30 de thi va dap an HSG toan 7

Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y.. BiÕt sè c©y trång ®îc cña 3 líp b»ng nhau..?[r]

(1)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7 Đề số 1

Thêi gian lµm bµi: 120 phút

Câu1: (2 điểm)

Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

a b c d

           

Tìm giá trị biÓu thøc: M=

a b b c c d d a

c d d a a b b c

   

  

Câu2: (1 điểm)

Cho S = abc bca cab 

Chứng minh S số phơng Câu3: (2 điểm)

Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, lúc xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h Biết khoảng cách AB 540 km M trung điểm AB Hỏi sau khởi hành ơtơ cách M khoảng 1/2 khoảng cách t xe mỏy n M

Câu4: (2 điểm)

Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam gi¸c a Chøng minh r»ng: BOC  A ABO ACO  b BiÕt

  900 

2 A ABO ACO  

vµ tia BO tia phân giác góc B Chứng minh rằng: Tia CO tia phân giác góc C

Câu 5: (1,5điểm)

Cho đờng thẳng khơng có đờng thẳng song song CMR có đờng thẳng mà góc nhọn chúng khơng nhỏ 200.

Câu 6: (1,5điểm)

Khi chi cỏ nga, thay gieo súc sắc, ta gieo hai súc sắc lúc điểm thấp 2, cao 12 điểm khác 3; 4; ;6… 11 Hãy lập bảng tần số khả xuất loại điểm nói trên? Tính tần xuất loại điểm

- HÕt

-§Ị sè 2.

Thêi gian làm bài: 120 phút Câu 1: Tìm số a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: Tìm số nguyên x thoả mÃn:

a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A =x +8 -x

C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385 TÝnh tỉng : S= 22+ 42+ +202

C©u :

Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC t¹i D

a Chøng minh AC=3 AD b Chøng minh ID =1/4BD

- HÕt

(2)

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu ( 2®) Cho: a b=

b c=

c

d Chøng minh: (

a+b+c

b+c+d)

3

=a

d C©u (1đ) Tìm A biết rằng: A = a

b+c=

c a+b=

b c+a

Câu (2đ) Tìm x∈Z để A Z tìm giá trị a) A = x+3

x −2 b) A =

1−2x x+3

Câu (2đ) Tìm x, biết:

a) |x −3| = b) ( x+ 2) 2 = 81 c) 5 x + 5 x+ 2 = 650

Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E  BC, BH AE, CK

 AE, (H,K  AE) Chứng minh MHK vuông cân

- Hết

-Đề số 4

Thời gian làm : 120 phút

Câu : ( ®iÓm)

1 Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ?

2 Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a b=

c

d ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy đợc tỉ lệ thức:

a) a

a− b= c

c −d b)

a+b

b = c+d

d

C©u 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) <

0

Câu 3: (2 điểm)

Tìm giá trị nhá nhÊt cña: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| víi a<b<c<d C©u 4: ( điểm) Cho hình vẽ

a, Biết Ax // Cy so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C b, gãc ABC = gãc A + gãc C Chứng minh Ax // Cy

Câu 5: (2 điểm)

Tõ ®iĨm O tïy ý tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lợt vuông góc với cạnh BC, CA, Ab Chứng minh rằng:

AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2

HÕt

-§Ị sè 5

Thêi gian lµm bµi: 120

A x

B y

(3)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7

C©u 1(2®):

a) TÝnh: A = + 100

3 100

2 2  2

b) T×m n Z cho : 2n -  n + 1

Câu (2đ):

a) Tìm x biết: 3x - 2x1 =

b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50

Câu 3(2đ): Ba phân số có tổng

213

70 , c¸c tư cđa chóng tØ lƯ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cđa

chúng tỉ lệ với 5; 1; Tìm ba phân số

Câu 4(3đ): Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba im B, I, C thng hng

Câu 5(1đ): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x +

1 7 =

1 y

-Hết -Đề số 6

Thời gian làm bài: 120 C©u 1: TÝnh :

a) A =

1 2+ 3+

1

3 4+ + 99 100

b) B = 1+

2(1+2)+

3(1+2+3)+

4(1+2+3+4)+ +

20(1+2+3+ .+20)

Câu 2:

a) So sánh: 17+26+1 √99 b) Chøng minh r»ng:

√1+

√2+

√3+ +

√100>10

C©u 3:

Tìm số có chữ số biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1:2:3 Câu

Cho tam gi¸c ABC cã góc B góc C nhỏ 900 Vẽ phía tam giác các

tam giỏc vng cân ABD ACE ( góc ABD góc ACE 900 ), vẽ DI

và EK vng góc với đờng thẳng BC Chứng minh rằng: a BI=CK; EK = HC; b BC = DI + EK

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = |x −2001|+|x −1|

- hÕt

-§Ị sè 7

Câu 1: (1,5 đ) Tìm x biết: a, x+2

327 +

x+3 326 +

x+4 325 +

x+5 324 +

x+349

(4)

b, |5x 3|

Câu2:(3 điểm)

a, Tính tæng: S=(−1 7)

0

+(−1 7)

1

+(−1 7)

2

+ +(−1 7)

2007

b, CMR:

2!+

2 3!+

3

4!+ +

99 100!<1

c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn dơng n thì: 3n+2 2n+2 +3n 2n chia hÕt cho

10

Câu3: (2 điểm) Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2;3;4 Hỏi ba chiều cao tơng ứng ba cạnh tỉ lệ với số nào?

Câu 4: (2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc B=600 hai đờng phân giác AP v CQ ca

tam giác cắt I a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ

Câu5: (1 điểm) Cho

n 12+3

B=1 ¿

Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn

- hÕt

-§Ị sè 8

Thêi gian : 120’

Câu : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biÕt : a) (x −1)5 = - 243

b) x+2

11 +

x+2 12 +

x+2 13 =

x+2 14 +

x+2 15

c) x - √x = (x ) Câu : (3đ)

a, Tìm số nguyên x vµ y biÕt : x+

y

4=

b, Tìm số nguyên x để A có giá trị số nguyên biết : A = √x+1

√x −3 (x

)

Câu : (1đ) Tìm x biết : |5x 3| - 2x = 14 Câu : (3đ)

a, Cho Δ ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lƯ víi 7; 5; C¸c góc tơng ứng tỉ lệ với số

b, Cho ABC cân A Â < 900 Kẻ BD vuông góc với AC Trên cạnh AB

lấy điểm E cho : AE = AD Chøng minh : 1) DE // BC

2) CE vu«ng gãc víi AB

-HÕt -§Ị sè 9

(5)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7

a, TÝnh: A =

91−0,25 ¿

60 11 −1

¿ ¿ 101

3(26 3−

176 )−

12 11 (

10

3 −1,75) ¿

b, Tính nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + +7 +……+ 100 – 410) Bài 2: ( 2điểm) Tìm số nguyên dơng cho tổng nghịch đảo chúng Bài 3: (2 điểm) Cần chữ số để đánh số trang sách dày 234 trang Bài 4: ( điểm) Cho Δ ABC vng B, đờng cao BE Tìm số đo góc nhọn tam giác , biết EC – EA = AB

- hÕt

-§Ị sè 10

Thêi gian lµm bµi 120

Bµi 1(2 ®iÓm). Cho A x 2  x

a.Viết biểu thức A dới dạng khơng có dấu giá trị tuyệt đối b.Tìm giá trị nhỏ A

Bài ( điểm)

a.Chứng minh : 2 2

1 1 1

65 6 7  100 4 .

b.Tìm số nguyên a để :

2 17

3 3

a a a

 

 

   số nguyên.

Bi 3(2,5 im) Tỡm n số tự nhiên để : An5 n6 n

Bài 4(2 điểm) Cho góc xOy cố định Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N cho OM + ON = m không đổi Chứng minh : Đờng trung trực MN qua điểm cố nh

Bài 5(1,5 điểm). Tìm đa thức bậc hai cho : f x  f x 1 x

¸p dơng tÝnh tỉng : S = + + + … + n

HÕt

-§Ị sè 11

Thêi gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2đ) Rót gän A=

2 20 x x

x x

  

Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc nh

C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng

2006

10 53

9

là số tự nhiên

Câu 4 : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B

(6)

a, K trung điểm AC

b, BH =

AC

c, ΔKMC

Câu 5 (1,5 đ)Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới nửa sai nửa:

a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải

Em xác định thứ tự giải cho bạn

- HÕt

-§Ị sè 12

Thêi gian làm 120 phút

Câu 1: (2đ) Tìm x, biÕt:

a) |3x −2|− x=7 b) |2x −3|>5 c) |3x −1|≤7 d)

7

3x x Câu 2: (2đ)

a) Tính tæng S = 1+52+ 54+ + 5200

b) So sánh 230 + 330 + 430 3.2410

Câu 3: (2đ) Cho tam giác ABC có góc B 600 Hai tia phân giác AM CN

tam giác ABC cắt I a) Tính gãc AIC

b) Chøng minh IM = IN

Câu 4: (3đ) Cho M,N lần lợt trung điểm cạnh AB Ac tam giác ABC Các đờng phân giác phân giác tam giác kẻ từ B cắt đờng thẳng MN lần lợt D E tia AD AE cắt đờng thẳng BC theo thứ tự P Q Chứng minh:

a) BD AP;BE⊥AQ; b) B lµ trung ®iĨm cđa PQ c) AB = DE

C©u 5: (1đ)

Với giá trị nguyên x th× biĨu thøc A= 14− x

4− x Có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị

- HÕt

-§Ị sè 13

Thêi gian : 120

Câu 1: ( 1,5 điểm) Tìm x, biÕt:

a 4x3 - x = 15 b 3x - x > c 2x3 5.

Câu2: ( điểm)

a Tính tæng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 Chøng minh r»ng: A chia

(7)

b Chứng minh điều kiện cần đủđể m2 + m.n + n2 chia hết cho là: m, n

chia hÕt cho

Câu 3: ( 23,5 điểm) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với nh nào,biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tổng tỷ lệ theo 3:4:5

C©u 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A D điểm nằm tam giác, biết

ADB> ADC Chøng minh r»ng: DB < DC.

Câu 5: ( điểm ) Tìm GTLN biÓu thøc: A = x1004 - x1003 - HÕt

-§Ị sè 14

Thêi gian : 120

Câu (2 điểm): Tìm x, biết :

a 3x 2 +5x = 4x-10 b 3+ 2x > 13 Câu 2: (3 điểm )

a Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỷ lệ với 1, 2,

b Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n N)

C©u : (1điểm )cho hình vẽ , biết + β + γ = 1800 chøng minh Ax// By.

A α x

C β γ

B y

Câu (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có ABC=1000 Kẻ phân giác góc

CAB cắt AB D Chứng minh rằng: AD + DC =AB Câu (1 điểm )

TÝnh tæng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + + (-3)2004

HÕt

-Đề số 15

Thời gian làm bài: 120 phú

Bài 1: (2,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí:

1 1 1 1 1

90 72 56 42 30 20 12

   

Bài 2: (2,5đ) Tính giá trị nhỏ biểu thức: A = |x −2|+|5− x|

Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC Gọi H, G,O lần lợt trực tâm , trọng tâm giao điểm đờng trung trực tam giác Chứng minh rằng:

a AH lần khoảng cách từ O đến BC b Ba điểm H,G,O thẳng hàng GH = GO

Bài 4: (1 đ) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007

(8)

-Đề 16

Câu 1(3đ): Chứng minh

A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102

Câu 2(3đ): Tìm x, biết:

a x x 3   ; b 3x x 2  

Câu 3(3đ): Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Các đờng trung trực tam giác gặp tai Các đờng cao AD, BE, CF gặp H Gọi I, K, R theo thứ tự trung điểm HA, HB, HC

a) C/m H0 vµ IM cắt Q trung điểm ®o¹n b) C/m QI = QM = QD = 0A/2

c) HÃy suy kết tơng tự nh kết câu b

Cõu 4(1): Tìm giá trị x để biểu thức A = 10 - 3|x-5| đạt giá trị lớn Hết

-Đề 17

Thời gian: 120 phút

Bài 1: (2®) Cho biĨu thøc A = √x −5

x+3

a) Tính giá trị A x =

4

b) Tìm giá trị x để A = -

c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài (3đ)

a) T×m x biÕt: √7− x=x −1

b) TÝnh tæng M = + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006

c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + – 4x3 Chứng tỏ

đa thức nghiệm

Bài 3.(1đ) Hỏi tam giác ABC tam giác biết góc tam giác tỉ lệ với 1, 2,

Bài 4.(3đ) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600 Hai tia phân giác AM CN tam

giác ABC cắt I a) Tính góc AIC

b) Chứng minh IM = IN

Bài (1đ) Cho biÓu thøc A = 2006− x

6− x Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn

HÕt

-§Ị 18

Thêi gian: 120

C©u 1:

(9)

a (1

2)

15

.(1 )

20

b (1

9)

25

:(1 )

30

2 Rót gän: A =

5

94−2 69 210.38

+68.20

3 Biểu diễn số thập phân dới dạng phân số ngợc lại: a

33 b

7

22 c 0, (21) d 0,5(16)

Câu 2: Trong đợt lao động, ba khối 7, 8, chuyên chở đợc 912 m3 đất Trung

bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm đợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất Số học sinh

khèi 7, tØ lƯ víi vµ Khèi vµ tØ lƯ víi vµ TÝnh sè häc sinh khối Câu 3:

a.Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc: A =

x+2¿2+4 ¿ ¿

b.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1

C©u 4: Cho tam giác ABC cân (CA = CB) C = 800 Trong tam giác cho



MBA 30  vµ MAB100 TÝnh MAC .

C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = th× (a2,a+b) = 1.

- HÕt

-§Ị19

Thêi gian: 120

Câu I: (2đ)

1) Cho a1

2 =

b+3 =

c −5

6 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c

2) Cho tØ lÖ thøc : a b=

c

d Chøng minh :

2a2−3 ab+5b2

2b2+3 ab =

2c2−3 cd+5d2

2d2+3 cd Víi

điều kiện mẫu thức xác định Câu II : Tính : (2đ)

1) A =

3 5+

5 7+ + 97 99

2) B = −13+ 32−

1

33+ + 350−

1 351

C©u III : (1,5 đ) Đổi thành phân số số thËp ph©n sau : a 0,2(3) ; b 1,12(32)

Câu IV : (1.5đ) Xác định đa thức bậc biết : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = ; p(3) =

Câu V : (3đ) Cho tam giác ABC có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác vng cân đỉnh A ABD ACE Gọi M;N;P lần lợt trung điểm BC; BD;CE

a Chøng minh : BE = CD vµ BE  với CD b Chứng minh tam giác MNP vuông cân

- HÕt

-§Ị 20

(10)

Bài (1,5đ): Thực phép tính:

a) A =

3

0, 375 0,

1, 0, 75 11 12

5 5

0, 265 0, 2, 1, 25

11 12

  

  

     

b) B = + 22 + 24 + + 2100

Bài (1,5đ):

a) So sánh: 230 + 330 + 430 3.2410

b) So sánh: + 33 29+ 14

Bài (2đ): Ba máy xay xay đợc 359 thóc Số ngày làm việc máy tỉ lệ với 3:4:5, số làm việc máy tỉ lệ với 6, 7, 8, công suất máy tỉ lệ nghịc với 5,4,3 Hỏi máy xay đợc bao nhiờu tn thúc

Bài (1đ): Tìm x, y biÕt:

a) 3x  b)

1 1

1.2 2.3 99.100 x

 

    

 

 

Bài ( 3đ): Cho ABC có góc nhỏ 1200 Vẽ phía tam giác ABC c¸c

tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng: a) BMC1200

b) AMB 1200

Bài (1đ): Cho hàm số f(x) xác định với x thuộc R Biết với x ta

cã:

2

1 ( ) ( )

f x f x

x

 

TÝnh f(2)

- HÕt

-Đề 21

Câu (2đ) Tìm x, y, z Z, biÕt a x  x = - x

b x

6−

y=

1

c 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 Câu (2đ)

a Cho A = (1 22−1).(

1 32−1).(

1

42−1) (

1

1002 −1) H·y so s¸nh A víi −

1

b Cho B = √x+1

√x −3 Tìm x Z để B có giá trị số nguyờn dng

Câu (2đ)

Mt ngời từ A đến B với vận tốc 4km/h dự định đến B lúc 11 45 phút Sau đợc

5 quãng đờng ngời với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 tra

(11)

Câu (3đ) Cho ΔABC có ˆA > 900 Gọi I trung điểm cạnh AC Trên tia đối

cđa tia IB lÊy ®iĨm D cho IB = ID Nèi c víi D a Chøng minh ΔAIB=ΔCID

b Gọi M trung điểm BC; N trung điểm CD Chứng minh I trung ®iĨm cđa MN

c Chøng minh AIB AIB BIC

d Tìm điều kiện ΔABC để ACCD

Câu (1đ) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: P = 14− x

4− x ;⟨x∈Z⟩ Khi x nhận giá trị nguyên nào?

- HÕt

-§Ị 22

Bài 1: (2,5đ)

a T×m x biÕt : |2x −6| +5x =

b Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90) ( 12.34 – 6.68) : (1

3+ 4+

1 5+

1 6) ;

c So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 vµ B = 2101

Bài :(1,5đ) Tìm tỉ lệ ba cạnh tam giác biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tỉ lệ kết :5 : :

Bài :(2đ) Cho biểu thức A = x+1

x 1

a Tính giá trị A x = 16

9 x = 25

9

b Tìm giá trị x để A =5

Bài :(3đ) Cho tam giác ABC vuông C Từ A, B kẻ hai phân giác cắt AC E, cắt BC D Từ D, E hạ đờng vng góc xuống AB cắt AB M N Tính góc MCN ? Bài : (1đ) Với giá trị x biểu thức : P = -x2 – 8x +5 Có giá trị lớn

Tìm giá trị lớn ?

- HÕt

-§Ị 23

Thêi gian: 120 phút

Câu 1: (3đ)

a Tính A =  

2

1

0, 25

4

   

        

               

b T×m sè nguyªn n, biÕt: 2-1.2n + 4.2n = 9.25

c Chứng minh với n nguyên dơng thì: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hết cho 10

Câu 2: ((3đ)

(12)

b Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) số nguyên

Cõu 3: (4đ ) Cho tam giác cân ABC, AB=AC Trên cạnh BC lấy điểm D Trên Tia tia BC lấy điểm E cho BD=BE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC lần lợt M N Chứng minh:

a DM= ED

b Đờng thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN

c Đờng thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi BC

- HÕt

-§Ị 24

Thêi gian: 120

C©u 1: (2 ®iĨm) Rót gän biĨu thøc a a a

b a a

c 3x1 x C©u 2: T×m x biÕt: a 5x - x = b 2x3 - 4x <

Câu 3: (2đ) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỷ lệ với số 1; 2;

Câu 4: (3,5đ) Cho  ABC, cạnh AB lấy điểm D E Sao cho AD = BE Qua D E vẽ đờng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh DM + EN = BC

- HÕt

-§Ị 25

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao )

Bài 1:(1điểm) HÃy so sánh A B, biÕt: A=

2006 2007

2007 2008

10 10

; B =

10 10

 

  .

Bài 2:(2điểm) Thực phép tính:

A=

1 1

1

1 2 3 2006

     

  

     

      

   

Bài 3:(2điểm) Tìm số x, y nguyªn biÕt r»ng:

x 1

8 y

Bài 4:(2 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.

