TÝch ph©n tæng hîp 13 I/ Chó ý: 1/ Khi đứng tr−ớc một tích phân ta cần chú ý đến các vấn đề sau: - Cận: Nếu cận của tích phân đối xứng ta nên kiểm tra xem hàm d−ới dấu tích phân có tính [r]
(1)tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn tr×nh – 2010 – trang TÝch ph©n tæng hîp 13 I/ Chó ý: 1/ Khi đứng tr−ớc tích phân ta cần chú ý đến các vấn đề sau: - Cận: Nếu cận tích phân đối xứng ta nên kiểm tra xem hàm d−ới dấu tích phân có tính chất đặc biệt hay không - Hàm: Xem tích phân có thuộc dạng tích phân phần hay đổi biến 2/ Mét sè vi ph©n th−êng gÆp: adx = d (ax + b) 1 1 d ( x α +1 ); dx = d (ln x ); 1 ± dx = d x ∓ α +1 x x x sin xdx = −d cos x; cos xdx = d sin x; sin xdx = d(sin x ); x α dx = (cos x ± sin x )dx = d(sin x ∓ cos x ) 1 dx = d(tan x ); dx = −d(cot x ) cos x sin x e x dx = de x ; a x dx = da x ln a II/ Mét sè bµi to¸n: D¹ng 1: Mét sè tÝch ph©n c¬ b¶n ph¶i nhí: b b k x α +1 a α +1 a b b 1.2/ ∫ (kx + m) α dx = (kx + m) α +1 a k (α + 1) a b b 1 1.3/ ∫ dx = (kx + m) − α +1 a ; α k (−α + 1) a ( kx + m ) 1.1/ ∫ kx α dx = b ∫ x + m dx = ln(x + m) b a a b x − x1 1 b 1 1.4/ ∫ dx = dx − ∫ dx = ln ∫ x1 − x a (x − x1 ) x − x2 a ( x − x )( x − x ) a (x − x ) b b 1.5/ (kx + m)dx = ∫ a (kx + m) 3k b b a b a k 1.6/ ∫ sin( kx + m).dx = − cos(kx + m) a a b k b 1.7/ ∫ cos(kx + m).dx = sin( kx + m) a a b b sin x.dx b d (cos x ) cos x − 1.8/ ∫ dx = ∫ =∫ = ln 2 cos x + a a sin x a sin x a (cos x + 1)(cos x − 1) b b b b cos x.dx d (sin x ) sin x − 1.9/ ∫ dx = ∫ = − = − ln ∫ sin x + a a cos x a cos x a (sin x + 1)(sin x − 1) b b b k b 1.10/ ∫ e kx + m dx = e kx + m a a Dạng 2: Đ−a vào vi phân để áp dụng bảng nguyên hàm Bµi to¸n 1: Cã mÉu - Nếu mẫu có phận đ−a vào đ−ợc vi phân thì vào phận còn lại để đ−a vµo vi ph©n (2) tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn tr×nh – 2010 – trang - Nếu mẫu có dạng tích thì phân tích thành nhân tử để tách tích phân - Nếu tử là biểu thức phức tạp thì ta có thể phân tích tử để giản −ớc π (1 − sin x )dx 1./ T = ∫ (§H-03) + sin x HD: Tö cos 2xdx = d (sin 2x ) e3 dx e x ln x ln(ln x ) e dx 1./ T = ∫ x cos (ln x + 1) 1./ T = ∫ e e2 x 1./ T = ∫ dx − 3e x e x dx 1./ T = ∫ x e −1 π π 3 sin x cos x 1./ T = ∫ dx ; T = dx (lÎ tö bãc1) ∫ 2 cos x sin x π π π 1 dx ; I = ∫ dx 4 cos x π sin x 1./ I = ∫ π π sin x 1 dx = ⋯ = ∫ tan x ( dx ) cos x cos x π cos x π 1/ I = ∫ 4 π π cos x 1 I = ∫ dx = ∫ cos x − 1 dx sin x π sin x π 4 π tan x 1./ I = ∫ dx (A-08) cos x HD: §−a mÉu: cos x (1 − tan x ) C2: Chia cho cos x Ph©n tÝch mÉu: 1./ I = ∫ (x + 3x + ) 2 ( x + 2) − ( x + 1) = ∫ dx ( x + 2)( x + 1) dx x −1 x2 1./ I = ∫ dx = dx (x + 5x + 1)(x − 3x + 1) ∫ x + + x − + x x 1− (3) tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn tr×nh – 2010 – trang 1 d x + x =∫ 1 x + + x + −3 x x a a d + x − a−x x x2 1./ I = ∫ dx = dx = − ∫ ∫ 2 (a + x ) \ a a + x + x x x π sin xdx − cos x − sin x 1./ T = ∫ π cos xdx − sin x − sin x π π sin x − dx 4 1./ I = ∫ (B-08) sin x + 2(1 + sin x + cos x ) 1./ T = ∫ HD: MÉu lµ (sin x + cos x + 1)2 ln dx 1./ T5 = ∫ x (B-06) −x −3 ln e + 2e Nh©n thªm: 2 dx dx 1./ I = ∫ I = ; ∫ x ( x + 1) x ( x + 1) π π 1 dx ; T = ∫ dx 3 π sin x cos x 1./ T = ∫ Ph©n tÝch tö gi¶n −íc: cos x dx sin x sin xdx 1./ T = ∫ + cos x 1./ T = ∫ π sin x cos x dx (§H-05) + cos x 1./ T = ∫ 1./ T = + 3e x )dx ∫0 e x + 3e x + ln 1./ I = ∫ (e 2x sin x + cos x 2(sin x + cos x ) + (− cos x + sin x ) dx = ∫ dx (sö dông hÖ sè m, n) sin x + cos x sin x + cos x Bµi to¸n 2: Chøa c¨n 2./ T1 = ∫ e 2./ T2 = ∫ (cos x + sin x )dx sin x − cos x + ln x dx x (4) tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn tr×nh – 2010 – trang e 2./ T3 = ∫ (ln x ) + ln x dx x 2./ T4 = ∫ e x x .dx Bµi to¸n 3: §a thøc π 3./ T = ∫ sin 11 xdx (lÎ bãc mét) 3./ T = ∫ sin x.dx ; T = ∫ cos x.dx π 3./ T = ∫ sin x cos x.dx π 3./ T = ∫ sin x (1 + sin x ) dx π 3./ T = ∫ sin x cos x.dx (ch½n h¹ bËc) π 3./ T = ∫ cos x (1 + cos x )dx (§H-A08) π 3./ T = ∫ (e sin x + cos x )cos x.dx (D-05) D¹ng 2: Èn phô Bµi to¸n 1: Cã mÉu b Cã d¹ng: A = ∫ a dx , thì đặt x = k tan t x + k2 1 dx x +1 2./ B = ∫ dx x + 2./ A = ∫ x+a = 0;±1;± ;± b 1 d x − 1+ 1 1+ x du x x 2./ I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ = ∫ 2 1 1− + x 1− x + 1− 2u + x − + 2 2 x x NÕu mÉu cã d¹ng ( x + a ) + b sÏ tÝnh ®−îc Chó ý: +/ 1 ± 1 1 dx = d x ∓ ; t = x ± ⇒ x + = t2 ∓ 2 x x x x dx + x2 − x2 = dx + ∫ dx +/ I = ∫ + x ∫ + x + x (5) tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn tr×nh – 2010 – trang 2./ I = 1+ + x2 dx x4 − x2 + ∫ 2./ I = 3+ ∫ 1+ x2 dx x4 + x2 + Bµi to¸n 2: Cã c¨n - Nếu có thì th−ờng đặt qua ẩn phụ 1.1/ T1 = ∫ ( x + 1)dx 1.5/ T5 = ∫ x +1 xdx 2x + xdx 1.2/ T2 = ∫ 3x + xdx 1.3/ T3 = ∫ x −1 1+ 1.4/ T4 = ∫ x 2x − 1dx 2 1.6/ T6 = ∫ x + x dx π sin x + sin x dx + cos x 1.6/ T6 = ∫ (§H-04) π sin x 1.7/ T7 = ∫ .dx (A-06) cos x + sin x ln x e ex −1 1.8/ T8 = ∫ x dx e +3 dx (CT-98) 1.10/ T10 = ∫ (SPHN2-00) 3x x +1 (NT-96) 1.11/ T11 = ∫ x dx (TM-97) x2 + (LuËt-01) 1.12/ T12 = ( x + 2x )dx ∫0 x + 1.7/ T7 = ∫ x − x dx 1.8/ T8 = ∫ x − x dx 1.9/ T9 = ∫ x15 + 3x dx c/ Chøa c¨n a − x 3.1/ T1 = ∫ − x dx 3.2/ T2 = ∫ − x dx x2 3.4/ T4 = ∫ x 2dx 1− x − x2 π (§S: − ) 3.6/ T6 = ∫ x − x dx 3.3/ T3 = ∫ x − x dx x 2dx 3.5/ T5 = ∫ (TL-97) π cos x.dx + cos x dx 3.7/ T7 = ∫ e (HVTC-97) 3.8/ T8 = ∫ x − ln x π cot x 3.9/ T9 = ∫ − ln (sin x ) π d/ Chøa c¨n a + x 4.1/ T1 = ∫x dx + x2 4.6/ T6 = ∫ + 3x dx x2 .dx (6) tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn tr×nh – 2010 – trang 4.2/ T2 = ∫ + x dx 6+ ( − + ln ) x 4.3/ T3 = ∫ + x dx 16 + x x 3dx + x2 π (TL-97) 4.8/ T8 = ∫ dx 4.5/ T5 = ∫ cos x − sin x dx + sin x π − ∫ 4.4/ T4 = ∫ 4.7/ T7 = π sin 2x − cos x