Đề luyện tập số 1. Câu 1. Tìm khai triển Taylor của 2 ( , ) x y f x y x y + = + tại điểm (2,1) đến cấp 3. Câu 2. Tìm cực trị của hàm 2 2 12 3z x y xy x y= + + − − . Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ ∞ = 1n n n v u với u n = n n + 2 1 2 và v n = 2 2 1 n n + Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 2 1 ( 1) 4 (3 1) n n n n x n − ∞ = − − ∑ Câu 5. Tính tích phân kép 2 2 1 D I dxdy x y = ∫∫ + , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 2 6 ,x x y x y x≤ + ≤ ≥ , Câu 6. Tính tích phân ( ) ( ) 2 2 cos x C I e xy dx y y x dy= + + + ∫ với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tính ( )= + + + ∫Ñ C I ydx z x dy xdz , với C là giao của 2 2 1+ =x y và 1z y= + , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. Câu 8. Tính tích phân mặt loại một ( ) 2 2 = + ∫∫ S I x y dS , trong đó S là phần mặt nón 2 2 2 z x y= + , nằm giữa hai mặt phẳng 0, 1z z= = . Đề luyện tập số 2. Câu 1. Cho hàm 2 ( , ) xy f x y xe= . Tính 2 (2,1)d f . Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 2 2 2 1 ( , ) ( ) x y f x y y x e − + = − trên miền 2 2 {( , ) | 4}D x y x y= + ≤ Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ )2( 2 2 1 + ∞ = ∑ + − nn n n n b/ 1 1 3. )2 .(6.4.2 )12 .(5.3.1 + ∞ = ∑ − n n n n Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 3) 2 ln n n n x n n ∞ = − − ∑ + Câu 5. Tính tích phân kép 2 2 x y D I e dxdy − − = ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1 4, 0, 3x y y y x≤ + ≤ ≥ ≤ , Câu 6. Tính tích phân ( ) ( ) C I x y dx x y dy= + + − ∫ , với C là phần đường cong siny x x= + , từ (0,0)A đến ( , )B π π . Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu 2 2 2 z R x y= − − nằm trong hình trụ 2 2 x y Rx+ = . Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3 = + + ∫∫ S I x dydz y dxdz z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 2 4,+ + ≤ ≥ +x y z z x y , phía trong. Đề luyện tập số 3. 135 Câu 1. Cho hàm ( , ) (2 )ln x f x y x y y = + . Tính 2 (1,1)d f Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + x 3 + y 9 với x > 0, y > 0 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 1 4 7 (3 2) (2 1)!! n n n ∞ = × × − ∑ − L Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 !( 4) n n n n x n ∞ = − ∑ Câu 5. Tính tích phân kép ( 2) D I x dxdy= + ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1, 0 9 4 x y y+ ≤ ≥ Câu 6. Tính tích phân ( ) ( ) 2 3 2 C I x y dx x y dy= + + + ∫Ñ , trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn bởi 2 2 ,y x y x= − = − , chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2 z x y= + nằm trong hình cầu 2 2 2 2x y z z+ + = . Câu 8. Tính 2= ∫∫ S I xdS , với S là phần mặt trụ 2 2 4+ =x y nằm giữa hai mặt phẳng 1, 4z z= = . Đề luyện tập số 4. Câu 1. Cho hàm 2 2 ( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + − . Tính 2 (0,0)d f Câu 2. Tìm cực trị của hàm 3 2 12 8 .z x y x y= + − Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 5 8 (3 1) 1 5 9 (4 3) n n n ∞ = × × − ∑ × × − L L Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1)ln( 1) n n n n x n n ∞ = − + ∑ + + Câu 5. Tính tích phân )2222 ln(. yxyx D ++ ∫∫ dxdy với D là miền 1 ≤ x 2 +y 2 ≤ e 2 Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye y . Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích phân [ ] ∫ + L dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()( trong đó L là đường cong có phương trình: 4x 2 +9y 2 =36, chiều ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2). Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2 2z x y+ + = nằm trong hình paraboloid 2 2 z x y= + . Câu 8. Tính 2 2 2 = + + ∫∫ S I x dydz y dxdz z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu 2 2 2 2+ + =x y z z , phía trên. Đề luyện tập số 5. Câu 1. Tính 2 f x y ∂ ∂ ∂ , với 3 ( ) sin ; 2 = = + = + x f f u u u u xy e Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 2 2 2 2 ( , ) 2 12 ; 4 25f x y x xy y x y= + + + = 136 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 3 3 1 2 2 1 n n n n n ∞ = + ∑ ÷ − Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi: )1ln()1( )5(2)1( 11 1 ++ −− ++ ∞ = ∑ nn x nnn n Câu 5. Tính tích phân ( ) dxdyyxarctg D ∫∫ + 22 với D là hình tròn: x 2 +y 2 ≤ 3 Câu 6. Chứng tỏ tích phân [ ] (1 ) (1 ) x y C I e x y dx x y dy − = + + + − − ∫ không phụ thuộc đường đi. Tính tích phân I với C là phần ellipse 2 2 1 9 4 x y + = từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi 2 2 , 1, 0, 3y x y z z x= − = = = , lấy phần 0.z ≥ Câu 8. Tính ( ) 2 2 3= + + + ∫∫ S I xdydz y z dxdz z dxdy , với S là phần mặt phẳng 4+ + =x y z nằm trong hình trụ 2 2 2x y y+ = , phía trên. Đề luyện tập số 6. Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 32 3 yx e . Tính dz(1,1) và )1,1( 2 yx z ∂∂ ∂ Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x 3 + y 3 + 3x 2 - 3xy +3x-3y +1 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2 1 1 4 9 (4 3)!! n n n ∞ = × × ∑ − L Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n n n nn x n )1( 1.4 3.)1( 0 3 2 1 − + − ∑ ∞ = + + Câu 5. Tính tích phân kép 2 2 4 D I x y dxdy= − − ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1,x y y x+ = ≤ . Câu 6. Tính tích phân 2 2 ( ) ( ) C I x y x y dx y x xy dy= + − + − − ∫ , với C là nửa bên phải của đường tròn 2 2 4 ,x y y+ = chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tính tích phân đường loại một 2 2 = + ∫∫ C I x y dl , với C là nửa trên đường tròn 2 2 2+ =x y y . Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính ( ) (2 )= + + − + ∫Ñ C I x y dx x z dy ydz , với C là giao của 2 2 2 4+ + =x y z và 0x y z+ + = , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. Đề luyện tập số 7. Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x 2 - y 2 ). Tính dz( )1,2 và 2 2 x z ∂ ∂ ( )1,2 Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 2 2 ( , ) 1 4 8 ; 8 8f x y x y x y= − − − = . Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 ! n n n n n ∞ = ∑ Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ( )( ) ∑ ∞ = + + ++ 0 62 1.5 12 n n n n xn 137 Câu 5. Tính tích phân ∫∫ ++ 0 22 3 yx dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x 2 +y 2 = 1(x, y ≥ 0), x 2 +y 2 =33 (x, y 0 ≥ ), y=x, y = x 3 . Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye xy + e x α cosy, Q(x,y)= 2xe xy - e x α siny trong đó α là hằng số. Tìm α để biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với α vừa tìm được, tính tích phân đường dyxyxQdxyyx ]),([]),[( 33 ++− ∫ γ trong đó ( ) γ là đường tròn x 2 +y 2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ). Câu 7. Tính tích phân mặt loại một 2 = ∫∫ S I x dS , với S là nửa trên mặt 2 2 2 4+ + =x y z Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính 2 2 2 (3 ) (3 ) (3 )= − + − + − ∫Ñ C I x y dx y z dy z x dz , với C là giao của 2 2 = +z x y và 2 2z y= − , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. Đề luyện tập số 8. Câu 1. Tìm ' ' , x y z z của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình 3 2 lnx y yz z+ + = Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 2 2 ( , ) 4f x y x y x y= + + + trên miền {( , ) | | | 1,| | 1}D x y x y= ≤ ≤ Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ )1( 2 12 2 − ∞ = ∑ + nn n n n b/ 2 1 2 5. !)12 .