(13)

a Chøng minh BA = BK b TÝnh sè ®o gãc BAK

- HÕt

-Đề thi 26

Câu Với số tự nhiên n h·y so s¸nh: a A=

22+ 32+

1

42+ +

n2 víi b B =

22+ 42+

1 62+ +

1

(2n)2 với 1/2

Câu 2: Tìm phần nguyên , víi α=√2+√3

2+

√4 3+ +

n+1

√n+1

n

Câu 3: Tìm tỉ lệ cạnh tam giác, biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tỉ lệ kết 5: :

Câu 4: Cho góc xoy , hai cạnh ox oy lần lợt lấy điểm A B AB có độ dài nhỏ

C©u 5: Chøng minh r»ng a, b, c a+b+c số hữu tỉ

-Phần 2: H ớng dẫn giải

Hớng dẫn giải đề số Câu 1:

Mỗi tỉ số cho bớt ta đợc:

2

1

a b c d a b c d

a b

     

  

=

2

1

a b c d a b c d

c d

     

  

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

           

  

+, Nếu a+b+c+d 0 a = b = c = d lúc M = 1+1+1+1=4

+, Nếu a+b+c+d = a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c), lúc M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4

C©u 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c)

Vì < a+b+c27 nên a+b+c 37 Mặt khác( 3; 37) =1 nên 3(a+b+c) 37 => S kh«ng

(14)

A M B Quãng đờng AB dài 540 Km; nửa quảng dờng AB dài 270 Km Gọi quãng đờng ô tô xe máy S1, S2 Trong thời gian quãng đờng tỉ lệ thuận với vận tốc

đó

1 2 S S

t

V V  (t chÝnh thời gian cần

tìm) t=

270 270 540 270 (540 ) (270 ) 270

;

65 40 130 40 130 40 90

a a a a a a

t

      

     



Vậy sau khởi hành tơ cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M

C©u 4:

a, Tia CO cắt AB D

+, Xét BOD có BOC góc nên BOC = B1D

+, Xét ADC có góc D1 góc nên

  

1

D  A C

VËy BOC =A C1+B1

b, NÕu

  900 

2 A ABO ACO  

th× BOC =

 900  900 

2

A A

A   

XÐt BOC cã:

     

    

0 0

2

0

2

180 180 90

2 180

90 90

2 2

A B

C O B

A B C C

C

 

        

 

 

    

 tia CO tia phân giác góc C Câu 5:

Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ đờng thẳng lần lợt song song với đờng thẳng cho đ-ờng thẳng qua O tạo thành 18 góc khơng có điểm chung, góc tơng ứng góc hai đờng thẳng số đơng thẳng cho Tổng số đo 18 góc đỉnh O 3600 có góc khơng nhỏ 3600 : 18 = 200, từ suy

có hai đờng thẳng mà góc nhọn chúng khơng nhỏ 200.

Câu 6:

Tổng số điểm ghi hai mặt hai súc sắc lµ: = 1+1

3 = 1+2 = 2+1

4 = 1+3 =2 +2 = 3+1 = 1+4 =2+3=3+2=4+1

A

B

C

D

(15)

6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1

7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1 8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2

9=3+6=4+5=5+4=6+3 10=4+6=5+5=6+4 11=5+6=6+5 12=6+6

Nh vËy tæng sè điểm có khả xảy tới 16,7%

-Đáp án đề số 2

Câu1: Nhân vế bất đẳng thức ta đợc : (abc)2=36abc

+, Nếu số a,b,c số cịn lại +,Nếu 3số a,b,c khác chia vế cho abc ta đợc abc=36 +, Từ abc =36 ab=c ta đợc c2=36 nên c=6;c=-6

+, Từ abc =36 bc=4a ta đợc 4a2=36 nên a=3; a=-3

+, Từ abc =36 ab=9b ta đợc 9b2=36 nên b=2; b=-2

-, Nếu c = avà b dấu nên a=3, b=2 a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 avà b trái dấu nên a=3 b=-2 a=-3 b=2 Tóm lại có số (a,b,c) thoÃ mÃn toán

(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu (3®)

a.(1®) 5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5®)

 … 1/5<x<1 (0,5đ)

b.(1đ) 3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5®) *NÕu 3x+1>4=> x>1

*NÕu 3x+1<-4 => x<-5/3

Vậy x>1 x<-5/3 (0,5đ) c (1đ) 4-x+2x=3 (1)

* 4-x0 => x4 (0,25®)

(1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả mÃn đk) (0,25đ) *4-x<0 => x>4 (0,25đ)

(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu3 (1đ) áp dông a+ba+bTa cã

A=x+8-xx+8-x=8 MinA =8 <=> x(8-x) 0 (0,25®)

*

¿

x ≥0 8− x ≥0

¿{ ¿

(16)

*

¿

x ≤0 8− x ≤0

¿{ ¿

=>

¿

x ≤0

x ≥8 {

không thoÃ mÃn(0,25đ)

Vậy minA=8 0x8(0,25đ)

Câu4 Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102

=22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ)

Câu5.(3đ)

Chứng minh: a (1,5®)

Gọi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đờng trung bình => ME//BD(0,25)

Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D trung điểm AE => AD=DE (1)(0,5đ)

Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ)

Trong tam giác MAE ,ID đờng trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME Đờng trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ)

So s¸nh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25đ)

C©u Ta cã a b

b c

c d=

a

d (1) Ta l¹i cã a b=

b c=

c d=

a+b+c

b+c+a (2)

Tõ (1) vµ(2) => (a+b+c b+c+d)

3

=a

d C©u A = a

b+c=

c a+b=

b c+a =

a+b+c 2(a+b+c)

NÕu a+b+c  => A =

2

NÕu a+b+c = => A = -1 C©u a) A = +

x −2 để A  Z x- ớc

=> x – = ( 1; 5)

* x = => A = * x = => A = * x = => A = - * x = -3 => A = b) A =

x+3 - để A  Z x+ ớc

=> x + = ( 1; 7)

* x = -2 => A = * x = => A = -1 * x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3 C©u a) x = hc -

A

B M

C D

(17)

b) x = hc - 11 c) x =

Câu ( Tự vẽ hình)

MHK cân M

Thật vậy: ACK =  BAH (gcg) => AK = BH

 AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH Vậy: MHK cân M

Câu 1: Gọi x, y, z độ dài cạnh tơng ứng với đờng cao 4, 12, a Ta có: 4x = 12y = az = 2S

 x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 điẻm) Do x-y < z< x+y nên

S

2−

S

6< 2S

a < S

2+

S

6⇒ 6<

2

a<

2

3 (0,5 ®iÓm)

 3, a , Do a  N nên a=4 a= (0,5 điểm) a Tõ a

b= c d 

a c=

b d=

a− b c −d⇒

a c=

a −b c − d⇔

a a −b=

c

c −d (0,75 ®iĨm) b a

b= c

d  a c=

b d=

a+b

c+d⇒

b d=

a+b

c+d⇔

a+b

b = c+d

d (0,75 điểm)

Câu 2: Vì tích sè : x2 – ; x2 – 4; x2 7; x2 10 số âm nên phải có số

âm số ©m

Ta cã : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – XÐt trêng hợp:

+ Có số âm: x2 10 < x2 –  x2 – 10 < < x2 – 7  7< x2 < 10  x2 =9 ( x  Z )  x =  ( 0,5 ®iĨm)

+ cã số âm; số dơng

x2 4< 0< x2 –  < x2 < 4

do x Z nên không tồn x Vậy x = (0,5 điểm)

Câu 3: Trớc tiên t×m GTNN B = |x-a| + | x-b| víi a<b Ta cã Min B = b – a ( 0,5 ®iĨm)

Víi A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d|

= [| x-a| + | x-d|] + [|x-c| + | x-b|]

Ta cã : Min [| x-a| + | x-d|] =d-a axd

Min [|x-c| + | x-b|] = c – b b x  c ( 0,5 ®iĨm) VËy A = d-a + c – b b x c ( 0, điểm) Câu 4: ( ®iÓm)

A, Vẽ Bm // Ax cho Bm nằm góc ABC  Bm // Cy (0, điểm) Do góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC

 ABm + CBm = A + C tøc lµ ABC = A + C ( 0, ®iĨm)

b VÏ tia Bm cho ABm vµ A lµ gãc so le vµ ABM = A  Ax// Bm (1) CBm = C  Cy // Bm(2)

(18)

Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vng NOA NOC ta có:

AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 CN2 – AN2 = OC2 OA2 (1) ( 0, điểm)

Tơng tự ta còng cã: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0,

®iĨm)

Tõ (1); (2) vµ (3) ta cã: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, ®iĨm).

-H

ớng dẫn chấm đề s 5:

Câu 1(2đ):

a) A = - 99 100 100

1 100 102

2

2    (1® )

b) 2n 3n 1 5n1 (0,5® )

n + -1 -5

n -2 -6

 6; 2;0; 4

n



(0,5đ ) Câu 2(2đ):

a) NÕu x  

th× : 3x - 2x - = => x = ( thảo mÃn ) (0,5đ)

Nếu x <

1 

th× : 3x + 2x + = => x = 1/5 ( loại ) (0,5đ) Vậy: x =

b) =>

1

2

x y z

 

vµ 2x + 3y - z = 50 (0,5®) => x = 11, y = 17, z = 23 (0,5đ)

Câu 3(2đ): Các phân số phải tìm là: a, b, c ta cã : a + b + c =

213 70

vµ a : b : c =

3

: : : 40 : 25

5  (1®) =>

9 12 15

, ,

35 14

a b c

(1đ) Câu 4(3đ):

Kẻ DF // AC ( F thuộc BC ) (0,5đ )

=> DF = BD = CE (0,5® ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1® )

=> gãc DIF = gãc EIC => F, I, C thẳng hàng => B, I, C thẳng hàng (1đ)

Câu 5(1đ):

=>

7.2 1

(14 1) 7

x

y x y



   

=> (x ; y ) cần tìm ( ; )

(19)

C©u 1: a) Ta cã:

1 2= 1−

1 ;

1 3=

1 2−

1 ;

1 4=

1 3−

1

4 ; …; 99 100=

1 99−

1 100

VËy A = 1+ (−1

2 + 2)+(

−1 +

1

3)+ +(

−1 99 +

1 99)−

1 100=1−

1 100=

99 100

b) A = 1+

2(

2 )+ 3(

3 )+

1 4(

4

2 )+ + 20(

20 21 ) =

= 1+

2+ 2+ .+

21 =

1

2(2+3+4+ +21)=¿

=

2( 21 22

2 −1) = 115

C©u 2: a) Ta cã: √17>4 ; √26>5 nªn √17+√26+1>4+5+1 hay √17+√26+1>10

Cịn √99 < 10 Do đó: √17+√26+1>√99

b)

√1> 10 ;

1

√2> 10 ;

1

√3>

10 ; … ;

√100= 10

VËy:

√1+

√2+

√3+ +

√100>100 10=10

Câu 3: Gọi a,b,của chữ số số có ba chữ số cần tìm Vì chữ số a,b,của không vợt ba chữ số a,b,của đồng thời , ta khơng đ-ợc số có ba chữ số nên:  a+b+c 27

Mặt khác số phải tìm bội 18 nên a+b+c =9 a+b+c = 18 a+b+c=17 Theo giả thiết, ta có: a

1=

b

2=

c

3=

a+b+c

6 Do đó: ( a+b+c) chia hết cho

Nªn : a+b+c =18  a

1= b 2= c 3= 18

6 =3  a=3; b=6 ; cđa =9

Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy số phải tìm là: 396; 936

C©u 4:

a) VÏ AH  BC; ( H BC) ABC + hai tam giác vuông AHB vµ BID cã: BD= AB (gt)

Gãc A1= gãc B1( cïng phơ víi gãc B2) AHB= BID ( cạnh huyền, góc nhọn)

AH BI (1) DI= BH

+ Xét hai tam giác vuông AHC CKE cã: Gãc

A2= gãc C1( cïng phơ víi gãc C2)

AC=CE(gt)

AHC= CKB ( c¹nh hun, gãc nhän) AH= CK (2) tõ (1) vµ (2)  BI= CK vµ EK = HC

b) Ta cã: DI=BH ( Chứng minh trên) tơng tự: EK = HC

Từ BC= BH +Hc= DI + EK Câu 5: Ta có:

A = |x −2001|+|x −1| = |x −2001|+|1− x|≥|x −2001+1− x|=2000

(20)

1 x 2001 biểu điểm :

Câu 1: ®iĨm a ®iĨm b ®iĨm Câu 2: điểm : a điểm b điểm Câu : 1,5 điểm

Câu 4: điểm : a điểm ; b điểm Câu : 1,5 điểm

C©u1:

a, (1) ⇔x+2

327 +1+

x+3 326 +1+

x+4 325 +1+

x+5 324 +1+

x+349

5 −4=0 (0,5 ® )

⇔(x+329)( 327 + 326+ 325+ 324+ 5)=0 x+329=0x=329 (0,5đ )

b, a.Tìm x, biÕt: 5x - 3 - x =  5x x (1) (0,25 đ) ĐK: x -7 (0,25 ®)

 

5

1

5

x x x x         

 … (0,25 ®)

Vậy có hai giá trị x thỏa mÃn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ)

Câu 2:

a, S=117+1 72

1 73+

1

74+ −

72007 ; 7S=7−1+ 7−

1 72+

1

73− .−

72006 (0.5®)

8S=7−

72007 87 7 2007 

 S

(0,5®)

b,

2!+

2 3!+

3

4!+ .+

99 100!=

2−1 2! +

3−1

3! + +

100−1

100! (0,5®)

¿1−

100!<1 (0,5®) c, Ta cã 3n+2− 2n+2

+3n−2n=3n+2+3n−(2n+2−2n) (0,5®)

3n.10−2n 5=3n 10−2n −2 10=10(3n−2n −2)

⋮10 (0,5®)

Câu 3: Gọi độ dài cạnh a , b, c, chiều cao tơng ứng x, y, z, diện tích S ( 0,5đ ) a=2S

x b=

2S

y c=

2S

z (0,5®) ⇒ a 2= b 3= c 4⇒ 2S

2x=

2S

3y=

2S

4z (0,5®)

⇒2x=3y=4z⇒x 6=

y

4=

z

3 vËy x, y, z tØ lƯ víi ; ; (0,5đ)

Câu4: GT; KL; Hình vẽ (0,5đ) a, Góc AIC = 1200 (1 ® )

(21)

Vì (n −1)2≥0⇒2(n −1)2+3≥3 đạt NN (0,5đ)

DÊu b»ng x¶y n −1=0⇔n=1

vËy B ; LN B=1

3 n=1 (0,5đ)

C©u : điểm Mỗi câu điểm a) (x-1) 5 = (-3)

❑5 ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2

b) (x+2)(

11+ 12+

1 13−

1 14 −

1

15 ) =

11+ 12+

1 13−

1 14 −

1

15 ⇒ x+2 = ⇔ x =

c) x - √x = ⇔ ( √x ) ❑2 - 2 √x = ⇔ √x ( √x - 2) = ⇒ √x =

0 ⇒ x =

hc √x - = ⇔ √x = ⇔ x = C©u : điểm Mỗi câu 1,5 điểm

a)

x+ y

4= ,

5

x+

2y

8 = ,

5

x=

1−2y

8

x(1 - 2y) = 40 1-2y ớc lẻ 40 Ước lẻ 40 : ;

Đáp số : x = 40 ; y = x = -40 ; y = x = ; y = -2 x = -8 ; y =

b) Tìm x z để A Z A= √x+1

√x −3=1+

√x −3

A nguyªn

x 3 nguyên x 3 Ư(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2;

Các giá trị cđa x lµ : ; 4; 16 ; 25 ; 49 Câu : điểm

2 |5x −3| - 2x = 14 ⇔ |5x −3| = x + (1) §K: x  -7 (0,25 ®)

 

5

1

5

x x

   

 

  

 … (0,25 đ)

Câu4 (1.5 điểm)

Các gãc A, B , C tØ lƯ víi 7, 5, A

7=

B

5=

C

3=

A+B+C

15 =

1800 15 =12

⇒ A= 840 ⇒ góc ngồi đỉnh A 960

B = 600 ⇒ góc ngồi đỉnh B 1200

C = 360 ⇒ góc ngồi đỉnh C 1440

(22)

1) AE = AD ⇒ Δ ADE c©n

⇒ E D E  1 EDA 

1 E =

 180

2 A 

(1) Δ ABC c©n ⇒ B C 

 AB C=

 180

2 A 

(2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒ E1 ABC ⇒ ED // BC

a) XÐt Δ EBC vµ Δ DCB cã BC chung (3)

 

EBC DCB (4)

BE = CD (5)

Tõ (3), (4), (5) ⇒ Δ EBC = Δ DCB (c.g.c)

⇒ BEC CDB

= 900 ⇒ CE  AB

………

Đáp án đề số 9

Bài 1: điểm

a, Tính: A =

10 −

175 100 ¿ 31

3 ( 183

7 − 176

7 )− 12 11 ¿ ¿

=

31 −

19 11 1056 1001−

1001 1001

=

341−57 33

55 1001

=284 33

1001 55 =

284284 1815

b, 1,5 ®iĨm Ta cã:

+) + +7 +……+ 100 = ( 1+100) + ( + 97) +…….+ ( 49+ 52) = 101 34 = 1434 34 cỈp

+) 1434 – 410 = 1024

+) ( 18 123 + 436 + 5310 ) = 18 ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 5869 = 105642

VËy A = 105642 : 1024 103,17 Bài 2: Điểm

Giọi số cần tìm x, y, z Số nhỏ x , sè lín nhÊt lµ z Ta cã: x y z (1) Theo gi¶ thiÕt:

x+

1

y+

1

z=2 (2) Do (1) nªn z =

1

x+

1

y+

1

z≤

3

x Vậy: x = Thay vào (2) , đợc:

y+

1

z=1≤

2

(23)

Có trang có chữ số Số trang có chữ số từ 10 đến 99 nên có tất 90 trang Trang có chữ số sách từ 100 đến 234, có tất 135 trang Suy số chữ số tất trang là:

9 + 90 + 135 = + 180 + 405 = 594 Bài : Điểm

Trên tia EC lấy ®iÓm D cho ED = EA

Hai tam giác vuông ABE = DBE ( EA = ED, BE chung) Suy BD = BA ; BAD BDA  .

Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B

VËy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: DC = BD

Vẽ tia ID phân gi¸c cđa gãc CBD ( I BC ) Hai tam giác: CID BID có :

ID cạnh chung,

CD = BD ( Chứng minh trên)

CID=IDB ( DI phân giác góc CDB )

Vậy CID = Δ BID ( c g c) ⇒ C = IBD   Gäi C lµ α ⇒

  

BDA = C + IBD = ⇒ C

= α ( gãc ngoµi cđa Δ BCD)

mà A=D ( Chứng minh trên) nªn A = α ⇒2α+α = 900 ⇒ α = 300

Do ; C = 300 A = 600

-H

ớng dẫn giải đề số 9

Bài 1.a Xét trờng hợp : * x5 ta đợc : A=7 *x5 ta đợc : A = -2x-3

b XÐt x5  2x10 2x 10 3  hay A > VËy : Amin = x5. Bµi 2. a Đặt : A = 2 2

1 1

6 7  100

Ta cã :

* A <

1 1

4.5 5.6 6.7   99.100 =

1 1 1

4 5 6    99 100 =

1 1

4 100 4

* A >

1 1 1 1

5.6 6.7  99.100 100.101 101 6    .

b Ta cã :

2 17

3 3

a a a

 

 

   =

4 26 a a

  =

=

4 12 14 4( 3) 14 14

4

3 3

a a

a a a

   

  

   số nguyên

(24)

Bi 3. Bin đổi :

 

12 30

A n n n  

§Ĩ A n6  n n 130 6 n

*n n 1n 30n n  ¦(30) hay n {1, , 3, , , 10 , 15 , 30}.

*30 6  n n 1 6  n n 1 3 +n3 n3,6,15,30 

+n1 3  n1,10 

 n {1 , , , 10 , 15 , 30}.

-Thử trờng hợp ta đợc : n = 1, 3, 10, 30 thoó bi toỏn

Bài 4.

-Trên Oy lÊy M’ cho OM’ = m Ta cã : N nằm O, M MN = OM

-Dùng d lµ trung trùc cđa OM’ vµ Oz phân giác góc xOy chúng cắt D -ODM M DN c g c' ( ) MD ND

 D thuéc trung trùc cña MN.

-Rõ ràng : D cố định Vậy đờng trung trực MN qua D cố định

Bài 5. -Dạng tổng quát đa thức bậc hai lµ :  

2

f x ax bx c

(a0).

- Ta cã :      

2

1 1

f x a x b x c

- f x  f x 1 2ax a b x  

2

0 a b a

   

  

1

2 a b     

  

Vậy đa thức cần tìm :

2

1

2

f x  x  x c

(c lµ h»ng sè) ¸p dơng :

+ Víi x = ta cã : 1f  1  f  0 + Víi x = ta cã : 1f  2  f  1

………

+ Víi x = n ta cã : nf n  f n 1 

 S = 1+2+3+…+n = f n  f  0 =

 

2 1

2 2

n n n n

c c 

   

L

u ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình khơng chấm điểm.

