Đang tải... (xem toàn văn)
1 KD QA MB KD QD vì QA=MA 1 hay MB IB QD ID 2 *Mặt khác theo lời giải trong tính chất 1 thì ta đã biết: KB IB Từ 1 và 2 suy ra KD ID KB IB ID Vì I nằm trong đoạn BD và K nằm ng[r]
(1)Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Bài viết này xin giới thiệu đôi chút “hàng điểm điều hòa”- công cụ tương đối mạnh và hấp dẫn giải toán hình học phẳng Để các bạn dễ theo dõi tôi xin trình bày lại số lí thuyết công cụ này: I.Căn nội công : a Hàng điểm điều hoà: Định nghĩa: Trên đường thẳng ta lấy bốn điểm A, B, C , D Khi đó ta gọi A, B, C , D là hàng DA CA CB (1) điểm điều hòa nó thỏa mãn hệ thức sau: DB Kí hiệu: ( A, B, C , D) A C B D Sau đây là số định định lí quan trọng cần biết bài viết này(được suy trực tiếp từ định nghĩa): *Định lí 1:(Hệ thức Niutơn) 2 Cho ( A, B, C , D ) Gọi N là trung điểm AB Khi đó NA NB NC ND (2) A N C B D *Nhận xét: Thực (1) và (2) là tương đương nên điểm A,B,C,D thỏa mãn (2) thì ta có điều ngược lại là ( A, B, C , D) Định lí này và định nghĩa là hai dấu hiệu phổ biến để chứng minh điểm là hàng điểm điều hòa Vấn đề để chứng tỏ hàng điểm là điều hòa xem đã giải quyết, đã có hàng điểm điều hòa thì ta thu gì? Câu hỏi này giải đáp qua hai định lí quan trọng sau: *Định lí 2: Cho ( A, B, C , D ) Lấy O cho OC là phân giác AOB thì OD là phân giác ngoài AOB O A C B D (2) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học *Nhận xét: Từ đó suy COD 90 đó định lí này có ý nghĩa thực quan trọng bài chứng minh vuông góc Mặt khác có điều ngược lại tức COD 90 thì OC là phân giác và OD là phân giác ngoài AOB điều này có ý nghĩa quan trọng cho bài chứng minh yếu tố phân giác Định lí 3: Cho (A,B,C,D) = -1 và điểm O nằm ngoài hàng điểm điều hòa trên Một đường thẳng d cắt ba tia OC,OB, OD E,I và F Khi đó I là trung điểm EF và d song song với OA O F I E A C B D *Nhận xét: Định lí này có ý nghĩa các bài toán chứng minh trung điểm và song song Một câu hỏi nhỏ là phải các hàng điểm điều hòa này là hiếm, thật không phải vậy, cần có hàng điểm điều hòa thì ta có thể “sinh sôi nảy nở” hàng loạt hàng điểm điều hòa con, các bạn hiểu rõ điều trên qua định lí “chùm điều hòa” sau đây : b.Chùm điều hòa: Định nghĩa: Cho hàng điểm điều hòa (A, B, C, D) = -1 và O nằm ngoài hàng điểm điều hòa trên Khi đó ta gọi OA,OB,OC,OD là chùm điều hòa và kí hiệu (OA,OB,OC,OD) = -1 (3) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học O A C D B Định lí: Cho (OA,OB,OC,OD) = -1.Một đường thẳng d bất kì cắt các cạnh OA,OB,OC,OD E,F,G,K đó ta có (E, F, G, K) = -1 O K F A E G C B D *Nhận xét: Qua định lí trên chúng ta có thể thấy từ hàng điểm điều hòa ban đầu “sinh sôi” vô số chùm điều hòa xung quanh(cứ điểm ngoài hàng điểm điều hòa nói trên cho ta chùm điều hòa tương ứng) Và chùm điều hòa lại cho ta vô số hàng điểm điều hòa Mà cần số chúng kết hợp khéo léo với các định lí hai và ba cho nhiều bài hình học hiểm ác với biến ảo khôn lường… Việc chứng minh các định lí một,hai,ba định lí “chùm điều hòa” là đơn giản nên xin dành lại cho bạn đọc(nếu có thắc mắc gì trao đổi thêm) Sau đây chúng ta khảo sát vài bài toán để thấy phần nào vẻ đẹp và sức mạnh công cụ vừa dẫn II.Một số bài toán minh họa: Chúng ta bắt đầu bài toán quan trọng sau: Bài toán 1: Cho tam giác ABC Lấy E trên BC, F trên AC và