PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 2.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể gặp các dạng như: 2.1.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình đại s[r]
(1)MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH GIỎI §1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ MỘT SỐ QUY ƯỚC KHI ĐỌC CHUYÊN ĐỀ 1.1 Vt: Vế trái phương trình Vt : Bình phương vế trái phương trình 1.2 1.3 Vp: Vế phải phương trình Vp : Bình phương vế phải phương trình Vt (1) : Vế trái phương trình (1) 1.4 1.5 1.6 1.7 Vp (1) : Vế phải phương trình (1) Đk, đk: Điều kiện BĐT: Bất đẳng thức HSG, HSG: Học sinh giỏi VMO, VMO: Thi học sinh giỏi Việt Nam, CMO: Thi học sinh giỏi Canada 2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 2.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể gặp các dạng như: 2.1.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho phương trình đại số không còn chứa thức với ẩn là ẩn phụ 2.1.2 Đặt ẩn phụ mà còn ẩn chính, ta có thể tính ẩn này theo ẩn 2.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình hệ hai phương trình với hai ẩn là hai ẩn phụ, có thể hai ẩn gồm ẩn chính và ẩn phụ, thường đó ta hệ đối xứng 2.1.4 Đặt ẩn phụ để phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi phương trình tích với vế phải Thường giải phương trình ta hay biến đổi tương đương, biến đổi hệ thì nhớ phải thử lại nghiệm 2.2 Một số ví dụ Ví dụ Giải các phương trình sau: 18 x 18 x x 17 x x 0 1) 2) x x x2 3) 4) x x 1 1 4 x x x x x x x 1 14 10 x x y với y 0 Từ đó phương trình có nghiệm là Hướng dẫn (HD): 1) Đặt x2 x 1 y y x x (có thể viết đk y 0 chính xác là 2) Đặt ), Từ đó phương trình có nghiệm x là 3) Ta thấy x không thỏa mãn (2) x 1 4 x x 2 1 x 4 x x 1 Khi đó phương trình tương đương với hệ x y x Đặt Từ đó phương trình có nghiệm là x 1 Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải Phương pháp đánh giá phần sau 4) Xét (1), đặt y x , suy y 0 Thử lại ta nghiệm phương trình là x 0 và x 5 Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải Phương pháp lượng giác phần sau 2 Ví dụ Giải phương trình x 3x ( x 3) x HD: Đặt x y , với y 1 Từ đó phương trình có nghiệm là x Ví dụ Giải phương trình 17 x HD: Đặt 17 x y với y 0 và x8 z Từ đó nghiệm phương trình là x = và x = -1 x8 1 Ví dụ Giải các phương trình sau: 1) 2) x x 2 x x 81x x3 x x x y , với y 2 x y 2 xy x y 4 Khi đó ta hệ x y S ; xy P Thế lại đặt giải tiếp ta nghiệm phương trình là HD: 1) Đặt x 0 ; x 2 và 2) Đặt x 14 81x 3 y x y y y 3 x y y y 3 y x3 x x Khi đó ta hệ 1 1 ( x y )2 ( x 2)2 ( y 2)2 x y 2 Xét hiệu hai phương trình dẫn đến (do ) (3) Thay vào hệ và giải phương trình ta x 0; x x 14 x Ví dụ Giải phương trình 2 x x 20 5 x HD: Đk x 5 Với điều kiện đó ta biến đổi phương