Câu1 (làm đợc điểm)

x

z

d d m

n i m' y

(25)

Ta cã:

2 20 x x

x x



  =

2

2 10 20

x x

x x x



   =

2 ( 2)( 10)

x x

x x



  (0,25đ)

Điều kiện (x-2)(x+10) x 2; x -10 (0,5đ)

Mặt khác x = x-2 nÕu x>2 -x + nÕu x< (0,25đ)

* Nếu x>

2 ( 2)( 10)

x x

x x



  =

( 2) ( 2)( 10)

x x

x x



  = 10

x

x (0,5®)

* NÕu x <2 th×

2 ( 2)( 10)

x x

x x



  =

( 2) ( 2)( 10)

x x

x x

 

  = 10

x x



 (điều kiện x  -10) (0,5đ) Câu 2 (làm c 2)

Gọi số học sinh trồng cđa Líp 7A,7B, 7C theo thø tù lµ x, y, z (x> 0; y >0 ; z >0)

Theo đề ta có

 94(1)

3 (2)

x y z x y z

  

 

(0,5®) BCNN (3,4,5) = 60

Tõ (2) 

3 60 x = 60 y = 60 z

hay 20

x =15 y =12 z (0,5®) ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng ta cã :

20 x =15 y =12 z

= 20 15 12

x y z    =

94

47=2 (0,5®) x= 40, y=30 z =24 (0,5đ)

S hc sinh trồng lớp 7A, 7B, 7C lần lợt 40, 30, 24 Câu (làm cho 1,5đ)

§Ĩ

2006

10 53

9

số tự nhiên 102006 + 53 (0,5đ)

Để 102006 + 53 102006 + 53 có tổng chữ sè chia hÕt cho 9

mµ 102006 + 53 = 1+ +0 + + + 5+3 = 9 9

 102006 + 53  hay

2006

10 53

9 

số tự nhiên (1đ)

Câu 4 (3đ)

- Vẽ đợc hình, ghi GT, KL đợc 0,25đ a, ABC có àA1ảA2 (Az tia phân giác củaảA )

µ µ

1

A C (Ay // BC, so le trong)

 ảA2 Cà1VABC cân B

(26)

BK trung tuyến cân ABC (0,75đ) hay K trung điểm AC

b, Xét cân ABH vuông BAK Có AB cạng huyền (cạnh chung)

ả 1( 30 ) A B 

V×

ả ả

2

0 0

1

30 90 60 30

A A B

    

 vu«ng ABH =  vu«ng BAK BH = AK mµ AK = 2

AC AC

BH

 

(1®)

c, AMC vuông M có AK = KC = AC/2 (1) MK trung tuyến thuộc cạnh huyền

KM = AC/2 (2)

Tõ (10 vµ (2)  KM = KC KMC cân

Mặt khác AMC có Mả 90 A=300 MKCÃ 900 300 600

 AMC (1đ)

Câu 5 Làm câu đợc 1,5đ Xây dựng sơ đồ giải toán

Đáp án : Tây đạt giải nhất, Nam giải nhì, Đơng giải 3, Bắc giải

Câu 1: (2đ)

a) Xét khoảng x 2

3 đợc x = 4,5 phù hợp 0,25 đ

XÐt kho¶ng x<2

3 đợc x = -5

4 phù hợp 0,25 đ

b) Xét khoảng x 3

2 Đợc x > 0,2đ

Xét khoảng x<3

2 Đợc x < -1 0,2đ

Vậy x > x < -1 0,1đ

c) Xét khoảng x

1

3 Ta cã 3x -

8   x

Ta đợc

1 3≤ x ≤

8

XÐt kho¶ng x<1

3 Ta cã -3x + ⇒x ≥ −2

Ta đợc −2≤ x ≤1

3

Vậy giá trị x thoã mãn đề −2≤ x ≤8

3 C©u 2:

a) S = 1+25 + 252 + + 25100 0,3®

⇒25S=25+252+ +25101

⇒24S=25S − S=25101−1 0,3®

VËy S = 25101−1

(27)

b) 430= 230.230 = (23)10.(22)15 >810.315> (810.310)3 = 2410.3 0,8®

Vậy 230+330+430> 3.224 0,2đ

Câu 3: a) H×nh a

AB//EF v× cã hai gãc cïng phÝa bï EF//CD v× cã hai gãc cïng phÝa bï VËy AB//CD

b) H×nh b

AB//EF Vì có cặp góc so le 0,4đ CD//EF có cặp góc phÝa bï 0,4® VËy AB//CD 0,2®

Câu 4: (3đ)

a) MN//BC MD//BD D trung điểm AP 0,3 đ BP vừa phân giác vừa trung tuyến nên đờng cao BD AP 0,2đ Tơng tự ta chứng minh đợc BE AQ 0,5 đ b) AD = DP

ΔDBP=ΔBDE (g.c.g) ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD 0,5 ®

⇒ ΔMBE=ΔMAD(c.g.c)⇒ME=MD 0,3®

BP = 2MD = 2ME = BQ

VËy B lµ trung điểm PQ 0,2đ c) BDE vuông B, BM trung tuyến nên BM = ME 0,4đ

ADB vuông D có DM trung tuyến nên DM = MA 0,4đ DE = DM + ME = MA + MB 0,2đ

Câu 5: 1® A = 1+10

4− x A lín nhÊt 

10

4− x lín nhÊt 0,3đ Xét x > 10

4 x < XÐt < x th× 10

4− x > a lín nhÊt  - x nhá nhÊt ⇒ x = 0,6®

C©u 1: ( ý 0,5 điểm )

a/ 4x3- x = 15 b/ 3x - x >

 4x3 = x + 15  3x > x + 1

* Trêng hỵp 1: x  -3

4 , ta cã: * Trêng hỵp 1: x 

2

3, ta cã:

4x + = x + 15 3x - > x +

 x = ( TM§K).  x >

3

(28)

* Trêng hỵp 2: x <

-3

4 , ta cã: * Trêng hỵp 2: x <

3, ta cã:

4x + = - ( x + 15) 3x – < - ( x + 1)

 x = - 18

5 ( TM§K).  x <

1

4 ( TM§K)

VËy: x = hc x = -

18

5 . VËy: x >

3

2 hc x < 4.

c/ 2x3   5 2 x 3  4 x

C©u 2:

a/.Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 ( )

(- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + … + (- 7)2007 + (- 7)2008 ( 2)

 8A = (- 7) – (-7)2008

Suy ra: A =

1

8.[(- 7) – (-7)2008 ] = -

1

8( 72008 + )

* Chøng minh: A  43.

Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 , có 2007 số hạng Nhóm số liên tiếp

thành nhóm (đợc 669 nhóm), ta đợc:

A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + … + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007]

= (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + … + (- 7)2005 [1 + (- 7) + (- 7)2]

= (- 7) 43 + … + (- 7)2005 43

= 43.[(- 7) + … + (- 7)2005]  43

VËy : A  43

b/ * Điều kiện đủ:

Nếu m  n  m2  3, mn  n2  3, đó: m2+ mn + n2 9.

* Điều kiện cần:

Ta có: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn (*)

Nếu m2+ mn + n2 m2+ mn + n2 3, từ (*),suy ra: ( m - n)2  ,do ( m -

n)  ( m - n)2 3mn  nên mn  ,do hai số m n chia

hết cho mà ( m - n)  nên số m,n chia hết cho 3.

C©u 3:

Gọi độ dài cạnh tam giác a, b, c ; đờng cao tơng ứng với cạnh , hb ,

hc

Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( + hc ) = : :

Hay:

1

3(ha +hb) =

4( hb + hc ) =

5( ha + hc ) = k ,( víi k  0).

Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( + hc ) = 5k

Cộng biểu thức trên, ta cã: + hb + hc = 6k

Từ ta có: = 2k ; hb =k ; hc = 3k

(29)

A

B C

D

 a.2k = b.k = c.3k

 a

=

b

=

c

C©u 4:

Giả sử DC không lớn DB hay DC  DB.

* Nếu DC = DB BDC cân D nên DBC = BCD.Suy ra:ABD = ACD.Khi ta có:

ADB

 = ADC (c_g_c) Do đó: ADB = ADC ( trái với giả thiết) .

* NÕu DC < DB th× BDC, ta cã DBC < BCD mµ ABC

= ACB suy ra:



ABD >ACD ( )

XÐt ADB vµ ACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC < DB.

Suy ra: DAC < DAB ( ).

Tõ (1) vµ (2) ADB vµ ACD ta lại có ADB < ADC ,

điều trái với giả thiết Vậy: DC > DB

Câu 5: ( ®iĨm)

áp dụng bất đẳng thức: x y  x - y , ta có:

A = x1004 - x1003  (x1004) ( x1003) = 2007

VËy GTLN cđa A lµ: 2007

DÊu “ = ” x¶y khi: x  -1003.

-H

ớng dẫn chm 13

Câu 1-a (1 điểm ) Xét trêng hỵp 3x-2 3x -2 <0 => kết luận : Không có giá trị x thoả mÃn b-(1 điểm ) Xét trờng hợp 2x +5 2x+5<0 Giải bất phơng trình => kết luận

Câu 2-a(2 điểm ) Gọi số cần tìm abc

abc 18=> abc VËy (a+b+c) ⋮ (1)

Ta cã : a+b+c 27 (2)

Tõ (1) (2) suy a+b+c =9 18 27 (3) Theo bµi a

1 =

b

2 =

c

3 =

a+b+c

6 (4)

Tõ (3) vµ (4) => a+b+c=18

vµ tõ (4) => a, b, c mà abc => số cần tìm : 396, 936 b-(1 ®iĨm )

A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n-3+ 74n-2+74n-1+74n).

(30)

Trong : +72+73+74=7.400 chia hết cho 400 Nên A 400

Câu 3-a (1 điểm ) Từ C kỴ Cz//By cã :

 

2

C + CBy = 2v (gãc cïng phÝa) (1)

 

1

C +CAx=2v

Vì theo giả thiÕt C

1+C2 + α

+ γ = 4v =3600.

VËy Cz//Ax (2)

Tõ (1) (2) => Ax//By

Câu 4-(3 điểm) Δ ABC c©n, ACB =1000=> CAB = CBA =400.

Trên AB lấy AE =AD Cần chứng minh AE+DC=AB (hoặc EB=DC) Δ AED c©n, DAE = 400: 2=200.

=> ADE =AED = 800 =400+EDB (gãc ngoµi cña Δ EDB)

=> EDB =400 => EB=ED (1)

Trªn AB lÊy C’ cho AC’ = AC C

Δ CAD = Δ C’AD ( c.g.c) D

 AC’D = 1000 DCE = 800.

Vậy DCE cân => DC’ =ED (2)

Tõ (1) vµ (2) cã EB=DC’ A C E B Mµ DC’ =DC VËy AD +DC =AB

C©u (1 ®iÓm)

S=(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2004.

-3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2004]

= (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2005]

-3S-S=[(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2005]-(3)0-(-3)1- -(-3)2005.

-4S = (-3)2005 -1 S =

−3¿2005−1 ¿ ¿ ¿ = 2005 +1

-Đáp án đề 13

Bµi 1: Ta cã : -

90 − 72 − 56 − 42− 30 − 20 − 12 − 6−

= - (

1 2+ 3+

1 4+

1 5+

1 6+

1 7+

1 8+

1 9+

1

9 10 ) 1®

= - (

1− 2+ 2− 3+ 3−

4+ + 8− 9+ 9−

10 ) 1®

= - (

1−

10 ) =

9

10 0,5đ

Bài 2: A = |x −2|+|5− x|

Víi x<2 th× A = - x+ 2+ – x = -2x + >3 0,5®

Víi x A = x-2 x+5 = 0,5đ

Với x>5 th× A = x-2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5đ

So sánh giá trị A khoảng ta thấy giá trị nhỏ cđa A =

<=> x 1®

Bài 3: a Trên tia đối tia OC lấy điểm N cho ON = OC Gọi M trung điểm BC

A

B

(31)

nên OM đờng trung bình tam giác BNC Do OM //BN, OM =

2 BN

Do OM vu«ng gãc BC => NB vuông góc BC Mà AH vuông góc với BC NB // AH (1đ)

Tơng tự AN//BH

Do NB = AH Suy AH = 2OM (1đ)

b Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AG HG IK đờng trung bình tam giác AGH nên IK// AH

IK =

2 AH => IK // OM vµ IK = OM ; ∠ KIG = ∠ OMG (so le trong)

Δ IGK = Δ MGO nên GK = OG IGK = MGO

Ba điểm H, G, O thẳng hàng 1đ

Do GK = OG mµ GK =

2 HG nªn HG = 2GO

Đờng thẳng qua điểm H, G, O đợc gọi đờng thẳng le 1đ

Bài 4: Tổng hệ số đa thức P(x) giá trị đa thức x=1 Vậy tổng hệ số đa thức:

0,5®

P(x) = (3-4x+x2)2006 (3+4x + x2)2007

B»ng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5®

C©u 1: Ta cã:

220  (mod2) nªn 22011969  (mod2)

119  1(mod2) nªn 11969220 1(mod2)

69  -1 (mod2) nªn 69220119  -1 (mod2)

VËy A  (mod2) hay A (1đ)

Tơng tự: A (1đ)

A 17 (1đ)

Vì 2, 3, 17 số nguyên tố

A 2.3.17 = 102

Câu 2: Tìm x

a) (1,5®) Víi x < -2  x = -5/2 (0,5®)

(32)

Víi -2 x giá trị x thoả mÃn (0,5đ) Với x > x = ẵ (0,5đ)

b) (1,5đ) Với x < -2 Không có giá trị x thoả mÃn (0,5đ) Với -2 x 5/3 Không có giá trị x thoả mÃn (0,5đ)

Víi x > 5/3  x = 3,5 (0,5®) Bµi 3:

a) Dễ dàng chứng minh đợc IH = 0M A

IH // 0M  0MN =  HIK (g.c.g) I E Do đó: IHQ =  M0Q (g.c.g)

 QH = Q0 F H N

QI = QM P

b)  DIM vng có DQ đờng trung K Q O

tun øng víi c¹nh hun nªn R

QD = QI = QM B D M C Nhng QI đờng trung bình  0HA nên

c) T¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2

Bài 4(1đ): Vì 3|x-5|  x  R Do A = 10 - 3|x-5| 10

Vậy A có giá trị lớn lµ 10  |x-5| =  x =

-Đáp án đề 15.

Bµi

Điều kiện x (0,25đ) a) A = -

7 (0,5®)

b) √x+3 >  A = -1  √x −5=−√x −3  x = (0,5®) c) Ta cã: A = -

x+3 (0,25đ)

Để A Z x+3 ớc

x = {1; 25} A = {- 1; 0} (0,5đ) Bài

a) Ta cã: √7− x=x −1 

x −1≥0

x −1¿2 ¿ ⇔

¿ ¿x ≥1

¿ ¿

x=3; x=−2 7− x=¿

(1®)

b) Ta cã: 2M = – 22 + 23 – 24 + …- 22006 + 22007 (0,25®)  3M = + 22007 (0,25®)  M =

2007

+1

3 (0,5®)

(33)

Bµi Ta cã:

0

ˆ ˆ ˆ 180

30

1

A B C

    Aˆ 30 ;0 Bˆ 60 ;0 Cˆ 900

    (0,5đ)

Vậy tam giác ABC tam giác vuông C (0,5đ) Bài GT, KL (0,5®)

a) Gãc AIC = 1200 (1®)

b) Lấy H  AC cho AH = AN (0,5đ) Từ chứng minh IH = IN = IM (1đ) Bài

A = + 2000

6− x (0,5đ) AMax  – x > nhỏ  – x =  x = Vậy x = thoã mãn điều kiện tốn A Max= 2001 (0,5đ)

Câu 1: (2.5đ) a a1 (1

2)

15

.(1 4)

20

=(1 2)

15

.(1 2)

40

=(1 2)

55

(0.5®)

a2 (1

9)

25

:(1 )

30

= (1

3)

50

:(1 )

30

= (❑

3 )

20

(0.5®)

b A =

5

94−2 69 210.38+68.20=

210 38.(1−3) 210.38(1+5) =

1

3 (0.5®)

c c1

33 = 0.(21) c2

7

22 = 0,3(18) (0.5®)

c3 0,(21) = 21

99=

33 ; c4 5,1(6) =

1

6 (0.5đ)

Câu 2: (2đ)

Gọi khối lợng khối 7, 8, lần lợt a, b, c (m3)

a + b + c = 912 m3 (0.5®)

⇒ Sè häc sinh cđa khèi lµ : a

1,2 ;

b

1,4 ;

c

1,6

Theo đề ta có: b

3 4,1=

a

1,2 vµ

b

4 1,4=

c

5 1,6 (0.5®)

⇒ a

4 1,2=

b

12 1,4=

c

15 1,6=20 (0.5®)

VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3.

Nên số HS khối 7, 8, lần lợt là: 80 hs, 240 hs, 300 hs (0.5đ) Câu 3: ( 1.5đ):

a.Tìm max A

Ta cã: (x + 2)2 ⇒ (x = 2)2 + ⇒ A

max=

4 x = -2 (0.75đ)

b.Tìm B

Do (x 1)2 ; (y + 3)2 0 ⇒ B 1

(34)

Câu 4: (2.5đ) Kẻ CH cắt MB E Ta có EAB cân E EAB =300

EAM = 200 ⇒ CEA = MAE = 200

(0.5®)

Do ACB = 800 ⇒ ACE = 400 ⇒ AEC =

1200 ( ) (0.5®)

Mặt khác: EBC = 200 EBC = 400 CEB =

1200 ( ) (0.5®)

Tõ ( ) vµ ( ) ⇒ AEM = 1200

Do EAC = EAM (g.c.g) ⇒ AC = AM MAC cân A (0.5đ)

Và CAM = 400 AMC = 700. (0.5đ)

Câu 5: (1.5đ)

Giả sử a2 a + b không nguyên tố a2 a + b

Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: ⇒ a2 chia hÕt cho d ⇒ a chia hÕt

cho d vµ a + b chia hÕt cho d ⇒ b chia hÕta cho d (0.5®)

(a,b) = d trái với giả thiết

VËy (a2,a + b) =1. (0.5®)

-Đáp án (toán 7)

Câu I :

1) Xác định a, b ,c

a−1 =

b+3 =

c −5

6 =

5(a −1)

10 =

−3(b+3)

−12 =

−4(c −5)

−24 =

5a −3b −4c −5−9+20 10−12−24 =−2

=> a = -3 ; b = -11; c = -7 C¸ch : a−1

2 =

b+3 =

c −5

6 = t ; sau rút a, b ,c thay vào tìm t =- tìm a,b,c 2) Chứng minh

Đặt a b=

c

d = k => a= kb ; c = kd Thay vµo c¸c biĨu thøc :

2a2−3 ab+5b2

2b2+3 ab −

2c2−3 cd+5d2

2d2+3 cd =

k2−3k+5 2+3k

k23k+5

2+3k =0 => đpcm Câu II: TÝnh:

1) Ta cã :2A= 2(

3 5+

5 7+ +

97 99 ) = 3− 5+ 5−

7+ + 97− 99= 3− 99= 32 99 =>A = 16 99

2) B = = −13+ 32−

1

33+ +

1 350−

1 351 =

1

(−3)+

1

(−32)+

1

(−33)+ +

1

(−350)+

1

(−351)

−3¿4 ¿ ¿ (−32)+

1 (−33)+

1 ¿

=> −3B=¿

1 −3−

1

(−352) =

−351−1

352 => B =

(−351−1) 351

(35)

Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) =

10+¿

10 0,(1).3 = 10+

3 10

1 =

7 30

0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+

1000 0,(32)= 0,12+

1000 0,(01).32 = 12

100+ 32 1000

1 99

= 1489

12375

C©u IV :

Gọi đa thức bậc hai : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1)

P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5

P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a =

2

VËy ®a thức cần tìm : P(x) =

2x(x −1)(x −2)−5x(x −1)+2(x −3)+16

=> P(x) =

2x

3

- 25

2 x

2+12x+10

C©u V:

a) DƠ thÊy Δ ADC = Δ ABE ( c-g-c) => DC =BE V× AE AC; AD AB

mặt khác góc ADC = gãc ABE => DC  Víi BE

b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN  MP MN =

2 DC =

2 BE =MP;

VËy Δ MNP vuông cân M

-ỏp ỏn đề 20

Bµi 1:

a) A =

3 3 3 3

8 10 11 12

5 5 5 5

8 10 11 12

    



     

(0,25®)

A =

1 1 1 1

3

8 10 11 12

1 1 1 1

5

8 10 11 12

   

    

   

   



   

         

    (0,25®)

A =

3



+

3

(36)

b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25®) 3B = 2102 – 1; B =

102

2

3

(0,25đ) Bài 2:

a) Ta có 430 = 230.415 (0,25®)

3.2410 = 230.311 (0,25®)

mµ 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®)

b) = 36 > 29

33 > 14 (0,25®)

 36 + 33 > 29 + 14 (0,25đ) Bài 3:

