Ứng dụng hàng điểm điều hòa trong bài toán đường phân giác và bài toán đồng quy, thẳng hàng

ỨNG DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA TRONG BÀI TỐN ĐƯỜNG PHÂN GIÁC VÀ BÀI TOÁN ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG Tác giả: Nguyễn Bá Hoàng Trường THPT Chuyên Lào Cai A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Các tốn Hình học phẳng thường xun xuất kì thi HSG mơn tốn ln đánh giá nội dung khó đề thi Có nhiều dạng tập hình học phẳng với tương ứng công cụ cùng, hàng điểm điều hịa cơng cụ mạnh để giải nhiều lớp tốn hình học Mặc dù vấn đề quen thuộc hình học phẳng, kiến thức đơn giản dễ hiểu, nhiên có ứng dụng nhiều tốn chứng minh vng góc, đồng quy, thẳng hàng, điểm cố đinh, đường cố định hay tốn tập hợp điểm… Chính kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế khu vực, tốn có liên quan đến hàng điểm điều hịa thường xuyên đề cập thường xem dạng tốn hay kì thi Chính tác giả lựa chọn chuyên đề: "Ứng dụng hàng điểm điều hịa tốn phân giác đồng quy, thẳng hàng" để thấy ứng dụng quan trọng hàng điểm điều hòa nhiều dạng tập hình học phẳng Trong chuyên đề tác giả cố gắng tập hợp toán đặc trưng cho việc sử dụng cơng cụ hàng điểm điều hịa II Mục đích chun đề Thơng qua chun đề "Ứng dụng hàng điểm điều hịa tốn phân giác đồng quy, thẳng hàng" tác giả mong muốn nhận góp ý trao đổi bạn đồng nghiệp em học sinh Chúng mong muốn chuyên đề góp phần nhỏ để việc ứng dụng hàng điểm điều hịa tốn hình học phẳng đạt hiệu cao Từ giúp em học sinh hiểu rõ việc sử dụng hàng điểm điều hòa tăng khả vận dụng vào giải tốn hình học cách tốt B PHẦN NỘI DUNG I Hệ thống lý thuyết hàng điểm điều hòa Tỉ số kép hàng điểm a) Định nghĩa + Bộ bốn điểm đơi khác có kể đến thứ tự thuộc đường thẳng gọi hàng điểm + Tỉ số kép hàng điểm A, B, C , D số, kí hiệu (ABCD) xác định bởi:  ABCD   CA DA : CB DB b) Tính chất tỉ số kép: +)  ABCD    CDAB    BADC    DCBA +)  ABCD   1   BACD   ABDC  +) Nếu  ABCD    ABCD ' D  D ' +)  ABCD     ACBD     DBCA  Hàng điểm điều hòa a) Định nghĩa 2: A C B D Nếu  ABCD   1 hàng điểm A, B, C, D gọi hàng điểm điều hịa Nói cách khác CA   DA hàng điểm A, B, C, D gọi hàng điểm điều hòa CB DB b) Một số định định lí quan trọng (được suy trực tiếp từ định nghĩa): Định lí 1: (Hệ thức Newton) Cho ( ABCD )  1 Gọi N trung điểm AB Khi NA2  NB  NC.ND Định lí 2: (Hệ thức Descartes) Cho ( ABCD )  1 Khi 1   AB AC AD Định lí 3: (Hệ thức Maclaurin) Cho ( ABCD )  1 Gọi I trung điểm CD Khi AC AD  AB AI AOB OD phân Định lí 4: Cho ( A, B, C , D )  1 Lấy O cho OC phân giác  giác  AOB   900 định lí có ý nghĩa thực quan trọng Nhận xét: Từ suy COD   900 OC chứng minh vng góc Mặt khác có điều ngược lại tức COD phân giác OD phân giác ngồi  AOB điều có ý nghĩa quan trọng cho chứng minh yếu tố phân giác Định lí 5: Cho ( A, B, C , D )  1 điểm O nằm hàng điểm điều hòa Một đường thẳng d cắt ba tia OC, OB, OD E, I F Khi I trung điểm EF d song song với OA Nhận xét: Định lí có ý nghĩa toán chứng minh trung điểm song song c) Một số hàng điểm điều hòa bản: Hàng điểm 1: Cho tam giác