Mỗi tuần 1 đề luyện thi ĐH_Đề số 2 và hướng dẫn giải

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 1 Website: www.truonglangtoi.wordpress.com ĐỀ SỐ 2 I. Phần chung Câu 1 (2đ). Cho hàm số: () 21 1 x yC x − = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Goi I là giao điểm hai tiệm cận của ( ) C . Tìm điểm M thuộc ( ) C sao cho tiếp tuyến của () C tại M vuông góc với đường thẳng MI . Câu 2 (2đ). 1. Giải phương trình: 3 cos cos cos sin 2 0 26 3 2 2 6 xx xx ππ π π ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ −+ −+ −+ −= ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 2. Giải phương trình: 4 22 112xx xx−−+++= Câu 3 (1đ). Trong không gian cho hình chóp .SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh n 0 ,60a ABC = , chiều cao SO của hình chóp bằng 3 2 a , trong đó O là giao điểm của hai đường chéo ,AC BD . Gọi M là trung điểm của ( ) ,ADP là mặt phẳng chứa BM và song song với SA cắt SC tại K . Tính thể tích khối chóp .KBCDM . Câu 4 (1đ). () H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) ( ) ( ) 2 :11,: 4Cx y dy x= −+ =−+ . Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng ( ) H tạo ra khi ( ) H quay quanh trục Oy . Câu 5 (1đ). Cho các số ,, x yz là các số dương thỏa 222 1xyz+ += . Chứng minh rằng: 22 22 2 2 33 2 xyz yzxzxy ++≥ +++ II. Phần riêng (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần). A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN. Câu 6a (1đ). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy , cho đường tròn ( ) C có tâm O bán kính 5R = và điểm () 2; 6 M . Viết phương trình đường thẳng qua M cắt () C tại 2 điểm ,AB sao cho OAB Δ có diện tích lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P có phương trình 30x yz +++= và hai điểm ( ) 0;1; 2 A . Tìm tọa độ ' A đối xứng với A qua () P . Câu 7a (1đ). Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau. B. THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO. Câu 6b (1đ). Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 2 Website: www.truonglangtoi.wordpress.com 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy , cho ABCΔ có đỉnh () 4;3 C . Biết đường phân giác trong () :250 AD x y +−= và trung tuyến ( ) : 4 13 10 0 AM x y + −= . Tìm tọa độ đỉnh B . 2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho hai đường thẳng : () ( ) 1 23 8 :104 xt ytt zt =− + ⎧ ⎪ Δ=−+ ∈ ⎨ ⎪ = ⎩ \ và () 2 32 : 221 x yz− + Δ == − Viết phương trình đường thẳng ( ) d song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng ()() 12 , ΔΔ . Câu 7b (1đ). Tìm a để hệ sau có nghiệm () () 2 4 22 345 1log log 1 x x ax x ⎧ ⎪ −≥ ⎨ ⎪ +−≥ + ⎩ . Hướng dẫn giải Câu 1. 