Gọi x1, x2 x3 lần lợt số ngày làm việc máy

1

3

x x x

 

(1) (0,25®)

Gäi y1, y2, y3 lần lợt số làm việc m¸y



1

6

y y y

 

(2) (0,25đ)

Gọi z1, z2, z3 lần lợt công suất máy

5z1 = 4z2 = 3z3 

1

1 1

5

z z z

(3) (0,25đ)

Mà x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®)

Tõ (1) (2) (3) 

1 1 2 3 395 15

18 40 395

5 15

x y z x y z x y z

   

(0,5®)

 x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25®)

Vậy số thóc đội lần lợt 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4:

a) EAB = CAD (c.g.c)   (0,5®)

 ABMADM (1) (0,25®)

Ta cã

  

BMC MBD BDM (góc tam giác) (0,25®)

 BMCMBA 600 BDM ADM BDM 600 1200 (0,25đ)

b) Trên DM lấy F cho MF = MB (0,5®)

 FBM đều (0,25đ)

 DFB AMB (c.g.c) (0,25®)

 DFB AMB 1200 (0,5®)

Bµi 6: Ta cã

M A

B C

D

E

(37)

1 (2) ( )

2

x  f  f 

(0,25®)

1 1

( ) (2)

2

x  f  f 

(0,25®)  47 (2) 32 f  (0,5®) -®

áp án đề 21

C©u

a.NÕu x 0 suy x = (tho· m·n)

NÕu < suy x = -3 (tho· m·n)

b y= x 6− 2=

x −3 ⇒

y=1

x −3=6 ¿{

; hc

¿

y=−1

x −3=−6 ¿{ ¿ ;hc 3 y x     

 hc

3 y x     

 ;hc y x     

 ; hc

6 y x     

 hc 3 y x     

 ; hc 3 y x      

Từ ta có cặp số (x,y) (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6)

c Từ 2x = 3y 5x = 7z biến đổi

3 7 30

2 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15

x y z x y z x y z

       

 



x = 42; y = 28; z = 20 C©u

a A tích 99 số âm

2 2 2

1 1 1.3 2.4 5.3 99.101

1 1

4 16 100 100

1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2 A A                                       

b B =

1 4

1

3 3

x x

x x x

  

  

   B nguyªn  4

4

ˆ

3nguen x

x 

   

 

4; 25;16;1;49

x

 

C©u

Thời gian thực tế nhiều thời gian dự định Gọi vận tốc dự định từ C đến B v1 == 4km/h

(38)

Ta cã:

1 1

2 2

4

3

V t V

va

V  t V 

(t1 lµ thời gian AB với V1; t2 thời gian ®i CB víi V2)

tõ

1 2

2

3 15

15

4 4

t t t t t

t



     

  t

2 = 15 = 60 = giê

Vậy quãng đờng CB 3km, AB = 15km

Ngời xuất phát từ 11 45 phút – (15:4) = Câu

a Tam gi¸c AIB = tam giác CID có (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC)

b Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c)



gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND  tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c)



Gãc I3 = góc I4 M, I, N thẳng hàng IM = IN

Do vậy: I trung điểm MN

c Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900  gãc AIB < 900  gãc BIC > 900

d Nếu AC vuông góc với DC AB vuông góc với AC tam giác ABC vuông A

Câu

P =

4 10 10

1

4

x

x x

 

 

  P lín nhÊt 10

4 x lín nhÊt

XÐt x > th×

10 4 x < 0

XÐt x< th×

10 4 x > 0



10

4 x lín nhÊt  – x số nguyên dơng nhỏ nhất

– x =  x =

10

4 x = 10  Plín nhÊt = 11.

-H

ớng dẫn chấm đề 22

Bµi : a) T×m x Ta cã |2x −6| + 5x =9

|2x −6| = 9-5x

* 2x –6  ⇔ x  2x –6 = 9-5x ⇒ x = 15

7 kh«ng tho· m·n

(0,5)

* 2x – < ⇔ x< – 2x = 9-5x ⇒ x= thoã mãn (0,5)

VËy x =

b) TÝnh (1+2+3+ +90).( 12.34 – 6.68) : (1

3+ 4+

1 5+

1

(39)

( v× 12.34 – 6.68 = 0)

c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1 (0,5)

Nh vËy 2101 –1 < 2101 VËy A<B (0,5)

Bài : Gọi cạnh tam giác ABC a, b, c đờng cao tơng ứng ha, hb, hc Theo

đề ta có (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ) = :7 :8 hay + hb =5k ; hb + hc=7k

hc + = 8k ; + hb +hc =10k (k lµ hƯ sè tØ lÖ ) (0,5)

Suy hc =( + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k

T¬ng tù : =3k , hb= 2k A

DiƯn tÝch tam gi¸c :

2 a =

2 b.hb

Suy a b=

hb ha

=2k 3k=

2

3 T¬ng tù :

a c=

5 3;

b c=

5

2; (0,5)

a.ha = b.hb =c.hc ⇒

a

1

ha

= b

hb

= c

hc

B C

⇒ a:b:c = h1

a

:

hb:

1

hc=

1 3:

1 2:

1

5 Hay a:b:c = 10: 15 :6 (0,5)

Bài : a) Tại x = 16

9 ta cã : A = √

16 +1

√169 −1

=7 ; t¹i x = 25

9 ta cã : A = √

25 +1

√259 −1

=4 ;

(1)

b) Víi x >1 §Ĩ A = tøc lµ √x+1

√x −1=5⇔√x= 2⇔x=

9

4 (1)

Bµi : E thuộc phân giác ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy :

tam giác NEC cân ENC = ECN (1) D thuộc phân giác góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy tam giác MDC cân

và DMC =DCM ,(2) Ta lại có MDB = DCM +DMC (góc CDM ) = 2DCM Tơng tự ta lại có AEN = 2ECN Mà AEN = ABC (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn)

MDB = CAB (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn ) Tam giác vuông ABC có ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD )

suy ECN + MCD = 450 VËy MCN = 900 –450 =450 (1,5)

Bµi :

Ta cã P = -x2 –8x + = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21;

(0,75)

Do –( x+ 4)2 0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 21 víi mäi x DÊu (=) x¶y x

(40)

Khi P có giá trị lớn 21

-h

ớng dẫn đề 23

C©u 1: (3®)

b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25

suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5®

suy 2n (1/2 +4) = 25

suy 2n-1 .9 =9 25 suy n-1 = suy n=6 0,5®

c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5đ

vì 3n.10 10 2n.5 = 2n-1.10 10 suy 3n.10-2n.5 10 0,5đ

Bài 2:

a/ Gọi x, y, z lần lợt số häc sinh cđa 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã:

2x=3y = 4z vµ x+y+z =130 0,5®

hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130 0,5đ suy ra: x=60; y = 40; z=30

-7(4343-1717)

b/ -0,7(4343-1717) = 0,5đ10

Ta có: 4343 = 4340.433= (434)10.433 434 tận 433 tận suy 4343

tËn cïng bëi

1717 = 1716.17 =(174)4.17 174 có tận suy (174)4 cã tËn cïng lµ suy 1717

= 1716.17 tËn cïng bëi 0,5®

suy 4343 1717 có tận nên 4343-1717 có tận suy 4343-1717

chia hÕt cho 10 0,5® suy -0,7(4343-1717) số nguyên.

Bài 3: 4đ( Häc sinh tù vÏ h×nh)

a/ MDB= NEC suy DN=EN 0,5®∆ ∆

b/ MDI= NEI suy IM=IN suy BC cắt MN điểm I trung điểm MN 0,5đ

c/ Gọi H chân đờng cao vng góc kẻ từ A xuống BC ta có AHB= AHC suy ∆ ∆ HAB=HAC 0,5đ

gọi O giao AH với đờng thẳng vng góc với MN kẻ từ I

∆ OAB= OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA∆ (1) 0,5®

∆ OIM= OIN suy OM=ON 0,5®∆ suy OBN= OCN (c.c.c) OBM=OCM∆ ∆ (2) 0,5đ

Từ (1) (2) suy OCA=OCN=900 suy OC ┴ AC 0,5®

Vậy điểm O cố định

-Đáp án 24

Câu 1: (2đ)

a a + a = 2a víi a  (0,25®) Víi a < a + a = (0,25đ) b a - a

(41)

c.3(x – 1) - 2x + 3

-Víi x +   x  -

Ta cã: 3(x – 1) – x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – – 2x –

= x – (0,5®) -Víi x + <  x< -

Tacã: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3) = 3x – + 2x +

= 5x + (0,5đ) Câu 2: Tìm x (2đ)

a.Tìm x, biết: 5x - 3 - x =  5x x (1) (0,25 đ) ĐK: x -7 (0,25 ®)

 

5

1

5

x x

   

 

  

 … (0,25 đ)

Vậy có hai giá trị x thỏa mÃn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®)

b 2x + 3 - 4x < (1,5®) 2x + 3 < + 4x (1)

§K: 4x +9   x  

(1)  4x9 2x x9 2x (t/mĐK) (0,5đ)

Câu 3:

Gọi chữ số số cần tìm a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18  số phải chia hết cho

VËy (a + b + c ) chia hÕt cho (1) (0,5®) Tacã:  a + b + c  27 (2) V×  a  ; b  ;  c 

Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhận giá trị 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5®)

Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho  chữ số hàng đơn vị phải l s chn

Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963 (0,5®)

-Vẽ hình viết giả thiết, kết luận (0,5đ) -Qua N kẻ NK // AB ta có

EN // BK  NK = EB EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt)

 AD = NK (1)

-Häc sinh chøng minh  ADM =  NKC (gcg) (1®)

 DM = KC (1®)

Bµi 1: Ta cã: 10A =

2007

2007 2007

10 10

= 1 +

10 10



(42)

T¬ng tù: 10B =

2008

2008 2008

10 10

= 1 +

10 10



  (2)

Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 2007 2008

9

10 1 10 1  10A > 10B A > B

Bài 2:(2điểm) Thực phÐp tÝnh:

A =

1 1

1

(1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006

2 2

     

     

  

        

     

     

=

2 2007.2006 10 18 2007.2006

3 10 2006.2007 12 20 2006.2007

 



(1) Mµ: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008

= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã:

A =

4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004

2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007)2006.3 3009

Bài 3:(2điểm) Từ:

x 1 x

8 y  4 y 8

Quy đồng mẫu vế phải ta có :

1 x - 2

y  Do ú : y(x-2) =8.

Để x, y nguyên y x-2 phải ớc Ta có số nguyên tơng ứng cần tìm bảng sau:

Y -1 -2 -4 -8

x-2 -8 -4 -2 -1

X 10 -6 -2

Bài 4:(2 điểm)

Trong tam giỏc tng dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có: b + c > a

Nh©n vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2. (1)

T¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2 (2)

a.c + c.b > c2 (3).

Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta đợc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.

Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đờng thẳng CK I Ta có: IBC cân nên IB = IC

BIA

 = CIA (ccc) nên BIA CIA 120  Do đó: BIA

 =BIK (gcg)  BA=BK

C K

A I

(43)

b) Tõ chøng minh trªn ta cã:



BAK 70

Câu 1: ( điểm ) a Do

n2<

1

n2−1 víi mäi n nªn ( 0,2 ®iĨm )

A< C =

22−1+ 32−1+

1

42−1+ +

n21 ( 0,2 điểm )

Mặt khác: C =

1 3+ 4+

1

3 5+ +

1

(n −1).(n+1) ( 0,2 ®iĨm)

=

2( 1− 3+ 2− 4+ 3− 5+ +

1

n −1−

n+1) ( 0,2 ®iĨm)

= ❑

❑(1+

1 2−

1

n−

1

n+1)<

3 2=

3

4<1 (0,2 ®iĨm )

VËy A <

b ( ®iĨm ) B =

22+

1 42+

1 62+ +

1

(2n)2 ( 0,25 ®iĨm )

=

22(1+ 22+

1 32+

1

42+ +

n2) ( 0,25 ®iĨm )

=

22(1+A) ( 0,25 ®iĨm )

Suy P <

22(1+1)=

2 ;Hay P <

2 (0,25 ®iĨm )

Câu 2: ( điểm ) Ta có k+1

√k+1

k >1 với k = 1,2……… n ( 0,25 điểm ) áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có:

k+1

√k+1

k =

k+1

√1 .1 k k+1

k <

1+1+ +1+k+1

k k+1 =

k k+1+

1

k=1+

1

k(k+1)

(0,5 ®iĨm )

Suy < k+1√k+1 k <1+(

1

k−

1

k+1) ( 0,5 ®iĨm )

Lần lợt cho k = 1,2, 3,……… n cộng lại ta đợc n < √2+√3

2+ +

n+1

√n+1

n <n+1−

n<n+1 ( 0,5 ®iĨm)

=> [α]=n Câu (2 điểm )

Gi , hb ,hc lần lợt độ dài đờng cao tam giác Theo đề ta có:

ha+hb

5 =

hb+hc =

hc+ha =

2(ha+hb+hc)

20 =

ha+hb+hc

(44)

=> hc

5=

hb

2=

ha

3 => : hb : hc = : 2: ( 0,4 điểm )

Mặt kh¸c S =

2a.ha=

1 2bhb=

1

2chc ( 0,4 ®iĨm )

=> a

1

ha

= b

hb

= c

hc

(0 , ®iĨm )

=> a :b : c = h1

a

:

hb:

1

hc=

1 3:

1 2:

1

5=10:15 :6 (0 ,4 ®iĨm )

VËy a: b: c = 10 : 10 : C©u 4: ( điểm )

Trên tia Ox lấy A' , trªn tia Oy lÊy

B' cho O A' = O

B' = a ( 0,25 ®iĨm ) Ta cã: O A' + O

B' = OA + OB = 2a => A A' = B

B' ( 0,25 ®iĨm )

Gọi H K lần lợt hình chiếu Của A B đờng thẳng A'

B'

Tam gi¸c HA A' = tam gi¸c KB

B'

( c¹nh hun, gãc nhän ) ( 0,5

®iĨm ) => H A'

=K B', HK = A'B' (0,25

®iĨm)

Ta chứng minh đợc

HK AB (DÊu “ = “  A trïng A' B trïng B' (0,25 ®iĨm)

do A'B'≤AB ( 0,2 điểm )

VËy AB nhá nhÊt  OA = OB = a (0,25®iĨm )

Câu ( điểm )

Giả sư √a+√b+√c=d∈Q ( 0,2 ®iĨm )

=> √a+√b=d −√a

=> b +b +2 √bc=d2+a+2d√a ( 0,2 ®iĨm)

=> √bc=(d2

+a− b −c)−2d√a ( ) ( 0,2 ®iĨm)

=> 4bc = (d2+a − b− c) + d2a – 4b (d2+a − b− c) √a ( 0,2 ®iĨm)

=> d (d2+a − b− c) √a = (d2+a − b− c) + 4d 2a – bc ( 0,2 ®iĨm)

* NÕu d (d2

+a − b− c) # th×:

d2+a −b − c¿2+4d2a −4 ab

a=

là số hữu tỉ (0,2 5®iĨm )

** NÕu d (d2+a − b c) = thì: d =0 d 2+ a-b – c = ( 0,25 ®iĨm )

+ d = ta cã : √a+√b+√c=0

=> √a=√b=√c=0∈Q (0,25 ®iĨm ) + d 2+ a-b – c = th× tõ (1 ) =>

√bc=− d√a

(45)

VËy √a lµ số hữu tỉ

Do a,b,c có vai trò nh nên a ,b ,c số hữu tỉ

Đề

Bài 1. (4 điểm)

a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55

b) TÝnh A = + + 52 + 53 + + 549 + 55 Bài (4 điểm)

a) Tìm số a, b, c biết :

a b c

 

vµ a + 2b – 3c = -20

b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ Trị giá loại tiền Hỏi loại có tờ?

Bài 3. (4 điểm)

a) Cho hai đa thức f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 -

1 4x

g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 -

1

TÝnh f(x) + g(x) f(x) g(x) b) Tính giá trị đa thức sau:

(46)

Bài 4. (4 điểm)

Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA

Tia phân giác góc B cắt AC D a)So sánh độ dài DA DE b) Tính số đo góc BED

Bµi 5. (4 ®iĨm)

Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD Kẻ đờng trung tuyến BE cắt AD G Gọi I, K theo thứ tự trung điểm GA, GB Chứng minh rằng:

a) IK// DE, IK = DE

b) AG =

2 3AD.

§Ị 2:

Mơn: Tốn 7

Bài 1: (3 điểm): Tính

1 2

18 (0, 06 : 0,38) : 19

6

   

    

 

   

Bài 2: (4 điểm): Cho a c

c b chứng minh rằng:

a)

2 2

a c a

b c b

 

 b)

2 2

b a b a

a c a

 

 

Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a)

1

4

5

x  

b)

15

12x 5x

   

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vng. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 20  0, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:

(47)

Bài 6: (2 điểm): Tìm x y,  biết: 25 y2 8(x 2009)2

§Ị 3

Bài 1:(4 điểm)

a) Thực hiện phép tính:

   

12 10

6 9 3

2

2 25 49

A

125.7 14

2

 

 

 

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

2

3n 2n 3n 2n

   chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)

Tìm x biết:

a.  

1

3,

3 5

x    

b.    

1 11

7 x x

x   x  

Bài 3: (4 điểm)

a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 : :

5 6. Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A

b) Cho a c

c b. Chứng minh rằng:

2 2

a c a

b c b

  

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:

a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC H BC  . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A có A 20  0, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:

(48)

§Ị Bài 1: (2 điểm)

Cho A = 2-5+8-11+14-17++98-101 a, Viết dạng tổng quát d¹ng thø n cđa A b, TÝnh A

Bài 2: ( điểm)

Tìm x,y,z trờng hợp sau:

a, 2x = 3y =5z vµ x 2y =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90

c,

1

y z x z x y

x y z x y z

     

  

 

Bµi 3: ( ®iĨm)

1 Cho

3

1

2

a a a

a a

a a a  a a vµ (a

1+a2+…+a9≠0)

Chøng minh: a1 = a2 = a3=…= a9

Cho tØ lÖ thøc:

a b c a b c a b c a b c

   



    vµ b ≠ 0

Chøng minh c =

Bài 4: ( điểm)

Cho số nguyên a1, a2, a3, a4, a5 Gọi b1, b2, b3, b4, b5 hoán vị số cho

Chøng minh r»ng tÝch (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5) Bài 5: ( điểm)

Cho đoạn thẳng AB O trung điểm đoạn thẳng Trên hai nửa mặt phẳng đối qua AB, kẻ hai tia Ax By song song với Trên tia Ax lấy hai điểm D F cho AC = BD AE = BF

Chøng minh r»ng : ED = CF

=== HÕt===

§Ị

(49)

1 Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

1

4,5 : 47,375 26 18.0,75 2, : 0,88

2 17,81:1,37 23 :1

3

   

   

 

 

 

2 Tìm giá trị x y tho¶ m·n:  

2007 2008 2x 27 3y10

3 Tìm số a, b cho 2007ab bình phơng số tự nhiên

Bài 2: ( điểm)

1 Tìm x,y,z biÕt:

1

2

x y z

 

vµ x-2y+3z = -10

2 Cho sè a,b,c,d kh¸c thoả mÃn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3≠ 0

Chøng minh r»ng:

3 3 3

a b c a

b c d d

  

Bài 3: ( điểm)

1 Chøng minh r»ng:

1 1

10

1 2 3  100 

2 Tìm x,y để C = -18- 2x  3y9 đạt giá trị lớn

Bµi 4: ( điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân A có trung tuyến AM E điểm thuộc cạnh BC Kẻ BH, CK vuông góc víi AE (H, K thuéc AE)

1, Chøng minh: BH = AK

2, Cho biết MHK tam giác gì? Tại sao?

=== Hết===

Đề số 6

Câu 1: Tìm sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: Tìm số nguyên x thoả mÃn:

a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =x +8 -x

C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385 TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202

(50)

Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC t¹i D

a Chøng minh AC=3 AD b Chøng minh ID =1/4BD

- HÕt

-§Ị sè 7

Câu ( 2đ) Cho: a b=

b c=

c

d Chøng minh: (

a+b+c

b+c+d)

3

=a

d Câu (1đ) Tìm A biết rằng: A = a

b+c=

c a+b=

b c+a

Câu (2đ) Tìm x∈Z để A Z tìm giá trị a) A = x+3

x −2 b) A =

1−2x x+3

Câu (2đ) Tìm x, biết:

a) |x −3| = b) ( x+ 2) 2 = 81 c) 5 x + 5 x+ 2 = 650

Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E  BC, BH AE, CK

 AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân

- HÕt

-§Ị sè 8

Thêi gian làm : 120 phút

Câu : ( ®iĨm)

1 Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ?

