Tài liệu Mỗi tuần 1 đề luyện thi ĐH_Đề số 3 và hướng dẫn giải pdf

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 1 www.trungtamquangminh.tk ĐỀ SỐ 3 I. Phần chung Câu 1 (2đ). Cho hàm số:     2 2 1 1 m x m y C x     1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số   C ứng với 1m   . 2. Tìm m để đồ thị hàm số   C tiếp xúc với đường thẳng y x . Câu 2 (2đ). 1. Giải phương trình: 2 2 3cos2 sin2 4cos 3x x x   2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 xy x y x y x y x y             Câu 3 (1đ). Tính tích phân:   2 3 0 sin sin cos xdx I x x     Câu 4 (1đ). Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC A B C    có cạnh đáy 2a ,   3 , 2 a A M ABC A M     (M là trung điểm của cạnh BC ).Tính thể tích khối đa diện ABA B C   . Câu 5 (1đ). Cho các số ,x y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 4 4 4 4 4x y y x y y x         II. Phần riêng (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần). A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN. Câu 6a (1đ). 1). Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho 3 điểm       3;1;1 , 7;3;9 , 2;2;2A B C và mặt phẳng   P có phương trình: 3x y z   . Tìm trên   P điểm M sao cho 2 3MA MB MC     nhỏ nhất. 2) Cho Elip có phương trình   2 2 : 1 100 25 x y E   . Tìm các điểm   M E sao cho  0 1 2 120FMF  ( 1 2 ,F F là hai tiêu điểm của Elip) Câu 7a (1đ). Gọi 1 2 11 , , .,a a a là các hệ số trong khai triển sau:     10 11 10 9 1 2 11 1 2 .x x x a x a x a       , tìm hệ số 5 a . B. THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO. Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 2 www.trungtamquangminh.tk Câu 6b (1đ). 1) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho điểm   2;1;2M và đường thẳng   2 3 : 1 1 1 x y z d     . Tìm trên   d hai điểm ,A B sao cho tam giác ABM đều. 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy , cho đường tròn       2 2 : 3 4 35C x y    và điểm   5;5A . Tìm trên đường tròn 2 điểm ,B C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Câu 7b (1đ). Giải hệ phương trình: 2009 3 3 2 2 2 log 2 y x y x x y x y xy                   HƯỚNG DẪN GIẢI I. Phần chung Câu 1 (2đ). Cho hàm số     2 2 1 1 m x m y C x     a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị   C hàm số   1 khi 1m   b) Tìm m để đồ thị hàm số   C tiếp xúc với đường thẳng y x Giải a) Bạn đọc tự giải. b)     2 2 1 1 m x m y C x     TXĐ:   \ 1D   Đồ thị hàm số   C tiếp xúc với đường thẳng y x . Ta có điều kiện tiếp xúc:           2 2 2 2 1 * 1 1 1 ** 1 m x m x x m x               Từ   ** ta có           2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 m x x m m m x m x x m x                          + Với x m thay vào (*) ta có: 0 0m   thỏa với mọi m Vì 1 1x m x    + Với 2 –x m thay vào (*) ta có:         2 2 2 1 2 2 2 1 4 1 0 1m m m m m m m            1 2 1 1m x     (loại) Vậy với 1m  thì đồ thị hàm số   C tiếp xúc với đường thẳng y x . Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 3 www.trungtamquangminh.tk Câu 2 (2đ). 1. Giải phương trình: 2 2 3cos2 sin 2 4cos 3x x x   Giải 2 2 2 3cos2 sin 2 4cos 3 3cos2 sin 2 4cos 3 2 3 1 cos2 sin 2 cos6 2 2 x x x x x x x x x             5 cos 2 cos6 6 x x               5 6 2 2 6 , 5 6 2 2 6 5 48 4 , 5 24 2 x x k k l x x l k x k l l x                                             2. Giải hệ phương trình:     2 2 2 2 1 1 2 xy x y x y x y x y             Giải: Điều kiện: 0x y         2 2 2 2 1 1 : 1 1 2 1 0 1 1 1 2 0 xy x y x y xy x y x y x y x y x y xy x y                                        2 2 2 1 1 0 1 0 1 0 1 xy x y x y x y x y x y x y x y y x                             (vì 0x y  nên 2 2 0x y x y    ) Thế 1x y  vào   2 ta có:   2 2 1 0 1 1 2 0 2 3 x y x x x x x y                   Vậy hệ có hai nghiệm:     1;0 , 2;3 Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 4 www.trungtamquangminh.tk Câu 3 (1đ). Tính tích phân:   2 3 0 sin sin cos xdx I x x     Giải Đặt 2 x t dx dt       Ta có:     0 2 3 3 0 2 sin cos 2 sin cos sin cos 2 2 t dt tdt I t t t t                                        Do đó ta có:     2 2 3 3 0 0 sin cos sin cos sin cos xdx xdx I x x x x         Xét     2 2 2 3 2 0 0 0 2 cos sin 1 1 2 4 sin cos sin cos 2cos 4 x x I dx dx d x x x x x x                             2 0 1 1 tan tan tan tan 1 2 4 2 4 4 4 x                               Vậy 1 2 I  Câu 4 (1đ). Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đầu cạnh 2a ,   'A M ABC và 3 ' 2 a A M  trong đó M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối đa diện ' 'ABA B C . Giải M C B A' C' B' A Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 5 www.trungtamquangminh.tk Vì ' 'ABB A là hình bình hành nên ta có: . ' . ' 'C ABB C AB A V V (đáy bằng nhau và cùng đường cao). Mà 2 3 . ' 1 1 3 3 ' . . 3 3 2 4 8 C ABB ABC a a a V A M S   Vậy 3 3 . ' ' . ' 2 2 8 4 C ABB A C ABB a a V V   (đvtt) Câu 5 (1đ). Cho ,x y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 4 4 4 4 4A x y y x y y x          Giải Ta có:     2 2 2 2 2 2 4A x y x y x        Xét     ;2 , , 2a x y b x y      Ta có:     2 2 2 2 2 2 2 2 4 16 2 4a b a b x y x y x x                 Suy ra 2 2 4 4A x x    Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi ,a b   cùng hướng hay 0y  Dùng BĐT BCS ta có:       2 2 2 2 3 3 1 4 2 4 2 3x x x x        Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 3 x  Do đó: 2 3 4 2 3 4 2 3 4A x x        Vậy 4 2 3A   dấu “=” xảy ra khi 2 , 0 3 x y  Vậy min 4 2 3A   khi 2 , 0 3 x y  II. Phần riêng (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần). A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN. Câu 6a (1đ). a) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm       3;1;1 , 7;3;9 , 2;2;2A B C và mặt phẳng   : 3P x y z   . Tìm trên   P điểm M sao cho: 2 3MA MB MC     nhỏ nhất. Giải Gọi I là điểm thỏa: 2 3 0IA IB IB       , khi đó tọa độ điểm I là: 23 13 25 ; ; 6 6 6 I       Ta có:       2 3 2 3 6 6T MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI MI                      Do đó T nhỏ nhất MI  nhỏ nhất M là hình chiếu của I lên mặt phẳng   P . Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 6 www.trungtamquangminh.tk Gọi   d là đường thẳng qua I và vuông góc với   P ,   d có vectơ chỉ phương là   1;1;1 P n   . Phương trình tham số của   d là: 23 6 13 6 25 6 x t y t z t                Thay vào phương trình mặt phẳng   P ta có: 23 13 25 3 6 6 6 43 3 6 43 18 t t t t t            Thay 43 6 t  vào phương trình   d ta có: 13 2 16 ; ; 9 9 9 M        b) Cho Elip có phương trình   2 2 1 100 25 x y E   . Tìm điểm M trên Elip sao cho  0 1 2 120FMF  Giải Gọi   ;M a b E , Ta có: 1 2 3 3 10 , 10 2 2 MF a MF a    Áp dụng định lý hàm số cosin đối với tam giác 1 2 F MF ta có:  2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 . cosF F MF MF MF MF FMF     2 2 2 3 3 3 3 1 10 3 10 10 2 10 10 2 2 2 2 2 0 a a a a a                                       Thay 0a  vào phương trình Elip ta có: 5b  hoặc 5b   Vậy có 2 điểm thỏa:     1 2 0;5 , 0; 5M M  Câu 7a (1đ). Gọi 1 2 11 , , .,a a a là các hệ số trong khai triển sau:     10 11 10 9 1 2 11 1 2 .x x x a x a x a       Tìm hệ số 5 a Giải Ta có:   10 0 10 1 9 2 8 3 7 9 10 10 10 10 10 10 10 1 .x C x C x C x C x C x C            10 5 4 6 10 10 5 4 5 10 10 1 2 2 . 