Dạng 3: Tích phân đặc biệt Bµi to¸n 1: TÝch ph©n LG liªn kÕt π 2./ T1 = ∫ π 2./ T2 = ∫ π 2./ T3 = ∫ (sin x )dx sin x + cos x (4 sin x )dx (sin x + cos x ) (5 cos x − sin x )dx (sin x + cos x ) π cos x dx dx (NNI-01) sin x + cos x 2./ T4 = ∫ π (TM-00) ( ) 2./ T5 = ∫ sin x − cos x dx (H§-01) α Bài toán 2: I = ∫ f ( x )dx = đó hàm f(x) là hàm lẻ −α - Chó ý: Mét sè hµm lÎ th−êng gÆp I1 = ∫ −2 sin x + 5x I = ∫ ln I3 = I4 = −1 ∫ (x −3 π ∫ − I5 = 2009 π (x + I6 = dx ) x + dx − 3x + x )cos x.dx I = ∫ e x sin xdx I = ∫ x sin x.dx − x + cos x dx x π − ∫ − sin I10 = ∫ x e x dx −1 α f (x) dx = ∫ f ( x )dx x +1 ∫a −α 1− x I = ∫ x ln dx + x − −1 π h/ I = 2 sin x dx + cos x α x + sin x ∫−1 + x dx .dx (7) tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn tr×nh – 2010 – trang π 1− x I1 = ∫ dx x + −1 x4 I2 = ∫ dx x −1 + ln(1 + x ) I3 = ∫ dx x −1 + dx I4 = ∫ x −1 (1 + x )(1 + e ) sin x I5 = ∫ dx x −π + Bµi to¸n 3: I = π−α I1 = sin x sin x cos 5x dx x + e π − ∫ xf (sin x )dx; J = ∫ π 2 π−α α PP: §Æt x = π − t; x = 2π − t ∫ xf (cos x )dx; α π π x.sin x dx − cos x I1 = ∫ I = ∫ x.sin xdx π 2π x.sin x dx + cos x I2 = ∫ I = ∫ x cos3 xdx a +T T Bµi to¸n 3: I = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx a T a a +T T 0 a a +T HD: ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ; TÝnh I1 = 2010 π ∫ − cos 2x dx I2 = 2010 π ∫ + cos x dx T ∫ f (x )dx đặt t = x − T a +T 4π sin 8x cos x I1 = ∫ dx + cos x D¹ng 4: TÝch ph©n tõng phÇn NhËn d¹ng: - Cận: Không đối xứng - Hµm: Chøa hai hµm sè kh¸c chñng lo¹i PP: - Chøa: e x - Chøa: sin x ∪ cos x - Chøa: ln x Bµi to¸n 1: Lµm mÊt hµm ®a thøc π 1.1/ A = ∫ ( x − 1)e dx x 1.9/ L = ∫ (2x − 1) cos x.dx 1 1.3/ C = ∫ ( x − 1) e dx 2x 1.2/ B = ∫ x e x dx 1.4/ D = ∫ (e x sin x − x e x )dx −1 π 1.5/ E = ∫ e π 1.10/ M = ∫ x sin x.dx sin x sin x cos x.dx 1.6/ G = ∫ x sin xdx π π sin x u ' = x sin x dx 1.13/ Q = ∫ cos x π cos x v = x − (8) tÝch ph©n 13 míi – nguyÔn tr×nh – 2010 – trang π 1.7/ I = ∫ ( x + 1) sin x.dx π x dx π sin x 1.14/ O = ∫ π 1 x 1.15/ T = ∫ x tan x.dx = ∫ dx − ∫ dx 0 cos x 1.8/ K = ∫ x sin x.dx 2 Bµi to¸n 2: MÊt hµm siªu viÖt 3.6/ G = ∫ x ln( x + x + 1)dx 3.1/ A = ∫ ln(x + 1)dx 1 e 3.7/ H = ∫ x ln( x + 1)dx 3.2/ B = ∫ ( x − 1) ln x.dx 3.3/ C = ∫ ln(x − x )dx (D-04) e e 3.8/ I = ∫ x ln x.dx F = ∫ x ln x.dx 2 e ln x ln x dx ; D = ∫ dx x x 3.4/ D = ∫ 10 3.9/ K = ∫ x lg x.dx π e 3.5/ E = ∫ x ln x.dx e 3.10/ L = ∫ cos x ln(1 + cos x )dx π 3.11/ M = ∫ cos(ln x )dx (C2: đặt t=lnx) eπ 3.12/ N = ∫ sin(ln x )dx Bµi to¸n 3: Quay vßng π π 2.1/ A = ∫ e x cos x.dx π 2.2/ B = ∫ e x sin 3x.dx π 2.3/ C = ∫ 5e sin x.dx x Bµi to¸n 4: Phèi hîp nhiÒu pp 41/ N = π 2 ∫ sin x dx 42/ P = ( π )2 ∫ cos π 2 43/ R = ∫ −1 x dx x sin x + 2x dx D¹ng 5: øng dông tÝch ph©n 2.4/ D = ∫ e x sin x.dx π 2.5/ E = ∫ e x cos x.dx 2.6/ G = ∫ e x sin πx.dx (9)