2 Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a b=

c

d ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy đợc tỉ lệ thức:

a) a

a− b= c

c −d b)

a+b

b = c+d

d

Câu 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) <

0

Câu 3: (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ của: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| víi a<b<c<d Câu 4: ( điểm) Cho hình vẽ

a, BiÕt Ax // Cy so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C b, gãc ABC = gãc A + gãc C Chøng minh Ax // Cy

A x

(51)

Tuyển chọn đề thi học sinh gii toỏn 7

Câu 5: (2 điểm)

Từ điểm O tùy ý tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lợt vuông góc với cạnh BC, CA, Ab Chứng minh rằng:

AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2

HÕt

-§Ị sè 9

Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(2đ):

a) TÝnh: A = + 100

3 100

2 2  2

b) T×m n Z cho : 2n -  n + 1

C©u (2đ):

a) Tìm x biết: 3x - 2x1 =

b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50

Câu 3(2đ): Ba phân số có tổng

213

70 , c¸c tư cđa chóng tØ lƯ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cđa

chúng tỉ lệ với 5; 1; Tìm ba phân số

Câu 4(3đ): Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thng hng

Câu 5(1đ): Tìm x, y thuéc Z biÕt: 2x +

1 7 =

1 y

-HÕt -§Ị số 10

Thời gian làm bài: 120 Câu 1: TÝnh :

a) A =

1 2+ 3+

1

3 4+ + 99 100

b) B = 1+

2(1+2)+

3(1+2+3)+

4(1+2+3+4)+ +

20(1+2+3+ .+20)

C©u 2:

a) So sánh: 17+26+1 99 b) Chøng minh r»ng:

√1+

√2+

√3+ +

√100>10 y

(52)

C©u 3:

Tìm số có chữ số biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1:2:3 Câu

Cho tam gi¸c ABC có góc B góc C nhỏ 900 Vẽ phía tam giác các

tam giác vng cân ABD ACE ( góc ABD góc ACE 900 ), vẽ DI

và EK vng góc với đờng thẳng BC Chứng minh rằng: a BI=CK; EK = HC; b BC = DI + EK

C©u 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = |x −2001|+|x −1|

- hÕt

Đề số 11

Câu 1: (1,5 đ) Tìm x biết: a, x+2

327 +

x+3 326 +

x+4 325 +

x+5 324 +

x+349

5 =0

b, |5x 3|

Câu2:(3 điểm)

a, TÝnh tæng: S=(−1 7)

0

+(−1 7)

1

+(−1 7)

2

+ +(−1 7)

2007

b, CMR:

2!+

2 3!+

3

4!+ +

99 100!<1

c, Chøng minh r»ng số nguyên dơng n thì: 3n+2 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho

10

Câu3: (2 điểm) Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2;3;4 Hỏi ba chiều cao tơng ứng ba cạnh tỉ lệ với số nào?

Câu 4: (2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc B=600 hai đờng phân giác AP CQ

tam giác cắt I a, Tính góc AIC b, CM : IP = IQ

Câu5: (1 điểm) Cho

n −1¿2+3 2¿

B=1 ¿

Tìm số ngun n để B có giá trị lớn

(53)

-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7

§Ị sè 12

Thời gian : 120 Câu : (3đ) Tìm số h÷u tØ x, biÕt :

a) (x −1)5 = - 243

b) x+2

11 +

x+2 12 +

x+2 13 =

x+2 14 +

x+2 15

c) x - √x = (x ) Câu : (3đ)

a, Tìm số nguyên x y biết : x+

y

4=

b, Tìm số nguyên x để A có giá trị số nguyên biết : A = √x+1

√x −3 (x

)

Câu : (1đ) Tìm x biÕt : |5x −3| - 2x = 14 Câu : (3đ)

a, Cho ABC có c¸c gãc A, B , C tØ lƯ víi 7; 5; Các góc tơng ứng tỉ lệ với số

b, Cho ABC cân A Â < 900 Kẻ BD vuông góc với AC Trên cạnh AB

lÊy ®iĨm E cho : AE = AD Chøng minh : 1) DE // BC

2) CE vu«ng gãc víi AB

-HÕt -Đề số 13

Bài1( điểm)

a, Tính: A =

91−0,25 ¿

60 11 −1

¿ ¿ 101

3(26 3−

176 )−

12 11 (

10

3 −1,75) ¿

b, Tính nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + +7 +……+ 100 – 410) Bài 2: ( 2điểm) Tìm số nguyên dơng cho tổng nghịch đảo chúng Bài 3: (2 điểm) Cần chữ số để đánh số trang sách dày 234 trang Bài 4: ( điểm) Cho Δ ABC vuông B, đờng cao BE Tìm số đo góc nhọn tam giác , biết EC – EA = AB

- hÕt

-Đề số 14

(54)

Bài 1(2 ®iĨm). Cho A x 2  x

a.Viết biểu thức A dới dạng khơng có dấu giá trị tuyệt đối b.Tìm giá trị nhỏ A

Bài ( điểm)

a.Chứng minh r»ng : 2 2

1 1 1

65 6 7  100 4 .

b.Tìm số nguyên a để :

2 17

3 3

a a a

 

 

  số nguyên.

Bi 3(2,5 im) Tìm n số tự nhiên để : An5 n6 n

Bài 4(2 điểm) Cho góc xOy cố định Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N cho OM + ON = m không đổi Chứng minh : Đờng trung trực MN qua điểm c nh

Bài 5(1,5 điểm). Tìm đa thức bËc hai cho : f x  f x 1 x

¸p dơng tÝnh tỉng : S = + + + … + n

HÕt

-§Ị sè 15

Câu 1: (2đ) Rót gän A=

2 20 x x

x x

  

Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc nh

Câu 3: (1,5đ) Chứng minh

2006

10 53

9 

lµ mét sè tù nhiªn

Câu 4 : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B

Ax vẽ đờng thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC Chứng minh rng:

a, K trung điểm AC

b, BH =

AC

c, ΔKMC

Câu 5 (1,5 đ)Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới nửa sai nửa:

a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải

Em xác định thứ tự giải cho bạn

- HÕt

§Ị sè 16 : Thêi gian lµm bµi 120

(55)

a) |3x −2|− x=7 b) |2x −3|>5 c) |3x −1|≤7 d)

7

3x  x  C©u 2: (2®)

a) TÝnh tỉng S = 1+52+ 54+ + 5200

b) So s¸nh 230 + 330 + 430 3.2410

Câu 3: (2đ) Cho tam giác ABC có góc B 600 Hai tia phân giác AM CN

tam giác ABC cắt t¹i I a) TÝnh gãc AIC

Câu 4: (3đ) Cho M,N lần lợt trung điểm cạnh AB Ac tam giác ABC Các đờng phân giác phân giác tam giác kẻ từ B cắt đờng thẳng MN lần lợt D E tia AD AE cắt đờng thẳng BC theo thứ tự P Q Chứng minh:

a) BD AP;BE⊥AQ; b) B trung điểm PQ c) AB = DE

Câu 5: (1đ) Với giá trị nguyên x biểu thức A= 14 x

4− x Có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị

- HÕt

§Ị sè 17:

Câu 1: ( 1,5 điểm) Tìm x, biÕt:

a 4x3 - x = 15 b 3x - x > c 2x3 5.

Câu2: ( điểm)

a Tính tæng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 Chøng minh r»ng: A chia

hÕt cho 43

b Chứng minh điều kiện cần đủđể m2 + m.n + n2 chia hết cho là: m, n

chia hÕt cho

Câu 3: ( 23,5 điểm) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với nh nào,biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tổng tỷ lệ theo 3:4:5

C©u 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A D điểm nằm tam giác, biết



ADB> ADC Chøng minh r»ng: DB < DC.

Câu 5: ( điểm ) Tìm GTLN cđa biĨu thøc: A = x1004 - x1003 - Hết

-Đề số 18

Câu (2 điểm): Tìm x, biết :

a 3x 2 +5x = 4x-10 b 3+ 2x 5  > 13 Câu 2: (3 điểm )

(56)

b Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n N)

C©u : (1điểm )cho hình vẽ , biết + β + γ = 1800 chøng minh Ax// By.

A α x

C β γ

B y

Câu (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có ABC=1000 Kẻ phân giác góc

CAB cắt AB D Chứng minh rằng: AD + DC =AB Câu (1 điểm )

TÝnh tæng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + + (-3)2004

HÕt

-Đề số 19

Thời gian làm bài: 120 phú

Bài 1: (2,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí:

1 1 1 1 1

90 72 56 42 30 20 12

   

Bài 2: (2,5đ) Tính giá trị nhỏ biểu thức: A = |x −2|+|5− x|

Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC Gọi H, G,O lần lợt trực tâm , trọng tâm giao điểm đờng trung trực tam giác Chứng minh rằng:

a AH lần khoảng cách từ O đến BC b Ba điểm H,G,O thẳng hàng GH = GO

Bài 4: (1 đ) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007

- Hết

-Đề 20

Câu 1(3đ): Chứng minh

A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102

Câu 2(3đ): Tìm x, biết:

a x x 3   ; b 3x x 2  

Câu 3(3đ): Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Các đờng trung trực tam giác gặp tai Các đờng cao AD, BE, CF gặp H Gọi I, K, R theo thứ tự trung điểm HA, HB, HC

a) C/m H0 vµ IM cắt Q trung điểm ®o¹n b) C/m QI = QM = QD = 0A/2

c) HÃy suy kết tơng tự nh kết câu b

(57)

§Ị 21:

Bài 1: (2đ) Cho biểu thức A = x 5

x+3

a) Tính giá trị A t¹i x =

4

b) Tìm giá trị x để A = -

c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài (3đ)

a) T×m x biÕt: √7− x=x −1

b) TÝnh tæng M = + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006

c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + – 4x3 Chứng tỏ

đa thức nghiệm

Bài 3.(1đHỏi tam giác ABC tam giác biết góc tam giác tỉ lệ với 1, 2, Bài 4.(3đ) Cho tam giác ABC có góc B 600 Hai tia phân giác AM CN tam

giác ABC cắt t¹i I a) TÝnh gãc AIC

Bài (1đ) Cho biÓu thøc A = 2006− x

6− x Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn

Hết

-Đề 22

Câu 1:

1.TÝnh: a (1

2)

15

.(1 )

20

b (1

9)

25

:(1 )

30

2 Rót gän: A =

5 94−2 69

210.38+68.20

3 Biểu diễn số thập phân dới dạng phân số ngợc lại: a

33 b

7

22 c 0, (21) d 0,5(16)

Câu 2: Trong đợt lao động, ba khối 7, 8, chuyên chở đợc 912 m3 đất Trung

bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm đợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất Số học sinh

khèi 7, tØ lƯ víi vµ Khèi vµ tØ lệ với Tính số học sinh khối Câu 3:

a.Tìm giá trị lớn biÓu thøc: A =

x+2¿2+4 ¿ ¿

(58)

Câu 4: Cho tam giác ABC cân (CA = CB) C = 800 Trong tam gi¸c cho



MBA 30  và MAB100 Tính MAC .

Câu 5: Chứng minh r»ng : nÕu (a,b) = th× (a2,a+b) = 1.

HÕt

-§Ị23

Thêi gian: 120 phút

Câu I: (2đ)

1) Cho a1

2 =

b+3 =

c −5

6 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c

2) Cho tØ lÖ thøc : a b=

c

d Chøng minh :

2a2−3 ab+5b2

2b2+3 ab =

2c2−3 cd+5d2

2d2+3 cd Víi

điều kiện mẫu thức xác định Câu II : Tính : (2đ)

1) A =

3 5+

5 7+ + 97 99

2) B = −13+ 32−

1

33+ +

1 350−

1 351

Câu III : (1,5 đ) Đổi thành phân số số thập phân sau : a 0,2(3) ; b 1,12(32)

Câu IV : (1.5đ) Xác định đa thức bậc biết : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = ; p(3) =

Câu V : (3đ) Cho tam giác ABC có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi M;N;P lần lợt trung điểm BC; BD;CE

a Chøng minh : BE = CD vµ BE  víi CD b Chøng minh tam giác MNP vuông cân

- Hết

Đề 24

Bài (1,5đ): Thực phép tính:

a) A =

3

0, 375 0,

1, 0, 75 11 12

5 5

0, 265 0, 2, 1, 25

11 12

  

  

     

b) B = + 22 + 24 + + 2100

Bài (1,5đ):

a) So sánh: 230 + 330 + 430 3.2410

b) So sánh: + 33 29+ 14

(59)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toỏn 7

Bài (1đ): Tìm x, y biÕt:

a) 3x  b)

1 1

1.2 2.3 99.100 x

 

    

 

 

Bµi ( 3đ): Cho ABC có góc nhỏ 1200 Vẽ phía tam giác ABC

tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng: a) BMC1200

b) AMB 1200

Bài (1đ): Cho hàm số f(x) xác định với x thuộc R Biết với x ta

cã:

2

1 ( ) ( )

f x f x

x

 

TÝnh f(2)

- HÕt

-§Ị 25

Câu (2đ) Tìm x, y, z Z, biết a x  x = - x

b x

6−

y=

1

c 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 Câu (2đ)

a Cho A = (1 22−1).(

1 32−1).(

1

42−1) (

1002 −1) H·y so s¸nh A víi −

b Cho B = √x+1

√x −3 Tìm x Z để B có giá trị số ngun dơng

C©u (2®)

Một ngời từ A đến B với vận tốc 4km/h dự định đến B lúc 11 45 phút Sau đợc

5 qng đờng ngời với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 tra

Tính qng đờngAB ngời khởi hành lúc giờ?

Câu (3đ) Cho ΔABC có ˆA > 900 Gọi I trung điểm cạnh AC Trên tia đối

(60)

b Gọi M trung điểm BC; N trung ®iĨm cđa CD Chøng minh r»ng I lµ trung ®iĨm cña MN

c Chøng minh AIB AIB BIC

d Tìm điều kiện ΔABC để ACCD

C©u (1đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: P = 14− x

4− x ;⟨x∈Z⟩ Khi x nhận giá trị nguyên nào?

- HÕt

§Ị 26

Bài 1: (2,5đ)

a T×m x biÕt : |2x −6| +5x =

b Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90) ( 12.34 – 6.68) : (1

3+ 4+

1 5+

1 6) ;

c So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 vµ B = 2101

Bài :(1,5đ) Tìm tỉ lệ ba cạnh tam giác biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tỉ lệ kết :5 : :

Bài :(2đ) Cho biểu thức A = x+1

x 1

a Tính giá trị A x = 16

9 x = 25

9

b Tìm giá trị x để A =5

Bài :(3đ) Cho tam giác ABC vuông C Từ A, B kẻ hai phân giác cắt AC E, cắt BC D Từ D, E hạ đờng vng góc xuống AB cắt AB M N Tính góc MCN ? Bài : (1đ) Với giá trị x biểu thức : P = -x2 – 8x +5 Có giá trị lớn

Tìm giá trị lớn ?

(61)

-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7

§Ị 27

Thêi gian: 120

Câu 1: (3đ)

a Tính A =

2

1

0, 25

4

   

        

          

b Tìm số nguyên n, biÕt: 2-1.2n + 4.2n = 9.25

c Chøng minh với n nguyên dơng thì: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hết cho 10

Câu 2: ((3đ)

a 130 hc sinh thuộc lớp 7A, 7B, 7C trờng tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc 2cây, cây, Hỏi lớp có học sinh tham gia trồng cây? Biết số trồng đợc lớp

b Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) lµ mét sè nguyªn

Câu 3: (4đ ) Cho tam giác cân ABC, AB=AC Trên cạnh BC lấy điểm D Trên Tia tia BC lấy điểm E cho BD=BE Các đờng thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC lần lợt M N Chứng minh:

a DM= ED

b Đờng thẳng BC cắt MN điểm I trung ®iĨm cđa MN

c Đờng thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi BC

- HÕt

-§Ị 28

Thêi gian: 120

(62)

a a a b a a

c 3x1 x Câu 2: Tìm x biÕt: a 5x - x = b 2x3 - 4x <

Câu 3: (2đ) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỷ lệ với số 1; 2;

Câu 4: (3,5đ) Cho  ABC, cạnh AB lấy điểm D E Sao cho AD = BE Qua D E vẽ đờng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh DM + EN = BC

- HÕt

-§Ị 29

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1:(1điểm) HÃy so sánh A B, biết: A=

2006 2007

2007 2008

10 10

; B =

10 10

.

Bài 2:(2điểm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

A=

1 1

1

1 2 3 2006

     

  

     

      

     

Bài 3:(2điểm) Tìm số x, y nguyên biết r»ng:

x 1

(63)

Bµi 4:(2 điểm) Cho a, b, c ba cạnh mét tam gi¸c Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.

Bµi 5:(3 ®iĨm) Cho tam gi¸c ABC cãB = C = 50  Gäi K điểm tam giác cho KBC=10 KCB=30 

a Chøng minh BA = BK b TÝnh sè ®o gãc BAK

- HÕt

Đề thi 30

Câu Với số tự nhiên n h·y so s¸nh: a A=

22+

1 32+

1

42+ +

1

n2 víi

b B =

22+

1 42+

1 62+ +

1

(2n)2 với 1/2

Câu 2: Tìm phần nguyên , với =2+3

2+

√4 3+ +

n+1

√n+1

n

Câu 3: Tìm tỉ lệ cạnh tam giác, biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tỉ lệ kết 5: :

Câu 4: Cho góc xoy , hai cạnh ox oy lần lợt lấy điểm A B AB có độ dài nhỏ

(64)

-đáp án - Đề

Bài 4đ

a) 74( 72 + 1) = 74 55  55 (®pcm)

2®

b) TÝnh A = + + 52 + 53 + + 549 + 55 (1)

5.A = + 52 + 53 + + 549 + 55 0 + 551 (2)

1®

Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – => A =

51

5

1đ Bài 4đ

a)

a b c

  ó

2 3 20

5

2 12 12

a b c a b c 

    

   => a = 10, b = 15, c =20.

2®

b) Gọi số tờ giấy bạc 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự x, y, z ( x, y, z N*)

0,5đ

Theo ta cã: x + y + z = 16 vµ 20 000x = 50 000y = 100 000z 0,5®

Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z

=>

20000 50000 100000 16

2 100000 100000 100000 5

x y z x y z x y z 

       

 

0,5®

Suy x = 10, y = 4, z =

Vậy số tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự 10; 4; 0,5đ

Bài 4đ

a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 -

1 4x -

1

4

1®

f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 -

1 4x +

1

1®

b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = - 1

A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +…+ (-1)100 = + + +…+ = 50 (cã 50 số hạng)

2đ

(65)

a) ABD =EBD (c.g.c) => DA = DE

b) Vì ABD =EBD nên góc A góc BED

Do gãc A b»ng 900 nªn gãc BED b»ng 900

e

d

c a

b

Bài 5: 4đ

a) Tam giác ABC tam gi¸c ABG cã:

DE//AB, DE =

1

2AB, IK//AB, IK= 2AB

Do DE // IK DE = IK

b)GDE = GIK (g c g) v× cã: DE = IK (c©u a)

Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK)

⇒ GD = GI Ta cã GD = GI = IA nªn AG =

2 3AD

G

k

i e

d c

b

a

- Vẽ hình: 0,5đ - Phần a) đúng: 2đ - Phần b) đúng: 1,5đ

§Ị 2:

Bài 1: điểm

1 2

18 (0, 06 : 0,38) : 19

6

   

    

 

   =

=

109 15 17 38 19

( : ) : 19

6 100 100

   

    

 

    0.5đ

=

109 17 19 38

: 19

6 50 15 50

    

      

 

   

  1đ

=

109 323 19

:

6 250 250

  

   

 

 

  0.5

=

109 13 10 19

 



 

  = 0.5đ

=

506 253

30 19 95 0.5đ

Bài 2:

a) Từ

a c

c b suy ra c2 a b.