1. () 21 1 x yC x − = − 1. Tập xác định { } \1D = \ 2. Sự biến thiên của hàm số Ta có 1 lim x y − → =−∞ và 1 lim x y + → =+∞ . Do đó, đường thẳng 1x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho . Ta có lim lim 2 xx yy →+∞ →−∞ == nên đường thẳng 2y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho a) Bảng biến thiên Ta có () 2 1 0 1 yxD x − ′ =<∀∈ − x −∞ +∞ y’ − − y Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ;1−∞ và ( ) 1; +∞ 3. Đồ thị của hàm số 2 +∞ 2 −∞ 2 1 Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 3 Website: www.truonglangtoi.wordpress.com 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 15 y x 2. Tọa độ điểm I giao điểm của hai tiệm cận là ( ) 1; 2I Gọi () ,M ab là điểm thuộc đồ thị cần tìm. Ta có 21 1 a b a − = − ( ) 1, 2ab ≠ ≠ Phương trình tiếp tuyến tại điểm () () 2 121 : 1 1 a My xa a a − − =−+ − − Phương trình đường thẳng 11 : 12 x y MI ab − − = − − hay () 2 11 1 b yx a − = −+ − Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có: () () () () 3 2 4 12 1 .112 11 1 11 01 23 b ab aa a a ab ab −− =− ⇔ − = − = − − − ⇔− = =⇒= ⎡ ⇔ ⎢ =⇒= ⎣ Vậy có hai điểm cần tìm là () 1 0;1M và ( ) 2 2;3M Câu 2: 1. Giải phương trình: () 3 cos cos cos sin 2 0 1 26 3 2 2 6 xx xx ππ π π ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ −+ −+ −+ −= ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ Ta có 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 4 632 33 62 x xx x x πππ ππ π ⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞ −= +−=− += − = − ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠ () 1 cos cos 2 cos 3 cos 4 0 26 26 26 26 xx x x ππ π π ⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔−+ −+ −+ −= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 4 Website: www.truonglangtoi.wordpress.com Đặt 26 x t π =− . Khi đó phương trình trở thành () () cos cos2 cos3 cos 4 0 37 2cos cos 2cos cos 0 22 22 37 2cos cos cos 0 22 2 5 4cos .cos .cos 0 22 5 5 cos 0 22 2 cos 0 , , 2 cos 0 2 22 2 55 2 21 tttt tt tt tt t tt t t tk ttl klm t t m k t tl tm π π π π π π ππ π π π +++= ⇔+= ⎛⎞ ⇔+= ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔= ⎡ =+ ⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔=⇔=+ ∈ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ =+ ⎣ ⎢ ⎣ ⎡ =+ ⎢ ⎢ ⎢ =+ ⎢ =+ ⎣ ] ⎢ ⎢ ⎢ Với 2114 25 15 5 kk tx π πππ =+ ⇒= + Với 4 2 23 tlx l π π π π =+⇒= + Với () () 21 42 3 tm x m π π π =+⇒=++ 2. Giải phương trình: 4 22 112xx xx−−+++= Điều kiện: 2 2 1 10 1 1 1 0 x x x x xx x ⎧ ≤− ⎡ ⎧ −≥ ⎪⎪ ⎢ ⇔⇔≥ ≥ ⎨⎨ ⎣ ≥− ⎪ ⎪ ⎩ ≥ ⎩ Với điều kiện trên ta có: 4 222 111xx xx xx++>+−≥+− (do 1x ≥ ) ( ) ( ) Cauchy 44 22 22 8 VT 1 1 2. 1 1 2xx xx xx xx>− −++ − ≥ − − + −= Suy ra phương trình vô nghiệm. Câu 3: Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 5 Website: www.truonglangtoi.wordpress.com I K N M O C A D B S Gọi NBMAC =∩ . Ta có N là trọng tâm của tam giác ABD. Kẻ () //NK SA K SC∈ . Qua K kẻ ( ) //KI SO I AC∈ . Suy ra () KI ABCD⊥ . Vậy . 1 3 K BCDM BCMD VKIS = Ta có: SOC Δ đồng dạng KIC Δ , suy ra () 1 KI CK SO CS = Và KNCΔ đồng dạng SACΔ , suy ra () 2 CK CN CS CA = () ( ) 12& ta có 1 2 3 223 CO CO KI CN CO ON SO CA CO CO + + == = = do N là trọng tâm ABD Δ 2233 . 3323 aa KI SO ⇒= = = . Ta có ADC Δ đều, suy ra CM AD⊥ và 3 2 a CM = . Suy ra diện tích hình thang BCDM là: () 2 11333 22228 BCDM aaa SDMBCCMa ⎛⎞ =+ =+ = ⎜⎟ ⎝⎠ Thể tích cần tìm: () 23 . 