Một số nghiên cứu về hệ phương trình g navier stokes hai chiều

BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ ——————– * ——————— ĐÀO TRỌNG QUYẾT MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2013 BỘ QUỐC PHỊNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ ——————– * ——————— ĐÀO TRỌNG QUYẾT MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Cung Thế Anh HÀ NỘI - 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác, trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác NCS Đào Trọng Quyết LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ mơn Tốn - Khoa Công nghệ Thông tin - Học viện Kỹ thuật Quân sự, hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu khó khăn, vất vả thực thú vị có ý nghĩa Tác giả vơ biết ơn GS TSKH Phạm Thế Long, PGS.TS Đào Thanh Tĩnh, PGS.TS Nguyễn Xuân Viên, PGS.TS Tô Văn Ban, TS Trần Đình Kế, TS Trần Quang Vinh, TS Nguyễn Công Minh cổ vũ động viên truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu nghiên cứu khoa học Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặc biệt thầy cô giáo Bộ mơn Tốn, Khoa Cơng nghệ Thơng tin, Học viện Kỹ thuật Qn Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội ln giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình tác giả, người dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, ngày chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả thành kính dâng tặng quà tinh thần lên bậc sinh thành, người ngày đón đợi hy vọng bước trưởng thành tác giả Mục lục Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 11 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 12 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 12 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 13 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 14 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 CÁC KHƠNG GIAN HÀM, TỐN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN 15 1.1.1 Các không gian hàm 15 1.1.2 Các toán tử 16 1.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 17 1.2 TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI 18 1.2.1 Tập hút toàn cục 18 1.2.2 Tập hút lùi 21 1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 25 1.3.1 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 25 1.3.2 Một số bất đẳng thức thường dùng 26 1.3.3 Một số bổ đề định lí quan trọng 27 Chương NGHIỆM YẾU CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 29 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 29 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 30 2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 33 2.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI 40 2.