trình đã cho sau: x 14 x x x 20 x x 14 x x x 20 25( x 1) 10 ( x 1)( x 4)( x 5) x x 5 ( x 1)( x 5) x 2( x 1)( x 5) 3( x 4) 5 ( x 1)( x 5) x Đặt ( x 1)( x 5) y; x z , với y 0; z 3 y z y 3 z 2 Ta y z 5 yz ( y z )(2 y z ) 0 , từ đó ta 61 x y z Nếu thì ta (do x 5 ) y z x 8; x thì ta Vậy phương trình có ba nghiệm trên Nếu 4x 28 , với x Ví dụ Giải phương trình 4x ay b 28 Nhận xét: Dạng phương trình này ta thường đặt , sau đó bình phương lên ta “cố ý” biến a 1; b đổi hệ đối xứng với hai ẩn x, y Từ đó ta biết giá trị a, b Với bài toán này ta tìm (Nếu a = và b = mà giải thì đó là phương trình quá đơn giản, ta không xét đây) 4x 4x 9 y 28 28 28 , từ đó y x HD: Đặt , nên x2 x 7 x x y 7 y y x x , y 50 x 14 Ta hệ Giải hệ bình thường theo dạng ta Ví dụ Giải phương trình x x3 Nhận xét: Khi giải phương trình không phải lúc nào có nghiệm thực, có phương trình vô nghiệm cho học sinh làm bài ta kiểm tra lực học sinh trình bầy lời giải bài toán đó Chẳng hạn bài toán ví dụ này (4) x y 3 x 2 y y x x HD: Đặt = y với Khi đó ta hệ và từ phương trình ban đầu ta có 2 x Xét hiệu hai phương trình hệ ta phương trình ( x y )( x xy y x y ) 0 Với x y thì x x , dẫn đến vô nghiệm 2 Còn x xy y x y ( y x)(1 x) y với y 0 và x Do đó hệ vô nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm 2.3 Một số bài tập tương tự Bài Giải các phương trình sau: x x 2 x 2 x 1) 2 (HD: Đặt y x ; y 0 , ta ( y 1)( y y 1)(2 y y 4) 0 51 33 y 1; y ;y Từ đó và nghiệm phương trình là 1 33 1 x 1; x ; x ) x x 7 x 2) x x 1 y x (HD: Từ phương trình suy x 1 Đặt , bình phương dẫn đến trình trở thành y y 0 , ta y 3 Từ đó x 4 ) y Phương 2 Bài Giải phương trình (4 x 1) x 1 2 x x 1 (HD: Đặt y y 2 x x x y , với y 1 Từ đó ta ) Phương trình có nghiệm Bài Giải các phương trình sau: 3(2 x 2) 2 x x 1) (HD: Đặt x y , x z , với y 0; z 0 Ta x 3 y z 4 Từ đó phương trình có nghiệm 2 2) và 2(1 x) x 1 11 x 3; x ) 2(1 x) y y (HD: Đk x Đặt x z z x với y 0; z 0 1 x (5) Suy 2( y z ) 1(1) y z 1(2) 1 z phương suy 1 y 4 z ( z 1) ( z ) 0 2 Từ (1) thay vào (2) ta Xét hiệu hai bình 34 2 34 1 x Từ đó ta nghiệm phương trình là Bài Giải phương trình x x 1000 8000 x 1000 ) x x 2000 y (*) y y 2000 x y 8000x (HD: Đặt = , ta (*) ( x y )( x y 1999) x y 1999 0 Từ suy và , đó Suy x y , ta nghiệm x 2001 , loại x 0 ) Bài Giải các phương trình sau: x3 x2 1) (HD: Đặt y x 0; z x x , ta 2 5y y y y y 5y yz 2( y z ) 2 0 2 z z z z z z x y 2 4 x x 0 (vô nghiệm) Nếu z ta x 2 x x x 37 37 x y x 2 x x x z Nếu ta (thỏa mãn)) 2) 2 x x 4 2( x3 21x 20 x (HD: Đk x 5 Đặt x x 10 y và x z , với y 0; z 0 193 17 3 73 x x 4 Khi đó ta ( y z )( y z ) 0 Từ đó phương trình có bốn nghiệm là và ) Bài Giải các phương trình sau: x2 4x x 1) (6) x 1; x 29 ) 2) x y , ta x 3 2x2 4x , với x 1 3) x 3 17 17 y 1 x 1 x 4 (HD: Đặt ,được (loại), x thì ) 27 x 18 x x , với x (HD: Đặt (HD: Tương tự, ta x 37 18 ) PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 3.