K trên AB cho AE,BF,CK đồng quy điểm Khi đó T là giao điểm FK với BC thì (T , E , B, C ) Lời giải: (4) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học A F K T E B C Trong tam giác ABC: +Áp dụng định lí Xêva với ba đường đồng quy AE,BF,CK ta có: EB FC KA EC FA KB (1) +Mặt khác áp định lí Mênêlaúyt với ba điểm thẳng hàng T,K,F lại cho ta: TC KB FA 1 TB KA FC (2) Nhân (1) và (2) vế theo vế suy ra: TB EB TC EC Theo định nghĩa thì (T , E , B, C ) ,đây chính là đpcm Bài toán 1.1: Cho tam giác ABC và H là chân đường cao kẻ từ A Trên đoạn thẳng AH ta lấy điểm I bất kì kẻ BI cắt AC E và CI cắt AB F.Chứng minh AH là phân giác EHF Lời giải: A E F B I H C Một bài toán đơn giản nhưng…khó đến kinh ngạc, bạn phải làm gì đối mặt với bài vậy? …??? (5) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Khi nhắc đến bài toán này tôi nhớ đến lời giải độc đáo anh Hatucdao, lời giải thực ấn tượng mạnh với tôi, nên xin trích dẫn sau đây để các bạn chiêm ngưỡng: “Kết là hiển nhiên tam giác ABC cân Giả sử ABC không cân ta có thể giả sử AC>AB.Dựng tam giác ABP cân A và AP cắt HE Q Gọi F’ là điểm đối xứng QA F ' A QB F 'B EHF ' Q qua AH Khi đó AH là phân giác và Áp dụng định lí Mênêlaúyt cho tam giác ACP với ba điểm thẳng hàng H,Q,E ta có: HP EC QA HB EC F ' A 1 HC EA QB HC EA F ' B Theo định lí ceva ta có AH , BE , CF ' đồng quy từ đó suy đpcm” A E F' B Q P H C Một viên ngọc không dấu vết phải công nhận là khó nghĩ Dẫu thì việc cảm nhận vẻ đẹp tinh túy lời giải trên giúp chúng ta thấm thía và quý trọng cách làm đây, điều quan trọng lời giải, là nó cho ta thấy gốc rễ vấn đề: A E L F I K B H C2: Kẻ EF cắt BC K theo bài toán ta có ( K , H , B, C ) (1) Gọi L là giao điểm EF với AH C (6) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Từ (1) suy ( AK , AH , AB, AC ) suy ( K , L, F , E ) (định lí chùm điều hòa) Vì LHK 90 nên theo nhận xét định lí ta có đpcm *Nhận xét: Quá ngắn gọn phải không, tôi nghĩ có thể bài toán trên đã đặt Các bạn có thể thấy vài biến đổi nhỏ và kĩ xảo để che dấu điểm K đã khiến cho bài toán 1.1 trở nên cực khó Tất nhiên từ lời giải này chúng ta có thể phát biểu bài toán tổng quát sau: Bài toán 1.2:(đề thi Iran) Cho tam giác ABC, lấy T,E,F thuộc các đoạn BC,CA,AB cho đường thẳng AT,BE,CF đồng quy điểm.Gọi L là giao điểm AT và EF.Gọi H là hình chiếu L xuống BC Chứng minh LH là phân giác EHF A F K B E L H T C *Nhận xét: Nói chung từ hàng điểm điều hòa ban đầu ta có thể “sinh sôi nảy nở” nhiều hàng điểm điều hòa khác mà chúng kết hợp với các định lí và cho ta nhiều tính chất thú vị Thí dụ các bài 1.1 và 1.2 là “sản phẩm” định lí Nếu bạn thích có thể sử dụng định lí để “xuất khẩu” sản phẩm mới, chẳng hạn bài toán sau đây: Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC, lấy T,E,F thuộc các đoạn BC,CA,AB cho đường thẳng AT,BE,CF đồng quy điểm I Kẻ đường thẳng qua I song song với TE và cắt TF,TB M và L Chứng minh M là trung điểm LI (7) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học A E F I M L B T C Qua các thí dụ trên các bạn có thể thấy từ vấn đề người ta có thể phát biểu cách khác nhau, cách mà đọc đề chúng ta không thấy bất kì liên hệ gì từ chúng, thực tất chúng xuất phát từ gốc rễ Nắm gốc rễ tức là ta đã nắm bài toán Tất nhiên từ bài toán sản sinh lớp các bài toán rộng lớn, tôi