 0.5đ

khi đó

2 2 2

a c a a b b c b a b

 



  0.5đ

=

( )

a a b a b a b b

 

(66)

b) Theo câu a) ta có:

2 2

a c a b c b

b c b a c a

 

  

  0.5đ

từ

2 2

2 2 1

b c b b c b

a c a a c a

 

    

  1đ

hay

2 2 2

b c a c b a

a c a

   



 0.5đ

vậy

2 2

b a b a

a c a

 



 0.5đ

Bài 3:

a)

1

4

5

x  

2

x  

0.5đ

1

2

5

x   x 

hoặc

1

x 

1đ Với

1

2

5

x   x 

hay

9

x

0.25đ Với

1

2

5

x   x 

hay

11

x

0.25đ b)

15

12x 5x

   

6

5x4x 7 0.5đ

6 13

( )

5 4 x14 0.5đ 49 13

20x14 0.5đ 130

343

x

0.5đ

Bài 4:

Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s

Ta có: 5.x4.y3.z và x x y z   59 1đ

hay:

59 60

1 1 1 1 59

5 5 60

x y z x x y z  

    

  

(67)

1 60 12

5

x 

;

1 60 15

4

x 

;

1 60 20

3

x 

0.5đ Vậy cạnh hình vng là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ

Bài 5:

-Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ

suy ra DAB DAC

Do đó DAB 20 : 100 

b) ABC cân A, mà A200(gt) nên  (1800 20 ) : 800

ABC   

ABC đều nên DBC 600

Tia BD nằm hai tia BA BC suy  800 600 200

ABD   . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM 100

Xét tam giác ABM và BAD có:

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100

Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC

Bài 6:

2

25 y 8(x 2009) Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2

8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ Vì y2 0 nên (x-2009)2

25 

, suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)

Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ) 0.5đ

Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ

200

M A

B C

(68)

§Ị 3

Bài 1:(4 điểm):

Đáp án Thangđiểm

a) (2 điểm)

   

 

10

12 10 12 12 10

6 9 3 12 12 9 3

2

12 10

12 3

10

12

2 25 49 3 7

2 3 7

125.7 14

2

5

2

1 10

6

A       

 

 

 

 



 



  

b) (2 điểm)

3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có:

3n2 2n2 3n 2n

   = 3n23n 2n2 2n

=3 (3n 21) (2 n 21)

=3 10 10 2n n n n1 10

      

= 10( 3n -2n)

Vậy 3n2 2n23n 2n 10 với mọi n là số nguyên dương.

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm 1 điểm 0,5 điểm

Bài 2:(4 điểm)

a) (2 điểm)

(69)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7   2

2 3 3

1

2 3 3

1 4 16

3,

3 5 5

1 14

3 5

1 x x x x x x x

x  

                                     b) (2 điểm)         11 10

7

x x x x x x x                

  1  10

1

10

7

1 ( 7)

7

( 7)

7

10 x x x x x x x x

x  x

                                     0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

Bài 3: (4 điểm)

Đáp án Thang điểm

a) (2,5 điểm)

Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A Theo đề bài ta có: a : b : c =

2 : :

5 6 (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)

Từ (1) 

2

5

a b c

 

= k 

2

; ;

5

k a k b k c

Do đó (2) 

2( ) 24309

25 16 36

k     k = 180 và k =180

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30

(70)

Khi đó ta có số A = a + b + c = 237

+ Với k =180, ta được: a = 72; b =135; c =30

Khi đó ta có só A =72+( 135) + (30) = 237.

b) (1,5 điểm) Từ

a c

c b suy ra

c a b khi đó

2 2 2

a c a a b b c b a b

 



 

=

( )

a a b a b a b b

  

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

Bài 4: (4 điểm)

Vẽ hình 0,5 điểm

a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt )



AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt )

Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm

 AC = EB

Vì AMC = EMB  MAC = MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )

Suy ra AC // BE . 0,5 điểm

b/ (1 điểm )

Xét AMI và EMK có :

AM = EM (gt ) 

MAI = MEK ( vì AMCEMB )

K

H

E M

B

A

(71)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 AI = EK (gt )

Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy



AMI = EMK

Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )  EMK + IME = 180o

 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm

c/ (1,5 điểm )

Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o 

HBE

 = 90o - HBE = 90o - 50o =40o

0,5 điểm 

HEM

 = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o

0,5 điểm 

BME là góc ngồi tại đỉnh M của HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngồi của tam giác ) 0,5 điểm

Bài 5: (4 điểm)

2 00

M A

B C

D

-Vẽ hình

a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1điểm

suy ra DAB DAC 0,5 điểm

Do đó DAB 20 : 100  0,5 điểm

b) ABC cân tại A, mà A200(gt) nên ABC (1800 20 ) : 800 

ABC đều nên DBC 600 0,5 điểm

(72)

nên ABM 100 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có:

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g)

suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm

§Ị

Bài Nội dung cần t im

1.1

Số hạng thứ (-1)1+1(3.1-1)

1 Số hạng thứ hai (-1)2+1(3.2-1)

Dạng tổng quát số hạng thứ n là: (-1)n+1(3n-1)

1.2 A = (-3).17 = -51

2.1

2

x y



, 3y = 5z NÕu x-2y =  x= -15, y = -10, z = -6 0,5

NÕu x-2y = -5  x= 15, y = 10, z = 0,5

2.2

x y





2 10 x xy



=9  x = ±6 0,5

Ta cã 2x = 3z nªn x1 = 6; y1 = 15; z1 = vµ 0,25

x1 = -6; y1 = -15; z1 = -4 0,25

2.3

1

y z x

 

=

2 x z

y  

=

3

x y z

 

=

1

x y z  =2 0,5

 x+y+z = 0,5 

0,5 x 0,5 y 0,5 z

x y z

     

 

= 0,5

 x =

1 2; y =

5

6; z = -

6 0,5

3.1

3 9

1

2 1

a a a a a a

a a

a a a a a a a a

  

      

   (v× a

1+a2+…+a9≠0)

0,25

 a1 = a2; a2 = a3; … ;a9 = a1 0,25

 a1 = a2 = a3=…= a9

3.2

( ) ( )

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

        

 

         =

2

b

b  (v× b≠0) 0,25

 a+b+c = a+b-c  2c =  c = 0,25

4.1

Đặt c1 = a1-b1; c2 = a2-b2;…; c5 = a5-b5 0,25

XÐt tæng c1 + c2 + c3 +…+ c5 = (a1-b1)+( a2-b2)+…+( a5-b5) = 0,25  c1; c2; c3; c4; c5 ph¶i cã mét sè ch½n 0,25

 c1 c2 c3 c4 c5  0,25

4.2 AOE = BOF (c.g.c) O,E,F thẳng hàng OE = OF

0,5

AOC = BOD (c.g.c) C,O,D thẳng hàng vµ OC = OD

(73)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Đề 5

Bài Nội dung cần đạt Điểm

1.1 Sè bÞ chia = 4/11 0,5

Sè chia = 1/11 0,25

Kết = 0,25

1.2 Vì |2x-27|2007 ≥ x vµ (3y+10)2008 ≥ y 0,25

|2x-27|2007 = vµ (3y+10)2008 = 0 0,25

x = 27/2 vµ y = -10/3 0,5

1.3

Vì 00ab99 a,b N 0,25

200700 ≤ 2007ab ≤ 200799 0,25

 4472 < 2007ab < 4492 0,25

 2007ab = 4482  a = 0; b= 4 0,25

2.1

Đặt

1

2

x y z

k

  

   0,25

¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng … k = -2 0,5

X = -3; y = -4; z = - 0,25

2.2

Tõ gi¶ thiÕt suy b2 = ac; c2 = bd; 

a b c b  c d

0,25

Ta cã

3 3 3

a b c a b c

b c d b c d

 

  

  (1)

0,25

L¹i cã

3

3 a a a a a b c a b b b b b c d d (2)

0,25

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

3 3 3

a b c a

b c d d

    

0,25

3.1

Ta cã:

1 1>

1 10;

1 >

1 10 ;

1 >

1 10 …

1 >

1 10 ;

1 10 =

1 10

0,5

1 1

10

1  3  100 

0,5

3.2

Ta cã C = -18 - (2x 3y9 )  -18 0,5

V× 2x 60; 3y9 0 0,25

Max C = -18 

2

3

x y

  



 

 x = vµ y = -3

0,25

4.1 ABH = CAK (g.c.g)  BH = AK 4.2 MAH = MCK (c.g.c)  MH = MK (1)

 gãc AMH = gãc CMK  gãc HMK = 900 (2)

Từ (1) (2) MHK vuông cân M

(74)

Câu1: Nhân vế bất đẳng thức ta đợc : (abc)2=36abc

+, Nếu số a,b,c số cịn lại +,Nếu 3số a,b,c khác chia vế cho abc ta đợc abc=36 +, Từ abc =36 ab=c ta đợc c2=36 nên c=6;c=-6

+, Từ abc =36 bc=4a ta đợc 4a2=36 nên a=3; a=-3

+, Từ abc =36 ab=9b ta đợc 9b2=36 nên b=2; b=-2

-, NÕu c = avà b dấu nên a=3, b=2 a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 avà b trái dấu nên a=3 b=-2 a=-3 b=2 Tóm lại có số (a,b,c) thoÃ mÃn toán

(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu (3đ)

a.(1đ) 5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5®)

 …  1/5<x<1 (0,5®)

b.(1đ) 3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ) *Nếu 3x+1>4=> x>1

*Nếu 3x+1<-4 => x<-5/3

Vậy x>1 x<-5/3 (0,5đ) c (1®) 4-x+2x=3 (1)

* 4-x0 => x4 (0,25đ)

(1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả mÃn đk) (0,25đ) *4-x<0 => x>4 (0,25đ)

(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu3 (1đ) áp dụng a+ba+bTa có

A=x+8-xx+8-x=8 MinA =8 <=> x(8-x) 0 (0,25®)

*

¿

x ≥0 8− x ≥0

¿{ ¿

=>0x8 (0,25®)

*

¿

x ≤0 8− x ≤0

¿{ ¿

=>

¿

x ≤0

x ≥8 ¿{

¿

kh«ng thoÃ mÃn(0,25đ)

Vậy minA=8 0x8(0,25đ)

Câu4 Ta cã S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5®) =22.12+22.22+ +22.102

=22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5®)

Câu5.(3đ)

Chứng minh: a (1,5đ)

Gi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đờng trung bình => ME//BD(0,25đ)

Trong tam gi¸c MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D trung điểm AE => AD=DE (1)(0,5®)

A

B M

C D

(75)

Tuyển chọn đề thi học sinh gii toỏn 7

Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®)

Trong tam giác MAE ,ID đờng trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME Đờng trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5)

So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25®)

C©u Ta cã a b

b c

c d=

a

d (1) Ta l¹i cã a b=

b c=

c d=

a+b+c

b+c+a (2)

Tõ (1) vµ(2) => (a+b+c b+c+d)

3

=a

d C©u A = a

b+c=

c a+b=

b c+a =

a+b+c 2(a+b+c)

NÕu a+b+c  => A =

2

NÕu a+b+c = => A = -1 C©u a) A = +

x −2 để A  Z x- ớc

=> x – = ( 1; 5)

* x = => A = * x = => A = * x = => A = - * x = -3 => A = b) A =

x+3 - để A  Z x+ ớc

=> x + = ( 1; 7)

* x = -2 => A = * x = => A = -1 * x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3 C©u a) x = hc -

b) x = hc - 11 c) x =

C©u ( Tù vẽ hình)

MHK cân M

ThËt vËy:  ACK =  BAH (gcg) => AK = BH

 AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH VËy:  MHK cân M

-ỏp ỏn đề số 8

Câu 1: Gọi x, y, z độ dài cạnh tơng ứng với đờng cao 4, 12, a Ta có: 4x = 12y = az = 2S

(76)

S

2−

S

6< 2S

a < S

2+

S

6⇒ 6<

2

a<

2

3 (0,5 ®iĨm)

 3, a , Do a  N nªn a=4 a= (0,5 điểm) a Từ a

b= c d 

a c=

b d=

a− b c −d⇒

a c=

a −b c − d⇔

a a −b=

c

c −d (0,75 ®iĨm) b a

b= c

d  a c=

b d=

a+b

c+d⇒

b d=

a+b

c+d⇔

a+b

b = c+d

d (0,75 điểm)

Câu 2: Vì tích số : x2 – ; x2 – 4; x2 – 7; x2 10 số âm nên phải có số

âm số âm

Ta cã : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – XÐt trêng hỵp:

+ Cã sè ©m: x2 – 10 < x2 –  x2 – 10 < < x2 – 7  7< x2 < 10  x2 =9 ( x  Z )  x =  ( 0,5 điểm)

+ có số âm; sè d¬ng

x2 – 4< 0< x2 –  < x2 < 4

do x Z nên không tồn x Vậy x = (0,5 điểm)

Câu 3: Trớc tiên tìm GTNN B = |x-a| + | x-b| víi a<b Ta cã Min B = b – a ( 0,5 ®iĨm)

Víi A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d|

= [| x-a| + | x-d|] + [|x-c| + | x-b|]

Ta cã : Min [| x-a| + | x-d|] =d-a axd

Min [|x-c| + | x-b|] = c – b b x  c ( 0,5 ®iĨm) VËy A = d-a + c – b b x  c ( 0, điểm) Câu 4: ( điểm)

A, Vẽ Bm // Ax cho Bm nằm góc ABC  Bm // Cy (0, điểm) Do góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC

 ABm + CBm = A + C tøc ABC = A + C ( 0, điểm)

b VÏ tia Bm cho ABm vµ A lµ gãc so le vµ ABM = A  Ax// Bm (1) CBm = C  Cy // Bm(2)

Tõ (1) vµ (2)  Ax // By

Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vng NOA NOC ta có:

AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, ®iĨm)

T¬ng tù ta cịng cã: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0,

®iĨm)

Tõ (1); (2) vµ (3) ta cã: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, ®iĨm).

-H

ng dn chm s 9

Câu 1(2đ):

a) A = - 99 100 100

1 100 102

2

2    (1® )

b) 2n 3n 1 5n1 (0,5® )

(77)

n -2 -6

 6; 2;0; 4

n

 

(0,5đ ) Câu 2(2đ):

a) Nếu x  

th× : 3x - 2x - = => x = ( thảo mÃn ) (0,5đ)

Nếu x <

1 

th× : 3x + 2x + = => x = 1/5 ( lo¹i ) (0,5®) VËy: x =

b) =>

1

2

x y z

 

vµ 2x + 3y - z = 50 (0,5®) => x = 11, y = 17, z = 23 (0,5đ)

Câu 3(2đ): Các phân số phải tìm là: a, b, c ta có : a + b + c =

213 70

vµ a : b : c =

3

: : : 40 : 25

5  (1®) =>

9 12 15

, ,

35 14

a b c

(1đ) Câu 4(3đ):

Kẻ DF // AC ( F thuéc BC ) (0,5® )

=> DF = BD = CE (0,5® ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1® )

=> gãc DIF = gãc EIC => F, I, C th¼ng hàng => B, I, C thẳng hàng (1đ)

Câu 5(1®):

=>

7.2 1

(14 1) 7 x y x y    

=> (x ; y ) cần tìm ( ; )

1 2= 1−

1 ;

1 3=

1 2−

1 ;

1 4=

1 3−

1

4 ; …; 99 100=

1 99−

1 100

VËy A = 1+ (−1

2 + 2)+(

−1 +

1

3)+ +(

−1 99 +

1 99)−

1 100=1−

1 100=

99 100

b) A = 1+

2(

2 )+ 3(

3 )+

1 4(

4

2 )+ + 20(

20 21 ) =

= 1+

2+ 2+ .+

21 =

1

2(2+3+4+ +21)=¿

=

2( 21 22

2 −1) = 115

(78)

b)

√1> 10 ;

1

√2> 10 ;

1

√3>

10 ; … ;

√100= 10

VËy:

√1+

√2+

√3+ +

√100>100 10=10

Câu 3: Gọi a,b,của chữ số số có ba chữ số cần tìm Vì chữ số a,b,của không vợt ba chữ số a,b,của đồng thời , ta khơng đ-ợc số có ba chữ s nờn: a+b+c 27

Mặt khác số phải tìm bội 18 nên a+b+c =9 a+b+c = 18 a+b+c=17 Theo giả thiết, ta cã: a

1=

b

2=

c

3=

a+b+c

6 Do đó: ( a+b+c) chia hết cho

Nªn : a+b+c =18  a

1=

b

2=

c

3= 18

6 =3  a=3; b=6 ; cña =9

Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy số phải tìm là: 396; 936

C©u 4:

a) VÏ AH  BC; ( H BC) ABC + hai tam giác vuông AHB BID cã: BD= AB (gt)

Gãc A1= gãc B1( cïng phơ víi gãc B2) AHB= BID ( c¹nh hun, gãc nhän)

AH BI (1) vµ DI= BH

+ Xét hai tam giác vuông AHC CKE có: Gãc

A2= gãc C1( cïng phơ víi gãc C2)

AC=CE(gt)

AHC= CKB ( c¹nh hun, gãc nhän) AH= CK (2) tõ (1) vµ (2)  BI= CK vµ EK = HC

b) Ta cã: DI=BH ( Chứng minh trên) tơng tự: EK = HC

T BC= BH +Hc= DI + EK Câu 5: Ta có:

A = |x −2001|+|x −1| = |x −2001|+|1− x|≥|x −2001+1− x|=2000

Vậy biểu thức cho đạt giá trị nhỏ 2000 x-2001 1-x dấu, tức :  x  2001

biểu điểm :

-Đáp án đề số11

C©u1:

a, (1) ⇔x+2

327 +1+

x+3 326 +1+

x+4 325 +1+

x+5 324 +1+

x+349

(79)

⇔(x+329)( 327 + 326+ 325+ 324+ 5)=0 ⇔x+329=0⇔x=−329 (0,5® )

b, a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x =  5x  x (1) (0,25 ®) §K: x  -7 (0,25 ®)

 

5

1

5

x x x x         

 … (0,25 đ)

Câu 2:

a, S=1−1

7+ 72−

1 73+

1

74+ −

72007 ; 7S=7−1+ 7−

1 72+

1

73− .−

72006 (0.5®)

8S=7−

72007

7 7 2007 

 S

(0,5®)

b,

2!+

2 3!+

3

4!+ .+

99 100!=

2−1 2! +

3−1

3! + +

100−1

100! (0,5®)

¿1−

100!<1 (0,5®) c, Ta cã 3n+2− 2n+2

+3n−2n=3n+2+3n−(2n+2−2n) (0,5®)

3n.10−2n 5=3n 10−2n −2 10=10(3n−2n −2)

⋮10 (0,5®)

Câu 3: Gọi độ dài cạnh a , b, c, chiều cao tơng ứng x, y, z, diện tích S ( 0,5đ ) a=2S

x b=

2S

y c=

2S

z (0,5®) ⇒ a 2= b 3= c 4⇒ 2S

2x=

2S

3y=

2S

4z (0,5®)

⇒2x=3y=4z⇒x 6=

y

4=

z

3 vËy x, y, z tØ lƯ víi ; ; (0,5đ)

Câu4: GT; KL; Hình vÏ (0,5®) a, Gãc AIC = 1200 (1 ® )

b, LÊy H∈AC : AH = AQ IQ=IH=IP (1 đ ) Câu5: B ; LN B ;LN2(n −1)2+3 NN

Vì (n −1)2≥0⇒2(n −1)2+3≥3 đạt NN (0,5đ)

DÊu b»ng x¶y n −1=0⇔n=1

vËy B ; LN ⇔B=1

3 vµ n=1 (0,5®)

-Đáp án đề s 12

Câu : điểm Mỗi câu điểm d) (x-1) 5 = (-3)

❑5 ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2

e) (x+2)(

11+ 12+ 13− 14 −

15 ) = 11+ 12+ 13− 14 −

(80)

f) x - √x = ⇔ ( √x ) ❑2 - 2

√x = ⇔ √x ( √x - 2) = ⇒ √x = ⇒ x =

hc √x - = ⇔ √x = x = Câu : điểm Mỗi câu 1,5 điểm

a)

x+ y

4= ,

5

x+

2y

8 = ,

5

x=

1−2y

8

x(1 - 2y) = 40 1-2y ớc lẻ 40 Ước lẻ 40 : ;

Đáp số : x = 40 ; y = x = -40 ; y = x = ; y = -2 x = -8 ; y =

b) Tìm x z để A Z A= √x+1

√x −3=1+

√x −3

A nguyªn

√x −3 nguyên x 3 Ư(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2;

Các giá trị x : ; 4; 16 ; 25 ; 49 Câu : điểm

2 |5x 3| - 2x = 14 ⇔ |5x −3| = x + (1) ĐK: x -7 (0,25 đ)



 

5

1

5

x x

   

 

  

 … (0,25 ®)

VËy có hai giá trị x thỏa mÃn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ)

Câu4 (1.5 điểm)

