UBND quận đống đa Tr-ờng THCS Thái thịnh -********* - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Mét số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Môn Toán Tác giả: Nguyễn Đức Minh Giáo viên môn Toán Hà Nội, 2012 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên A - Phần mở đầu I- Đặt vấn đề Trong trình học toán tr-ờng THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc cách sáng tạo Ng-ời thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì đòi hỏi ng-ời thầy lao động sáng tạo biết tìm tòi ph-ơng pháp để dạy cho học sinh trau dồi tduy logic giải toán Là giáo viên dạy toán tr-ờng THCS trực tiếp bồi d-ỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm nhận thấy việc giải toán ch-ơng trình THCS không đơn giản đảm bảo kiến thức SGK, điều kiện cần nh-ng ch-a đủ Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải toán đa dạng, giải toán cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm đáp số chúng Muốn ng-ời thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh Một toán có nhiều cách giải, toán th-ờng nằm dạng toán khác đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức nhiều lĩnh vực nhiều mặt cách sáng tạo học sinh phải biết sử dụng ph-ơng pháp cho phù hợp Các dạng toán số học ch-ơng trình THCS thật đa dạng phong phú nh-: Toán vỊ chia hÕt, phÐp chia cã d-, sè nguyªn tè, số ph-ơng, ph-ơng trình nghiệm nguyên Đây dạng toán có SGK lớp nh-ng ch-a đ-a ph-ơng pháp giải chung Hơn ph-ơng trình nghiệm nguyên có nhiều đề thi:Tốt nghiệp THCS ;Trong đề thi học sinh giỏi huyên, học sinh giỏi tỉnh Song giải toán không khó khăn phức tạp Từ thực tiễn giảng dạy thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng cách xác định dạng toán ch-a có nhiều ph-ơng pháp giải hay Từ thuận lợi, khó khăn yêu cầu thực tiễn giảng dạy.Tôi chọn đề tài: Rèn luyện t- sáng tạo qua số dạng toán ph-ơng trình nghiệm nguyên Trong trình viết đề tài điều kiện kinh nghiệm không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong đ-ợc đóng góp, đạo thầy cô giáo bạn đồng nghiệp - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên II Điều tra thực trạng tr-ớc nghiên cứu Để đánh giá đ-ợc khả em dạng toán có ph-ơng án tối -u truyền đạt tới học sinh, đà đề toán cho 10 em học sinh đội tuyển tr-ờng nh- sau: Bài 1: ( đ ) a)T×m x, y є Z biÕt x – y + 2xy = b) Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên: 5x 7y = Bài 2: (4 đ) Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình : + x + x2 + x3 = 2y Kết thu đ-ợc nh- sau: D-ới điểm Điểm - SL % SL % 60 40 §iĨm - 10 SL % 0 §iĨm - 10 SL % 40 Qua việc kiểm tra đánh giá thấy học sinh biện pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên đạt hiệu Lời giải th-ờng dài dòng, không xác, ngộ nhận Cũng với toán học sinh đ-ợc trang bị phương pháp Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên chắn có hiệu cao III-Mục đích - §Ị tµi nh»m rÌn lun cho häc sinh t- sáng tạo học giải toán - Biết cách định h-ớng giải tập ngắn gọn - Phát huy trí lực học sinh tìm nhiều cách giải hay phát triển toán - Giúp học sinh tự tin giải toán thi cử IV-Phạm vi áp dụng: - áp dụng vào việc giảng