không có thời gian nêu thêm đây mà hi vọng các bạn gặp số đó nhanh chóng cho nó… “lộ rõ nguyên hình” Bây tôi xin vào không gian khác chút với các cách khai thác đã nêu trên nhằm giúp các bạn có cái nhìn sâu sắc cho bài toán Nhưng trước hết tôi trang bị cho các bạn số tính chất cần thiết, sau đó chúng ta tìm cách liên hệ với bài toán sau Tính chất 1: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q là các tiếp điểm AB,BC,CD,DA với đường tròn; đó ta có MP,NQ,AC,BD đồng quy điểm Lời giải: A M B Q I N O E D Hạ CE // AB P C (8) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Chú ý MOP OPM BMP CPM CE CP IA AM AM PC (1) Do đó gọi I là giao điểm AC với MP thì ta có: IC EC I ' A AQ Tương tự gọi I ' là giao điểm AC với NQ thì ta có: I ' C NC (2) Chú ý AM=AQ và PC=NC nên từ (1) và (2) suy I I ' suy MP,NQ,AC đồng quy (3) Lập luận tương tự ta có MP,NQ,BD đồng quy (4) Kết hợp (3) và (4) ta đpcm Tính chất 2: MA k Cho hai điểm A,B cố định M là điểm thỏa mãn MB (k là số), đó quỹ tích điểm M là đường tròn cố định Gợi ý: Lấy N à K trên AB cho MN,MK là phân giac và phân giác ngoài AMB Hãy chứng tỏ N,K cố định và quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính NK Việc chứng minh này không khó nên xin nhường cho bạn đọc *Chú ý tính chất hai là bài toán tiếng và quỹ tích điểm M gọi là “đường tòn Apôlôut” M K A N B Tính Chất 3: Cho đường tròn (O) Lấy điểm A ngoài đường tròn (O), từ A ta kẻ hai tiếp tuyến AK,AN và cát tuyến ACD bất kì đường tròn trên Hai tiếp tuyến qua C và D đường tròn cắt M Khi đó ta có K,M,N thẳng hàng (9) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học M K D C A O N Lời giải: KC NC k Dễ dàng chứng minh KD ND (1) N 'C k Gọi N’ là giao điểm MK với (O) ta chứng minh N ' D (2) DNC Gọi E và F là phân giác và phân giác ngoài Sử dụng tính chất cho (1) và (2) suy N và N’ thuộc đường tròn đường kính EF Mặt khác N và N’ thuộc (O) đó N và N’ là giao điểm (O) với đường tròn đường kính EF.Bây ta chú ý đường tròn(O) và đường tròn đường kính EF cắt hai điểm nằm trên hai mặt phẳng khác bờ DC N,N’ lại cùng trên mặt phẳng bờ DC điều trên cho ta N ' N đpcm Tính chất 4: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q là các tiếp điểm AB,BC,CD,DA với đường tròn Chứng minh MQ,NP và DB đồng quy điểm (10) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học K A M B Q O D N P C Lời giải: Gọi K là giao điểm QM với DB Áp dụng định lí Mênêlaúyt cho tam giác ABD với ba điểm thẳng hàng Q,M,K ta có: MA KB QD 1 MB KD QA (1) QD PD MA NC QA PC MB NB Chú ý và Do đó từ (1) suy NC KB PD 1 NB KD PC Theo định lí Mênêlaúyt đảo suy K,N,P thẳng hàng suy đpcm Tính chất 5: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q là các tiếp điểm AB,BC,CD,DA với đường tròn Gọi K là giao điểm MQ với NP.Chứng minh OK AC Lời giải: Gọi E và F là hai giao điểm AC với (O) Hai tiếp tuyến qua E và F (O) cắt K’ Theo tính chất suy K’,N,P thẳng hàng và K’,M,Q thẳng hàng hay K’ là giao điểm MQ với NP hay K ' K Vậy KE,KF là hai tiếp tuyến K với (O) suy KO EF hay KO AC (đpcm) (11) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học K A E B M Q N O F D P C Và cuối cùng là tính chất quan trọng có ý nghĩa là cầu nối các tính chất nêu trên với bài toán chúng ta Tính chất 6: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q