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ (chẳng hạn f ( x) g ( x) ) phương pháp đánh giá, thường là để ta phương trình có nghiệm (nghiệm nhất).Ta thường sử dụng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái tổng bình phương các biểu thức, đồng thời vế phải Ta có thể sử dụng tính đơn điệu hàm số (có thể thấy sử dụng đạo hàm xét biến thiên hàm số) để đánh giá cách hợp lý f ( x) g ( x ) f ( x) C (C ) f ( x) g ( x) C g ( x ) C (C ) Thường ta đánh giá sau: , đánh giá f ( x) g ( x) là f ( x) g ( x) … Ngoài bài cụ thể nào đó ta có cách đánh giá khác Cũng có số phương trình vô tỷ có nhiều ẩn mà ta giải phương pháp đánh giá 3.2 Một số ví dụ Ví dụ Giải phương trình x x 1 HD: Bài toán này có đề thi vào Đại học Bách Khoa và ĐHQG năm 2001 Bài này có nhiều cách giải, đáp án sử dụng đạo hàm x là nghiệm phương trình Ta có thể làm đơn giản sau: Ta thấy x thì Vt > = Vp Nếu x thì Vt < = Vp Nếu Do đó phương trình không có nghiệm hai trường hợp này x Vậy phương trình có nghiệm là 2 Ví dụ Giải phương trình x x x 10 x 14 4 x x HD: Bài này quá đơn giản, đánh giá Vt 5 còn Vp 5 , đó hai vế cùng Ta phương trình có nghiệm là x (7) Ví dụ Giải phương trình x x 19 x x 13 13x 17 x 3 3( x 2) HD: Bài này cách giải có vẻ tự nhiên cách “cố ý” cho Giáo viên và học sinh có thể sáng tác bài kiểu đó 75 ( x )2 (2 x 1)2 3( x 2)2 (2 x 1) (4 x 3) 2 4 Đk x Với đk đó Vt = 75 x2 4x 3 3( x 2) (4 x 3) 2 3 3.( x 2) = Vp 1 x x Vậy phương trình có nghiệm là Dấu đẳng thức xảy Ví dụ Giải phương trình 27 x 24 x 28 27 1 x6 HD: Phương trình đã cho tương đương với phương trình (9 x 4) 3(9 x 4) 1 x Đặt (9 x 4) y , suy y 0 , đk y2 3y y2 3y 24 1 4 1 y 3 Khi đó ta (bình phương hai vế) 24 Theo BĐT Cô-si ta y2 y 6 2 y 6y , đó y2 ( y 2) y 48 3 y 12 y 12 y 12 y 36 0 ( y 6) 0 thỏa mãn đk Từ đó ta y 6 , suy x Vậy phương trình có nghiệm là x x 3x x x x 3x 2 Ví dụ Giải phương trình HD: Phương trình đã cho tương đương với x x (2 x x 1) ( x 3) 2 (2 x x 1)( x 3) (1) 2 Phương trình xác định với x là số thực Theo BĐT Cô-si cho hai số dương ta Vt(1) Vp(1) 2 Do đó (1) x x x x x 0 Từ đó phương trình có nghiệm là x và x 2 (8) x2 4 x2 1 x x Ví dụ Giải phương trình x x HD: Đk Với đk đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình x2 1 x 4(1) x x ( x x)2 ( x x.1) 4 2 1 1 1 4 x x x x Theo BĐT Bunhiacopxki, ta x x 2 (1) 1 2 x x Suy Vt (1) 4 = Vp (1) Do đó , nghĩa là dấu hệ xảy Từ đó phương trình có nghiệm là x 1 2 x x9 Ví dụ Giải phương trình x HD: Đk x 0 Theo BĐT Bunhiacopxki, ta 2 Vt = x x x 1 ( x 9) x 1 x 1 x x Vp 2 x 1 x 1 x x x 1 Phương trình có nghiệm dấu đẳng thức xảy