dạy chuyên đề tr-ờng học bồi d-ỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9, ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào lớp chọn, lớp chuyên PTTH - Thời gian nghiên cứu có hạn đ-ợc góp ý chân thành nhiều giáo viên có chuyên môn cao, song nhiều điều bỏ ngỏ để tiếp tục khai thác sâu hết dạng toán - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên B- Nội dung Ph-ơng trình nghiệm nguyên đa dạng phong phú ph-ơng trình ẩn, nhiều ẩn Nó ph-ơng trình bậc bậc cao Không có cách giải chung cho ph-ơng trình, để giải ph-ơng trình th-ờng dựa vào cách giải số ph-ơng trình số ph-ơng pháp giải nh- sau: Ch-ơng I - Các dạng ph-ơng trình I-Ph-ơng trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) víi a, b, c Z 1.Các định lí: a Định lí 1: Điều kiện cần đủ để ph-ơng trình ax + by = c (trong a,b,c số nguyên khác ) có nghiệm nguyên (a,b) -ớc c b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) nghiệm nguyên ph-ơng trình ax + by = c có vô số nghiệm nguyên nghiệm nguyên (x,y) đ-ợc cho bëi c«ng thøc: b x = x + t d y = y − a t d Víi t є Z, d = (a,b) 2.Cách giải: a.Tiến hành qua b-ớc sau: (cách giải chung) B-ớc 1: Tìm d = (a,b) Khi ®ã ax + by = c a1x + b1y = c1 Víi a = da1; b = db1; c = dc1; (a1; b1) = B-íc 2: ViÕt thuật toán Ơclit cho số a1 b1 Giả sö : a1 > b1 Ta cã a1 = b1 q0 + r1 b1 = r1q1 + r2 r1 = r2q2 +r3 ……………… rn-2 = rn-1 + rn Víi rn = - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên B-ớc 3: Tính a0 + a1 + = a2 + m n + ak B-íc 4: LÊy nghiƯm riªng (x0; y0) phương trình a1x + b1y = cho : x0’ =m x0 ’ =n y 0’ =m y0 =n Xác định dấu cách thử trực tiếp đ-ợc (x0, y0) B-ớc 5: x0 = c1 x0; y0 = c1y0 nghiệm riêng phương trình a1x + b1y = c1 nghiƯm tỉng qu¸t cđa ph-ơng trình là: x = x0 + b1 t y = y0 –a1t (víi t є Z ) VÝ dơ 1: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên 5x 7y = H-íng dÉn: Ta nhËn thÊy (5, 7) = (7, 3) = Vậy ph-ơng trình có nghiệm nguyên Để giải ta tiến hành b-ớc: - Viết thuật toán Ơclit cho số 7 = 5.1 + m =1+ = n 2 = 2.2 + - T×m nghiƯm riêng ph-ơng trình 5x 7y = (x0, y0) = (3, 2) - Tìm nghiệm riêng ph-ơng trình 5x 7y = (x0, y0) = (9, 6) nghiệm tổng quát ph-ơng trình là: x = – 7t hay x = 7t + - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên y = 5t y = 5t + (t є Z ) VÝ dụ 2: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên 6x 14 y = 12 H-íng dÉn: Ta nhËn thÊy (6 ,14) = (6 ,12) = pt cã nghiÖm ta tiÕn hành giải nh- sau: B-ớc 1: 6x 14 y = 12 3x – 7y = B-íc 2: ViÕt thuật toán Ơclit cho 7 = 3.2 + B-íc 3: TÝnh m = q0 = = n B-ớc 4: Tìm nghiệm riêng ph-ơng trình 3x 7y = (x0, y0) = (-2; -1) B-ớc 5: Xác định nghiệm riêng pt 3x – 7y = lµ (x0; y0) = (-12; -6) Nghiệm tổng quát ph-ơng trình 6x –14 y = 12 lµ x = -12 – 7t hay x = 7t + y = -6 – 3t y = 3t (t є Z ) * NhËn xét: Trên ph-ơng pháp chung để giải ph-ơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c Tuy nhiên vào toán cụ thể kiÕn thøc vỊ chia hÕt biÕt khÐo lÐo sư dơng cho lời giải ngắn gọn b.Cách giải thông th-ờng khác (3 b-ớc) B-ớc 1: Rút ẩn theo ẩn (gi¶ sư rót x theo y) B-íc 2: Dùa vào điều kiện nguyên x, tính chất chia hết suy luận để tìm y B-ớc 3: Thay y vào x tìm đ-ợc nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 H-ớng dẫn: Ta cã 2x + 5y =7 x = − y x = – 2y + 1− y - Ngun §øc Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Do x, y nguyên y nguyên Đặt y =t víi (t є Z ) y = – 2t x = – 2(1- 2t) + t = 5t + VËy nghiƯm tỉng qu¸t ph-ơng trình là: x = 5t + (t є Z ) y = -2t +1 VÝ dô 2: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên 6x 15 y = 25 H-íng dÉn: Ta thÊy( 6,15 ) = mµ 3/25 Vậy không tồn x,y nguyên cho 6x- 15y = 25 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình 5x + 7y = 112 H-ớng dẫn: Ta cã 5x + 7y = 112 x = 112 − y = 22 - y + − y 5 Do x, y nguyªn − 2y nguyªn hay (2 – 2y) 2(1-y) 5; (2 , 5) = (1-y) hay (y-1) Đặt y-1 = 5t (t є Z ) y = 5t +1 thay y vµo x ta cã x = 21 – 7t l¹i cã x > 0; y > t > -1 5t + > 21 – 7t > t y – m – – 22m – + 2m = mµ 22m – 1vµ 2m số chẵn nên: y m – lỴ y – m – = y – m – = y = m + m - 22m – = m = 22m – m = 2m – m = y=2;x=1 VËy (x, y) = (0; 0); (1; 2) - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 10 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên b = có vô số nghiệm b = chẳng hạn ( x = a, y = a, z = a) với a số tự nhiên - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 23 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Ch-ơng III: Bài tập luyện tập rèn t- sáng tạo Bài 1:Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình 2x + 3y = 11 H-íng dÉn C¸ch 1: Ta thấy ph-ơng trình có cặp nghiệm đặc biệt x0 = 4, y0 = V× 2.4 + 3.1 = 11 ( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 2(x-4) + 3(y-1) = 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = Đặt x = 3k vµ y – = 2k víi ( k Z) Vậy nghiệm tổng quát pt : x = – 3k y = 1+ 2k ( k Z) *Nhận xét: Theo cách giải phải tìm cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) ph-ơng trình vô định ax + by = c Nếu ph-ơng trình có hệ số a, b, c lớn cách giải khó khăn Cách 2: Dùng tính chÊt chia hÕt Ta cã 2x + 3y = 11 y −1 x= 11 − y = 5- y- Do x, y nguyên đặt y −1 nguyªn y −1 = k y = 2k +1 x = 4- 3k (k Z) y = 2k +1 (k Z) VËy nghiÖm tổng quát: x = 4- 3k Bài 2: Tìm cặp số nguyên d-ơng (x,y) thoả mÃn ph-ơng trình 6x2 + 5y2 = 74 H-íng dÉn: C¸ch 1: Ta cã 6x2 + 5y2 = 74 6x2 –24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) 6(x2 – 4) x2 – (6, 5) = x2 = 5t + (t N) Thay x – = 5t vào ph-ơng trình y2 = 10 6t lại cã x2 > t> −4 - NguyÔn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 24 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiƯm nguyªn y2 > t< t = hc t = víi t = ta cã x2 = 4, y2 = 10 (lo¹i) Víi t = ta cã x2 = x=3 y =4 y=2 + mµ x, y Z x = 3, y = thoả mÃn Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ ph-ơng pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 số chẵn y chẵn lại có 0< 6x2 0< 5y2 < 74 < y2 < 14 y2 = x2 = Cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 5x2 + 5y2 + x2 + = 75 x2 + mµ < x2 12 x2 = hc x2 = Víi x2 = y2 = 10 lo¹i Víi x2 = y2 = thoả mÃn cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình: x2 + y2 = 2x2y2 H-ớng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b Ta cã a + b = ab a b a = b a=b b a NÕu a = b 2a = 2a