là các tiếp điểm AB,BC,CD,DA với đường tròn Gọi K là giao điểm MQ với NP và I là giao điểm MP với QN Chứng minh ( D, B, I , K ) (12) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học K A M B Q O D I P N C Lời giải: *Áp dụng định lí Mênêlaúyt cho tam giác ABD với điểm thẳng hàng K,M,Q ta có: KB QD MA KB MB 1 KD QA MB KD QD (vì QA=MA) (1) hay MB IB QD ID (2) *Mặt khác theo lời giải tính chất thì ta đã biết: KB IB Từ (1) và (2) suy KD ID KB IB ID Vì I nằm đoạn BD và K nằm ngoài đoạn BD nên: KD Vậy ( D, B, I , K ) (đpcm) *Nhận xét: Việc xuất hàng điểm điều hòa (tính chất 6) đây đóng vai trò vô cùng quan trọng, để dễ hiểu các bạn hãy tưởng tượng năm tính chất 1,2,3,4,5 kho thuốc súng có sức tàn phá khủng khiếp bị đè nén bao, và tính chất chính là mồi kích hoạt kho thuốc súng để tạo nên bùng nổ vô cùng ghê gớm, đến mức, hàng loạt các tính chất sinh dồn dập đến chóng mặt… Do khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi xin trình bày số kết tương đối quen thuộc(được rút từ tính chất trên) với hi vọng đưa đến cho các bạn cái nhìn mẽ vấn đề không mẽ chút nào Xin bắt đầu chiến dịch bài trên “tạp chí Toán học và tuổi trẻ”: (13) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Bài toán 1.4: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi E,F là giao điểm AC với (O) Hạ OH DB Chứng minh AHE CHF (*) K A M B E N I O Q F H P C L D Lời giải: Gọi M,N,P,Q là tiếp điểm AB,BC,CD,DA với (O) Đặt L MN QP , K QM PN và I DK AL Vì hai tứ giác KEOH và KFOH nội tiếp suy điểm K,E,O,H,F cùng thuộc đường tròn suy EHK FHK để chứng minh (*) ta cần chứng minh HI là phân giác AHC Thật theo tính chất suy HI vuông góc AL và theo kết tính chất thì ta đã có ( A, C , I , L) áp dụng định lí suy HI là phân giác AHC (đpcm) Bài toán 1.5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) và M,N,P,Q là các tiếp điểm AB,BC,CD,DA Đặt K AD BC , L AB DC , E QM PN , F QP MN Chứng minh điểm K,L,E,F cùng nằm trên đường thẳng (14) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học T K E' A M Q I B N L O C P D Lời giải: Gọi I là giao điểm BD với AC, E’ là giao điểm DB với KL, T là giao điểm CE’ với DK, theo bài toán thì (T , A, K , D) suy (CT , CA, CK , CD ) theo định lí chùm điều hòa suy ( E ', I , B, D) nhiên theo tính chất thì đã có ( E , I , B, D) Do E ' E suy E,K,L thẳng hàng (1) Lập luận tương tự có F,K,L thẳng hàng (2) Kết hợp (1) và (2) suy đpcm *Nhận xét: Quá bất ngờ phải không? Những bài toán tưởng chừng hoàn toàn xa lạ tìm ẩn bên lại là mối quan hệ vô cùng khăn khít Tất chúng tạo nên hệ thống với biến ảo khôn lường Vấn đề đến đây lại mở nhiều vấn đề hấp dẫn mới, chúng ta khai thác chút xíu xem thử có thu điều gì thú vị không nhá Bài toán 1.6: Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O) có QM PN K , MN QP L , MP QN I Chứng minh I là trực tâm tam giác KOL (15) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học K A M B N O Q I C P L D Lời giải: Kẻ tiếp tuyến qua M,N,P,Q chúng cắt điểm là A,B,C,D (hình vẽ) Theo tính chất thì I là giao điểm AC với BD Theo tính chất thì BD OL Theo tính chất thì D,B,K thẳng hàng Suy KI OL Tương tự LI KO Vậy ta có đpcm *Nhận xét: Kết bài 1.6 giúp ta có mối liên hệ tuyệt vời với bài 1.2 để bài toán sau: Bài toán 1.7: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Đặt