c, Lấy diểm Q trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại B sao cho BQ=BI h¹ QJ vu«ng gãcvíi PC J n»m trªn PC.. TÝnh tØ sè QJ.[r]
(1)§Ò thi häc sinh giái líp n¨m häc 2008-2009 ( Thêi gian 150 phót ) Ngời đề : Triệu Quốc Khênh Trêng THCS Xi M¨ng C©u : Cho a,b,c lµ c¸c sè tho¶ m·n : a+b − c b+ c − a c+ a −b = = c a b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P= 1+ b 1+ c 1+ a a b c ( )( )( ) Câu 2:a, Cho A=3+3 +3 + +325 ; Acó thể là số chính phơng đợc không?vì sao? b, Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết nhân nó với 135 ta đợc 1số chính ph¬ng C©u 3: T×m mäi sè x,y,z ph¬ng tr×nh : a, x+y+z+4=2 √ x −2+ √ y − 3+6 √ z −5 b, (x2+10x+8)2=4(2x+1)(x2+8x+7) C©u 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ,gi¸ trÞ lín nhÊt cñabiÓu thøc: A=x2+y2 BiÕt x2(x2+2y2-3)+(y2-2)2=1 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông A và góc B 750,đờng trung trực BC cắt các đờng thẳng BC,AC và AB lần lợt M,Nvà P a, TÝnh tØ sè : AN NC b, Gọi I là giao điểm các đờng thẳng BN và PC so sánh MA và MI c, Lấy diểm Q trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) B cho BQ=BI h¹ QJ vu«ng gãcvíi PC ( J n»m trªn PC) TÝnh tØ sè QJ AB HÕt TrêngTHCS Xi M¨ng Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp m«n to¸n n¨m häc 2008-2009 C©u 1.(4®) Tõ gi¶ thiÕt ta suy ra: a+b − c b+ c − a c+ a −b +2= + 2= +2 c a b (1®) a+ b+c b+c +a c + a+b ⇔ = = c a b (2) *NÕu : a+b+c=0 ⇒ P= a+ b b+c c+ a = ( − c )( − a ) ( −b ) =−1 b c abc *NÕu : a+b+c ≠ ⇒ a=b=c ⇒ P=2.2.2=8 (1,5®) c (1,5 ®) C©u (4®) a (2®) A ⋮3 (0,5®) A:9 d (1®) Do đó A không thể là số chính phơng (0,5đ) b, (2đ) Gọi số đó là ab thì : 135 ab=n ⇒ ab=n (0,25®) ⇒ ab=3 k víi k N (v× sè chÝnh ph¬ng chØ chøa thïa sè nguyªn tè víi sè mò ch½n) (0,25®) k=1 ⇒ ab=15 (0,5®) k=2 ⇒ab=60 (0,5®) k ⇒ab Kh«ng cßn lµ sè cã hai ch÷ sè VËy ab=15 vµ ab=60 (0,5®) C©u (4®) a.(2®) ®kx®: x , y ≥ , z ≥5 (0,25®) Phơng trình đã cho tơng đơng với : x-2- √ x −2+1 +y-3-4 y − 3+¿+4+z −5 −6 √ z − 5+9 =0 2 √¿ ⇔ ( √ x − 2− ) + ( √ y − 3− ) + ( √ z −5 −3 ) =0 x=3, y=7, z=14 (1®) (0,5®) (0,25®) b, (2®) áp dụngbất đẳng thức : (a+b)2 4ab Ta cã: (x2+10x+8)2 4(2x+1)(x2+8x+7) DÊu b»ng s¶y : x2+8x+7=2x+1 x 1=−3 − √3 x 2=− 3+ √ (0,5®) (0,5) (0,5) (0,5) C©u 4.(2®) x2(x2+2y2-3)+(y2-2)2=1 2 2 2 2 ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) +3=− x ≤ (0,5®) V× x +y =A Ta cã: A2- 4B +3 ⇔ ( A −1 )( A −3 ) ≤ ⇔ ≤ A ≤ (0,5®) MinA=1 ⇔ x=0 ; y ± (0,5®) MaxA=3 ⇔ x=0 ; y ± √ (0,5®) C©u 5.(6®) a, (2®) N trung trùc cña BC ⇒ NC=NB (1®) AN AN ⇒ = =sin60 0= √ (1®)Q NC BN P b, (2®) Ta cã Nlµ trôc t©m cña BPC ⇒ BI ⊥ PC Δ ABC cã ^ A =900 M lµ trung ®iÓm cña ABC ⇒ AM= BC Δ IBC cã ⇒ ^I =900 M lµ trung ®iÓm cña BC ⇒ IM= BC N2 I MA=MI B C M (3) Ta cã QB ( ABC ) ⇒QB ⊥ PC Mµ QJ ⊥ PC⇒ PC⊥ ( QBJ ) ⇒PC ⊥ BJ ⇒ I ≡ J BQJ vu«ng c©n ë B ⇒ QI=BI √ 2=AC √ Mµ AN+NC=AC nªn AB √ 3+2 AB=AC ⇒ AC=( √ 3+ ) AB c,(2®) ⇒ QJ QI AC √ = = =√2 ( √ 3+2 ) AB AB AB Ghi chó: Häc sinh lµm c¸ch kh¸c vÉn cho ®iÓm tèi ®a Bµi häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai kh«ng cho ®iÓm bµi h×nh (4)