11333 . . 33388 K BCDM BCMD aa a VKIS dvtt== = Câu 4. Ta có () ()( ) () () 2 2 :1122 :4 4 Cxfy y y y dy x xgy y ==−+=−+ =− + ⇒ = = − Phương trình tung độ giao điểm: Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 6 Website: www.truonglangtoi.wordpress.com 2 2 224 20 2 1 yy y yy y y −+=− ⇔−−= = ⎡ ⇔ ⎢ =− ⎣ Ta có () () [ ] 01;2 gy f y y ≥≥∀∈− Do đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là () () () 2 2 2 2 1 2 432 1 2 54 3 1 422 4912 17 12 53 117 5 Vyyydy yyy dy yy y y π π π π − − − ⎡⎤ = −−−+ ⎢⎥ ⎣⎦ =−+++ ⎡⎤ =− +− + ⎢⎥ ⎣⎦ = ∫ ∫ Câu 5. Ta có 22 2 1 x x yz x = +− . Ta đi chứng minh 2 2 33. 12 x x x ≥ − . Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số ta có () ()() () 3 222 2 22 22 2 2 2 2 21 1 8 21 21 1 327 233 1 12 33 xxx xx xx x xx xx x ⎛⎞ +− +− −= − −≤ = ⎜⎟ ⎝⎠ ⇒−≤ ⇒ ≥ − Suy ra 2 22 33 2 x x yz ≥ + Tương tự ta có có 22 22 2 2 33 33 ; 22 yyzz xz xy ≥≥ ++ Do đó () 222 22 22 2 2 33 33 22 xyz xyz yzxzxy ++≥ ++= +++ II. Phần riêng Câu 6a. 1. Gọi () Δ là đường thẳng qua M thỏa đề bài. Ta có 22 111 .sin 222 OAB S OAOB AOB OA R=≤= . Dấu . ′′′′ = xảy ra khi tam giác OAB vuông cân tại O . Gọi H là hình chiếu của O trên ( ) Δ thì 5 22 R OH == . Vậy đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua M và cách O một khoảng bằng 5 2 . Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 7 Website: www.truonglangtoi.wordpress.com Gọi () ,nAB = G là vectơ pháp tuyến của ( ) Δ , phương trình của () ( ) ( ) :2 60Ax ByΔ−+−= . Ta có: () () () 2 22 / 22 22 26 5 22 6 25 2 47 48 17 0 24 5 55 . 47 24 5 55 . 47 O AB dABAB AB BABA BA BA Δ + ==⇔+=+ + ⇔+−= ⎡ −+ = ⎢ ⎢ ⇔ ⎢ −− = ⎢ ⎣ Với 24 5 55 . 47 BA −+ = , chọn 47 24 5 55AB=⇒=−+ ta có phương trình đường thẳng () ( ) () ( ) 1 :47 2 24 5 55 6 0xy Δ−+−+ −= Với 24 5 55 . 47 BA −− = , chọn 47 24 5 55AB=⇒=−− ta có phương trình đường thẳng () ( ) () () 2 :47 2 24 5 55 6 0xy Δ−−+ −= 2. Gọi () Δ là đường thẳng qua A và vuông góc với ( ) P , vectơ pháp tuyến của () P là vectơ chỉ phương của () Δ , nên phương trình tham số của () ( ) :1 2 xt ytt zt = ⎧ ⎪ Δ=+ ∈ ⎨ ⎪ =+ ⎩ \ Gọi I là giao điểm của () Δ và () P , khi đó tọa độ của I là nghiệm của hệ () 2 1 12;1;0 2 0 30 xt x yt yI zt z xyz = ⎧ =− ⎧ ⎪ =+ ⎪⎪ ⇒=−⇒−− ⎨⎨ =+ ⎪⎪ = ⎩ ⎪ +++= ⎩ Vì A ′ là điểm đối xứng của A qua () P , nên I là trung điểm của AA ′ Do đó () 2404 2 2 1 3 ' 4;3;2 2022 AIA AIA AIA xxx yyy A zzz ′ ′ ′ =−=−−=− ⎧ ⎪ =−=−−=−⇒−−− ⎨ ⎪ =−=−=− ⎩ Vậy tọa độ điểm A ′ đối xứng của A qua ( ) P là ( ) 4; 3; 2A ′ − −− Câu 7a. Tổng số các số có 6 chữ số khác nhau được thành lập từ các số 1,2,3,4,5,6 là: 6! Tổng số các số có 6 chữ số khác nhau mà 1 và 6 đứng cạnh nhau là: 2.5! Theo yêu cầu bài toán, tổng số cần tìm là: 6! 2.5! 480− = số. Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 8 Website: www.truonglangtoi.wordpress.com Câu 6b. 1. Theo giả thiết suy ra () 9; 2 A − . Lấy 'C đối xứng với C qua AD , suy ra CAB ′ ∈ . Ta có CC AD ′ ⊥ suy ra ( ) 1; 2 AD CC nu ′ == GG . Phương trình () 43 :250 12 xy CC x y − − ′ = ⇔−−= . Gọi ICC AD ′ =∩ , tọa độ I là nghiệm của hệ () 250 3 3;1 250 1 xy x I xy y +−= = ⎧⎧ ⇔⇒ ⎨⎨ −−= = ⎩⎩ I là trung điểm CC ′ , suy ra () ' ' 22.342 '2; 1 22.131 CIC CIC xxx C yyy =−=−= ⎧ ⇒− ⎨ =−=−=− ⎩ CC AB ′ ≡ , nên phương trình () 92 :750 29 12 xy AB x y − + = ⇔+ += −−+ Viết phương trình đường thẳng //Cx AB , suy ra ( ) :7250 Cx x y+ −= Gọi ACxAM ′ =∩ , tọa độ A ′ là nghiệm của hệ () 7250 17 17;6 413100 6 xy x A xy y +−= =− ⎧⎧ ′ ⇔⇒− ⎨⎨ +−= = ⎩⎩ M là trung điểm AA ′ , suy ra () 917 4 22 4; 2 26 2 22 AA M AA M xx x M yy y ′ ′ +− ⎧ ===− ⎪ ⎪ ⇒− ⎨ +−+ ⎪ === ⎪ ⎩ M cũng là trung điểm BC , suy ra ( ) 22.4412 2 2.231 BMC BMC xxx yyy ⎧ = −=−−=− ⎪ ⎨ =−=−= ⎪ ⎩ Vậy () 12;1B − 2) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho hai đường thẳng : () ( ) 1 23 8 :104 xt ytt zt =− + ⎧ ⎪ Δ=−+ ∈ ⎨ ⎪ = ⎩ \ và () 2 32 : 221 x yz− + Δ == − Viết phương trình đường thẳng ( ) d song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng ()() 12 , ΔΔ . Ta có () () ( ) 12 0;0;1 , 8;4;1 , 2; 2;1 Oz uuu ΔΔ ===− GGG Viết phương trình mặt phẳng () α chứa ( ) 1 Δ và song song với Oz () 1 41188 4 ;;;4;8;0 011000 Oz nuu α Δ ⎛⎞ ⎡⎤ == =− ⎜⎟ ⎣⎦ ⎝⎠ GGG () 1 23; 10;0 A −− ∈Δ Phương trình () ( ) ( ) :4 23 8 10 0 2 3 0 xy xy α +−+=⇔−+= Viết phương trình mặt phẳng () β chứa ( ) 2 Δ và song song với Oz () 2 21122 2 ;;;2;2;0 011000 Oz nuu β Δ ⎛⎞ −− ⎡⎤ == =−− ⎜⎟ ⎣⎦ ⎝⎠ GGG () 2 5; 4;1 B −∈Δ Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 9 Website: www.truonglangtoi.wordpress.com Phương trình () ( ) ( ) :2 5 2 4 0 1 0xy xy β −−− +=⇔+−= Gọi d là đường thẳng cần tìm, phương trình của () () 230 14 :;;0 10 33 xy dId xy −+= ⎧ ⎛⎞ ⇒− ∈ ⎨ ⎜⎟ +−= ⎝⎠ ⎩ () 800 4 4 8 ;;;0;0;24 200222 d unn αβ ⎛⎞−− ⎡⎤ == =− ⎜⎟ ⎣⎦ −−−− ⎝⎠ GGG Vậy: () () 1 3 4 : 3 24 x dy t zt ⎧ =− ⎪ ⎪ ⎪ =∈ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎪ ⎩ \ Câu 7b. () () () () 2 4 22 345 1 1log log 1 2 x x ax x ⎧ −≥ ⎪ ⎨ ⎪ +−≥ + ⎩ () ( ) () () () () () 4 22 2 4 22 4 4 2log2log log 1 log 2 log 1 21 1 * 22 ax x ax x ax x x ax ⇔+ −≥ + ⇔⎡−⎤≥ + ⎣⎦ ⇔−≥+ ⇔≥ ++ () 2 13540 x x ⇔−−≥ Đặt () 2 35 4 x x fx=−− () 2 ln 5 ln 3.3 .5 0 2 x x fx x ′ =− >∀∈ \ Suy ra () f x là hàm đồng biến. Do ( ) 20 f = , nên nghiệm ( ) [ ) 1 1: 2; S = +∞ Hệ có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình (*) có nghiệm thuộc [ ) 2;+∞ Đặt () 4 1 22 x gx x=++ () 3 210 2 gx x x ′ =+>∀≥ Suy ra () gx tăng trên [ ) 2;+∞ và () 21 2 2 g = 2 Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11 10 Website: www.truonglangtoi.wordpress.com x −∞ +∞ () gx ′ − − () gx Do đó (*) có nghiệm thuộc [ ) 2;+∞ khi và chỉ khi 21 2 a ≥ Vậy điều kiện a để hệ có nghiệm là: 21 2 a ≥ . HẾT 21/2 −∞ 3 1/2− +∞ . chứng minh 2 2 33. 12 x x x ≥ − . Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số ta có () ()() () 3 22 2 2 22 22 2 2 2 2 21 1 8 21 21 1 327 23 3 1 12 33 xxx. () 2 2 2 2 1 2 4 32 1 2 54 3 1 422 4 9 12 17 12 53 11 7 5 Vyyydy yyy dy yy y y π π π π − − − ⎡⎤ = −−−+ ⎢⎥ ⎣⎦ =−+++ ⎡⎤ =− +− + ⎢⎥ ⎣⎦ = ∫ ∫ Câu 5. Ta có 22 2 1