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ TRONG TRƯỜNG HỢP Ô-TÔ-NÔM 48 2.5.1 Sự tồn đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục 48 2.5.2 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng 48 Chương NGHIỆM MẠNH CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 50 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 50 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM MẠNH 51 3.3 DÁNG DIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MẠNH 58 3.3.1 Sự tồn tập hút toàn cục 58 3.3.2 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng 63 3.4 XẤP XỈ NGHIỆM MẠNH 67 3.4.1 Xấp xỉ nghiệm mạnh khoảng thời gian hữu hạn 67 3.4.2 Xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh 74 Chương HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU VỚI TRỄ VÔ HẠN 79 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 79 4.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 81 4.3 SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG 95 KẾT LUẬN 101 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 101 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 102 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 104 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Hg , Vg không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes (xin xem chi tiết tr 15-16) Vg′ không gian đối ngẫu khơng gian Vg (·, ·)g , | · | tích vô hướng chuẩn không gian Hg ((·, ·))g , ∥ · ∥ tích vơ hướng chuẩn không gian Vg ∥ · ∥∗ chuẩn không gian Vg′ ⟨·, ·⟩ đối ngẫu Vg Vg′ | · |p chuẩn không gian Lp (Ω), với ≤ p ≤ ∞ Id ánh xạ đồng A, B, C toán tử dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes (xin xem chi tiết tr 16) D(A) miền xác định toán tử A ⇀ hội tụ yếu Y X bao đóng Y X B(X) họ tập bị chặn X dF (K) γ0 số chiều fractal tập compact K |∇g|∞ γ0 = − (xem trang 30) 1/2 m0 λ1 ut hàm trễ ut (.) xác định ut (s) = u(t + s) dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff hai tập A, B MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các phương trình hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, khơng khí, dầu mỏ, , điều kiện tương đối tổng quát, chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng quan trọng khoa học hàng khơng, khí tượng học, cơng nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma Một lớp hệ phương trình quan trọng học chất lỏng, miêu tả dịng chảy chất lỏng lí tưởng, nhớt, khơng nén hệ Navier-Stokes Hệ phương trình Navier-Stokes xây dựng từ định luật bảo toàn khối lượng, động lượng có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), ∂t  ∇ · u = u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng hàm véctơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt f ngoại lực Mặc dù đưa lần vào năm 1822, có nhiều báo sách chuyên khảo viết hệ phương trình Navier-Stokes, nhiên hiểu biết nghiệm hệ phương trình cịn khiêm tốn Nói riêng, vấn đề tồn nghiệm mạnh tồn cục tính nghiệm yếu trường hợp ba chiều thách thức lớn nhà toán học vật lý Tuy nhiên, nhu cầu Khoa học Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng phương trình, hệ phương trình học chất lỏng nói chung ngày trở nên thời cấp thiết Như đề cập đến chuyên khảo [58, 59] báo tổng quan gần [10, 61], vấn đề đặt nghiên cứu phương trình hệ phương trình học chất lỏng là: • Sự tồn tại, tính tính qui nghiệm: Nghiệm nghiệm yếu nghiệm mạnh Tính qui tính qui theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) tính qui theo biến khơng gian (tính qui Hilbert, tớnh chớnh qui Hăolder, mụ t im kỡ d) • Dáng điệu tiệm