(5.3.1 .9.4.1 + ∞ = ∑ − n n nn n Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 1 4 2 3 1 ( 1) ( 2) 3 1 n n n n x n n ∞ + = − − + + ∑ Câu 5. Tính tích phân kép ∫∫ −− D yx 22 9 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường tròn x 2 + y 2 = 9, y 0 ≥ và các đường thẳng y = x, y = -x Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e -y , ( , ) (1 ) y Q x y x y e − = − − . Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân [ ] ∫ + L dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()( trong đó L là nữa đường tròn x 2 + y 2 = 9 nằm bên phải trục tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3). Câu 7. Tính 2= ∫∫∫ V I zdxdydz , với V giới hạn bởi 2 2 2 2+ + ≤x y z z và 2 2 1+ + =z x y . Câu 8. Tính tích phân mặt ( ) ( ) ( 2 ) 2 2= + + + + + ∫∫ S I x y dydz y z dxdz z x dxdy , với S là phần mặt paraboloid 2 2 = +z x y , bị cắt bởi 2 2z x = − , phía dưới. Đề luyện tập số 9. Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của 2 2 1 , if ( , ) (0,0) ( , ) 3, if ( , ) (0,0) x y e x y f x y x y − + ≠ = − = Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x 2 - 2xy+ 2y 2 - 2x+ 2y +4 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của ( ) ∑ ∞ = + 1n nn vu với )14( 14 14 + + − = nn n n n u , !).13 .(10.7.4 ).2 .(6.4.2 nn nn v n n + = Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ ∞ = + + + 0 4 32 1.4 )3( n n n n x 138 Câu 5. Tính J= ∫∫ D dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x 2 +y 2 = 2x, x 2 +y 2 = 6x và các đường thẳng y = x, y = 0. Câu 6. Tìm hàm h(x 2 - y 2 ), h(1) = 1 đểtích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi I= ][ dxyxydyyxxyxh AB )()()( 222222 +−+− ∫ với AB là cung không cắt đường x 2 = y 2 . Câu 7. Tính ( ) V I x yz dxdydz= + ∫∫∫ , với V giới hạn bởi 2 2 z x y= + và 2 2 2z x y+ + = . Câu 8. Tính tích phân mặt ( ) ( ) 2 3 2 4= + + + + ∫∫ S I xdydz y z dxdz z y dxdy , với S là phần mặt paraboloid 2 2 2 2+ + =x y z x , phần 0z ≤ , phía dưới. Đề luyện tập số 10. Câu 1. Tính // (0,0) xy f 2 2 , if ( , ) (0,0) ( , ) 0, if ( , ) (0,0) ≠ = + = xy x y f x y x y x y Câu 2. Tìm cực trị của hàm 4 4 2 2 2 , 0.z x y x y xy x= + − − − ≠ Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2 1 1 2 1 n n n n ∞ = + ∑ ÷ + Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 ( 4) 2 n n x n n ∞ = − ∑ + Câu 5. Tính tích phân kép ( | |) D I x y dxdy= + ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 4, 0x y x+ ≤ ≥ Câu 6. Tính tích phân (2,3) 2 2 2 2 2 (1,1) 1x y y I dx dy x x x y x y = − + + ÷ ÷ ÷ ÷ + + ∫ , theo đường cong C không qua gốc O và không cắt trục tung. Câu 7. 2 2 2 1 V I dxdydz x y z = ∫∫∫ + + , với V được giới hạn bởi 2 2 2 4+ + ≤x y z và 2 2 ≥ +z x y Câu 8. Tính tích phân mặt ( ) ( ) ( ) S I x z dydz y x dxdz z y dxdy= + + + + + ∫∫ , với S là phần mặt paraboloid 2 2 z x y= + nằm dưới mặt 2x z+ = , phía trên. 139 . Tính tích phân mặt loại một ( ) 2 2 = + ∫∫ S I x y dS , trong đó S là phần mặt nón 2 2 2 z x y= + , nằm giữa hai mặt phẳng 0, 1z z= = . Đề luyện tập số. ∫ không phụ thuộc đường đi. Tính tích phân I với C là phần ellipse 2 2 1 9 4 x y + = từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tìm thể tích