K DA CB , L AB DC , I AC BD OI cắt KL H Chứng minh OH là phân giác AHC Lời giải: (16) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học K H A B I O D C L Theo bài 1.6 thì I là trực tâm tam giác KOL suy OI KL Đến đây bài toán này đã trở thành bài toán 1.2 và vấn đề giải Còn nhiều hướng khai thác xung quanh vấn đề này việc trình bày quá tốn thời gian nên để các bạn tự tìm tòi thêm Cuối cùng xin nêu lên vấn đề có tính gợi mở để các bạn xem chơi: Bài toán 1.8: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Đặt K DA CB , L AB DC , Gọi M,N,P,Q là tiếp điểm AB,BC,CD,DA với (O) Đặt F PQ MN , E QM PN Chứng minh ( F , E , K , L) Lời giải: +Theo bài toán 1.5 thì F,K,E,L thẳng hàng +Theo tính chất 1.4 thì CA,MN,PQ đồng quy suy F AC Do theo bài toán ta có ( F , E , K , L) (Xem hình bên dưới) *Hẳn qua các thí dụ trên các bạn đã thấy thích thú nhìn bài toán hình học mắt “hàng điểm điều hòa” Nhờ nó mà ta có thể thông suốt nhiều vấn đề để cuối cùng ngộ ra…tất quá rõ ràng và hiển nhiên Tất nhiên còn nhiều bài toán sản sinh từ các điều đã nêu trên, cần “chùm điều hòa” soi vào là “lộ rõ nguyên hình” nên chúng ta không cần nêu thêm đây cho tốn giấy mực làm gì Xin mời các bạn nhìn lại hình vẽ đây để tưởng nhớ lại toàn các điều đã học trên, trước bước vào lớp các bài toán khác: (17) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học F K E A M B N Q L O C P D Bài toán 2: Cho A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC đó B,C là hai tiếp điểm AO cắt đường hai điểm E,F và cắt cạnh BC K Chứng minh ( A, K , E , F ) B F O K E A C Lời giải: Ta có OB OK OA (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) 2 Mặt khác: OB OE OF (2) 2 Từ (1) và (2) suy OE OF OK OA (18) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Theo nhận xét định lí suy đpcm *Một hệ thấy từ bài toán này là: Bài toán 2.1: Cho A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC đó B,C là hai tiếp điểm Kẻ cát tuyến AMN bất kì đó N nằm A và M AO cắt đoạn BC và cung nhỏ BC K và E Chứng minh ME là phân giác KMA B M N F O K A E C Lời giải : Gọi F là giao điểm thứ hai AE với (O) theo bài toán ta có ( A, K , E , F ) Vì FME 90 nên theo nhận xét định lí ta có đpcm Tinh tế chút ta thu bài toán khó sau: Bài toán 2.2: Cho tam giác ABC bất kì Lấy điểm I đường tròn cho IAB IBC và IAC ICB Lấy V là điểm trên AI cho BVC 900 Chứng minh BV là phân giác ABI và CV là phân giác ACI Lời giải: B T E I V A Gọi E là giao điểm AI với BC Vì IBE EAB (g.g) Suy EB EI EA (1) C (19) Kim Luân Hàng điểm điều hòa - vẻ đẹp quyến rũ hình học Tương tự: EC EI EA (2) Từ (1) và (2) suy E là trung điểm BC Vẽ đường tròn đường kính BC đường tròn này qua V và nhận E làm tâm đó EV ET EB (3) 2 Từ (1) và (3) suy EV ET EI EA Theo nhận xét định lí ta có ( A, E , I , T ) Mà VBT 90 Nên theo định lí suy BV là phân giác ABI Lập luận tương tự suy CV là phân giác ACI Vậy bài toán giải trọn vẹn *Nhận xét: +Điểm I xác định trên có nhiều tính chất kì lạ bài viết đã tương đối dài nên xin tạm gác lại đây, có dịp chúng ta bàn lại vấn đề này sau Các bạn thân mến hẳn qua các thí dụ trên các bạn đã phần nào thấy vẻ đẹp điều hòa hình học Trong sống chúng ta cần tạo cho mình điều hòa cần thiết nó giúp ta khỏe mạnh và yêu đời hơn… Chúc tất người sống điều hòa (20)