a= a2 a= 0, a= (a,b) = (0, 0); (1, 1) NÕu a = - b b2 = a = b = (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) C¸ch 2: Ta cã x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2 Ta gi¶ sư x2 y2 x2 + y2 y2 - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 25 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên 2x2 y2 2y2 Nếu y = ph-ơng trình có nghiệm (0;0) NÕu y 0 x2 x2= x2 = y2 = (loại) hc y2 = (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy ph-ơng trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) C¸ch 3: Cã x2 + y2 = 2x2y2 2x2 + 2y2 = x2y2 x2y2 –2x2 – 2y2 + = 2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= (2x2 – 1) (2y2 - 1) = Mµ = 1.1 = (-1)(-1) (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên ph-ơng trình x2 3xy + 2y2+ = H-ớng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) nghiệm ph-ơng trình Ta coi ph-ơng trình x2 – 3xy + 2y2 + = Èn x ta tính y = y2 24 Ph-ơng trình có nghiệm tự nhiên y số ph-¬ng y2 – 24 = k2 (y – k)(y + k) = 24 (kN) mµ 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k vµ y – k cïng ch½n y+ k = y = y–k=4 hc y+ k = 12 y–k=2 y=7 Thay vào ta tìm đ-ợc (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình 2x2 + 2y2 2xy + y + x – 10 = H-íng dÉn: C¸ch 1: Ta có ph-ơng trình đà cho 2x2 (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = Coi x ẩn y tham số ta có ph-ơng tr×nh bËc Èn x XÐt y = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 12y+ 81 Để nghiệm x nguyên y số ph-ơng Đặt k2= -12y2 12 y + 81 k2 + 3(2y + 1) = 84 - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 26 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên (2y + 1)2 = 28 - k 28; (2y + 1)2 lỴ (2y + 1)2 = 1, 9, 25 y = 0, 1, -2, 2, -3 thư trùc tiÕp vµo ph-ơng trình ta tìm đ-ợc cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mÃn Cách 2: Đặt x + y = a, xy = b ta cã x, y Z a, b Z ph-¬ng tr×nh 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 2a2 – 4b + a – 10 = 4a2 – 8b + 2a – 20 = (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 l¹i cã (x+ y)2 xy a2 4b 8b + 21 2a2 + 21 (a+ 1)2 + 3a2 2a2 + 21 (a+ 1)2 21 mµ (a+ 1)2 lµ sè chÝnh ph-¬ng (a+ 1)2 {1, 4, 9, 16} a {0, 1, 2, 3} Víi a = 12 + = 8b + 21 8b = 20 lo¹i Víi a = (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 8b = -14 lo¹i Víi a = (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 8b = b = Víi a = (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 8b = 22 loại Vậy đ-ợc a = 2, b = xy = x+y=2 (x, y ) = (0, 2); (2, 0) thoả mÃn Bài :Tìm tất nghiệm nguyên d-ơng x, y cho x2 + 4x – y2 = H-íng dÉn: C¸ch 1: Ta cã x2 + 4x – y2 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2+ y)(x+ 2-y) = mà x, y nguyên d-ơng (x + 2+ y) > (x+ 2-y) x+ + y = x = 1, y = x+2y=1 Vậy nghiệm ph-ơng trình x = 1, y = - Ngun §øc Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 27 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Cách 2: Ta cã x2 + x – y2 = x2 + x – (y2 + 1) = y ' =4+y + 1x= − ' y Để ph-ơng trình có nghiệm ' y số ph-ơng + y2 + = k2 (k- y) (k+ y) = y = thay vào ph-ơng trình tìm đ-ợc x = Vậy nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình lµ x = 1; y = Bµi 7: Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đà ®Êu b»ng lÇn tỉng sè ®Êu thđ cđa hai ®éi vµ biÕt r»ng sè ®Êu thđ cđa Ýt nhÊt đội số lẻ hỏi đội có đấu thủ H-ớng dẫn: Gọi x, y lần l-ợt số đấu thủ đội đội (x, y nguyên d-ơng ) Theo ta có xy = (x + y) Đây ph-ơng trình nghiệm nguyên ta giải cách sau C¸ch 1: Cã xy = 4(x + y) xy – 4x – 4y + 16 = 16 (x-4) (y - 4) = 16 mµ 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 l¹i cã Ýt nhÊt ®éi cã sè ®Êu thđ lỴ x=5 y = 20 x–4=1 y-4 = 16 hc x = 20 y=5 Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không tính tổng quát ta giả sử x y Ta có x, y nguyên d-ơng xy = (x + y) 4+ 4=1 y x l¹i cã + x y x x8 Mµ x > y x x x= 5, 6, 7, x Thử trực tiếp ta đ-ợc x = 5, y = 20 (thoả mÃn) Vậy đội có ®Êu thđ cßn ®éi cã 20 ®Êu thđ - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 28 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Bài 8: Tìm năm sinh Bác Hồ biết năm 1911 Bác tìm đ-ờng cứu n-ớc tuổi Bác tổng chữ số năm Bác sinh cộng thêm H-ớng dẫn: Ta thấy Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 năm 1911 Bác nhiều 11 tuổi (1+ + + + 3) lo¹i Suy Bác sinh kỷ 19 Gọi năm sinh Bác 18 xy (x, y nguyên d-ơng, x, y 9) Theo bµi ta cã 1911 - 18 xy = + + x + y = 11x + 2y = 99 2y 11 mµ (2, 11) = y 11 mà y y=0x=9 Vậy năm sinh Bác Hồ 1890 x+ y Bài 9: Tìm tất số nguyyên x, y thoả mÃn ph-ơng tr×nh = x − xy + y H-íng dÉn: Ta cã x+ y x − xy + y 2 = (x+ y) = (x2 xy + y2) Đặt x + y = p , x – y = q p, q nguyªn x = p + q ; y = p q thay vào ph-ơng trình cã d¹ng 28 p = (q2 + q2) p > 2 vµ p ®Ỉt p = 3k (k Z 0+ ) 28k = 3(3k2+ q2) k vµ k cã d¹ng 3m (m Z+) 28 m = 27m2 + q m( 28 – 27m) = q2 m = hc m = Víi m = k = q = x = y = (lo¹i) Víi m = th× k = 3; p = 28 = 27 + q2 q = Khi p = 9, q = th× x = 5, y= p = 9, q = 1- th× x = 4, y= Vậy nghiệm ph-ơng trình lµ (x, y) = (4, 5); (5, 4) Bµi 10: HÃy dựng tam giác vuông có số đo cạnh a, b, c số nguyên có cạnh đo đ-ợc đơn vị H-ớng dẫn: - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 29 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Giả sử cạnh đo đ-ợc đơn vị cạnh huyền (a = 7) b2 + c2 = 72 b2 + c2 b 7; c (vì số ph-ơng chia hÕt cho d- 0, 1, 4, 2) l¹i có 0 ph-ơng trình có nghiƯm ph©n biƯt x1, = −b 2a HS2: ?2 Sắp xếp ph-ơng trình bậc hai sau - §èi víi Èn y: y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + = theo Èn x; theo Èn y - §èi víi Èn x: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = 3x2 + ( 4y +4 )x + 3x2 + 4x + = ?3.Nêu hệ định lý Viet ph-ơng HS3: Nếu ph-ơng trình a x2 + bx + c = (a ) trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2 : −b x1 + x = a x x = c a Giáo viên nhận xét, đánh giá Học sinh đối chiếu kết với mình, nhận xét - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 31 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Hoạt động 2: Các ví dụ Giáo viên đặt vấn đề: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyªn 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = (1) Gợi ý: - Viết ph-ơng trình (1) thành ph-ơng trình bậc ẩn y tÝnh ' x ? - NÕu pt bËc cã nghiệm nghiệm đ-ợc tính công thức nào? - Do x, y nguyên có nhận xét ' x ? Häc sinh nghe vµ ghi chÐp HS: VÝ dơ 1: Giải pt nghiệm nguyên 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = (1) HS: y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + = ' x = x2 – y1,2 = -(2x + 1) ' x (*) Do x, y nguyên ' x nguyên ' x số ph-ơng Đặt ' x = k2 x2 – = k (x- k)(x+ k) = - ViÕt sè d-íi d¹ng tÝch hai sè nguyªn? Ta cã = 1.4 = 2.2 = (-1).