Do đó tứ giác AOMB nội tiếp b Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC 1 - M nằm trên đường trung trực của BC 2 Từ 1 và 2 suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra OM ⊥BC[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài ( điểm ): √ 10+ √ 20 −3 √ − √ 12 √5 − √3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − √ x −2008 a) Thực phép tính: Bài ( 1,5 điểm ): ¿ mx − y =2 x+ my=5 Cho hệ phương trình: ¿{ ¿ a) Giải hệ phương trình m=√ b) Tìm giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức m2 x+ y=1 − m +3 Bài (1,5 điểm ): y=− x , có đồ thị là (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M và N nằm trên (P) có hoành độ là −2 và b) Giải phương trình: x2 +3 x − √ x + x=1 a) Cho hàm số Bài ( điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC M và N MO MO + =1 a) Chứng minh: CD AB 1 + = b) Chứng minh: AB CD MN S AOB , SCOD , c) Biết S AOB =m2 ; SCOD =n Tính S ABCD theo m và n (với S ABCD là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD) Bài ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB cho AD và BC luôn song song Gọi M là giao điểm AC và BD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp b) OM BC c) Đường thẳng d qua M và song song với AD luôn qua điểm cố định Bài ( điểm ): 2 x y + ≥ x+ y y x b) Cho n là số tự nhiên lớn Chứng minh n4 + n là hợp số a) Cho các số thực dương x; y Chứng minh rằng: ======================= Hết ======================= Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ……………… (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và thống Hội đồng chấm thi 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án: Bài Nội dung Điểm 0,25 ( √ 5− √ 3)(3 √ 2+2) a) Biến đổi được: √5 − √3 ¿ √2+2 0,25 b) Điều kiện x ≥ 2008 1 x − √ x −2008=(x − 2008 −2 √ x −2008+ )+2008 − 4 (1đ) ¿ 8031 8031 0,25 ≥ √ x −2008 − ¿ 2+ 4 ¿¿ 8033 Dấu “ = “ xảy √ x −2008= ⇔ x= (thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ 0,25 8031 8033 x= cần tìm là 4 ¿ x − y =2 √ 0,25 a) Khi m = √ ta có hệ phương trình x+ √2 y=5 ¿{ ¿ ⇔ 0,25 x − √ y=2 √ x+ √ y=5 ⇔ 2+5 0,25 ¿ x= √ (1,5đ) y =√ x − ¿{ ⇔ √2+5 x= 5 √ −6 y= ¿{ 2m+5 m −6 ; y= b) Giải tìm được: x= 0,25 m +3 m +3 2 m m+5 m− m + =1 − Thay vào hệ thức x+ y=1 − ; ta 0,25 m +3 m +3 m +3 m +3 Giải tìm m= 0,25 a) Tìm M(- 2; - 2); N (1:− ) 0,25 Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M và N nên (3) ¿ −2 a+b=− a+b=− ¿ { (1,5đ) ¿ Tìm a= ; b=− Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y= x − b) Biến đổi phương trình đã cho thành 3( x + x) −2 √ x + x − 1=0 Đặt t=√ x2 + x ( điều kiện t ), ta có phương trình t −2 t −1=0 Giải tìm t = t = − (loại) −1+ √ Với t = 1, ta có √ x2 + x=1 ⇔ x + x −1=0 Giải x= −1− √ x= 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ A M D O N 0,25 C MO AM MO MD = ; = CD AD AB AD MO MO AM+ MD AD + = = =1 (1) Suy CD AB AD AD NO NO + =1 (2) b) Tương tự câu a) ta có CD AB MO+NO MO+NO MN MN + =2 hay + =2 (1) và (2) suy CD AB CD AB 1 + = Suy CD AB MN S AOB OB S AOD OA OB OA S S = ; = ; = ⇒ AOB = AOD S AOD OD S COD OC OD OC S AOD SCOD c) ⇒ S 2AOD=m2 n2 ⇒ S AOD=m n m+n ¿2 S =m n Tương tự Vậy BOC S ABCD =m2 +n2 +2 mn=¿ Hình vẽ (phục vụ câu a) a) Chứng minh (2đ) B 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) A D I O M B (3đ) C a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB và AMB O và M cùng phía với AB Do đó tứ giác AOMB nội tiếp b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực BC (1) - M nằm trên đường trung trực BC (2) Từ (1) và (2) suy OM là đường trung trực BC, suy OM ⊥BC c) Từ giả thiết suy d ⊥OM Gọi I là giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 900 , đó OI là đường kính đường tròn này Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định Vậy d luôn qua điểm I cố định a) Với x và y dương, ta có (1đ) x2 y2 + ≥ x+ y y x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) x− y ¿ ≥0 (2) 3 ⇔ x + y ≥ xy( x + y )⇔( x + y )¿ (2) luôn đúng với x > 0, y > Vậy (1) luôn đúng với x> , y > b) n là số tự nhiên lớn nên n có dạng n = 2k n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn k ¿4 + 42 k - Với n = 2k, ta có lớn và chia hết cho Do đó n4 + n là n n + =¿ hợp số -Với n = 2k+1, tacó n 2k ¿2 n2 +2 4k ¿2 −¿ k ¿2 =¿ n4 + n=n 4+ k 4=n +¿ = (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ] Mỗi thừa số lớn Vậy n4 + 4n là hợp số ======================= Hết ======================= 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ( Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài (1,5 điểm ): a) Thực phép tính: √ 10+ √ 20 −3 √ − √ 12 √5 − √3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − √ x −2008 Bài (2 điểm ): Cho hệ phương trình: ¿ mx − y =2 x+ my=5 ¿{ ¿ a) Giải hệ phương trình m=√ b) Tìm giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức m x+ y=1 − m +3 Bài (2 điểm ): y=− x , có đồ thị là (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M và N nằm trên (P) có hoành độ là −2 và a) Cho hàm số b) Giải phương trình: x2 +3 x − √ x + x=1 Bài ( 1,5 điểm ): (6) Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC M và N a) Chứng minh: MO MO + =1 CD AB b) Chứng minh: 1 + = AB CD MN Bài ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB cho AD và BC luôn song song Gọi M là giao điểm AC và BD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp b) OM BC c) Đường thẳng d qua M và song song với AD luôn qua điểm cố định ======================= Hết ======================= Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và thống Hội đồng chấm thi 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án: Bài Nội dung Điểm 0,50 ( √ 5− √ 3)(3 √ 2+2) a) Biến đổi được: √5 − √3 ¿ √2+2 0,25 b) Điều kiện x ≥ 2008 1 x − √ x −2008=(x − 2008 −2 √ x −2008+ )+2008 − 4 (1,5đ) ¿ 8031 8031 0,50 ≥ √ x −2008 − ¿ 2+ 4 ¿¿ 8033 Dấu “ = “ xảy √ x −2008= ⇔ x= (thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ 0,25 8031 8033 x= cần tìm là 4 (7) ¿ √ x − y =2 a) Khi m = √ ta có hệ phương trình x+ √ y=5 (2đ) (2đ) ¿{ ¿ ¿ ⇔ x − √ y=2 √ x+ √2 y=5 ¿ ⇔ 2+5 x= √ y =√ x − ¿ ¿{ ¿ ⇔ √2+5 x= 5 √ −6 y= ¿{ 0,25 0,25 0,25 2m+5 m −6 ; y= 2 m +3 m +3 m m+5 m− m2 + =1 − Thay vào hệ thức x+ y=1 − ; ta m +3 m2+3 m2 +3 m2+3 Giải tìm m= a) Tìm M(- 2; - 2); N (1:− ) Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M và N nên ¿ −2 a+b=− a+b=− ¿{ ¿ Tìm a= ; b=− Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y= x − 2 b) Biến đổi phương trình đã cho thành 3(x + x)−2 √ x +x − 1=0 Đặt t =√ x2 + x ( điều kiện t ), ta có phương trình t −2 t −1=0 Giải tìm t = t = − (loại) −1+ √ Với t = 1, ta có √ x2 + x=1 ⇔ x + x −1=0 Giải x= −1− √ x= b) Giải tìm được: 0,25 x= 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ 0,25 (8) A B M O N D C MO AM MO MD = ; = CD AD AB AD MO MO AM+MD AD = =1 (1) (1,5đ) Suy CD + AB = AD AD NO NO + =1 (2) b) Tương tự câu a) ta có CD AB MO+NO MO+NO MN MN + =2 hay + =2 (1) và (2) suy CD AB CD AB 1 + = Suy CD AB MN a) Chứng minh Hình vẽ 0,25 0,50 0,25 0,25 (phục vụ câu a) 0,25 A D I O M (3đ) B C a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB và AMB O và M cùng phía với AB Do đó tứ giác AOMB nội tiếp b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực BC (1) - M nằm trên đường trung trực BC (2) Từ (1) và (2) suy OM là đường trung trực BC, suy OM ⊥BC c) Từ giả thiết suy d ⊥OM Gọi I là giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 900 , đó OI là đường kính đường tròn này Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định Vậy d luôn qua điểm I cố định ======================= Hết ======================= 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (9) (10)