Các góc A, B , C tØ lƯ víi 7, 5, A

7=

B

5=

C

3=

A+B+C

15 =

1800 15 =12

⇒ A= 840 ⇒ góc ngồi đỉnh A 960

B = 600 ⇒ góc ngồi đỉnh B 1200

C = 360 ⇒ góc ngồi đỉnh C 1440

⇒ Các góc tơng ứng tỉ lệ với ; ; b)

⇒ E D E  1 EDA 

1 E =

 180

2 A 

 AB C=

 180

2 A 

(2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒ E1 ABC ⇒ ED // BC

b) XÐt Δ EBC vµ Δ DCB cã BC chung (3)

 

(81)

BE = CD (5)

Tõ (3), (4), (5) ⇒ Δ EBC = Δ DCB (c.g.c)

⇒ BEC CDB

= 900 ⇒ CE  AB

………

Đáp án đề số 13

Bài 1: điểm

a, Tính: A =

10 −

175 100

¿

31 (

183 −

176 )−

12 11 ¿

¿

=

31 −

19 11 1056 1001−

1001 1001

=

341−57 33

55 1001

=284 33

1001 55 =

284284 1815

b, 1,5 ®iĨm Ta cã:

+) + +7 +……+ 100 = ( 1+100) + ( + 97) +…….+ ( 49+ 52) = 101 34 = 1434 34 cỈp

+) 1434 – 410 = 1024

+) ( 18 123 + 436 + 5310 ) = 18 ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 5869 = 105642

VËy A = 105642 : 1024 103,17 Bài 2: Điểm

Giọi số cần tìm x, y, z Số nhỏ x , sè lín nhÊt lµ z Ta cã: x y z (1) Theo gi¶ thiÕt:

x+

1

y+

1

z=2 (2) Do (1) nªn z =

1

x+

1

y+

1

z≤

3

x Vậy: x = Thay vào (2) , đợc:

y+

1

z=1≤

2

y Vậy y = Từ z = Ba số cần tìm 1; 2; Bài 3: Điểm

Có trang có chữ số Số trang có chữ số từ 10 đến 99 nên có tất 90 trang Trang có chữ số sách từ 100 đến 234, có tất 135 trang Suy số chữ số tất trang là:

9 + 90 + 135 = + 180 + 405 = 594 Bài : Điểm

Trên tia EC lÊy ®iĨm D cho ED = EA

(82)

Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B

VËy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: DC = BD

Vẽ tia ID phân gi¸c cđa gãc CBD ( I BC ) Hai tam giác: CID BID có :

ID cạnh chung,

CD = BD ( Chứng minh trên)

CID=IDB ( DI phân giác góc CDB )

Vậy CID = Δ BID ( c g c) ⇒ C = IBD   Gäi C lµ α ⇒

  

BDA = C + IBD = ⇒ C

= α ( gãc ngoµi cđa Δ BCD)

mà A=D ( Chứng minh trên) nªn A = α ⇒2α+α = 900 ⇒ α = 300

Do ; C = 300 A = 600

-H

ớng dẫn giải đề số 14

Bài 1.a Xét trờng hợp : * x5 ta đợc : A=7 *x5 ta đợc : A = -2x-3

b XÐt x5  2x10 2x 10 3  hay A > VËy : Amin = x5

Bµi 2. a §Ỉt : A = 2 2

1 1

6 7  100

Ta cã :

* A <

1 1

4.5 5.6 6.7   99.100 =

1 1 1

4 5 6    99 100 =

1 1

4 100 4

* A >

1 1 1 1

5.6 6.7  99.100 100.101 101 6    .

b Ta cã :

2 17

3 3

a a a

 

 

   =

4 26 a a

  =

=

4 12 14 4( 3) 14 14

4

3 3

a a

a a a

   

  

   lµ sè nguyªn

Khi (a + 3) ớc 14 mà Ư(14) =    1; 2; 7; 14 Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; ; - 10; 11 ; -17

Bài 3. Biến đổi :

 

12 30

A n n n  

§Ó A n6  n n 130 6 n

*n n 1n 30n n  ¦(30) hay n {1, , 3, , , 10 , 15 , 30}.

(83)

+n3 n3,6,15,30  +n1 3  n1,10 

 n {1 , , , 10 , 15 , 30}.

-Thử trờng hợp ta đợc : n = 1, 3, 10, 30 thỗ mãn tốn

Bµi 4.

-Trªn Oy lÊy M’ cho OM’ = m Ta có : N nằm O, M MN = OM

-Dùng d lµ trung trùc cđa OM’ Oz phân giác góc xOy chúng cắt t¹i D -ODM M DN c g c' ( ) MD ND

 D thuéc trung trùc cña MN.

-Rõ ràng : D cố định Vậy đờng trung trực MN qua D cố nh

Bài 5. -Dạng tổng quát đa thức bËc hai lµ :  

2

f x ax bx c

(a0).

- Ta cã :      

2

1 1

f x a x b x c

- f x  f x 1 2ax a b x  

2

0 a b a

   

  

1

2 a b     



Vậy đa thức cần tìm :  

2

1

2

f x  x  x c

(c số) áp dụng :

+ Với x = ta cã : 1f  1  f  0 + Víi x = ta cã : 1f  2  f  1

………

+ Víi x = n ta cã : nf n  f n 1 

 S = 1+2+3+…+n = f n  f  0 =

 

2 1

2 2

n n n n

c c 

   

L

u ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình khơng chấm điểm.

Câu1 (làm đợc điểm)

x

z

d d m

n i m' y

(84)

Ta cã: 2 20 x x x x 

  =

2

2 10 20

x x

x x x



   =

2 ( 2)( 10)

x x

x x



  (0,25đ)

Điều kiện (x-2)(x+10) x 2; x -10 (0,5đ)

Mặt khác x = x-2 nÕu x>2 -x + nÕu x< (0,25đ)

* Nếu x>

2 ( 2)( 10)

x x

x x



  =

( 2) ( 2)( 10)

x x

x x



  = 10

x

x (0,5đ)

* Nếu x <2

2 ( 2)( 10)

x x

x x



  =

( 2) ( 2)( 10)

x x

x x

 

  = 10

x x



 (điều kiện x  -10) (0,5đ) Câu 2 (làm đợc 2)

Gọi số học sinh trồng Líp 7A,7B, 7C theo thø tù lµ x, y, z (x> 0; y >0 ; z >0)

Theo đề ta có

 94(1)

3 (2)

x y z x y z

  

 

(0,5®) BCNN (3,4,5) = 60

Tõ (2) 

3 60 x = 60 y = 60 z

hay 20

x =15 y =12 z (0,5đ) áp dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng ta cã :

20 x =15 y =12 z

= 20 15 12

x y z    =

94

47=2 (0,5®) x= 40, y=30 z =24 (0,5đ)

S hc sinh trồng lớp 7A, 7B, 7C lần lợt 40, 30, 24 Câu (làm cho 1,5đ)

§Ĩ

2006

10 53

9

số tự nhiên 102006 + 53 (0,5đ)

Để 102006 + 53 102006 + 53 có tổng chữ số chia hÕt cho 9

mµ 102006 + 53 = 1+ +0 + + + 5+3 = 9 9

 102006 + 53  hay

2006

10 53

9 

số tự nhiên (1đ)

Câu 4 (3đ)

- Vẽ đợc hình, ghi GT, KL đợc 0,25đ a, ABC có àA1ảA2 (Az tia phân giác củaảA )

µ µ

1

A C (Ay // BC, so le trong)

 ¶A2 Cà1VABC cân B

(85)

Tuyn chn đề thi học sinh giỏi toán 7  BK trung tuyến  cân ABC (0,75đ)

hay K trung điểm AC

b, Xét cân ABH vuông BAK Có AB cạng huyền (cạnh chung)

ả 1( 30 ) A B

Vì

ả ¶ µ



2

0 0

1

30 90 60 30

A A B

    

 vu«ng ABH =  vu«ng BAK BH = AK mµ AK = 2

AC AC

BH

(1đ)

c, AMC vuông t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1)  MK trung tuyến thuộc cạnh huyền

KM = AC/2 (2)

Tõ (10 vµ (2)  KM = KC KMC cân

Mặt khác AMC có Mả 90 A=300 MKCÃ 900 300 600

 AMC (1đ)

Câu 5 Làm câu đợc 1,5đ Xây dựng sơ đồ giải toán

Đáp án : Tây đạt giải nhất, Nam giải nhì, Đơng giải 3, Bắc giải

C©u 1: (2đ)

a) Xét khoảng x 2

3 đợc x = 4,5 phù hợp 0,25 đ

XÐt kho¶ng x<2

3 đợc x = -5

4 phù hợp 0,25 đ

b) Xét khoảng x 3

2 Đợc x > 0,2đ

Xét khoảng x<3

2 Đợc x < -1 0,2đ

Vậy x > x < -1 0,1đ

c) Xét khoảng x

1

3 Ta cã 3x -

8   x

Ta đợc

1 3≤ x ≤

8

XÐt kho¶ng x<1

3 Ta cã -3x + ⇒x ≥ −2

Ta đợc −2≤ x ≤1

3

Vậy giá trị x thoã mãn đề −2≤ x ≤8

3 C©u 2:

a) S = 1+25 + 252 + + 25100 0,3®

⇒25S=25+252

+ +25101

(86)

VËy S = 25

101

−1

24 0,1®

b) 430= 230.230 = (23)10.(22)15 >810.315> (810.310)3 = 2410.3 0,8®

VËy 230+330+430> 3.224 0,2®

Câu 3: a) Hình a

AB//EF có hai gãc cïng phÝa bï EF//CD v× cã hai gãc cïng phÝa bï VËy AB//CD

b) Hình b

AB//EF Vì có cặp góc so le 0,4đ CD//EF có cặp gãc cïng phÝa bï 0,4® VËy AB//CD 0,2đ

Câu 4: (3đ)

a) MN//BC MD//BD ⇒ D trung điểm AP 0,3 đ BP vừa phân giác vừa trung tuyến nên đờng cao BD AP 0,2đ Tơng tự ta chứng minh đợc BE AQ 0,5 đ b) AD = DP

ΔDBP=ΔBDE (g.c.g) ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD 0,5 ®

⇒ ΔMBE=ΔMAD(c.g.c)⇒ME=MD 0,3®

BP = 2MD = 2ME = BQ

Vậy B trung điểm PQ 0,2đ c) BDE vuông B, BM trung tuyến nên BM = ME 0,4đ

ADB vuông D có DM trung tuyến nên DM = MA 0,4đ DE = DM + ME = MA + MB 0,2đ

Câu 5: 1đ A = 1+10

4 x A lín nhÊt 

10

4− x lớn 0,3đ Xét x > 10

4− x < XÐt < x th× 10

4− x > a lín nhÊt  - x nhá nhÊt ⇒ x = 0,6®

Câu 1: ( ý 0,5 điểm )

a/ 4x3- x = 15 b/ 3x - x >

 4x3 = x + 15  3x > x + 1

* Trêng hỵp 1: x  -3

4 , ta cã: * Trêng hỵp 1: x 

2

3, ta cã:

(87)

 x = ( TM§K).  x >

3

2 ( TM§K).

* Trêng hỵp 2: x <

-3

4 , ta cã: * Trêng hỵp 2: x <

3, ta cã:

4x + = - ( x + 15) 3x – < - ( x + 1)

 x = - 18

5 ( TM§K).  x <

1

4 ( TM§K)

VËy: x = hc x = -

18

5 . VËy: x >

3

2 hc x < 4.

c/ 2x3    5 2x 3  4 x

C©u 2:

a/.Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 ( )

(- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + … + (- 7)2007 + (- 7)2008 ( 2)

 8A = (- 7) – (-7)2008

Suy ra: A =

1

8.[(- 7) – (-7)2008 ] = -

1

8( 72008 + )

* Chøng minh: A  43.

Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 , có 2007 số hạng Nhóm số liên tiÕp

thành nhóm (đợc 669 nhóm), ta đợc:

A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + … + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007]

= (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + … + (- 7)2005 [1 + (- 7) + (- 7)2]

= (- 7) 43 + … + (- 7)2005 43

= 43.[(- 7) + … + (- 7)2005]  43

VËy : A  43

b/ * Điều kiện đủ:

Nếu m  n  m2  3, mn  n2  3, đó: m2+ mn + n2 9.

* Điều kiện cần:

Ta cã: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn (*)

Nếu m2+ mn + n2 m2+ mn + n2 3, từ (*),suy ra: ( m - n)2  ,do ( m -

n)  ( m - n)2 3mn  nên mn  ,do hai số m n chia

hết cho mà ( m - n)  nên số m,n chia hết cho 3.

C©u 3:

Gọi độ dài cạnh tam giác a, b, c ; đờng cao tơng ứng với cạnh , hb ,

hc

Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( + hc ) = : :

Hay:

1

3(ha +hb) =

4( hb + hc ) =

5( ha + hc ) = k ,( víi k  0).

Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( + hc ) = 5k

Céng c¸c biĨu thøc trªn, ta cã: + hb + hc = 6k

(88)

A

B C

D Mặt khác, gọi S diện tích ABC , ta cã:

a.ha = b.hb =c.hc

 a.2k = b.k = c.3k

 a

=

b

=

c

Câu 4:

Giả sử DC không lớn DB hay DC  DB.

* Nếu DC = DB BDC cân D nên DBC = BCD.Suy ra:ABD = ACD.Khi ta có: ADB

 = ADC (c_g_c) Do đó: ADB = ADC ( trái với giả thiết) .

* NÕu DC < DB th× BDC, ta cã DBC < BCD mµ ABC = ACB suy ra:



ABD >ACD ( )

XÐt ADB vµ ACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC < DB.

Suy ra: DAC < DAB ( ).

Tõ (1) vµ (2) ADB vµ ACD ta lại có ADB < ADC ,

điều trái với giả thiết Vậy: DC > DB

Câu 5: ( điểm)

ỏp dng bt ng thức: x y  x - y , ta có:

A = x1004 - x1003  (x1004) ( x1003) = 2007

VËy GTLN cđa A lµ: 2007

DÊu “ = ” x¶y khi: x  -1003.

-H

ớng dn chm 18

Câu 1-a (1 điểm ) XÐt trêng hỵp 3x-2 3x -2 <0 => kết luận : Không có giá trị x thoả mÃn b-(1 điểm ) Xét trờng hợp 2x +5 2x+5<0 Giải bất phơng trình => kết luận

Câu 2-a(2 điểm ) Gọi số cần tìm abc

abc 18=> abc VËy (a+b+c) ⋮ (1)

Ta cã : a+b+c 27 (2)

Tõ (1) (2) suy a+b+c =9 18 27 (3) Theo bµi a

1 =

b

2 =

c

3 =

a+b+c

6 (4)

Tõ (3) vµ (4) => a+b+c=18

(89)

b-(1 ®iĨm )

A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n-3+ 74n-2+74n-1+74n).

= (7 +72+73+74) (1+74+78+ +74n-4).

Trong : +72+73+74=7.400 chia hết cho 400 Nên A 400

Câu 3-a (1 điểm ) Từ C kỴ Cz//By cã :

 

2

C + CBy = 2v (gãc cïng phÝa) (1)

 

1

C +CAx=2v

Vì theo giả thiÕt C1+C2 + α

+ γ = 4v =3600.

VËy Cz//Ax (2)

Tõ (1) vµ (2) => Ax//By

Câu 4-(3 điểm) ABC cân, ACB =1000=> CAB = CBA =400.

=> ADE =AED = 800 =400+EDB (gãc ngoµi cđa Δ EDB)

=> EDB =400 => EB=ED (1)

Trªn AB lÊy C’ cho AC’ = AC C

Δ CAD = Δ C’AD ( c.g.c) D

 AC’D = 1000 vµ DC’E = 800.

Tõ (1) vµ (2) cã EB=DC’ A C E B Mµ DC’ =DC Vậy AD +DC =AB

Câu (1 điểm)

S=(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2004.

-3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2004]

= (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2005]

-3S-S=[(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2005]-(3)0-(-3)1- -(-3)2005.

-4S = (-3)2005 -1 S =

−3¿2005−1 ¿ ¿ ¿

= 32005+1

4

Bµi 1: Ta cã : -

90 − 72 −

1 56 −

1 42−

1 30 −

1 20 −

1 12 −

1 6−

1

= - (

1 2+ 3+

1 4+

1 5+

1 6+

1 7+

1 8+

1 9+

1

9 10 ) 1®

= - (

1− 2+

1 2−

1 3+

1 3−

1

4+ + 8−

1 9+

1 9−

1

10 ) 1®

= - (

1−

10 ) =

−9

10 0,5đ

Bài 2: A = |x 2|+|5 x|

Víi x<2 th× A = - x+ 2+ – x = -2x + >3 0,5®

Víi x th× A = x-2 –x+5 = 0,5đ

(90)

So sánh giá trị A khoảng ta thấy giá trị nhá nhÊt cña A =

<=> x 1®

Bài 3: a Trên tia đối tia OC lấy điểm N cho ON = OC Gọi M trung điểm BC nên OM đờng trung bình tam giác BNC Do OM //BN, OM =

2 BN

Do OM vuông góc BC => NB vuông góc BC Mà AH vuông góc với BC NB // AH (1đ)

T¬ng tù AN//BH

Do NB = AH Suy AH = 2OM (1đ)

b Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AG HG IK đờng trung bình tam giác AGH nên IK// AH

IK =

2 AH => IK // OM vµ IK = OM ; ∠ KIG = ∠ OMG (so le trong)

Δ IGK = MGO nên GK = OG IGK = ∠ MGO

Ba ®iĨm H, G, O thẳng hàng 1đ

Do GK = OG mà GK =

2 HG nªn HG = 2GO

Đờng thẳng qua điểm H, G, O đợc gọi đờng thẳng le 1đ

Bài 4: Tổng hệ số đa thức P(x) giá trị đa thức x=1 Vậy tổng hệ số đa thức:

0,5®

P(x) = (3-4x+x2)2006 (3+4x + x2)2007

B»ng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5®

C©u 1: Ta cã:

220  (mod2) nªn 22011969  (mod2)

119  1(mod2) nªn 11969220 1(mod2)

69  -1 (mod2) nªn 69220119  -1 (mod2)

VËy A  (mod2) hay A (1đ)

Tơng tù: A  (1®)

A  17 (1®)

A

C B

(91)

Vì 2, 3, 17 số nguyên tố

 A  2.3.17 = 102

C©u 2: Tìm x

a) (1,5đ) Với x < -2  x = -5/2 (0,5®)

Víi -2 x giá trị x thoả mÃn (0,5đ) Với x > x = ½ (0,5®)

b) (1,5®) Víi x < -2 Không có giá trị x thoả mÃn (0,5đ) Với -2 x 5/3 Không có giá trị x thoả mÃn (0,5đ)

Với x > 5/3 x = 3,5 (0,5đ) Bài 3:

a) Dễ dàng chứng minh đợc IH = 0M A

IH // 0M  0MN =  HIK (g.c.g) I E Do đó: IHQ =  M0Q (g.c.g)

 QH = Q0 F H N

QI = QM P

b)  DIM vng có DQ đờng trung K Q O

tun øng víi c¹nh hun nªn R

QD = QI = QM B D M C Nhng QI đờng trung bình  0HA nên

c) T¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2

Bài 4(1đ): Vì 3|x-5|  x  R Do A = 10 - 3|x-5| 10

Vậy A có giá trị lớn 10  |x-5| =  x =

Bµi

Điều kiện x (0,25đ) a) A = -

7 (0,5®)

b) √x+3 >  A = -1  √x −5=−√x −3  x = (0,5®) c) Ta cã: A = -

x+3 (0,25đ)

Để A Z x+3 ớc

x = {1; 25} A = {- 1; 0} (0,5đ) Bài

a) Ta cã: √7− x=x −1 

x −1≥0

x −1¿2 ¿ ⇔

¿ ¿x ≥1

¿ ¿

x=3; x=−2 7− x=¿

(1®)

(92)

 3M = + 22007 (0,25®)  M = 2007

+1

3 (0,5®)

c) Ta cã: A = x4 + 2x2 +1  víi mäi x ĐPCM (1đ)

Bài Ta có:

0

ˆ ˆ ˆ 180

30

1

A B C

    Aˆ 30 ;0 Bˆ 60 ;0 Cˆ 900

    (0,5®)

Vậy tam giác ABC tam giác vuông C (0,5đ) Bài GT, KL (0,5đ)

a) Gãc AIC = 1200 (1®)

b) Lấy H  AC cho AH = AN (0,5đ) Từ chứng minh IH = IN = IM (1đ) Bài

A = + 2000

6− x (0,5đ) AMax  – x > nhỏ  – x =  x = Vậy x = thoã mãn điều kiện tốn A Max= 2001 (0,5đ)

2)

15

.(1 4)

20

=(1 2)

15

.(1 2)

40

=(1 2)

55

(0.5®)

a2 (1

9)

25

:(1 )

30

= (1

3)

50

:(1 )

30

= (❑

3 )

20

(0.5®)

b A =

5

94−2 69 210.38

+68.20=

210 38.(1−3)

210.38(1+5) =

1

3 (0.5®)

c c1

33 = 0.(21) c2

7

22 = 0,3(18) (0.5®)

c3 0,(21) = 21

99=

33 ; c4 5,1(6) =

1

6 (0.5đ)

Câu 2: (2đ)

Gọi khối lợng khối 7, 8, lần lợt a, b, c (m3)

⇒ a + b + c = 912 m3 (0.5®)

⇒ Sè häc sinh cđa khèi lµ : a

1,2 ;

b

1,4 ;

c

1,6

Theo đề ta có: b

3 4,1=

a

1,2 vµ

b

4 1,4=

c

5 1,6 (0.5®)

⇒ 4 1,2a = b 12 1,4=

c

15 1,6=20 (0.5®)

VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3.