ABC Gọi AD, AE tương ứng đường phân giác trong, đường phân giác tam giác ABC Khi (BCDE) = -1 Chứng minh Sử dụng tính chất đường phân giác định nghĩa Hàng điểm 2: Cho tam giác ABC điểm O không thuộc đường thẳng BC, CA, AB Các đường thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt đường BC, CA, AB E, F, K Hai đường thẳng BC, FK cắt T Khi (TEBC) = -1 Chứng minh A F K T B E C Trong tam giác ABC: +Áp dụng định lí Cêva với ba đường đồng quy AE, BF, CK ta có: EB FC KA  1 (1) EC FA KB +Mặt khác áp định lí Menelaus với ba điểm thẳng hàng T, K, F lại cho ta: Nhân (1) (2) vế theo vế suy ra: TB EB  TC EC Theo định nghĩa (T , E , B, C )  1 ,đây đpcm TC KB FA  (2) TB KA FC Hàng điểm 3: Từ điểm A bên đường tròn (O), kẻ tới (O) tiếp tuyến AB, AC  B, C   O   Một đường thẳng qua A, cắt đường tròn (O) M, N cắt AB D Khi  ADMN   1 Chứng minh Sử dụng hệ thức Marlaurin Tỉ số kép chùm đường thẳng - Chùm điều hòa 3.1 Chùm đường thẳng tỉ số kép nó: a) Định nghĩa - Tập hợp đường thẳng mặt phẳng qua điểm S gọi chùm đầy đủ đường thẳng tâm S - Bộ đường thẳng đôi khác nhau, có kể đến thứ tự, thuộc chùm đầy đủ đường thẳng gọi chùm đường thẳng b) Tỉ số kép chùm đường thẳng: Định lí 6: Cho a,b, c, d chùm đường thẳng tâm O Đường thẳng  không qua O theo thứ tự cắt a, b, c, d A, B, C, D Đường thẳng  ' không qua O theo thứ tự cắt a, b, c A', B', C' Khi  '/ / d   ABCD   C ' A' C 'B' Định lí 7: Cho a, b, c, d chùm đường thẳng tâm O Đường thẳng  không qua O theo thứ tự cắt a, b, c, d A, B, C, D Đường thẳng  ' không qua O theo thứ tự cắt a, b, c, d A ', B ', C ', D ' Khi  ABCD    A ' B ' C ' D '  Từ định lí 7, ta nhận thấy, tỉ số kép (ABCD) không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng  Khi giá trị không đổi tỉ số kép (ABCD) gọi tỉ số kép chùm đường thẳng a, b, c, d kí hiệu  abcd  O  abcd  với O tâm chùm     sin OA, OC sin OB, OC Từ ta suy  abcd    ABCD     :   sin OA, OD sin OB, OD         3.2 Phép chiếu xuyên tâm a) Định nghĩa 4: Cho đường thẳng (d) Điểm S (d) Với điểm M (M không thuộc đường thẳng qua S song song (d)), SM cắt (d) M’ Khi ánh xạ f: M → M’ phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S lên (d) b) Định lí 8: Phép chiếu xun tâm bảo tồn tỉ số kép Để chứng minh định lí trước hết ta cần phát biểu bổ đề Bổ đề 1.1 Cho S A, B, C, D thuộc (d) Từ C kẻ đường thẳng song song SD cắt SA, SB A’, B’ Khi (ABCD)  CA ' CB' Thật theo định lí Talet ta có: (ABCD)  CA DA AC DB CA ' DS CA ' :  :  :  CB DB AD CB DS CB ' CB ' Trở lại định lí ta có (ABCD)  CA ' C1A ''   (A1B1C1D1) CB' C1B'' (d.p.c.m) Nhận xét: A, B, C, D hàng điểm điều hòa  C trung điểm A’B’ Từ định lí 1.3 ta có hệ quả: Hệ 1.2 Cho đường thẳng đồng quy đường thẳng  cắt đường thẳng A, B, C, D (ABCD) khơng phụ thuộc vào  Hệ 1.3 Cho hai đường thẳng 1 ,  cắt O A, B, C  1 , A ', B ', C '   Khi đó: (OABC)  (OA ' B 'C ')  AA ', BB ', CC ' đồng quy đôi song song Chứng minh TH1 AA’, BB’, CC’ song song BO CO B 'O C 'O :  : BA CA B' A C ' A  (OABC)  (OA ' B'C ')  TH2 AA’, BB’,CC’ không đôi song đặt AA ' BB '  S,SC    C" Ta có: (OA 