Ứng dụng lý thuyết điều khiển trong tối ưu tần số riêng và khối lượng của kết cấu thanh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Trần Minh Thúy ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TRONG TỐI ƯU TẦN SỐ RIÊNG VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA KẾT CẤU THANH LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Trần Minh Thúy ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TRONG TỐI ƯU TẦN SỐ RIÊNG VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA KẾT CẤU THANH Ngành : Cơ học Mã số : 9440109 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI HẢI LÊ PGS.TS TRẦN ĐỨC TRUNG Hà Nội – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan tồn nội dung trình bày luận án nghiên cứu thân hướng dẫn khoa học TS Bùi Hải Lê PGS.TS Trần Đức Trung Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2018 Người hướng dẫn Nghiên cứu sinh TS Bùi Hải Lê Trần Minh Thúy PGS TS Trần Đức Trung LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ môn Cơ học vật liệu kết cấu, Bộ mơn Hình họa & Vẽ kỹ thuật, Viện Cơ khí, Viện Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để tơi thực cơng trình Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Đức Trung TS Bùi Hải Lê tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để tơi thực hoàn thành Luận án Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bố mẹ, chồng, con, anh chị em đồng nghiệp bạn động viên, giúp đỡ thời gian qua Hà Nội, /2018 Trần Minh Thúy MỤC LỤC Trang CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRONG DAO ĐỘNG 1.1 Tổng quan điều khiển tối ưu đối tượng điều khiển 1.1.1 Điều khiển, điều khiển tối ưu toán tối ưu hóa kết cấu 1.1.2 Dao động xoắn, dao động dọc dao động uốn 1.1.3 Các đại lượng đặc trưng dao động kết cấu 1.2 Các phương pháp điều khiển dao động kết cấu 1.2.1 Các phương pháp điều khiển dao động kết cấu 1.2.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu điều khiển dao động kết cấu 1.3 Điều khiển tối ưu dải tần số riêng khối lượng kết cấu dạng 1.3.1 Mơ hình khảo sát dao động kết cấu 1.3.2 Các toán khảo sát dao động kết cấu dạng 1.3.3 Các nội dung thực toán tối ưu đa mục tiêu 1.4 Kết luận chương CHƯƠNG CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THEO PMP, HÀM ĐA MỤC TIÊU TỔNG QUÁT 2.1 Phương trình vi phân trạng thái (trục) 2.1.1 Phương trình vi phân trạng thái trục chịu dao động xoắn 2.1.2 Dao động dọc 2.1.3 Dao động uốn 2.1.4 Phương pháp ma trận truyền 2.2 Điều khiển tối ưu nguyên lý cực đại Pontryagin 2.2.1 Bài toán điều khiển tối ưu 2.2.2 Nguyên lý cực đại Pontryagin 2.2.3 Thuật giải toán tối ưu áp dụng nguyên lý cực đại Pontryagin 2.3 Tối ưu hóa kết cấu áp dụng PMP 2.3.1 Áp dụng PMP tối ưu hóa kết cấu 2.3.2 Hàm đa mục tiêu tổng quát tối ưu hóa kết cấu 2.3.3 Phương pháp phân tích trọng số xây dựng tập giải pháp khả thi 2.4 Kết luận chương CHƯƠNG ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH SỬ DỤNG PMP 3.1 Điều khiển tối ưu đa mục tiêu trục dao động xoắn sử dụng PMP 3.2 Điều khiển tối ưu đa mục tiêu dao động dọc sử dụng PMP 3.3 Bài toán độ cứng dầm chịu uốn sử dụng PMP 3.3.1 Giải nguyên lý cực đại Pontryagin 3.3.2 Đặt toán 3.3.3 Nhận xét 3.4 Thuật tốn chương trình tính 