Nên số HS khối 7, 8, lần lợt là: 80 hs, 240 hs, 300 hs (0.5đ) Câu 3: ( 1.5đ):

a.Tìm max A

Ta cã: (x + 2)2 ⇒ (x = 2)2 + ⇒ A

max=

(93)

b.T×m B

Do (x – 1)2 ; (y + 3)2 0 ⇒ B 1

VËy Bmin= x = y = -3 (0.75đ)

Câu 4: (2.5đ) Kẻ CH cắt MB E Ta có EAB cân E EAB =300

⇒ EAM = 200 ⇒ CEA = MAE = 200

(0.5®)

Do ACB = 800 ⇒ ACE = 400 ⇒ AEC =

1200 ( ) (0.5đ)

Mặt khác: EBC = 200 EBC = 400 ⇒ CEB =

1200 ( ) (0.5đ)

Từ ( ) ( ) ⇒ AEM = 1200

Do EAC = EAM (g.c.g) AC = AM MAC cân A (0.5đ)

Và CAM = 400 AMC = 700. (0.5đ)

Câu 5: (1.5đ)

Giả sử a2 a + b không nguyên tố a2 vµ a + b

Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: ⇒ a2 chia hÕt cho d ⇒ a chia hÕt

cho d vµ a + b chia hÕt cho d ⇒ b chia hÕta cho d (0.5®)

⇒ (a,b) = d ⇒ trái với giả thiết

Vậy (a2,a + b) =1. (0.5đ)

Đề 23

Câu I :

1) Xác định a, b ,c

a−1 =

b+3 =

c −5

6 =

5(a −1)

10 =

−3(b+3)

−12 =

−4(c −5)

−24 =

5a −3b −4c −5−9+20 10−12−24 =−2

=> a = -3 ; b = -11; c = -7 C¸ch : a−1

2 =

b+3 =

c −5

6 = t ; sau rút a, b ,c thay vào tìm t =- tìm a,b,c 2) Chng minh

Đặt a b=

c

d = k => a= kb ; c = kd Thay vào biểu thức :

2a23 ab+5b2

2b2+3 ab −

2c2−3 cd+5d2

2d2+3 cd =

k2−3k+5

2+3k −

k2−3k

+5

2+3k =0 => đpcm Câu II: Tính:

1) Ta cã :2A= 2(

3 5+

5 7+ +

97 99 ) = 3−

1 5+

1 5−

1

7+ + 97−

1 99=

1 3−

1 99=

32

99 =>A

= 16

99

E

300 100

M C

B

(94)

2) B = = −13+ 32−

1

33+ + 350−

1 351 =

1

(−3)+

1

(−32)+

1

(−33)+ +

1

(−350)+

1

(−351)

−3¿4 ¿ ¿ (−32)+

1 (−33)+

1 ¿

=> −3B=¿

1 −3−

1

(−352) =

−351−1

352 => B =

(−351−1) 351

C©u III

Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) =

10+¿

10 0,(1).3 = 10+

3 10

1 =

7 30

0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+

1000 0,(32)= 0,12+

1000 0,(01).32 = 12

100+ 32 1000

1 99

= 1489

12375

C©u IV :

Gọi đa thức bậc hai : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1)

P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5

P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a =

2

Vậy đa thức cần tìm : P(x) =

2x(x 1)(x 2)5x(x −1)+2(x −3)+16

=> P(x) =

2x

3

- 25

2 x

2

+12x+10

C©u V:

a) DƠ thÊy Δ ADC = Δ ABE ( c-g-c) => DC =BE V× AE AC; AD AB

mặt khác góc ADC = gãc ABE => DC  Víi BE

b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN  MP MN =

2 DC =

2 BE =MP;

VËy Δ MNP vuông cân M

-ỏp ỏn đề 24

Bµi 1:

a) A =

3 3 3 3

8 10 11 12

5 5 5 5

8 10 11 12

    



     

(95)

A =

1 1 1 1

3

8 10 11 12

1 1 1 1

5

8 10 11 12

   

    

   

   



   

         

    (0,25®)

A =

3



+

3

5 = 0 (0,25®)

b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25®) 3B = 2102 – 1; B =

102

2

3

(0,25đ) Bài 2:

a) Ta cã 430 = 230.415 (0,25®)

3.2410 = 230.311 (0,25đ)

mà 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®)

b) = 36 > 29

33 > 14 (0,25®)

 36 + 33 > 29 + 14 (0,25đ)

Bài 3:

Gọi x1, x2 x3 lần lợt số ngày làm việc m¸y



1

3

x x x

 

(1) (0,25đ)

Gọi y1, y2, y3 lần lợt số làm việc máy

1

6

y y y

 

(2) (0,25®)

Gäi z1, z2, z3 lần lợt công suất m¸y

 5z1 = 4z2 = 3z3 

1

1 1

5

z z z

 

(3) (0,25đ)

Mà x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®)

Tõ (1) (2) (3) 

1 1 2 3 395 15

18 40 395

5 15

x y z x y z x y z

   

(0,5®)

 x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25®)

Vậy số thóc đội lần lợt 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4:

a) EAB = CAD (c.g.c)   (0,5®)

 ABMADM (1) (0,25®)

Ta cã

  

 

BMC MBD BDM (góc tam giác) (0,25đ)

(96)

b) Trªn DM lÊy F cho MF = MB (0,5®)

 FBM đều (0,25đ)

 DFB AMB (c.g.c) (0,25®)

 DFB AMB 1200 (0,5®)

Bµi 6: Ta cã

1 (2) ( )

2

x  f  f 

(0,25®)

1 1

( ) (2)

2

x  f  f 

(0,25®)  47 (2) 32 f  (0,5®) -®

áp án đề 25

C©u

a.NÕu x 0 suy x = (tho· m·n)

NÕu < suy x = -3 (tho· m·n)

b y= x 6− 2=

x −3 ⇒

y=1

x −3=6 ¿{

; hc

¿

y=−1

x −3=−6 ¿{ ¿ ;hc 3 y x     

 hc

3 y x     

 ;hc y x     

 ; hc

6 y x     

 hc 3 y x     

 ; hc 3 y x      

Từ ta có cặp số (x,y) (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6)

c Từ 2x = 3y 5x = 7z biến đổi

3 7 30

2 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15

x y z x y z x y z

       

 



c A tích 99 số âm

2 2 2

1 1 1.3 2.4 5.3 99.101

1 1

4 16 100 100

1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2 A A                                       

d B =

1 4

1

3 3

x x

x x x

  

  

   B nguyªn  4

4

ˆ

3nguen x

(97)

4; 25;16;1;49

x

 

C©u

Thời gian thực tế nhiều thời gian dự định Gọi vận tốc dự định từ C đến B v1 == 4km/h

Vận tốc thực tế từ C đến B V2 = 3km/h

Ta cã:

1 1

2 2

4

3

V t V

va

V  t V 

(t1 lµ thêi gian AB với V1; t2 thời gian CB víi V2)

tõ

1 2

2

3 15

15

4 4

t t t t t

t



     

  t

2 = 15 = 60 = giê

Vậy quãng đờng CB 3km, AB = 15km

Ngời xuất phát từ 11 45 phút – (15:4) = Câu

e Tam gi¸c AIB = tam giác CID có (IB = ID; góc I1 = gãc I2; IA = IC)

f Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c)



gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND  tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c)



Gãc I3 = gãc I4 M, I, N thẳng hàng IM = IN

Do vậy: I trung điểm MN

g Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900  gãc AIB < 900  gãc BIC > 900

h Nếu AC vuông góc với DC AB vuông góc với AC tam giác ABC vuông A

C©u

P =

4 10 10

1

4

x

x x

 

 

  P lín nhÊt 10

4 x lín nhÊt

XÐt x > th×

10 4 x < 0

XÐt x< th×

10 4 x > 0



10

4 x lín nhÊt  – x số nguyên dơng nhỏ nhất

– x =  x =

10

4 x = 10  Plín nhÊt = 11.

-H

ớng dẫn chấm đề 26

Bµi : a) T×m x Ta cã |2x −6| + 5x =9

(98)

* 2x –6  ⇔ x  2x –6 = 9-5x ⇒ x = 15

7 kh«ng tho· m·n

(0,5)

* 2x – < ⇔ x< – 2x = 9-5x ⇒ x= thoã mãn (0,5)

VËy x =

b) TÝnh (1+2+3+ +90).( 12.34 – 6.68) : (1

3+ 4+

1 5+

1

6) = (0,5)

( v× 12.34 – 6.68 = 0)

c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1 (0,5)

Nh vËy 2101 –1 < 2101 VËy A<B (0,5)

Bài : Gọi cạnh tam giác ABC a, b, c đờng cao tơng ứng ha, hb, hc Theo

đề ta có (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ) = :7 :8 hay + hb =5k ; hb + hc=7k

hc + = 8k ; + hb +hc =10k (k lµ hƯ sè tØ lÖ ) (0,5)

Suy hc =( + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k

T¬ng tù : =3k , hb= 2k A

DiÖn tÝch tam gi¸c :

2 a = b.hb

Suy a

b= hb ha

=2k

3k=

3 T¬ng tù :

a c=

5 3;

b c=

5

2; (0,5)

a.ha = b.hb =c.hc ⇒

a

1

ha

= b

hb

= c

hc

B C

⇒ a:b:c = h1

a

:

hb:

1

hc=

1 3:

1 2:

1

5 Hay a:b:c = 10: 15 :6 (0,5)

Bài : a) Tại x = 16

9 ta cã : A = √ 16

9 +1

√169 −1

=7 ; t¹i x = 25

9 ta cã : A = √ 25

9 +1

√259 −1

=4 ;

(1)

b) Víi x >1 §Ĩ A = tøc lµ √x+1

√x −1=5⇔√x= 2⇔x=

9

4 (1)

Bµi : E thuộc phân giác ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy :

tam giác NEC cân ENC = ECN (1) D thuộc phân giác góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy tam giác MDC cân

và DMC =DCM ,(2) Ta lại có MDB = DCM +DMC (góc CDM ) = 2DCM Tơng tự ta lại có AEN = 2ECN Mà AEN = ABC (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn)

(99)

ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD )

suy ECN + MCD = 450 VËy MCN = 900 –450 =450 (1,5)

Bµi :

Ta cã P = -x2 –8x + = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21;

(0,75)

Do –( x+ 4)2 0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 21 víi mäi x DÊu (=) x¶y x

= -4

Khi P có giá trị lớn 21

-h

ớng dn 27

Câu 1: (3đ)

b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25

suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5®

suy 2n (1/2 +4) = 25

suy 2n-1 .9 =9 25 suy n-1 = suy n=6 0,5®

c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5đ

vì 3n.10 10 vµ 2n.5 = 2n-1.10 10 suy 3n.10-2n.5 10 0,5đ

Bài 2:

2x=3y = 4z x+y+z =130 0,5đ

hay x/12 = y/8 = z/6 mµ x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30

-7(4343-1717)

b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10

Ta cã: 4343 = 4340.433= (434)10.433 434 tận 433 tËn cïng lµ suy 4343

tËn cïng bëi

1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng lµ suy (174)4 cã tËn cïng lµ suy 1717

= 1716.17 tËn cïng bëi 0,5®

suy 4343 1717 có tận nên 4343-1717 có tận suy 4343-1717

chia hÕt cho 10 0,5đ suy -0,7(4343-1717) số nguyên.

Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình)

a/ MDB= NEC suy DN=EN 0,5®∆ ∆

b/ MDI= NEI suy IM=IN suy BC cắt MN điểm I trung điểm MN ∆ ∆ 0,5®

c/ Gọi H chân đờng cao vng góc kẻ từ A xuống BC ta có AHB= AHC suy ∆ ∆ HAB=HAC 0,5đ

gọi O giao AH với đờng thẳng vng góc với MN kẻ từ I

∆ OAB= OAC (c.g.c) nên OBA = OCA (1) 0,5đ

OIM= OIN suy OM=ON 0,5®∆ suy OBN= OCN (c.c.c) OBM=OCM∆ ∆ (2) 0,5®

Tõ (1) vµ (2) suy OCA=OCN=900 suy OC ┴ AC 0,5®

Vậy điểm O cố định

(100)

C©u 1: (2®)

a a + a = 2a víi a (0,25đ) Với a < a + a = (0,25®) b a - a

-Víi a th× a - a = a – a = -Víi a< th× a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3

-Víi x +   x  -

Ta cã: 3(x – 1) – x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – – 2x –

= x – (0,5®) -Víi x + <  x< -

Tacã: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3) = 3x – + 2x +

= 5x + (0,5đ) Câu 2: Tìm x (2đ)

a.Tìm x, biÕt: 5x - 3 - x =  5x x (1) (0,25 đ) ĐK: x -7 (0,25 ®)

 

5

1

5

x x

   

 

  

 (0,25 đ)

Vậy có hai giá trị x thỏa mÃn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®)

b 2x + 3 - 4x < (1,5®) 2x + 3 < + 4x (1)

§K: 4x +9   x  

(1)  4x9 2x x9 2x (t/mĐK) (0,5đ)

C©u 3:

Gọi chữ số số cần tìm a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18  số phải chia hết cho

VËy (a + b + c ) chia hÕt cho (1) (0,5®) Tacã:  a + b + c  27 (2) V×  a  ; b  ;  c 

Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhận giá trị 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5®)

Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho  chữ số hàng đơn vị phi l s chn

Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963 (0,5®)

-Vẽ hình viết giả thiết, kết luận (0,5đ) -Qua N kẻ NK // AB ta có

(101)

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7  AD = NK (1)

-Häc sinh chøng minh  ADM =  NKC (gcg) (1®)

 DM = KC (1®)

Bµi 1: Ta cã: 10A =

2007

2007 2007

10 10

= 1 +

10 10



  (1)

T¬ng tù: 10B =

2008

2008 2008

10 10

= 1 +

10 10



  (2)

Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 2007 2008

9

10 1 10 1 10A > 10B A > B

Bài 2:(2điểm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

A =

1 1

1

(1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006

2 2

     

     

  

        

     

     

=

2 2007.2006 10 18 2007.2006

3 10 2006.2007 12 20 2006.2007

 



(1) Mµ: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008

= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã:

A =

4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004

2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007)2006.3 3009

Bài 3:(2điểm) Từ:

x 1 x

8 y  4 y 8

Quy đồng mẫu vế phải ta có :

1 x - 2

y  Do : y(x-2) =8.

§Ĩ x, y nguyên y x-2 phải ớc Ta có số nguyên tơng ứng cần tìm b¶ng sau:

Y -1 -2 -4 -8

x-2 -8 -4 -2 -1

X 10 -6 -2

Bài 4:(2 điểm)

Trong tam giỏc tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có: b + c > a

T¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2 (2)

(102)

Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta đợc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.

Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đờng thẳng CK I Ta có: IBC cân nên IB = IC

BIA

 = CIA (ccc) nên BIA CIA 120  Do đó: BIA

 =BIK (gcg)  BA=BK

b) Tõ chøng minh trªn ta cã:



BAK 70

n2<

1

n2−1 víi mäi n nªn ( 0,2 ®iĨm )

A< C =

22−1+ 32−1+

1

42−1+ +

n21 ( 0,2 điểm )

Mặt khác: C = 1 31 +

2 4+

3 5+ +

1

(n −1).(n+1) ( 0,2 ®iĨm)

=

2( 1−

1 3+

1 2−

1 4+

1 3−

1 5+ +

1

n −1−

n+1) ( 0,2 ®iĨm)

= ❑

❑(1+

1 2−

1

n−

1

n+1)<

3 2=

3

4<1 (0,2 ®iĨm )

VËy A <

b ( ®iĨm ) B =

22+ 42+

1 62+ +

1

(2n)2 ( 0,25 ®iĨm )

=

22(1+ 22+

1 32+

1

42+ +

n2) ( 0,25 ®iĨm )

=

22(1+A) ( 0,25 ®iĨm )

Suy P <

22(1+1)=

1

2 ;Hay P <

2 (0,25 ®iĨm )

k >1 với k = 1,2……… n ( 0,25 điểm ) áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có:

C K

A I

(103)

k+1

√k+1

k =

k+1

√1 .1 k k+1

k <

1+1+ +1+k+1

k k+1 =

k k+1+

1

k=1+

1

k(k+1)

(0,5 ®iĨm )

Suy < k+1√k+1 k <1+(

1

k−

1

k+1) ( 0,5 ®iĨm )

Lần lợt cho k = 1,2, 3,……… n cộng lại ta đợc n < √2+√3

2+ +

n+1

√n+1

n <n+1−

n<n+1 ( 0,5 ®iĨm)

=> [α]=n Câu (2 điểm )

Gi , hb ,hc lần lợt độ dài đờng cao tam giác Theo đề ta có:

ha+hb

5 =

hb+hc =

hc+ha =

2(ha+hb+hc)

20 =

ha+hb+hc

10 ( 0,4 ®iĨm )

=> hc

5=

hb

2=

ha

3 => : hb : hc = : 2: ( 0,4 điểm )

Mặt khác S =

2a.ha=

1 2bhb=

1

2chc ( 0,4 ®iÓm )

=> a

1

ha

= b

hb

= c

hc

(0 , ®iĨm )

=> a :b : c = h1

a

:

hb:

1

hc=

1 3:

1 2:

1

5=10:15 :6 (0 ,4 ®iĨm )

VËy a: b: c = 10 : 10 : Câu 4: ( điểm )

Trên tia Ox lÊy A' , trªn tia Oy lÊy

B' cho O A' = O

B' = a ( 0,25 ®iĨm ) Ta cã: O A' + O B' = OA + OB = 2a => A A' = B B' ( 0,25 ®iĨm ) Gọi H K lần lợt hình chiếu

Của A B đờng thẳng A'

B'

Tam gi¸c HA A' = tam gi¸c KB B'

( c¹nh hun, gãc nhän ) ( 0,5

®iĨm ) => H A'

=K B', HK = A'B' (0,25

®iĨm)

Ta chứng minh đợc

HK AB (DÊu “ = “  A trïng A' B trïng B' (0,25 ®iĨm)

do A'

B'≤AB ( 0,2 ®iÓm )

VËy AB nhá nhÊt  OA = OB = a (0,25điểm )

Câu ( điểm )

Giả sử a+b+c=dQ ( 0,2 ®iÓm )

=> √a+√b=d −√a

=> b +b +2 √bc=d2+a+2d√a ( 0,2 ®iĨm)

=> √bc=(d2+a− b −c)−2d√a ( ) ( 0,2 ®iĨm)

(104)

=> 4bc = (d2+a − b− c) + d2a – 4b (d2+a − b− c) √a ( 0,2 ®iĨm)

=> d (d2+a − b− c) √a = (d2+a − b− c) + 4d 2a – bc ( 0,2 ®iĨm)

* NÕu d (d2

+a − b− c) # th×: d2+a −b − c¿2+4d2a −4 ab

¿ ¿

a=

là số hữu tỉ (0,2 5điểm )

** NÕu d (d2

+a − b− c) = thì: d =0 d 2+ a-b c = ( 0,25 ®iĨm )

+ d = ta cã : √a+√b+√c=0

=> √a=√b=√c=0∈Q (0,25 ®iĨm )

+ d 2+ a-b – c = th× tõ (1 ) =>

bc= da

Vì a, b, c, d nên √a=0∈Q ( 0,25 ®iĨm )

VËy √a số hữu tỉ