'B'C ')  (OABC)  (OA 'B'C")  (OA 'B'C ')  (OA 'B'C")  C '  C '' Vậy AA’, BB’, CC’đồng quy Phép chiếu xuyên tâm có nhiều ứng dụng xuất hầu hết tốn có diện hàng điểm điều hịa, lí tránh trùng lặp với phần khác, ta nghiên cứu ứng dụng phép chiếu xuyên tâm việc chứng minh đồng quy thẳng hàng phần 3.3 Chùm điều hòa: a) Định nghĩa 5: Chùm a, b, c, d gọi chùm điều hòa  abcd   1 b) Tính chất: Với chùm a, b, c, d , điều kiện sau tương đương: (i) (abcd) = -1 (ii) Tồn đường thẳng song song với đường chùm định ba đường lại hai đoạn thẳng (iii) Mọi đường thẳng song song với đường chùm định ba đường lại hai đoạn thẳng c) Tính chất: Với chùm điều hòa a, b, c, d, điều kiện sau tương đương: (i) c  d (ii) c phân giác góc tạo a, b (iii) d phân giác góc tạo a, b Tứ giác điều hòa 4.1 Định nghĩa Tứ giác nội tiếp ABCD gọi điều hòa tồn điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác cho M(ACBD)=-1 Nhận xét: Tứ giác ABCD điều hịa với điểm M thuộc (O) ta có M(ACBD)=-1 Chú ý:     sin( MB, MA) sin( MD, MA)   :   1) M(ACBD) định nghĩa sau: M( ACBD)  sin( MB, MC) sin( MD, MC) 2) Trong phần ta quy ước (O) đường tròn ngoại tiếp tứ giác điều hịa ABCD 4.2 Tính chất a) Tứ giác ABCD điều hòa  AB.CD  AD.CB Nhận xét: 1) Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác điều hịa ABCD ta có: AC BD  AB.CD  AD.CB 2) Vì tính chất tương đương với AB CB  nên ta sử dụng thuật ngữ “Tứ giác điều hòa” AD CD b) Tứ giác ABCD điều hòa  A ,  C , BD đồng quy đôi song song Trong  A ,  C tiếp tuyến A C (O) c) Tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O) Chứng minh (O) trực giao với đường tròn Apollonius tỉ số k dựng đoạn AC d) Cho tứ giác điều hòa ABCD Gọi N giao điểm AC BD Chứng minh rằng: NA  BA   DA      NC  BC   DC  e) Cho tứ giác điều hòa ABCD Gọi M trung điểm AC Chứng minh rằng: ADB  MDC Chú ý: Đường thẳng DB tốn đường đối trung tam giác ADC Đây tính chất quan trọng hay dùng Tứ giác điều hòa II Bài tập áp dụng Dạng 1: Khai thác toán liên quan đến đường phân giác Chúng ta bắt đầu lớp toán liên quan đến đường phân giác Ta xét toán sau: Bài Cho A nằm ngồi đường trịn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC B, C hai tiếp điểm Kẻ cát tuyến AMN N nằm A M AO cắt đoạn BC cung   K E Chứng minh ME phân giác KMA nhỏ BC Lời giải: B M N F O K E A C Gọi F giao điểm thứ hai AE với (O) Khi ta có ( A, K , E , F )  1  Vì FME  900 nên ME phân giác KMA Nhận xét: Bài toán khai thác ứng dụng quan trọng liên quan đến đường phân giác hàng điểm điều hòa Đây tính chất đẹp hữu ích lớp toán phân giác Tiếp theo toán phức tạp dạng toán Bài (JMO Finals 2013) Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Đường trịn đường kính AH đường trịn qua B, C cắt hai điểm X, Y Gọi D chân vng góc từ A xuống   CKD  BC Gọi K hình chiếu D xuống XY Chứng minh BKD Lời giải : Gọi E, F theo thứ tự chân vuông góc hạ từ B, C xuống CA AB Dễ dàng thấy E, F thuộc đường trịn đường kính AH, giả sử đường trịn đường kính AH (O) Gọi I giao XY BC Ta có: PI / O   IX.IY  IE.IF Hơn tứ giác XYCB nội tiếp nên PI /  XYCB   IB.IC  IX IY Như