cận nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu nghiệm thời gian t vô Trong trường hợp ngoại lực f “lớn”, nghiên cứu tồn tính chất tập hút, tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận nghiệm; ngoại lực f “nhỏ” không phụ thuộc thời gian, nghiên cứu tồn tính nghiệm dừng, tức nghiệm toán dừng tương ứng, chứng minh nghiệm hệ xét dần đến nghiệm dừng thời gian t vô Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận quan trọng cho phép dự đốn xu phát triển tương lai hệ xét, từ có điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn • Xấp xỉ nghiệm: Vì phương trình học chất lỏng đóng vai trị quan trọng lĩnh vực khoa học kĩ thuật nên ta cần mơ tả định tính định lượng nghiệm, nói riêng việc tìm nghiệm xấp xỉ phương trình (vì nói chung ta khơng thể tìm nghiệm xác phương trình, tồn tại) Việc xấp xỉ nghiệm xác phương trình khoảng thời gian hữu hạn xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm vấn đề quan trọng áp dụng vào mơ hình thực tế Về mặt toán học, phải xây dựng lược đồ xấp xỉ nghiệm, chứng minh lược đồ nhận 96 Chứng minh (i) Sự tồn Ước lượng (4.26) thu cách thay nghiệm dừng u∗ , tồn tại, vào hệ ta có ν⟨Au∗ , u∗ ⟩ + ν(Cu∗ , u∗ )g = ⟨f, u∗ ⟩ + (F (u∗ ), u∗ )g Vì ν||u∗ ||2 ≤ ∥f ∥∗ ||u∗ || + LF ∗ ν|∇g|∞ ∗ ||u || + ||u || 1/2 λ1 m0 λ1 Để chứng minh tồn nghiệm dừng, Vg khả li nên tồn dãy độc lập tuyến tính w1 , w2 , , lập thành sở Vg Với m ≥ 1, ta kí hiệu Vm = span{w1 , , wm } xác định nghiệm xấp xỉ um (4.25) bởi: m u = m ∑ γmi vi , i=1 ν((um , wi )) + νb( ∇g m , u , wi ) + b(um , um , wi ) = ⟨f, wi ⟩ + (F (um ), wi )g , g i = 1, , m (4.28) Để tồn um , ta định nghĩa toán tử Rm : Vm → Vm ((Rm u, v)) = ν⟨Au, v⟩ + ν(Cu, v)g + b(u, u, v) − ⟨f, v⟩ − (F (u), v)g ∀u, v ∈ Vm Với u ∈ Vm , ((Rm u, u)) = ν⟨Au, u⟩ + ν(Cu, u)g − ⟨f, u⟩ − (F (u), u)g LF ν|∇g|∞ ||u||2 ||u||2 − 1/2 λ1 m0 λ1 ( |∇g|∞ LF ) = ν(1 − ) − ||u||2 − ∥f ∥∗ ||u|| 1/2 λ1 m0 λ ≥ ν||u||2 − ∥f ∥∗ ||u|| − Vì vậy, đặt β= ∥f ∥∗ ν(1 − |∇g|∞ 1/2 ) m0 λ − LF λ1 , ta có ((Rm u, u)) ≥ với u ∈ Vm thỏa mãn ||u|| = β Do đó, theo hệ định lí điểm bất động Brouwer (xem [58, Chương 2, Bổ đề 1.4]), với m ≥ tồn um ∈ Vm cho Rm (um ) = 0, với ∥um ∥ ≤ β Thay wi um 97 (4.28) với ý b(um , um , um ) = 0, ta có ∇g m m ,u ,u ) g LF m |∇g|∞ m ≤ ∥f ∥∗ ∥um ∥ + ∥u ∥ ∥u ∥ + ν 1/2 λ1 m0 λ ν∥um (t)∥2 = ⟨f, um ⟩ + (F (um ), um )g − νb( Do [ |∇g|∞ LF ] m ν(1 − ) − ||u || ≤ ∥f ∥∗ 1/2 λ1 m0 λ1 ′ Ta trích dãy {um } từ dãy {um }, dãy hội tụ yếu Vg đến phần tử u Nếu Ω bị chặn, phép nhúng Vg Hg compact, hội tụ theo chuẩn Hg : ′ um → u yếu Vg , mạnh Hg , Chuyển qua giới hạn (4.28) với dãy m′ , ta thấy u nghiệm yếu (4.1) Trong trường hợp Ω không bị chặn, phép nhúng Vg vào Hg khơng compact Tuy nhiên, điều vượt qua cách sử dụng lập luận [58, tr 168-171] (ii) Tính Giả sử u∗ v ∗ hai nghiệm dừng (4.25) Ta có ν⟨Au∗ − Av ∗ , v⟩ + b(u∗ , u∗ , v) − b(v ∗ , v ∗ , v) + ν(Cu∗ − Cv ∗ , v)g = (F (u∗ ) − F (v ∗ ), v)g với v ∈ Vg Đặt v = u∗ − v ∗ , ta có ν⟨Au∗ − Av ∗ , u∗ − v ∗ ⟩ =b(v, v ∗ , v) − ν(Cu∗ − Cv ∗ , u∗ − v ∗ )g + (F (u∗ ) − F (v ∗ ), u∗ − v ∗ )g Do −1/2 ν||u∗ − v ∗ ||2 ≤ c1 λ1 ||u∗ − v ∗ ||2 ||v ∗ || + ν|∇g|∞ ∗ LF ∗ ||u − v ∗ ||2 + ||u − v ∗ ||2 1/2 λ1 m0 λ1 Vì [ ν(1 − LF ] ∗ −1/2 ||u − v ∗ ||2 ≤ c1 λ1 ||u∗ − v ∗ ||2 ||v ∗ || ) − 1/2 λ1 m0 λ1 |∇g|∞ (4.29) 98 Từ (4.26) (4.29) ta có [ |∇g|∞ LF ]2 ∗ −1/2 ν(1 − ) − ||u − v ∗ ||2 ≤ c1 λ1 ∥f ∥∗ ||u∗ − v ∗ ||2 , 1/2 λ1 m0 λ1 (4.30) tính suy từ (4.27) (4.30) Sau ta chứng minh kết ổn định nghiệm dừng yếu Định lí 4.3 Với giả thiết Định lí 4.2, f , F không phụ thuộc thời gian (4.27) Kí hiệu u(t) nghiệm (4.1) với τ = φ ∈ Cγ (Hg ), tồn giá trị λ ∈ (0, 2γ) để có đánh giá sau với t ≥ 0: LF |u(t) − u∗ |2 ≤ e−λt (|φ(0) − u∗ |2 + ||φ − u∗ ||2γ ), (4.31) 2γ − λ } { LF ||φ − u∗ ||2γ ) , ∥ut − u∗ ∥γ ≤ max e−2γt ∥φ − u∗ ∥2γ , e−λt (|φ(0) − u∗ |2 + 2γ − λ (4.32) ∗ u nghiệm dừng (4.25) Chứng minh Đặt w(t) = u(t) − u∗ , ta có d (w(t), v)g + ν((w(t), v))g + ν(Cu(t), v)g − ν(Cu∗ , v)g dt + b(u(t), u(t), v) − b(u∗ , u∗ , v) = (F (ut ) − F (u∗ ), v)g , ∀t > 0, v ∈ Vg Từ đẳng thức lượng, (H3-iii), Bổ đề 1.1 1.4, ta đưa vào số hạng eλt với λ > chọn sau, ta có [ d λt (e |w(t)|2 ) = eλt λ|w(t)|2 − 2ν||w(t)||2 + 2ν(Cu∗ − Cu(t), w(t))g dt ∗ ∗ ∗ + 2(b(u , u , w(t)) − b(u(t), u(t), w(t))) + 2(F (ut ) − F (u ), w(t))g [ 2ν|∇g|∞ λt ≤ e λ|w(t)|2 − 2ν||w(t)||2 + ||w(t)||2 1/2 m0 λ1 ] 2c1 ∗ + 1/2 ||w(t)|| ||u || + 2LF ||wt ||γ |w(t)| λ1 ] 99 Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức Cauchy với δ > cố định chọn sau (4.26), ta có d λt LF (e |w(t)|2 ) ≤ eλt ||wt ||2γ dt δ [ δLF 2c1 ∥f ∥∗ 2ν|∇g|∞ ] −1 λt + e λλ1 − 2ν + + 1/2 ( ||w(t)||2 + ) 1/2 |∇g| L ∞ F λ1 λ ν(1 − m0 λ 1/2 ) − 1 λ1 m0 λ1 Vì vậy, lấy tích phân từ đến t, ta có ∫ LF t λs λt 2 e |w(t)| ≤ |w(0)| + e ||ws ||2γ ds δ [ δLF 2c1 ∥f ∥∗ + λλ−1 + 1/2 ( − 2ν + ∞ λ1 λ ν(1 − ν|∇g|1/2 )− + 2ν|∇g|∞ ] ∫ 1/2 m0 λ1 m0 λ LF λ1 ) (4.33) t eλs ||w(s)||2 ds ∫t Để xử lý số hạng eλs ||ws ||2γ ds, ta làm sau: ∫ t eλs sup e2γθ |w(s + θ)|2 ds θ≤0 ∫ t eλs max{ sup e2γθ |w(s + θ)|2 , sup e2γθ |w(s + θ)|2 }ds = θ≤−s ∫ = t θ∈[−s,0] max{e−(2γ−λ)s ||φ − u∗ ||2γ , sup e(2γ−λ)θ eλ(s+θ) |w(s + θ)|2 }ds θ∈[−s,0] Vì vậy, λ < 2γ, sử dụng bất đẳng thức (4.33), ta thu ∫ t LF λt 2 ∗ e |w(t)| ≤ |w(0)| + ||φ − u ||γ e(λ−2γ)s ds δ [ δLF 2c1 ∥f ∥∗ ( ) + λλ−1 + − 2ν + 1/2 λ1 λ ν(1 − |∇g|∞ ) − LF + 2ν|∇g|∞ 1/2 m0 λ1 LF ] + λ1 δ 1/2 λ1 m0 λ ∫t max eλr ||w(r)||2 ds r∈[0,s] −1 Nhận xét ta chọn δ = làm cho δλ−1 đạt cực tiểu LF + LF (λ1 δ) hệ số tích phân cuối trở thành λλ−1 − 2ν + 2c1 ∥f ∥∗ 2LF [ + 1/2 ∞ λ1 )− λ1 ν(1 − |∇g|1/2 m0 λ LF λ1 ]+ 2ν|∇g|∞ 1/2 m0 λ1 (4.34) 100 Sử dụng (4.27), ta có −2ν + 2LF 2c1 ∥f ∥∗ [ + 1/2 ∞ λ1 λ1 ν(1 − |∇g|1/2 )− m0 λ1 LF λ1 ]+ 2ν|∇g|∞ 1/2 < m0 λ1 Vì vậy, ta chọn λ ∈ (0, 2γ) cho (4.34) âm Do đó, ta đến kết luận eλt |w(t)|2 ≤ |w(0)|2 + LF (1 − e(λ−2γ)t )||φ − u∗ ||2γ , 2γ − λ (4.31) kéo theo Cuối cùng, (4.32) thu sau ∥wt ∥2γ = sup e2γθ |w(t + θ)|2 θ≤0 = max { sup e2γθ |w(t + θ)|2 , θ∈(−∞,−t] sup e2γθ |w(t + θ)|2 } θ∈[−t,0]) { } = max e−2γt ∥φ − u∗ ∥2γ , sup e2γθ |w(t + θ)|2 , θ∈[−t,0] số hạng thứ hai đánh giá cách sử dụng (4.31) với ý e(2γ−λ)θ ≤ θ ≤ Chú ý cuối chương Khi lấy g ≡ 1, từ kết chương thu lại kết tồn nghiệm tính ổn định nghiệm