hay x Vậy phương trình có nghiệm là 4 Ví dụ Giải phương trình 13 x x x x 16 HD: Đk x 1 Với đk đó phương trình tương đương với x (13 x x ) 16 x (13 x x ) 256(1) Theo BĐT Bunhiacopxki, ta (13 x x ) ( 13 13 x 3 x ) (13 27)(13(1 x ) 3(1 x )) 40(16 10 x ) (9) 10 x (16 10 x ) 10 x (16 10 x ) 64 Theo BĐT Cô-si cho hai số dương ta 64 256 Do đó Vt(1) , ta 1 x 9 x 1 x x2 2 20 x 16 x 10 x 16 10 x (1) Từ đó dẫn đến x Vậy phương trình có hai nghiệm là Ví dụ Giải phương trình x x3 Nhận xét: Trong phần giải phương trình vô tỷ Phương pháp đặt ẩn phụ ta đã giải bài toán này, ta có thể giải nó phương pháp đánh giá sau 3 HD: Đk x 0 x x x , ta x x Giả sử x là nghiệm phương trình Khi đó Mũ hai vế suy x x x 12 x x 0 (*) Cách thứ ta biến đổi Vt thành x x x ( x x 1) 12 x x là biểu thức âm x Cách thứ hai ta biến đổi Vt thành x x (6 x 1) 12 x x là biểu thức âm x … Ta có thể biến đổi tiếp phương trình (*) sau chia hai vế cho x 0 , ta x8 x x x x x x x 0 x ( x x 1) x ( x 1) x( x 1) 4(2 x 1) 0 vô nghiệm vì Vt luôn dương x Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ 10 Giải phương trình ( x 2)(2 x 1) x 4 ( x 6)(2 x 1) x HD: Biến đổi phương trình thành ( x x 2)( x 3) 4 , suy x 5 5; Vt là hàm số đồng biến trên đoạn Từ đó dẫn đến x 7 là nghiệm phương trình đã cho Ví dụ 11 Giải phương trình x 11x 21 x 0 HD: Phương trình tương đương với ( x 3)(2 x 5) 12( x 3) (4 x 4) x Ta thấy x 3 là nghiệm phương trình (2 x 5) Nếu x 3 thì phương trình tương đương với Nếu x thì Vt(1) > > Vp(1) Nếu x thì Vt(1) < < Vp(1) Vậy phương trình có nghiệm là x 3 12 (4 x 4) x (1) (10) Ví dụ 12 Giải phương trình x x 3x x x x x Nhận xét: Với bài toán này ta sử dụng đánh giá ít gặp sau đây: f ( x) 0; g ( x) 0 f ( x ) g ( x) f ( x) ah( x) g ( x) bh( x ) h( x) 0 , với a, b là hai số thực dương HD: Biến đổi phương trình 2 x 0; x x 0 x x 3x x 2( x 2) x 3x 2( x 2) x 0 Từ đó ta phương trình có nghiệm là x Ví dụ 13 Giải phương trình 16 10 ( x 1996 y 2008) x 1996 y 2008 Nhận xét: Với bài toán này, ta thấy đây là phương trình gồm hai ẩn Do đó ta nghĩ đến biến đổi phương trình thành phương trình có Vt là tổng các bình phương, còn Vp HD: Biến đổi phương trình thành 2 4 y 2008 0 4 y 2008 x 1996 ( x ; y ) (2012; 2009) Từ đó ta phương trình có nghiệm là 4 x 1996 x y y x xy Ví dụ 14 Giải phương trình HD: Đk x 1; y 1 Ta có x( y y 1) xy 2 y ( x 1) x( y 1) xy 2 x y y x y ( x x 1) x 1; y 1 2 y ( x 1) x( y 1) 0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với ( x ; y ) (2; 2) Từ đó ta phương trình có nghiệm là PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 4.