ta có PI / O   PI /  XYCB  Suy I thuộc trục đẳng phương hai đường tròn, tức I thuộc XY Dễ thấy (IDBC) = -1 (hàng điều hịa tứ giác tồn phần) Do theo tính chất hàng điểm  Vậy BKD   CKD  điều hịa ta có KD phân giác góc BKC   CKD  tương đương với KD phân giác Nhận xét: Yêu cầu chứng minh tốn BKD  từ dẫn đến việc tạo hàng điểm (IDBC) = -1 hết sực tự nhiên góc BKC Tiếp theo tốn có u cầu tương tự kín Bài (China TST 2002) Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E, F, P giao điểm AD BC, AB CD, AC BD Gọi O chân đường vng góc hạ từ P xuống EF Chứng minh   AOD  BOC Lời giải I E B O P A C J D F Gọi I giao điểm BD EF J giao điểm EP với CD Ta có (DCJF) = - (hàng điểm tam giác ECD) nên E  DCJF   1  E  DBPI   1  O  DBPI   1   DOP   BOP  Mà OP  OI nên theo định lí chùm điều hịa, ta có OP phân giác DOB  Hồn tồn tương tự ta có  AOP  COP   COP   BOP   BOC  Từ  AOD    AOP  DOP Đây điều phải chứng minh Một tốn có ý tưởng tương tự Bài (Iran TST 2012) Cho () đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi D trung điểm  () Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC DI cắt BC E () cung BAC  F P thuộc AF cho PE // AI Chứng minh PE phân giác BPC Giải: 10 A E L K X Y I D Z B N W M C Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADC Gọi N    CD, Z  MX  ,W  MY  , E  MD  XY   2MIC   2( IAC   ICA  )  DAC   DCA   BDC  Ta có BIC Suy BDIC tứ giác nội tiếp Theo định lí Sim Son K, M, N thẳng hàng Vì D nằm đường đối cực M đường tròn  , theo định lý Lahire ta có: W, Z , D thẳng hàng đó: M ( DNZW)  1  M ( EKXY )  1  D( EKXY )  1 Kết hợp với EDK  90 ta có DE đường phân giác ngồi tam giác XDY Lại có MX  MY Kết hợp hai kết ta điểm X , D, M ,Y đồng viên Bài Cho đường tròn (O), day cung BC khác đường kính Điểm A thuộc cung lớn BC Lấy S đối xứng O qua BC Lấy T OS cho AT, AS đối xứng qua phân giác góc BAC Chứng minh T tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC Lời giải 15 Q A O M N j C I T B F S P E Y K X Gọi I trung điểm BC, K = BB  CC OK cắt (O) P Q, Q thuộc cung lớn BC Ta có (KIPQ) = - nên theo hệ thức Newton ta có OI.OK = OP2 Mặt khác AP  AQ, AP phân giác  SAT nên (STPQ) = - Theo hệ thức Newton ta có OP2 = OT.OS Từ suy OI.OK = OT.OS, mà OS = 2OI nên OK = 2OT Suy T tâm (OBK) hay T tâm (OBC) 16 Dạng 2: Chứng minh đồng quy, thẳng hàng Bài (Hải Phòng 2017) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn nội tiếp I  tiếp xúc BC , CA, AB D, E , F ; AD cắt EF  I  M , N  N  D  ; BN cắt  I  P  P  N  ; CP cắt AD Q Tương tự, đường tròn bàng tiếp đỉnh A  I ' tiếp xúc BC , CA, AB D ', E ', F ' ; AD ' cắt E ' F '  I ' M ', N '  N '  D '  ; BN ' cắt  I ' P '  P '  N ' ; CP ' cắt AD ' Q ' Chứng minh BC , MM ', NN ', QQ ' đồng quy Giải: A A N E F M I PQ B D P' N D' C Q' E' M' E F M I P F' Q I' N' B D Do DENF tứ giác điều hòa nên  D, N , A, M   1 Tương tự D ' E ' N ' F ' tứ giác điều hòa nên  D ', N ', A, M '   1 Do  D, N , A, M    D ', N ', A, M ' nên BC , NN ', MM ' đồng quy AD QN DF CB PN     AN QD NF CD PB Ta có PF ND NF ND DF CB DF CB CB.DF ND CB.DF ND    DF    DF   2 NF