dừng hệ Navier-Stokes hai chiều với trễ vô hạn [46] Tuy nhiên, trường hợp riêng này, kết tốt theo nghĩa miền xét phương trình khơng cần giả thiết bị chặn [46] mà cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes với trễ vô hạn Các kết đạt bao gồm: 1) Chứng minh tồn nghiệm yếu (Định lí 4.1) 2) Chứng minh tồn nghiệm dừng yếu (Định lí 4.2) 3) Chứng minh tính ổn định mũ nghiệm dừng (Định lí 4.3) 101 KẾT LUẬN KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều hai trường hợp ngoại lực phụ thuộc không phụ thuộc trễ Luận án đạt kết sau: Chứng minh tồn nghiệm yếu, tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi, tồn tính ổn định nghiệm dừng yếu hệ g-Navier-Stokes hai chiều miền không thiết bị chặn mà cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré Các kết thể cơng trình [1] Chứng minh tồn nghiệm mạnh, tồn tập hút tồn cục tính ổn định nghiệm dừng mạnh hệ g-Navier-Stokes hai chiều miền bị chặn Chứng minh kết xấp xỉ nghiệm mạnh khoảng thời gian hữu hạn xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh Các kết thể cơng trình [2], [3] Chứng minh tồn nghiệm yếu, tồn tính ổn định nghiệm dừng hệ g-Navier-Stokes hai chiều trường hợp ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn, miền không thiết bị chặn mà cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré Các kết thể cơng trình [4] 102 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề khác cần tiếp tục nghiên cứu: • Tiếp tục nghiên cứu tính chất tập hút nhận luận án: tính trơn, phụ thuộc liên tục theo hàm g So sánh dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ g-Navier-Stokes hệ Navier-Stokes • Tiếp tục nghiên cứu việc xấp xỉ số nghiệm hệ g-Navier-Stokes Một vài kết theo hướng cách sử dụng phương pháp phổ Galerkin nhận [51] • Nghiên cứu tính qui nghiệm hệ g-Navier-Stokes • Nghiên cứu toán điều khiển tối ưu toán điều khiển hệ g-Navier-Stokes hai chiều Đây lĩnh vực rộng lớn khó Một vài kết ban đầu theo hướng nhận [5] 103 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN C.T Anh and D.T Quyet, Long-time behavior for 2D non-autonomous g-Navier-Stokes equations, Ann Polon Math 103 (2012), 277-302 C.T Anh, D.T Quyet and D.T Tinh, Existence and finite time approximation of strong solutions to 2D g-Navier-Stokes equations, Acta Math Viet 38 (2013), DOI 10.1007/s40306-013-0023-2 C.T Anh and D.T Quyet, Long-time behavior and long-time approximation of strong solutions to g-Navier-Stokes equations, submitted to Bull Pol Acad Math Sci C.T Anh and D.T Quyet, g-Navier-Stokes equations with infinite delays, Viet J Math 40 (2012), 57-78 104 Tài liệu tham khảo [1] C.T Anh (2009), Influence of surface tension and bottom topography on internal waves, Math Models Methods Appl Sci 19, 2145-2175 [2] C.T Anh (2009), Derivation and well-posedness of Boussinesq/Boussinesq systems for internal waves, Ann Polon Math 96, 127-161 [3] C.T Anh (2010), On the Boussinesq/Full dispersion systems and Boussinesq/Boussinesq systems for internal waves, Nonlinear Anal 72, 409-429 [4] C.T Anh and T.Q Bao (2012), Pullback attractors for generalized Korteweg-de