3.5 Kết luận chương CHƯƠNG KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ 6 11 11 11 12 19 19 20 22 22 24 24 24 25 26 27 30 30 35 37 39 39 43 46 48 49 49 54 59 59 65 66 67 67 68 4.1 Bài toán 1: Kiểm tra độ tin cậy thuật tốn chương trình tính 68 4.1.1 Trục chịu dao động xoắn 69 4.1.2 Thanh chịu dao động dọc 71 4.1.3 Nhận xét 73 4.2 Bài toán 2: Điều khiển tối ưu đa mục tiêu trục chịu dao động xoắn sử dụng PMP 73 4.2.1 Tối ưu tần số riêng trục chịu xoắn 74 4.2.2 Ảnh hưởng dạng dao động riêng đến cấu hình tối ưu trục 79 4.2.3 Tối ưu đa mục tiêu đồng thời tần số riêng trục 80 4.2.4 Tối ưu đa mục tiêu đồng thời tần số riêng tổng khối lượng trục 82 4.2.5 Phân tích định tính cấu hình tối ưu tương đương trục chịu dao động xoắn có chiều dài điều kiện biên khác 83 4.2.6 Phân tích định lượng cấu hình tối ưu tương đương trục chịu dao động xoắn có chiều dài điều kiện biên khác 87 4.2.7 Dao động cưỡng trục xoắn chịu kích động điều hòa 89 4.2.8 Nhận xét 90 4.3 Bài toán 3: Điều khiển tối ưu đa mục tiêu chịu dao động dọc sử dụng PMP 90 4.3.1 Tối ưu tần số riêng chịu dao động dọc sử dụng PMP 91 4.3.2 Tối ưu đa mục tiêu đồng thời tần số riêng thứ tổng khối lượng sử dụng PMP 93 4.3.3 Ảnh hưởng khối lượng tập trung đến cấu hình tối ưu 95 4.3.4 Phân tích định tính định lượng cấu hình tối ưu tương đương chịu dao động dọc 95 4.3.5 Dao động cưỡng chịu kích động điều hòa dọc trục 97 4.3.6 Nhận xét 98 4.4 Bài tốn 4: Ví dụ số toán độ cứng dầm chịu uốn sử dụng PMP 99 4.4.1 Tính tốn dầm cho độ cứng nhỏ nhất, điều khiển on – off 99 4.4.2 Tính toán dầm cho độ cứng lớn 102 4.5 Kết luận chương 103 KẾT LUẬN VÀ CÁC HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 104 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 A Thí nghiệm số khảo sát tập giải pháp khả thi 112 B Tính kiểm nghiệm phân mềm ANSYS 116 C Lựa chọn cấu hình trục tối ưu 130 D Sơ đồ chi tiết thuật toán toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu tần số riêng tởng khối lượng tốn điều khiển tối ưu đa mục tiêu 131 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu Đơn vị Chú thích a m Chiều dài quy ước A m2 Diện tích mặt cắt ngang B m Chiều rộng mặt cắt ngang dầm b* Hằng số ci Hệ số hàm mục tiêu cW Hệ số hàm mục tiêu de m Đường kính đoạn thứ e trục/thanh dmax m Đường kính lớn dmin m Đường kính nhỏ E N/m2 Mơ đun đàn hồi kéo, nén F Hàm mục tiêu f Tần số lực kích động điều hòa G Mơ đun đàn hồi trượt N/m2 H Hàm Hamilton [H ] Ma trận truyền toàn trục/thanh [ He ] Ma trận truyền đoạn trục/thanh thứ e h m Chiều cao mặt cắt ngang dầm Jp m4 Mơ men qn tính mặt cắt ngang trục Hệ số tỉ lệ hệ phương trình vi phân trạng thái ban k đầu hệ liên hợp hàm Hamilton ki  = k1, k2 ,, kn  Các trọng số kW Trọng số tần số khối lượng ki Trọng số tần số T L m Tổng chiều dài trục/thanh Le m Chiều dài đoạn thứ e trục/thanh l m Chiều dài tính từ đầu bên trái trục/thanh M Nm Mô men xoắn, uốn (x): kg/m Khối lượng/ đơn vị dài MH Biến trạng thái liên hợp n Số nút nL Số nguyên dương Q Lực cắt N pM Biến liên hợp M pN Biến liên hợp N pQ Biến liên hợp Q pu Biến liên hợp u pv Biến liên hợp v pW Biến liên hợp W p Biến liên hợp  p Biến liên hợp  R1, R2, R12, RW Các hệ số tỉ lệ khơng thứ ngun S m2 Diện tích