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ phương pháp lượng giác ta có thể đặt ; f ( x ) 1;1 với điều kiện 2 f ( x) cos với điều kiện f ( x ) sin 0; Cũng có đặt f ( x) tan ; f ( x) cot … để đưa phương trình đã cho phương trình lượng giác Giải phương trình lượng giác từ đó tìm nghiệm phương trình đã cho 4.2 Một số ví dụ (11) Ví dụ Giải phương trình x x 1 Nhận xét: Bài toán này (đã xét trên) có thể giải phương pháp lượng giác, nhiên với bài này cách giải lượng giác mang tính chất tham khảo 4 x cos y ; y 0; 4 2 x sin y HD: Đặt Khi đó ta phương trình cos y cos y 8cos y 0 (cosy 1)( ) 0 (cos y 1)(cos y cos y cos y 7) 0 cos y 1 x Do phương trình có nghiệm là 1 2 2 x x Ví dụ Giải phương trình x cos y, y (0; ), y Phương trình đã cho trở thành HD: Đặt 1 2 sin y cos y 2.sin y cos y sin y Đặt sin y cos y z, z z 2 suy sin y 2sin y cos y z , ta z và y x , đó Với z thì Với z 1 11 x y 2 thì 12 , đó Vậy phương trình có nghiệm là x 1 x 2 và 3 Ví dụ Giải phương trình x (1 x ) x 2(1 x ) HD: Đk x 1 x sin y, y ; 2 suy cos y 0 Đặt 3 Khi đó phương trình trở thành sin y cos y sin y cos y Đặt sin y cos y z , z 2; z 2.z z 0 ( z z 1; (chính xác là ), biến đổi phương trình ta 2)( z 1)( z 1) 0 z z 1 Nếu z thì thì y x , đó (12) Nếu z 1 thì sin y cos y 1 x x 1 x 1 x 0 1 x 21 2 Vậy phương trình có nghiệm trên 4.3 Một số bài tập tương tự Bài Giải phương trình x 3x x 5 3 S cos ;cos ;cos 8 x cos y (HD: Đặt , phương trình có tập nghiệm là ) Bài Giải phương trình x 8 x (1 x )3 x Bài Giải phương trình x x 1 2 2 Bài Giải phương trình ( x) x x x x (1 x ) 3 x 2 Bài Giải phương trình x (1 x )3 x2 Bài Giải phương trình x 20 x x 2 Bài Giải phương trình x x x x 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC 5.1 Một số lưu ý Ngoài phương pháp thường gặp trên, đôi ta có lời giải khác lạ số phương trình vô tỷ Cũng có thể ta sử dụng kết hợp các phương pháp trên để giải phương trình 5.2 Một số ví dụ Ví dụ Giải phương trình x 2.x x 2.x 16 5 HD: Nếu x 0 thì Vt 3 7 = Vp (phương trình không có nghiệm) Nếu x thì ta xét tam giác vuông ABC với A 90 , AB = 4; AC = Gọi AD là phân giác góc A, lấy M thuộc tia AD 2 2 Đặt AM = x, xét ACM CM x x và xét ABM BM x 16 2.x Từ đó suy Vt = CM BM BC 5 Dấu đẳng thức xảy M D ,hay (13) CM BM 16CM 9 BM 16 x 16.9 48 2.x 9 x 16.9 36 2.x x 12 2.x 0 12 x 12 x Vậy phương trình có nghiệm là x x x y y 5 y x 16 Ví dụ Giải phương trình Nhận xét: Bài toán này không khó, kiểm tra tính cẩn thận học sinh mà thôi vì sau đặt điều kiện đã tìm giá trị x Tuy nhiên học sinh học hời hợt ngồi nhìn mà không làm bài y 2 y HD: Đặt đk cho phương trình xác định ta x 2 Khi đó phương trình trở thành , suy 3 ( x; y ) 2; y 2 Vậy phương trình có nghiệm là Ví dụ Giải phương trình x 1 x x x x 2 3 HD: Đặt y x 1; z x x 8; t x x , 3 suy y z t 2 và y z t 8 (1) y z t 8 (2) Mặt khác 3 3 Từ (1) và (2) ta ( y z t ) ( y z t ) 3( y z )( z t )(t y ) 0 y z 0 y z (3) z t 0 z t (4) t y 0 t y (5) Xét (3) ta