CD PB NF CD BF CD.NF BF CD.NF BD 17 C NF DE CB DF DE EF  4   CD.NF BD EF BD CD CB.DF    4 R sin A B C  2sin  2sin  A 2 2r cos 32 R sin A B C sin sin 2 8 r Tương tự  D, N , A, Q   8   D ', N ', A, Q '  , BC , MM ', NN ', QQ ' đồng quy Bài 10 Cho tam giác ABC điểm M Các đường thẳng AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB D, E F Lấy X thuộc BC cho AMX  900 Gọi Y, Z theo thứ tự điểm đối xứng M qua DE, DF Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Giải A F E M Z B Y D C X T Gọi T điểm đối xứng M qua BC Ta có DY  DZ  DT (cùng DM) Do Y, Z, T, M nằm đường tròn tâm D, ký hiệu (D) Mặc khác, AMX  900 nên MX tiếp tuyến (D) M Từ đó, ý T M đối xứng qua XD, ta có XT tiếp tuyến (D) T Theo giả thiết theo cách dựng điểm T, MX, MT, MY, MZ theo thứ tự vng góc với DM, DX, DE, DF.Từ đó, với ý D( MXEF )  1  M ( XTYZ )  1  (MTYZ )  1 Điều có nghĩa tứ giác MYTZ tứ giác điều hòa Vậy X, Y Z thẳng hàng Bài 11 Cho tam giác khơng cân ABC Đường trịn (I) tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F tương ứng AD cắt (I) điểm thứ hai G, M giao điểm AI 18 EF Giả sử DM GM cắt (I) điểm thứ hai P, Q tương ứng Chứng minh A, P, Q thẳng hàng Lời giải A P G F E M I Q B C D Ta có tứ giác GEDF điều hồ nên M(EFGD)= -1  M (FEQP)=-1 Suy tứ giác PEQF tứ giác điều hoà Suy QP, tiếp tuyến E, tiếp tuyến F đồng quy (tại A) suy A, P, Q thẳng hàng (đpcm) Bài 12 (Romania TST 2014) Cho tam giác ABC nhọn có đường tròn ngoại tiếp (O) Các tiếp tuyến với đường tròn tam giác ABC điểm B C gặp điểm P Đường tròn tâm P  tam giác ABC điểm S, OS  bán kính PB = PC cắt phân giác BAC BC = D Chân đường vng góc S AC AB E F Chứng minh AD, BE CF đồng qui Lời giải 19 EF  BC = G Ta chứng minh (GDBC) = -1   180  BAC   BSC   90  BAC  ; FSE   1800  BAC  nên BSF   CSF   90 Ta có BPC Suy SBF ~ CSE ( g  g )  SB  FB  SF SC SE CE Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến GFE ta có GB EC FA  GC EA FB GB FB FB SF  SB  dễ thấy FA = EA nên     GC CE SE CE  SC  BD  SB  Dễ thấy OB, OC tiếp tuyến tam giác SBC nên SD đường đối trung nên   DC  SC  Do (GDBC) = -1 Gọi T giao điểm BE CF; D’ giao điểm BC AT  (GD’BC) = -1  D '  D 20 Vậy AD, BE, CF đồng quy Bài 13 (Olympic KHTN 2017) Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB D, E, F Trên đường thẳng EF lấy hai điểm M, N cho BN CM song song với AD Gọi P, Q giao điểm thứ hai DM, DN với (I) Chứng minh BP, CQ, AD đồng quy Giải A M G E T N F I R P Q S B D C Gọi S giao điểm EF BC AD cắt EF, PQ T, R cắt đường trịn (I) điểm thứ hai G Ta có DG hai tiếp tuyến AF, AE (I) đồng quy nên DFGE tứ giác điều hịa Từ suy ra, SG tiếp tuyến (I) Ta có ( SDBC )  1  (STNM )  1  D( STNM )  1  D( DGQP)  1 Suy DQGP tứ giác điều hòa nên PQ qua S Suy ( SRQP)  ( SDBC )  1 Từ đó, BP, CQ, AD đồng quy Bài 14 (VN TST 2017) Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân Gọi  I  đường trịn nội tiếp tam giác ABC D, E , F tương ứng tiếp điểm ( I ) với cạnh BC , CA, AB Gọi I1 I tương ứng tâm đường trịn bàng tiếp góc B C tam giác ABC Gọi P , Q tương ứng trung điểm đoạn thẳng I1 E , I F