mặt cắt ngang trục t giây Thời gian t0 giây Thời điểm đầu tf giây Thời điểm cuối U  = U1,U ,,U r  Véc tơ biến điều khiển Umin Cận biến điều khiển Umax Cận biến điều khiển T u (x,t) m Chuyển vị dọc trục y m Độ võng Độ võng liên hợp yH W kg Tổng khối lượng trục/thanh W0 kg Tổng khối lượng trục/thanh ban đầu qi  = q1, q2 ,, qn  Các biến thiết kế/trạng thái x Trục trục/thanh q Véc tơ biến trạng thái T x0 m Tọa độ đầu xf m Tọa độ cuối  kg/m3 Khối lượng riêng  N/m3 Trọng lượng riêng  rad Góc xoắn, góc xoay H Biến trạng thái liên hợp 0i 1/s Tần số riêng thứ i kết cấu trước tối ưu i 1/s Tần số riêng thứ i kết cấu 1Par Tần số riêng thứ không thứ nguyên kết cấu BC Điều kiện biên (Boundary Condiction) DOF Bậc tự (Degree Of Freedom) NCS Nghiên cứu sinh TH Trường hợp NOC Điều kiện cần tối ưu (Optimal Necessary Condition) OF Hàm mục tiêu PMP Nguyên lý cực đại Pontryagin (Pontryagin’s Maximum Principle) PTVP Phương trình vi phân PS Khơng gian tham số (Parametric Space) SS Không gian trạng thái (State Space) vi DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 4.1 Tần số riêng thứ thứ hai (rad/s) kết cấu trục ngàm - tự 69 Bảng 4.2 Tần số riêng thứ thứ hai (rad/s) tối ưu kết cấu trục ngàm – tự 70 Bảng 4.3 Tần số riêng thứ thứ hai (rad/s) kết cấu ngàm – tự 71 Bảng 4.4 Tần số riêng thứ thứ hai (rad/s) tối ưu kết cấu ngàm- tự 72 Bảng 4.5 Các trường hợp mô 74 Bảng 4.6 Các tập Pareto mục tiêu 1 2 82 Bảng 4.7 Các tập Pareto mục tiêu 1 W 83 Bảng 4.8 Các trường hợp khảo sát cấu hình tối ưu tương đương trục 84 Bảng 4.9 Các kết 1, 2, 4, 8 W trường hợp khảo sát 87 Bảng 4.10 Các trường hợp khảo sát chịu dao động dọc tự 91 Bảng 4.11 Mức độ trade-off mục tiêu 94 Bảng 4.12 Các trường hợp khảo sát kết tối ưu để phân tích cấu hình tối ưu tương đương 96 118 LSEL, , , ,2 LATT,1,2,1, , , , LSEL, , , ,all LSEL, , , ,3 LATT,1,3,1, , , , LSEL, , , ,all LSEL, , , ,4 LATT,1,4,1, , , , LSEL, , , ,all LSEL, , , ,5 LATT,1,5,1, , , , LSEL, , , ,all LSEL, , , ,6 LATT,1,6,1, , , , LSEL, , , ,all !chia lưới LESIZE,all, , ,1, , , , ,1 LMESH,all /SOL !bước giải !khai báo kiểu phân tích dao động tự ANTYPE,2 MXPAND,5, , ,0 MODOPT,LANB,5,0,0, ,OFF !điều kiện biên DK,all, ,0, ,0,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY, , DK,1, ,0, ,0,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ, PHỤ LỤC PHỤ LỤC 119 !giải SOLVE ================================================ I.2 Kết cho Bảng 4.1 (chưa tối ưu): tần số riêng (Hz) ***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** !đường kính đoạn trục (m) d1=0.02 d2=0.02 d3=0.02 d4=0.02 d5=0.02 d6=0.02 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 1295.5 1 3975.7 2 6923.7 3 10277 4 13889 5 Như vậy, 1 = 8139.87 (rad/s) 2 = 24980,05 (rad/s) Hình B.1.1 Dạng riêng thứ trục chưa tối ưu PHỤ LỤC 120 Hình B.1.2 Dạng riêng thứ hai trục chưa tối ưu I.3 Kết cho Bảng 4.2 (tối ưu, 1 → max ): tần số riêng (Hz) !đường kính đoạn trục (m) d1=0.02 d2=0.02 d3=0.016 d4=0.012 d5=0.01 d6=0.01 ***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE SET TIME/FREQ LOAD STEP ***** SUBSTEP CUMULATIVE 2410.9 1 3710.9 2 6926.7 3 10274 4 14219 5 Như vậy, 1 = 15148.13 (rad/s) 2 = 23316.27 (rad/s) PHỤ LỤC 121 Hình B.1.3 Dạng riêng thứ trục tối ưu, 1 → max Hình B.1.4 Dạng riêng thứ hai trục tối ưu, 1 → max I.4 Kết cho Bảng 4.2 (tối ưu, 1 → ): tần số riêng (Hz) !