x x 9 , xét (4) x 1 và (5) x 0 x 1 S 1;0;1;9 Vậy tập nghiệm phương trình là Ví dụ Giải phương trình x x 20 x x 29 97 a ( x 2; 4) b HD: Trong mặt phẳng tọa độ xét hai véc tơ và ( x 2;5) a x x 20 a b 97 a b ( 4;5) Khi đó ta , suy và ta có , b x x 29 a b a b a b Phương trình trở thành , đẳng thức đó xảy và cùng x x 2 x Từ đó ta phương trình có nghiệm là Ví dụ Giải phương trình x x x x 2( x 1) (2 x x 1) chiều (14) 2 HD: Đặt y x x ( x 1) , suy y y 2(1 y ) (1 y )(1) Ta 0 y 1 2 ( x 1) 1 y 2 Mặt khác y y 1 y 2 y (2) 2 2 Từ (1) và (2), suy 2(1 y ) (1 y ) 2 y 2 Đặt y z , ta z 1 và 2(1 z ) (1 z ) 2 z z (4 z 10 z 7) 0 z 0 (do z 10 z ) x 0 x 2 Do đó z 0 , suy y 0 hay x x 0 Vậy phương trình có nghiệm là x 0 và x 2 §2 MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Bài 3 Giải phương trình x x 11 x x 14 5 x 13 x Bài Giải phương trình x2 x 3x 2 x3 x x x x x 3x Bài Giải phương trình Bài 2 Giải phương trình x x x x 3x 3x Bài Giải phương trình 2007 2008 x x 2009 x x x 2007 Bài Giải các phương trình sau: 1) x x x 2 x 4) 8x2 2) 3) x x 2x x x x 80 5) x 2(2 x 1) 3 6) x x 3 x x (15) §3 MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI CỦA MỘT SỐ QUỐC GIA Thực tế bài toán giải phương trình vô tỷ kỳ thi học sinh giỏi quốc gia là không khó Tuy nhiên để làm việc lớn thì trước hết phải làm tốt việc nhỏ, đó học sinh muốn đoạt giải từ khuyến khích trở lên phải làm tốt bài toán này Dù biết không phải học sinh xuất sắc nào vượt qua Bài (1995 - Bảng A VMO) Giải phương trình x x x 40 x 0 HD: Đk x 1; Khi đó xét f ( x) x x x 40 và g ( x ) 8 x trên đoạn f ( x ) g ( x ) Ta Áp dụng BĐT Cô-si cho bốn số không âm, ta g ( x) 24.24.24 (4 x 4) (24 24 24 (4 x 4)) x 13(1) Đẳng thức xảy và 4 x 2 x 3 2 Mặt khác x 3x x 40 x 13 ( x 3)( x 9) 0 ( x 3)2 ( x 3) 0(2) Đẳng thức xảy và x 3 Từ (1) và (2), ta g ( x) x 13 f ( x) Cả hai đẳng thức xảy x 3 , thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm là x 3 1; Nhận xét: Ta có thể sử dụng đạo hàm để xét biến thiên các hàm số f ( x) và g ( x) trên đoạn f ( x ) f (3) 13 max g ( x) g (3) 13 , ta 1: và 1: Hoặc ta có thể đặt x y , với y 0 sau đó dùng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số f ( y ) y12 24 y 16 y 512 y 2816 ( f '( y ) 2( y 2).h( y ) với h( y ) ) Bài (1995 - Bảng B VMO) Giải phương trình x 11x 21 x 0 HD: Đặt x y y3 y y 16 x x và suy Khi đó Từ đó ta có phương trình 11 ( y y 16) ( y 4) y 21 0 y 14 y 24 y 96 0(1) ( y 2) ( y y 12 y 18 y 14) 0(2) Do y 0 thì Vt(1) dương, đó ta xét y , đó y y 12 y 18 y 14 Nên từ (2) ta thấy y 2 hay x 2 , ta x 3 Thử lại đúng (16) Vậy phương trình có nghiệm là x 3 Bài (2002 - Bảng A VMO) Giải phương trình 10 x x HD: Cách (Đáp án) 74 10 x Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với phương trình Đk 27 