2 672 x x C C x a C C               Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 7 www.trungtamquangminh.tk Cách khác: Ta có:         10 10 10 10 10 10 10 0 0 1 2 1 2 1 2 k k k k k k x x x x x x C x C x             5 a là hệ số của 6 x nên 5 4 5 10 10 2 672a C C   B. THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO. Câu 6b (1đ). a) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm   2;1;2M và đường thẳng   2 3 : 1 1 1 x y z d     . Tìm trên   d hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều. Giải     0 2;0;3M d   d có vectơ chỉ phương là   1;1;1u     0 0; 1;1MM      0 , 2;1;1MM u         Gọi H là hình chiếu của M lên (d). Ta có:     2 2 2 0 2 2 2 , 2 1 1 ; 2 1 1 1 MM u MH d M d u                 Tam giác ABM đều nhận MH là đường cao nên ta có: 2 2 2 2 6 3 3 3 MH MA MB AB     Do đó tọa độ A, B là nghiệm của hệ           2 2 2 2 3 1 1 1 1 8 2 1 2 2 3 x y z x y z                    2 1 : 3 x t y t z t           thay vào (2) ta có:       2 2 2 2 8 2 2 1 3 2 3 2 2 3 9 2 3 t t t t t t                     Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 8 www.trungtamquangminh.tk Với 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 x t y z                  Với 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 x t y z                    Vậy A, B là một trong hai điểm 2 2 2 2 2 2 2 ; ;3 , 2 ; ;3 3 3 3 3 3 3                  b) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường tròn       2 2 : 3 4 35C x y    và điểm   5;5A . Tìm trên đường tròn hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Giải B I A C Tâm đường tròn   3;4I Ta có AB AC IB IC      , suy ra AI là đường trung trực của BC , tam giác ABC vuông cân tại A nên AI cũng là phân giác của  BAC . Do đó ,AB AC hợp với AI một góc 0 45 . Gọi (d) là đường thẳng hợp với AI một góc 0 45 . Khi đó ,B C là giao điểm của   d và   C và AB AC Ta có:       2;1 1;1 , 1; 1IA     (lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng y x  và y x )do đó vectơ chỉ phương của (d) có hai thành phần đều khác không. Gọi   1,u a  là vectơ chỉ phương của (d). ta có Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 9 www.trungtamquangminh.tk   2 2 2 2 2 2 cos , 2 1 2 1 5 1 a a IA u a a               2 2 2 2 3 2 2 5 1 2 2 5 1 3 8 3 0 1 3 a a a a a a a a                     +Với 3a  ,thì   1 1;3u   , phương trình đường thẳng qua A nhận   1 1;3u   làm vectơ chỉ phương là:   1 5 5 3 x t d y t        Thay vào phương trình đường tròn (C) ta có:     2 2 2 5 3 5 3 4 35 3 0 1 13 2 1 1 13 2 t t t t t t                        Với 1 13 2 t    ta có: 9 13 2 7 3 13 2 x y            Với 1 13 2 t    ta có: 9 13 2 7 3 13 2 x y            Ta có giao điểm của   1 d và   C là 9 13 7 3 13 9 13 7 3 13 ; , ; 2 2 2 2                 + 1 3 a   , thì chọn   1 3; 1u    , phương trình đường thẳng qua A nhận   1 3; 1u    làm vectơ chỉ phương là   2 5 1 5 3 x t d y t          Thay vào phương trình đường tròn (C) ta có:     2 2 2 5 3 3 5 4 35 3 0 1 13 2 1 13 2 t t t t t t                        Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 Nhóm giáo viên Toán trung tâm Quang Minh 10 www.trungtamquangminh.tk Với 1 13 2 t    ta có: 7 3 13 2 11 13 2 x y            Với 1 13 2 t    ta có: 7 3 13 2 11 13 2 x y            Ta có giao điểm của   2 d và   C là 7 3 13 11 13 7 3 13 11 13 ; , ; 2 2 2 2                 Vì AB AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là: 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13 ; , ; 2 2 2 2                 và 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13 ; , ; 2 2 2 2                 Câu 7b (1đ). Giải hệ phương trình:     2009 3 3 2 2 2 log 2 1 2 y x y x x y x y xy             Giải Điều kiện: 0xy  Từ   2 ta có:   3 3 2 2 0 0, 0x y xy x y x y         2 2y 2009 2 2 1 :log 2 2009 .2009 2y.2009 x y x y y x y x x x        Xét hàm số     2009 0 t f t t t    ' 2009 1 0 ln2009 t t f t          Do đó hàm số   f t là hàm tăng khi 0t  Vậy ta có:     2 2f x f y x y   Thay 2x y vào   2 ta có phương trình: 0 0 9 5 0 9 9 2 10 5 y x y y y x                    So với điều kiện ta có nghiệm của hệ phương trình: 9 9 ; 5 10       . HẾT .     Với 1 13 2 t    ta có: 7 3 13 2 11 13 2 x y            Ta có giao điểm của   2 d và   C là 7 3 13 11 13 7 3 13 11 13 ; , ; 2 2. có hai cặp điểm cần tìm là: 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13 ; , ; 2 2 2 2                 và 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13 ; , ; 2 2 2 2      