(-4) = (-2) (-2) - Em cã nhËn xÐt g× vỊ x – k vµ x + k - x – k; x + k cïng ch½n x – k = x + k = k = 0, x = thay vào (1) tìm y Thay x k vào (1) tìm y? Vậy nghiệm ph-ơng trình:(x, y) = (2, -5);(-2, 3) HS: Ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với: *Em hà y thùc hiƯn t-¬ng tù víi Èn y? 3x2 + ( 4y +4 )x + 3x2 + 4x + = ' y = y2 + 2y – 11 Do x, y nguyên ' y nguyên ' y số ' Đà vận dụng kiến thức để giải ph-ơng Đặt y = k ph-ơng trình đà cho Yêu cầu HS kiểm (y +1- k)( y + + k) = 12 tra c¸c b-ớc giải Mà y +1- k y + +k cïng ch½n 12 = 2.6 = ( -2) (-6) y +1− k = y +1+ k = y + − k = −2 hc y + + k = −6 y = hc y = - Thay vào (1) Vậy nghiệm ph-ơng trình: (x, y)= (2, -5); (-2, 3) Qua vÝ dơ trªn em h· y nêu lại ph-ơng HS: Học sinh suy nghĩ, trả lời pháp giải? ( giáo viên đ-a lên hình tóm tắt theo b-ớc ) B-ớc 1: Viết ph-ơng trình bËc hai theo Èn x B-íc 2: TÝnh y x1, = −b 2a - Ngun §øc Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 32 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên B-ớc 3: Đặt ' y = k2 B-ớc 4: Tìm y k B-ớc 5: Thay y k vào ph-ơng trình để tìm x B-ớc 6: Trả lời Ví dụ 2: Giải pt nghiệm nguyên x2 (y + 5)x + 5y + = -yêu cầu học sinh nêu lại ph-ơng pháp giải nh- ví dụ 1? -Ngoài cách giải theo ví dụ cách khác không? -Giả sử ph-ơng trình có hai nghiệm x1 x2 theo định lí Viet ta có điều gì? - Tìm biểu thức liên hệ x1 x2 Học sinh nghe ghi chép Học sinh trả lời miƯng Häc sinh suy nghÜ tr¶ lêi HS: Gäi x1 x2 nghiệm ph-ơng trình x2 -(y + 5)x + 5y + = Theo định lý Viet: x1 + x = y + x1 x = y + Ta cã: 5x1 + 5x2 – x1x2 = 23 hay ( x1 – 5)( x2 – 5) = -Ph©n tích số thành tích hai số Nên: nguyên x1 = -Tìm x1 x2 sau tìm tổng chúng x2 − = x1 − = −1 x − = −2 x1 + x2 = 13 hc x1 + x2 = y = hc y = VËy (x, y) = (7,8); (6,8); (4, 2); (3, 2) lµ nghiƯm ph-ơng trình HS: Học sinh trả lời miệng -Trả lời toán Hà y nêu lại b-ớc làm B-ớc 1: - Viết hệ định lý Viet B-ớc 2: Tìm biểu thức liên hệ gữa x1 x2 B-ớc 3: Tìm x1 x2 sau tìm y B-ớc 4: Trả lời toán Hoạt động 3: Luyện tập Đối với giải nghiệm nguyên ph-ơng Ph-ơng pháp1: Vận dụng công thức nghiệm trình bậc gồm ph-ơng pháp nào? ph-ơng trình bậc Ph-ơng pháp2:Dùng hệ định lý Viet Giáo đ-a đề lên hình: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng Bài 1: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình sau tr×nh sau x2 – xy + 2y2 + = (2) x2 – xy + 2y2 + = (2) Giải: - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 33 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Tính y = y2 – 24 y lµ số ph-ơng Đặt y2 24 = k (y-k)(y+ k) = 24 l¹i cã y – k; y + k tính chẵn lẻ Gọi học sinh lên bảng trình bày y + k = y k = (I) Tìm nghiệm cuả hệ(I,II,III,IV) thay vào ph-ơng trình (2) tìm x Ngiệm (x,y)= ( 8;5) ; (7;5) y + k = −6 y − k = −4 (II) y + k = 12 y − k = (III) NgiÖm (x,y)= ( -7;-5) ; (-8;-5) NgiÖm (x,y)= ( 8;7) ; (13;7) y + k = −12 y − k = −2 (IV) NgiÖm (x,y)= ( -8;-7) ; (-13;-7) Vậy ph-ơng trình có nghiệm (x,y)= ( 8;5) ; (7;5) ; ( 7;-5) (-8;-5);( 8;7) ; (13;7) ( -8;-7) ; (-13;-7) Hoạt động Kiểm tra đánh giá GV phát phiếu học tập yêu cầu HS giải Bài 1:Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình sau GV thu phiÕu nhËn xÐt a, x2 – 4x- y2 = b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình : 5x + 7y = 56 Hoạt động 5:H-ớng dẫn nhà Xem lại ghi 1.Giải ph-ơng trình nghiƯm nguyªn sau: x2 + y = x + y + Tìm giá trị nguyên m để ph-ơng trình sau có nghiệm chung 2x2 + (3m - 1)x – = (1) 6x2 – (2m – 3) x – = (2) - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 34 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên D Kết thực 1) Kết chung Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy đa số học sinh nắm vững cách giải ph-ơng trình nghiệm nguyên mà vận dụng linh hoạt dạng toán khác 2) kÕt qu¶ thĨ KiĨm tra 10 häc sinh líp theo đợt khác d-ới dạng phiếu học tậpthu đ-ợc kết sau: Đề Bài 1:Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình a, x2 4x- y2 = b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình : 5x + 7y = 56 D-ới điểm SL % 20 §iĨm - SL % 40 §iĨm - 10 SL % 40 §iÓm - 10 SL % 90 C – Kết luận Đề tài đà nhận đ-ợc thử nghiệm qua nhiều năm bồi d-ỡng học sinh giỏi thấy học sinh nắm đ-ợc hứng thú học tập Tôi nghĩ cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học hỏi thầy cô bạn đồng nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài ngày phong phú Ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên ph-ơng pháp đ-ợc ứng dụng rộng rÃi nhiều toán dạng toán Song thời gian eo hẹp nên đề tài tránh đ-ợc sai sót - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 35 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Tài liệu tham khảo STT Tài liệu Chuyên đề bồi d-ỡng số học Tên tác giả Nguyễn Vũ Thanh Vũ D-ơng Thuỵ 400 toán số học chọn lọc Tr-ơng Công Thành Nguyễn Ngọc Đạm Tìm hiểu ph-ơng trình đại số Vũ Hoàng Lâm Nguyễn Đễ Nguyễn Đức Tấn 351 toán số học chọn lọc Đặng Anh Tuấn Trần Chí Hiếu Một số tạp chí toán học - Nguyễn Đức Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 36 Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Xỏc nhn ca th trng n v Hà Nội, ngày 08/04/2012 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Đức Minh - Ngun §øc Minh - THCS Thái Thịnh - Đống Đa - Hà Nội- 37 ... ph-ơng trình nghiệm số tự nhiên Ch-ơng II: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Không có ph-ơng pháp chung để giải ph-ơng trình nghiệm nguyên nh-ng để giải ng-ời ta th-ờng áp dụng số. .. để ph-ơng trình ax + by = c (trong a,b,c số nguyên khác ) có nghiệm nguyên (a,b) -ớc c b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) nghiệm nguyên ph-ơng trình ax + by = c có vô số nghiệm nguyên nghiệm nguyên (x,y)... giải chung cho ph-ơng trình, để giải ph-ơng trình th-ờng dựa vào cách giải số ph-ơng trình số ph-ơng pháp giải nh- sau: Ch-ơng I - Các dạng ph-ơng trình I-Ph-ơng trình nghiệm nguyên dạng: ax + by