AH 1,0 đ R/ R 21 Vậy đường tròn ngoại tiếp BMI có bán kính Câu (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc a b 3ab Chứng minh ab b a a b 1 bc c ca c ĐÁP ÁN Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với 1 1 1 1 1 c c c c a b a b b b a a ĐIỂM (1) 1,0 đ 1 x , y , z c a b Đặt thì x, y, z và x y z 3 đồng thời bất đẳng thức phải chứng minh trở thành (6) 1 xy x y yz y z zx z x Ta chứng minh x y 1 3 xy x y (2) , với x, y Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với x y 2xy 2y 2x 6 xy x y 2 x y x 1 y 1 0 Dấu “=”xảy x y 1 x y 1 Do đó xy x y , với x, y Dấu “=” xảy x y 1 Tương tự ta suy 1 3 xy x y yz y z zx z x x y y z z x (3) Dấu “=” xảy x y z 1 1 , m, n, p Ta chứng minh: m n p m n p Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 1 n p m p m n 9 m m n n p p 1,0 đ n m p m p n 6 m n m p n p Theo bất đẳng thức Cô si ta thấy bất đẳng thức trên luôn đúng Dấu “=”xảy m n p Do đó 3 3 x y 1 y z 1 z x 1 2 x y z (4) Từ (3) và (4) suy điều phải chứng minh Dấu “=”xảy x y z 1 hay a b c 1 HẾT (7)