Đường tròn 1  ngoại tiếp tam giác PAC cắt AB R  R  A , đường tròn 2  S  S  A 21 ngoại tiếp tam giác QAB cắt AC a) Chứng minh đường thẳng PR, QS cắt đường phân giác góc  BAC b) Gọi J , K tương ứng giao điểm DF , DE với I1I M giao điểm EJ với KF Đường thẳng I1P cắt đường tròn 1  X  X  P  , đường thẳng I 2Q cắt đường tròn 2  Y Y  Q  Chứng minh đường thẳng AM , BY , CX đồng quy Lời giải Xét a) Ta chứng minh đường tròn 1  tiếp xúc với đường tròn  I  tiếp điểm nằm đường thẳng I1E Gọi T giao điểm thứ hai khác E PE với đường trịn  I  Ta có o   FTI AFE  I AF  180  I1 AF Do tứ giác I1 AFT tứ giác nội tiếp Tương tự tứ giác   CTI  (vì F , D đối xứng với qua đường I1CDT nội tiếp Vậy ta có  ATE   AFI1  CDI 1 BI1 ) Do TE phân giác góc  ATC , hay T nằm đường tròn Apolonius hai điểm A, C theo tỷ số k  AE CE Gọi  I ' đường tròn tiếp xúc với đường thẳng AC E tiếp xúc với đường tròn 1  tiếp điểm T ' không nằm cung  APC Khi theo tính chất đường trịn hỗn tiếp T ' E qua điểm cung  AC đường tròn 1  (dễ thấy điểm 22 điểm P ) Vậy T ' nằm đường tròn Apolonius hai điểm A, C theo tỷ số k AE Vì T , T ' nằm đường thẳng PE T , T '  E  nên T  T ' Vậy  I   I ' CE trùng   Ta có I FA  I1TA  PRA Vậy đường thẳng PR song song với I1 F Do PR qua trung điểm EF Tương tự QS qua trung điểm EF Vậy PR QS cắt  trung điểm EF nằm đường phân giác góc BAC b) Bổ đề: Cho tam giác A1B1C1 nhọn, khơng cân ngoại tiếp đường trịn  I1  với tiếp điểm cạnh B1C1 , A1C1 , A1 B1 tương ứng D1 , E1 , F1 Cho R1 , S1 hai điểm đường tròn  I1  cho D1  A1B1R1S1   1 BR1 , CS1 cắt AD1 Chứng minh bổ đề Gọi X giao điểm đường thẳng E1F1 với B1C1 , Y1 giao điểm D1 A1 với  I1  Y1  D1  Do tứ giác D1 E1Y1F1 điều hòa nên tiếp tuyến Y1 qua X Theo giả thiết tứ giác D1S1Y1 R1 điều hịa, R1S1 qua X Từ giả thiết D1  A1B1R1S1   1, ta thấy  B1C1D1 X    R1S1M X   1, với M giao điểm R1S1 với A1D1 Vậy B1R1 phải cắt C1S1 cắt đường thẳng A1D1 (Bổ đề chứng minh) Quay lại toán Ta lấy M ' giao điểm JE với  I   M '  E  , K ' giao điểm FM ' với DE Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm  DEF , M ' FE  ta J , A, K ' thẳng hàng Do K  K  M  M , hay M nằm  I  23  AFM  FEM AJM , tứ giác AJFM nội tiếp Tương tự, tứ giác AKEM Ta thấy,    BFD  , tứ giác AKDF nội tiếp Vậy ta có nội tiếp Đồng thời  AKD  FED   FKD   MAE  , AM AD đẳng giác tam giác ABC FAD Gọi U giao điểm DI1 với ( I ), V giao điểm DI với đường tròn U ,V  D   Ta có  XDB  XED XI1C I  Do tứ giác I1CDX nội tiếp Mặt khác   I     UEC DE  UI1C Do tứ giác UEI1C nội tiếp Từ ta có UCE  UI1 E  XCD Vậy CX CU đẳng giác tam giác ABC Tương tự ta có BY BV đẳng giác tam giác ABC Dễ thấy D  ABUV   D  ABI1I   C  ABI1I   1 Theo bổ đề ta có AD, BV , CU đồng quy Vậy AM , BY , CX đồng quy Bài 15 (Peru TST 2017) Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) Đường tròn (I) tiếp xúc BC D Gọi K, L tâm đường trịn bàng tiếp góc B, C tam giác ABC ID cắt CA, AB M, N Gọi J = NK  ML Chứng minh IJ  AD Lời giải Gọi E, F tiếp điểm (I) với CA, AB, S = EF  BC Khi AD, BE, CF đồng qui nên (SDBC) = - Gọi X giao điểm thứ hai (I) AD