Vries-Burgers equations, J Math Anal Appl 388, 899-912 [5] C.T Anh and D.T Quyet (2013), Optimal control of g-Navier-Stokes equations, preprint [6] C.T Anh and D.T Son (2013), Pullback attractors for non-autonomous Bénard problem in some unbounded domains, Math Method Appl Sci., DOI: 10.1002/mma.2713 [7] C.T Anh and P.T Trang (2013), Pullback attractors for 3D NavierStokes-Voigt equations in some unbounded domains, Proc Royal Soc Edinburgh Sect A 143, in press [8] C.T Anh and P.T Trang (2013), On the 3D Kelvin-Voigt-BrinkmanForchheimer equations in some unbounded domains, Nonlinear Anal., 89, 36-54 105 [9] H Bae and J Roh (2004), Existence of solutions of the g-Navier-Stokes equations, Taiwanese J Math 8, 85-102 [10] C Bardos and B Nicolaenko (2002), Navier-Stokes equations and dynamical systems, Handbook of dynamical systems, Vol 2, 503-597, NorthHolland, Amsterdam [11] J.L Bona, D Lannes and J.-C Saut (2008), Asymptotic models for internal waves, J Math Pures Appl 89, 538-566 [12] M Cabral, R Rosa and R Temam (2004), Existence and dimension of the attractor for the Bénard problem on channel-like domains, Disc Cont Dyna Syst 10, 89-116 [13] T Caraballo, Lukaszewicz and J Real (2006), Pullback attractors for asymptotically compact non-autonomous dynamical systems, Nonlinear Anal 64, 484-498 [14] T Caraballo and J Real (2003), Asymptotic behaviour of Navier-Stokes equations with delays, Proc R Soc London Ser A 459, 3181-3194 [15] T Caraballo, A.M Márquez-Durán and J Real (2008), Asymptotic behaviour of the three-dimensional α-Navier-Stokes model with delays, J Math Anal Appl 340, 410-423 [16] T Caraballo and J Real (2004), Attractors for 2D-Navier-Stokes models with delays, J Differential Equations 205, 271-297 [17] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (2002), Attractors for Equations of Mathematical Physics, Amer Math Soc Colloq Publ., Vol 49, Amer Math Soc., Providence, RI [18] I.D Chueshov (2002), Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems, University Lectures in Contemporary Mathematics Kharkiv: ACTA, 418 p 106 [19] J.M Coron (2007), Control and Nonlinearity, Mathematical Surveys and Monographs, 136 American Mathematical Society, Providence, RI [20] S Faure (2005), Stability of a colocated finite volume scheme for the Navier-Stokes equations, Numer Methods Partial Differ Equations 21, 242-271 [21] E Feireisl and D Praˇzák (2010), Asymptotic Behavior of Dynamical Systems in Fluid Mechanics, AIMS Series in Applied Mathematics Springfield, MO: American Institute of Mathematical Sciences (AIMS) xii, 298 p [22] L Friz, M.A Rojas-Medar and M.D Rojas-Medar (2012), Reproductive solutions of the g-Navier-Stokes equations, preprint [23] A.V Fursikov (2000), Optimal Control of Distributed Systems Theory and Applications, Translations of Mathematical Monographs 187 Providence, RI: AMS, American Mathematical Society xiv, 305 p [24] M.J Garrido-Atienza and P Marín-Rubio (2006), Navier-Stokes equations with delays on unbounded domains, Nonlinear Anal 64, 1100-1118 [25] J García-Luengo, P Marín-Rubio and J Real (2012), Pullback attractors for three-dimensional non-autonomous Navier–Stokes–Voigt equations, Nonlinearity 25, 905-930 [26] R Glowinski (2003), Numerical Methods for Fluids, Handbook of Numerical Analysis, Vol IX, Elsvier [27] Y Hino, S Murakami and T Naito (1991), Functional Differential Equations with Infinite Delay, Lecture Notes in Mathematics, Vol 1473, Springer, Berlin 107 [28] Y He and Y Hou (2011), Galerkin and subspace decomposition methods in space and time for the Navier-Stokes equations, Nonlinear Anal 74, 3218-3231 [29] M Holst, E Lunasin and G Tsogtgerel (2010), Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models, J Nonlinear Sci 20, no 5, 523-567 [30] Y Hou and K Li (2009), Postprocessing Fourier Galerkin method for the Navier-Stokes equations, SIAM J Numer Anal 47, 1909-1922 [31] V John and S Kaya (2005), A finite element variational multiscale method for the Navier–Stokes equations, SIAM J Sci Comput 26, 14851503 [32] V John and S Kaya (2008), Finite element error analysis of a variational multiscale method for the Navier-Stokes equations, Adv Comput Math 28, 43-61 [33] J Jiang and Y Hou (2009), The global attractor of g-Navier-Stokes equations with linear dampness on R2 , Appl Math Comp 215, 1068-1076 [34] J Jiang and Y Hou (2010), Pullback attractor of 2D non-autonomous g-Navier-Stokes equations on some bounded domains, App Math Mech -Engl Ed 31, 697-708 [35] J Jiang, Y Hou and X Wang (2011), Pullback attractor of 2D nonautonomous g-Navier-Stokes equations with linear dampness, Appl Math Mech., Engl Ed 32, 151-166 [36] V.K Kalantarov and E.S Titi (2009), Global attractor and determining modes for the 3D Navier- Stokes-Voight equations, Chin Ann Math Ser B 30, 697-714 108 [37] V.K Kalantarov and E.S Titi (2009), Gevrey regularity for the attractor of the 3D Navier- Stokes-Voight equations, J Nonlinear Sci 19, 133-152 [38] V.K Kalantarov and S Zelik (2012), Smooth attractors for the BrinkmanForchheimer equations with fast growing nonlinearities, Comm Pure Appl Anal 11, 2037-2054 [39] M Kaya and A Okay Celebi (2009), Existence of weak solutions of the g-Kelvin-Voight equation, Math Comp Modell 49, 497-504 [40] M Kwak, H Kwean and J Roh (2006), The dimension of attractor of the 2D g-Navier-Stokes equations, J Math Anal Appl 315, 436-461 [41] H Kwean (2012), The H -compact global attractor of two-dimensional g-Navier-Stokes equations, Far East J Dyn Syst 18, 1-20 [42] H Kwean and J Roh (2005), The global attractor of the 2D g-NavierStokes equations on some unbounded domains, Commun Korean Math Soc 20, 731-749 [43] J.A Langa, G Lukaszewicz and J Real (2007), Finite fractal dimension of pullback attractors for non-autonomous 2D Navier-Stokes equations in some unbounded domains, Nonlinear Anal 66, 735-749 [44] D Lannes (2013), Water Waves: Methematical Theory and Asymptotics, Amer Math Soc., in press [45] J.