10 3x x x 9(10 3x) x (4 x )2 x x3 16 x 27 x 29 0 ( x 3)( x 2)( x x 15) 0 x 3 (do đk và x x 15 với x thỏa mãn đk) Vậy phương trình có nghiệm là x 3 10 y y2 y x x 2 0 (1) và 3 Cách 2: Đặt 10 3x y , suy với y thỏa mãn (1) 4 y y y 16 3y 3y Khi đó ta y y 27 y 20 0 ( y 1)( y 4)( y 3x 5) 0 y 1 Hay ta 10 x 1 x 3 Vậy phương trình có nghiệm là x 3 Bài (1998-CMO) Giải phương trình x x 1 1 x x Nhận xét: Đây là bài toán thi học sinh giỏi Canada, có thể nói là đơn giản, nhẹ nhàng với học sinh tinh ý đầy cạm bẫy với học sinh Thật vậy, từ đk xác định phương trình ta phải dẫn đến x 1 x 1 x x x Với đk đó, phương trình tương đương với 2 1 1 x x x x (do hai vế không âm với x ) ( x 1) x( x 1) x 0 ( x2 Cũng có thể từ x 1 x ) 0 1 x x 0 Từ đó suy ( x 1) x( x 1) x 0 , chuyển x( x 1) sang vế phải bình 1 x y y 2 , giải phương hai vế, sau đó đặt ta phương trình trùng phương ẩn (17) 1 x Từ đó suy cách này dài phương trình này tìm 1 x Vậy phương trình có nghiệm là §4 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LÀM y Sau đây là số bài tập tự làm mà chúng ta có thể sử dụng các phương pháp trên Bài Giải các phương trình sau: 1) x x x x x x 2) x x(1 x ) 3) x 2x x2 x 1 x2 x x 2 x x 4) 5) 3 x x 2001 3 x x 2002 x 2003 2002 Bài Giải các phương trình sau: 2) x x x x x 3x 42 60 6 5 x 7 x 3) ( x 2) x 1) 4) 5) x 0 3x 1 x x x 0 x x 10 x x 10 Bài Giải các phương trình sau: 1) x (2004 x )(1 x x 2) x 3) x 3x x x )2 x 5 4) 16 x 6 x x 5) x3 x ( x 2)3 x 0 Bài Giải các phương trình sau: x x 2 x x 1) 2) 3) 4) 5) 27 x 24 x 28 27 1 x 6 13 x x 16 x x 86 3 x x ( x 4) x 3x 28 0 x 1 (18) Bài Giải các phương trình sau: 2 x 2 x 2 x x 1) 2) 3) 4) 5) 2 x x x 16 x x 4 2( x 21x 20) x 3x x x2 x x x x x ( x x ) Bài Giải các phương trình sau: 1) 2) x3 x 6 x x x x x x 3) x x x x3 3x x 4) x x x x 1 5) 2 x 3 x Bài Giải các phương trình sau: 1) x x 3x x 2) 2( x 2) 5 x 3) 64 x 112 x 56 x 2 x x2 4) x2 5) (1 x)3 (1 x )3 (1 x ) (1 x)3 2 x x2 Bài Giải các phương trình sau: x3 6 x 0 1) 2) 3) 2( x x 2) 3 x3 x 1 x 6 x2 4) x 15 3 x x 5) x x(1 x )2 (1 x)3 x x3 x (1 x ) Bài Giải các phương trình sau: x 3 3 x 1) (19) x 3) 35 x 12 x 11x 21 3 x 0 4) x x x x x x 10 2 x 2) x x 1 x x 1 x 5) 32 x (2 x 3) Bài 10 Giải các phương trình sau: 3x x 1 x 1) ( x 1) x x x 0 2) 3) 10 x 14 x 19 (5 x 38) x 4) ( x 1) x x x 5) x x 1 x 2 Bài 11 Giải các phương trình sau: 1 x 0 x x 1) 2) 3) 4) 5) x3 3x x 0 x x x 0 x2 x x x 0 3x x x 12 0 Bài 12 Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 2( x 8) 5 x3 x x 3 10 x ( x 3) (4 x )(12 x) 28 x 2 x x ( x 1)(9 x ) 38 10 x x x3 2 x 22 x 28 x x 13 31x 14 x 3 3( x 2) Bài 13 Giải các phương trình sau: x y 16 x y 1) x2 2) x y y 2 x x 1 1 x x x x 2 x3 3x 3x 4 4 (20) Trong đó biểu thức vế trái có tất 2008 dấu thức bậc hai (21)