Đang tải... (xem toàn văn)
Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có một số hướng biến đổi tương ứng với 3 dạng thông dụng sau đây: 1.. Lúc đó phương trình 1 có nghiệm duy nhất x x0.[r]
(1)Chủ đề: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BPT VÀ HPT I- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP: f x 0 1 x D Xét phương trình với D là khoảng cho trước Để vận dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, ta có số hướng biến đổi (tương ứng với dạng thông dụng) sau đây: Đối với loại phương trình có hướng để giải quyết: Dạng 1: Dạng F( x ) 0, với F( x ) đồng biến, nghịch biến trên D Bước 1: Đưa phương trình (1) dạng: F( x ) 0 Bước 2: Xét hàm số y F( x ) Chỉ rõ hàm số y F( x ) đồng biến hay nghịch biến trên D F x 0 Bước 3: Đoán Lúc đó phương trình (1) có nghiệm x x0 F( x ) đồng biến trên D Ph ¬ng tr×nh (1) cã: hoÆc ng îc l¹i G ( x ) nghÞch biÕn trªn D Dạng 2: Bước 1: Đưa phương trình (1) dạng : F ( x ) G ( x ) (1) y f ( x ) y g ( x ) Bước 2: Xét hai hàm số và Chỉ rõ hàm số y F( x ) là hàm đồng biến (nghịch biến) và y G ( x ) là hàm nghịch biến (đồng biến) F x G x Bước 3: Đoán Lúc đó phương trình (1) có nghiệm x x0 Dạng 3: Dạng ph ơng trình F(u) F(v) (*), với F( x ) đồng biến, nghịch biến trên a; b Lúc đó, (*) có nghiệm u v Bước 1: Đưa phương trình dạng F (u) F (v ) (1) y F ( t ) Bước 2: Xét hàm số: a; b Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên Bước 3: Khi đó: F(u) F (v) u v Nhận xét: + Định lí tính đơn điệu trên đoạn: y f x a; b a; b f / x 0 “ Nếu hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên khoảng y f x a; b thì hàm số đồng biến trên ” + Đối với bất phương trình, hệ phương trình, tư vận dụng tính đơn điệu hoàn toàn tương tự trên II- BÀI TẬP MINH HỌA: Loại 1: Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) x x 1 b) sin x sin x 1 (2) c) x x x Hướng dẫn giải: a) d) x x2 x 1 x x x 1 x x 1 x 0 x 0 Điều kiện: x 2 Nhận xét: Số nghiệm phương trình là số giao điểm hàm số y x x và y 1 1 D ; 2 Xét hàm số y x x Miền xác định: 4x O y/ x 2 x 4x Đạo hàm y x 1 1 ; ; Đồ thị y x x nên hàm số đồng biến trên Do hàm số liên tục trên 1 x x thỏa (1) Do đó hàm số có nghiệm và đó là Dễ thấy b) sin x 1 TXĐ: D R t 1 Đặt t sin x , điều kiện sin x t 1 t Khi đó phương trình có dạng : t t 1 (2) Dễ thấy: D 1;1 + Hàm số f (t ) t là hàm đồng biến trên D 1;1 + Hàm số g (t ) 1 t là hàm nghịch biến trên Từ (*) suy : f (t ) g (t ) có nghiệm thì nghiệm đó là c) sin x 1 x k 2 Ta thấy t 1 là thỏa phương trình (2), đó: x x x (3) TXĐ: D 1; x 1; x Xét hàm số f ( x ) x có nên hàm số đồng biến trên y / 3x x D Và hàm số g ( x ) x x Đạo hàm : hàm số nghịch biến trên D Phương trình (3) có dạng f ( x ) g( x ) Do đó phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là Ta thấy x 1 thoả mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x 1 f / (x) d) x x2 x 1 x x x 1 1 (3) x x x 0 x x x x x x Điều kiện: x x x 0 x 0 x x 0 x x x x 0 x 0 x x x x x + Với x 0 x x 0 x x x x 0 x x x x x x x + Với Vậy D R Biến đổi phương trình dạng : x x x 1 ( x 1) ( x 1)2 ( x 1) x x x x ( x 1) ( x 1) ( x 1)2 ( x 1) (4) Xét hàm số f (t ) t t t Miền xác định D R f / (t ) t t2 t 1 / t t2 t 1 Đạo hàm : Nhận xét : t t 2t t t t t t t t 2t 4t 4t 2t (2t 1)2 2t 2t 2t 0 f / ( x ) x hàm số đồng biến trên D f ( x ) f ( x 1) x x vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Khi đó: (*) Bài tập 2: Giải các phương trình sau: 3x x2 1 log3 x 3x 2 a) 1 8sin x sin x e e 8sin x 4sin x c) Hướng dẫn giải: a) log3 1 x 3x 5 b) 2x 2x x x2 2 (1) x 1 u x 3x x 2 x x Điều kiện: Đặt u 0 1 log3 (u 2) 2 5 Lúc đó : 3x x 1 u Khi đó : (1) 1 u2 2 (2) x x 1 (4) 1 x 1 f ( x ) log3 ( x 2) Miền xác định: D 0; Xét hàm số: 1 f / (x) x.5x ln ( x 2) ln Đạo hàm : , x D Suy hàm số đồng biến trên D Mặc khác: f (1) 2 Do đó (2) có dạng : f (u) f (1) u 1 : x x2 x ( x 1)2 TXĐ: D R b) x x x x2 x Biến đổi phương trình dạng : x 2 t Xét hàm số f (t ) 2 t Miền xác định : D R Đạo hàm : x 3 3 x 2 (2) f / (t ) ln 2.2 t t D Suy hàm số đồng biến trên D Từ (2) có dạng f ( x 1) f ( x x ) x x x x 1 Vậy x 1 là nghiệm phương trình sin x 1 8sin x sin x sin x e e 8sin x 4sin x c) Điều kiện: 1 8sin x sin x e e 8sin x 4sin x Biến đổi phương trình dạng: (3) f (t ) e t t Miền xác định: D 0; Xét hàm số f / ( x ) et x D t Đạo hàm : Suy hàm số đồng biến trên D Từ (*) có dạng : f 8sin x f 4sin x 8sin x 4sin x 8sin x 4sin x 8sin x 1 4sin x sin x 1 sin x x k 2 x k 2 x 5 k 2 6 Loại 2: Vận dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau: a) x x Hướng dẫn giải: b) x2 2x x x 11 x x (5) x 0 x x 0 x x a) (1) Điều kiện: D 2; Xét hàm số y f ( x ) x x Miền xác định : 1 f / (x) x 2 x x Đạo hàm Suy hàm số đồng biến trên D Để ý rằng: f (0) 5 , đó: + Nếu x thì f ( x ) f (0) x x , nên x là nghiệm bpt + Nếu x 0 thì f ( x ) f (5) x x 5 nên x 0 không là nghiêm bpt T 0; Đối chiếu với điều kiện, suy tập nghiệm (1) là b) x2 2x Điều kiện: x x 11 x x x 0 x x 11 0 x 3 3 x 0 x 0 (*) x x x x x 11 x Biến đổi bất phương trình: x (2) ( x 1)2 x (3 x )2 x 1;3 Xét hàm số f (t ) t t Ta thấy hàm số đồng biến trên Từ (3) ta có f ( x 1) f (3 x ) x x x T 2;3 Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm bất phương trình (2) là Loại 3: Vận dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau: x x 3 y x y 1 x x y y y 3 x a) b) x 3x ln x x y y 3y ln y y z z 3z ln z z x c) Hướng dẫn giải: x y 1 x x 0 x 1 y 0 x 1 y y 0 a) (I) Điều kiện: x x 1 1 x x 1 y Ta có (I) (3) (6) x x 1 x x x x x Từ phương trình : 1; Ta thấy hàm số f ( x ) x là hàm đồng biến trên D 1; Xét hàm số g ( x ) x x x Miền xác định: (1) / Đạo hàm g ( x ) x x x D Suy hàm số nghich biến trên D Từ (1) ta thấy x 1 là nghiệm phương trình và đó là nghiệm 1;0 Vậy hệ có nghiệm x x 3 y x 0 y y 3 x y 0 b) (II) Điều kiện: x x 3 y 3 x y y Ta có (II) Cộng vế theo vế ta có: x x y2 y (2) D 1; Xét hàm số f (t ) t t Miền xác định: t f / (t ) x D 2 t t Đạo hàm: Suy hàm số đồng biến trên D f ( x ) f ( y ) x y Từ (*) ta có 2 Lúc đó: x x 3 (3) + VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D + VP (3) là hàm trên D Ta thấy x 1 là nghiệm phương trình (3) (thỏa điều kiện) Suy phương trình có nghiệm x 1 là nghiệm 1;1 Vậy hệ có nghiệm x 3x ln x x y y 3y ln y y z z 3z ln z z x c) Xét hàm số f (t ) t 3t ln t t Lúc đó hệ có dạng: f ( x ) y f ( y ) z f (z) x Miền xác định: D R 2t f / ( x ) 3t x R 2 t t Đạo hàm : Suy hàm số đồng biến trên D x; y; z x max x , y, z Ta giả sử là nghiệm hệ và đó ta suy ra: y f ( x ) f ( y) z z f ( y) f ( z ) x Vậy x y z x x y z (7) x 3x ln x x x x x ln x x 0 Thay vào hệ ta có : (3) Ta thấy x 1 là nghiệm phương trình (vì VT (3) là đồng biến trên R) 1;1;1 Vậy hệ có nghiệm III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) c) x x2 x x 1 x x 4 x e) m x 6 x 3 m m x 3m sin x sin x cos2 x sin x g) Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau: x x 3x x 12 b) e 2x e x d) 1 2x x log tan x 3 f) tan x 2.3 h) 32 sin x 3sin x 10 3sin x sin x 0 a) x x 1 b) x x x 1 x c) x 1 x x x d) x x 9 x Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau: x y y x 2 a) x xy y 12 x x 5 y y y 5 x c) e) sin x y sin y x 2 x y x, y tan x tan y y x y 1 x y g) x x ( y 3) y 0 2 b) x y x 7 x y y x 2 d) x y 25 x x 6.log y x y y 6.log3 z y z z 6.log3 x z f) x y sin x e sin y 10 x 3 y x, y 5 h) (8)