-L Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris [46] P Marín-Rubio, J Real and J Valero (2011), Pullback attractors for a two-dimensional Navier-Stokes equations in an infinite delay case, Nonlinear Anal 74, 2012-2030 109 [47] P Marín-Rubio, A.M Marquez-Durán and J Real (2010), Three dimensional system of globally modified Navier-Stokes equations with infinite delays, Discret Cont Dyna Syst B 14, 655-673 [48] P Marín-Rubio, A.M Márquez-Durán and J Real (2013), Asymptotic behavior of solutions for a three dimensional system of globally modified Navier-Stokes equations with a locally Lipschitz delay term, Nonlinear Anal 79, 68-79 [49] M Paicu and V Vicol (2011), Regularity and Gevrey-class regularity for the second-grade fluid equations, J Math Fluid Mech 13, 533-555 [50] M Paicu, G Raugel and A Rekalo (2012), Regularity of the global attractor and finite-dimensional behavior for the second grade fluid equations, J Differential Equations 252, 3695-3751 [51] D.T Quyet (2013), Spectral Galerkin method in space and time for the 2D g-Navier-Stokes equations, Abstr Appl Anal., Vol 2013, Article ID805685, 18 p [52] D.T Quyet (2013), Pullback attractors for strong solutions of 2D nonautonomous g-Navier-Stokes equations, Acta Math Viet., accepted [53] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge [54] J Roh (2005), Dynamics of the g-Navier-Stokes equations, J Differential Equations 211, 452-484 [55] J Roh (2006), Derivation of the g-Navier-Stokes equations, J Chungcheon Math Soc 19, 213-218 [56] J Roh (2009), Convergence of the g-Navier-Stokes equations, Taiwanese J Math 13, 189-210 110 [57] M Sermange and R Temam (1983), Some mathematical questions related to the MHD equations, Commun Pure Appl Math 36, 635-664 [58] R Temam (1979), Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, 2nd edition, Amsterdam: North-Holland [59] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia [60] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York [61] R Temam (2000), Some developments on Navier-Stokes equations in the second half of the 20th century, Development of Mathematics 19502000, Birkhă auser, Basel, 1049-1106 [62] D Wu (2009), The finite-dimensional uniform attractors for the nonautonomous g-Navier-Stokes equations, J Appl Math., 1-17 [63] D Wu (2010), On the dimension of the pullback attractors for g-NavierStokes equations, Discrete Dyn Nat Soc., Art ID 893240, 16 p [64] D Wu and J Tao (2012), The exponential attractors for the g-NavierStokes equations, J Funct Spaces Appl., Art ID 503454, 12 p [65] J Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer, New York ... "Một số nghiên cứu hệ phương trình g- Navier- Stokes hai chiều" MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận án tập trung nghiên cứu vấn đề sau hệ phương trình g- Navier- Stokes hai chiều: • Sự tồn nghiệm (nghiệm nghiệm... g- Navier- Stokes hai chiều xuất cách tự nhiên nghiên cứu hệ phương trình Navier- Stokes ba chiều miền mỏng ? ?g = Ω × (0, g) , Ω miền hai chiều, tính chất tốt hệ phương trình g- Navier- Stokes hai chiều giúp ích... nghiên cứu hệ phương trình Navier- Stokes miền mỏng ba chiều (xem [54, 55]) Về mặt tốn học, hệ phương trình dạng tổng quát hệ phương trình Navier- Stokes cổ điển, cụ thể g = const, ta thu lại hệ