đường kính đoạn trục (m) d1=0.01 d2=0.01 d3=0.01 d4=0.02 d5=0.02 d6=0.02 ***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP ***** CUMULATIVE PHỤ LỤC 122 403.06 1 4950.9 2 5868.6 3 11518 4 12656 5 Như vậy, 1 = 2532.50 (rad/s) 2 = 31107.42 (rad/s) I.5 Kết cho Bảng 4.2 (tối ưu, 2 → max ): tần số riêng (Hz) !đường kính đoạn trục (m) d1=0.02 d2=0.01 d3=0.01 d4=0.02 d5=0.02 d6=0.01 ***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE SET TIME/FREQ LOAD STEP ***** SUBSTEP CUMULATIVE 586.36 1 7024.7 2 7796.8 3 9319.1 4 10163 5 Như vậy, 1 = 3684.21 (rad/s) 2 = 44137.49 (rad/s) I.6 Kết cho Bảng 4.2 (tối ưu, 2 → ): tần số riêng (Hz) !đường kính đoạn trục (m) d1=0.01 d2=0.02 d3=0.02 d4=0.01 d5=0.01 d6=0.02 ***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** PHỤ LỤC SET 123 TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 586.36 1 1211.9 2 7796.8 3 9319.1 4 16718 5 Như vậy, 1 = 3684.21 (rad/s) 2 = 7614.59 (rad/s) II Bài toán II.1 Chương trình tính ANSYS: ================================================ /PREP7 !bước tiền xử lý n=7 !số nút E=2e11 !N/m2 - mô đun đàn hồi kéo nén mu=0.3!hệ số pốt xơng ro=8000 !kg/m3 - khối lượng riêng li=0.1!m - chiều dài đoạn !đường kính đoạn (m) d1=0.02 d2=0.02 d3=0.02 d4=0.02 d5=0.02 d6=0.02 !kiểu phần tử ống ET,1,PIPE16 !khai báo mặt cắt ngang cho đoạn R,1,d1,d1/2, , , , , R,2,d2,d2/2, , , , , R,3,d3,d3/2, , , , , R,4,d4,d4/2, , , , , 124 R,5,d5,d5/2, , , , , R,6,d6,d6/2, , , , , !khai báo vật liệu MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,E MPDATA,PRXY,1,,mu MPDATA,DENS,1,,ro !dựng hình K,1,0,0,0*li, K,2,0,0,1*li, K,3,0,0,2*li, K,4,0,0,3*li, K,5,0,0,4*li, K,6,0,0,5*li, K,7,0,0,6*li, LSTR,1,2 LSTR,2,3 LSTR,3,4 LSTR,4,5 LSTR,5,6 LSTR,6,7 !gán thuộc tính cho đoạn (vật liệu, mặt cắt ngang, kiểu phần tử) LSEL, , , ,1 LATT,1,1,1, , , , LSEL, , , ,all LSEL, , , ,2 LATT,1,2,1, , , , LSEL, , , ,all PHỤ LỤC PHỤ LỤC LSEL, , , ,3 LATT,1,3,1, , , , LSEL, , , ,all LSEL, , , ,4 LATT,1,4,1, , , , LSEL, , , ,all LSEL, , , ,5 LATT,1,5,1, , , , LSEL, , , ,all LSEL, , , ,6 LATT,1,6,1, , , , LSEL, , , ,all !chia lưới LESIZE,all, , ,1, , , , ,1 LMESH,all /SOL !bước giải !khai báo kiểu phân tích dao động tự ANTYPE,2 MXPAND,5, , ,0 MODOPT,LANB,5,0,0, ,OFF !điều kiện biên DK,all, ,0, ,0,UX,UY,,ROTX,ROTY, ROTZ, DK,1, ,0, ,0,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ, !giải SOLVE ================================================ 125 PHỤ LỤC 126 II.2 Kết cho Bảng 4.3 (chưa tối ưu): tần số riêng (Hz) !đường kính đoạn (m) d1=0.02 d2=0.02 d3=0.02 d4=0.02 d5=0.02 d6=0.02 ***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE SET TIME/FREQ LOAD STEP ***** SUBSTEP CUMULATIVE 2089.3 1 6411.6 2 11166 3 16574 4 22398 5 Như vậy, 1 = 13127.46 (rad/s) 2 = 40285.27 (rad/s) Hình B.2.1 Dạng riêng thứ chưa tối ưu PHỤ LỤC 127 Hình B.2.2 Dạng riêng thứ hai chưa tối ưu II.3 Kết cho Bảng 4.4 (tối ưu, 1 → max ): tần số riêng (Hz) !