Do tứ giác XEDF điều hoà Suy EF, DD XX (của (I)) đồng quy S  SI  XD Như ta cần chứng minh S, I, J thẳng hàng 24 N K A L X Y F S R M B J E I C D Gọi R = ID  AK; Y = IC  AB Ta có A(IKBC) = -  (IRNM) = -  J(IRNM) = - 1 JI, MK, NL đồng quy Gọi Y = IC  AB  (LIYC) = -  N(LIYC) = - Mà (SDBC) = -  N, L, S thẳng hàng Tương tự ta có M, K, T thẳng hàng Suy NL, MK, IJ đồng quy S Từ có điều phải chứng minh Bài 16 Tam giác ABC có H trực tâm, M trung điểm BC, P điểm đoạn HM Gọi D, E, F hình chiếu P AH, AB, AC Đường thẳng HM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K, G (M nằm H K) Tiếp tuyến E, F đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF cắt T Chứng minh ba điểm G, D, T thẳng hàng Lời giải 25 A R F H S G C P E D M B K T Gọi AK’ đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi K’, H, M thẳng hàng Vậy K’ trùng K Ta có AGM = 900  G  ( AEFP ) Gọi R, S chân đường cao theo thứ tự hạ từ B, C tam giác ABC Xét đường trịn (AGBC), (AGSHR), (BSRC) có trục đẳng phương AG, SK, BC TH1: AG, SK, BC song song trùng tam giác ABC vng cân A Khi tiếp tuyến E F (AEF) song song TH2: AG, SK, BC đồng quy T’ Ta có ( AT ',AH , AS ,AR )  1  ( AG,AE, AD, AF )  1 Suy GEDF tứ giác điều hòa Do G, P, T thẳng hàng 26 Bài tập tương tự Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q tiếp điểm đường tròn (O) với AB, BC, CD, DA Gọi X giao điểm MN PQ; E, F giao điểm AC với đường trịn (O) Gọi H hình chiếu vng góc X BD Chứng   CHF  minh AHE Bài (Iran NMO) Cho tam giác ABC, lấy T,E,F thuộc đoạn BC, CA, AB cho đường thẳng AT, BE, CF đồng quy điểm.Gọi L giao điểm AT EF Gọi H  hình chiếu L xuống BC Chứng minh LH phân giác EHF Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao AD, BE, CF đồng quy H Đường thẳng EF cắt đường thẳng AH, BC L G; đường trung trực đoạn thẳng LD cắt đường thẳng GH P Gọi M N trung điểm đoạn thẳng BC EF, I giao điểm AM GH, K hình chiếu vng góc H lên đường thẳng AG a) Chứng minh bốn điểm D, P, L, I nằm đường tròn b) Chứng minh I, K, L thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC không cân A Gọi (O) (I) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác ABC (I) tiếp xúc với AC, AB E F Các điểm M, N thuộc (I) cho EM song song BC FN song song BC Gọi P, Q giao điểm BM, CN với (I) Chứng minh : a) BC, EP, FQ đồng quy điểm, gọi điểm K; b) Đường trịn ngoại tiếp tam giác BPK, CQK tiếp xúc với (I) qua điểm thuộc (O) Bài (Bắc Giang 2017) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi I hình chiếu D lên EF Đường trịn ngoại tiếp tam giác HAB đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt P; Q (P; C phía so với AD)  1) Chứng minh DI đường phân giác góc BIC 2) Chứng minh PH; DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH, trực tâm K Đường thẳng BK cắt đường trịn đường kính AC D, E (BD < BE) Đường thẳng CK cắt đường tròn đường kính AB F, G (CF < CG) Đường trịn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC điểm thứ hai điểm P a) Chứng minh điểm G, H, P, E thuộc đường tròn 27 b) Chứng minh đường thẳng BF, CD, PK đồng quy Bài Cho tam giác