đường kính đoạn (m) d1=0.02 d2=0.02 d3=0.018 d4=0.012 d5=0.01 d6=0.01 ***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE SET TIME/FREQ LOAD STEP ***** SUBSTEP CUMULATIVE 2993.0 1 5952.2 2 11468 3 16234 4 22971 5 Như vậy, 1 = 18805.57 (rad/s) 2 = 37398.78 (rad/s) PHỤ LỤC 128 Hình B.2.3 Dạng riêng thứ tối ưu, 1 → max Hình B.2.4 Dạng riêng thứ hai tối ưu, 1 → max II.4 Kết cho Bảng 4.4 (tối ưu, 1 → ): tần số riêng (Hz) !đường kính đoạn (m) d1=0.01 d2=0.01 d3=0.08 d4=0.02 d5=0.02 d6=0.02 ***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP ***** CUMULATIVE PHỤ LỤC 129 1231.1 1 7341.0 2 10143 3 17759 4 21224 5 Như vậy, 1 = 7735.23 (rad/s) 2 = 46124.86 (rad/s) II.5 Kết cho Bảng 4.4 (tối ưu, 2 → max ): tần số riêng (Hz) !đường kính đoạn (m) d1=0.02 d2=0.01 d3=0.01 d4=0.02 d5=0.02 d6=0.01 ***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE SET TIME/FREQ LOAD STEP ***** SUBSTEP CUMULATIVE 1640.3 1 9264.2 2 11711 3 15963 4 18818 5 Như vậy, 1 = 10306.31 (rad/s) 2 = 58208.69 (rad/s) II.6 Kết cho Bảng 4.4 (tối ưu, 2 → ): tần số riêng (Hz) !đường kính đoạn (m) d1=0.01 d2=0.02 d3=0.02 d4=0.01 d5=0.01 d6=0.02 ***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE ***** PHỤ LỤC 130 SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE 1640.3 1 3722.7 2 11711 3 15963 4 25516 5 Như vậy, 1 = 10306.31 (rad/s) 2 = 23390.41 (rad/s) C Lựa chọn cấu hình trục tối ưu Trong phần nêu ví dụ chọn cấu hình trục, tối ưu dựa vào kết tính tốn nhận chương Xét chịu dao động dọc, toán tối ưu đa mục tiêu tần số thứ khối lượng, hàm mục tiêu chung (2.74) đưa dạng: F = −(1 − kW ) 1 W + kW → 01 W0 100 A B C 90 80 70 D WPar, % 60 50 40 E 30 20 F 10 G O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1Par, % Hình 4.23 Tập Pareto PHỤ LỤC 131 Trên tập Pareto hình 4.23, điểm A ứng với kωW = 0, nghĩa 1 → max, TH toán mục 4.3.1 Ứng với mục tiêu tối ưu TH ta có cấu hình Thay đổi đường kính chuẩn hóa, de/d0 hình 4.21 TH TH TH TH 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 l/L 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 4.21 Các cấu hình tối ưu Ứng với cấu hình hình 4.21 ta có kết tính tốn tối ưu cho biểu diễn hình 4.22 Ta thấy TH (1 → max), tối ưu so với TH chưa tối ưu 200 Thay đổi tần số riêng tổng khối lượng, % 80 60 40 100 20 50 R1 Series1 Series2 R2 Series3 R12 Series4 RW 150 -20 -40 -50 -60 -100 1 3 Các trường hợp khảo sát 4 5 Hình 4.22 Thay đổi R1 , R , R12 , RW D Sơ đồ chi tiết thuật toán toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu tần số riêng tổng khối lượng toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu PHỤ LỤC 132 S Hình D.1 Sơ đồ chi tiết thuật toán toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu tần số riêng tổng khối lượng hệ trục xoắn ... tốn tối ưu; tối ưu đa mục tiêu tần số riêng khối lượng kết cấu; toán tối ưu dải tần số riêng kết cấu 1.3 Điều khiển tối ưu dải tần số riêng khối lượng kết cấu dạng 21 Để đưa sở tính toán tối ưu. .. ứng dụng, tốn tối ưu hóa kết cấu phân tích cho hai trường hợp: Điều khiển tần số riêng khối lượng trục thiết kế; Điều khiển tần số riêng tái cấu trúc trục (thiết kế trục dựa việc tối ưu tần số. .. nghiên cứu áp dụng nguyên lý PMP  Đặt tốn cần giải là: tốn tối ưu tần số riêng; toán tối ưu đa mục tiêu cho tần số riêng khối lượng kết cấu, với ý tối ưu tần số riêng bậc cao kết cấu  Xác định