ABC nhọn, không cân, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, đường cao AD Đường thẳng AO cắt BC E Gọi I, S, F trung điểm AE, AH BC Đường thẳng qua D song song với OH cắt AB, AC M N Đường thẳng DI cắt AB, AC P, Q Đường thẳng MQ cắt NP T Chứng minh rằng: a) SF // AE b) Các điểm D, O, T thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O ) khơng có hai cạnh song song Các tia BA CD cắt P , tia AD BC cắt Q Gọi H hình chiếu vng góc D PQ Gọi (O1 ), (O2 ) tương ứng đường tròn nội tiếp tam giác PDA QDC (bán kính đường tròn (O1 ) (O2 ) khác nhau) Gọi tuyến chung (O1 ) (O2 ) , tiếp tuyến kẻ từ H tới (O1 ) cắt  tiếp  tiếp xúc (O1 ) M ,  tiếp xúc (O2 ) N Các  X Y Các tiếp tuyến kẻ từ H tới (O2 ) cắt  Z T Chứng minh rằng:  a) HD phân giác góc O HO2 b) 1 1    XM YM ZN TN Bài (ELMO SL 2012) Cho tam giác ABC tâm nội tiếp (I) tâm I Gọi D chân vng góc   CPD  xuống BC, P chân vng góc I xuống AD Chứng minh BPD Bài 10 (Balkan 2017) Cho tam giác nhọn ABC với AB  AC có  đường trịn ngoại tiếp Gọi t B tC tiếp tuyến đường tròn  B C Gọi L giao điểm chúng Đường thẳng qua B song song với AC cắt tC D Đường thẳng qua C song song với AB cắt t B E Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC cắt AC T; T nằm A C Đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt AB S; B nằm S A Chứng minh ST , AL, BC đồng quy 28 C PHẦN KẾT LUẬN Trên số toán đường phân giác, đồng quy, thẳng hàng sử dụng đến hàng điểm điều hòa Kiến thức hàng điểm điều hòa dễ hiểu đơn giản ứng dụng nhiều Thơng qua giúp học sinh tiếp cận hình thành kĩ sử dụng hàng điểm điều hòa, lựa chọn cách giải toán phù hợp, tăng thêm tính say mê, tích cực tìm tịi sáng tạo Chuyên đề nhằm mục đích trao đổi với thầy dạy mơn tốn việc sử dụng hàng điểm điều hịa để giải tốn hình học phẳng Do kiến thức cịn nhiều hạn chế nên chuyên đề khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong có góp ý q thầy để chun đề hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình: Tài liệu chun tốn hình học 10 NXB Giáo dục, 2010 [2] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình: Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 NXB Giáo dục, 2006 [3] Tuyển tập lời giải bình luận đề thi VMO năm nhóm tác giả Trần Nam Dũng [4] Nguồn liệu từ Internet: artofproblemsolving.com, diendantoanhoc.net, matscope.org [5] Đề thi, đề đề xuất Duyên Hải, Hùng Vương năm [6] Đề thi chọn đội tuyển tỉnh [7] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ 29 ... toán đường phân giác, đồng quy, thẳng hàng sử dụng đến hàng điểm điều hòa Kiến thức hàng điểm điều hòa dễ hiểu đơn giản ứng dụng nhiều Thơng qua giúp học sinh tiếp cận hình thành kĩ sử dụng hàng. .. trong, đường phân giác tam giác ABC Khi (BCDE) = -1 Chứng minh Sử dụng tính chất đường phân giác định nghĩa Hàng điểm 2: Cho tam giác ABC điểm O không thuộc đường thẳng BC, CA, AB Các đường thẳng. ..   DBCA  Hàng điểm điều hòa a) Định nghĩa 2: A C B D Nếu  ABCD   1 hàng điểm A, B, C, D gọi hàng điểm điều hịa Nói cách khác CA   DA hàng điểm A, B, C, D gọi hàng điểm điều hòa CB DB b)