(Luận văn thạc sĩ) không gian f dugundji, không gian f milutin và co rút f giá trị tuyệt đối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Dũng KHƠNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Dũng KHƠNG GIAN F – DUGUNDJI, KHÔNG GIAN F – MILUTIN VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Chuyên ngành : Hình học tơpơ Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Nguyễn Hồng Dũng LỜI CẢM ƠN Tơi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26 cho tơi kiến thức tốn học Đại số, Giải tích Hình học tơpơ Xin kính chúc q thầy cô thật nhiều sức khỏe thành công! Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin cảm ơn q thầy Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Hình học tơpơ khoa Tốn khóa 26 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học Nguyễn Hoàng Dũng MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian compact 1.3 Không gian mêtric 1.4 Đồng cấu nhóm 1.5 Không gian lồi địa phương 1.6 Dàn Banach 1.7 Toán tử 10 1.8 Độ đo 13 1.9 Hàm tử 14 1.10 Khối lập phương Cantor 15 1.11 Khối lập phương Tychonoff 16 Chương KHÔNG GIAN COMPACT F – DUGUNDJI VÀ F – MILUTIN 18 2.1 Không gian Dugundji không gian Milutin 18 2.2 Một số định lý không gian F – Dugundji F – Milutin 20 Chương CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ KHÔNG GIAN F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI 27 3.1 Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối 27 3.2 Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối cho vài hàm tử chức 37 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu Với hàm tử chức F : Comp  Comp phạm trù Comp không gian Hausdorff compact, ta định nghĩa khái niệm không gian F – Dugundji F – Milutin, dựa theo khái niệm cổ điển khơng gian Dugundji Milutin Qua đó, ta chứng minh lớp không gian F – Dugundji trùng với lớp co rút F – giá trị tuyệt đối Kế tiếp, cho X không gian compact Dugundji với tích tensơ tương ứng hàm tử liên tục đơn cấu F : Comp  Comp , X co rút F – giá trị tuyệt đối tập hai phần tử 0,1 co rút F – giá trị tuyệt đối Ta chứng minh với hàm tử Lip k phiếm hàm k – Lipschitz ( k  ), co rút Lip k – giá trị tuyệt đối sinh mở Mặt khác, compact hóa điểm khơng gian rời rạc khơng đếm khơng thể sinh mở lại co rút Lip3 – giá trị tuyệt đối Tổng quát hơn, không gian X compact rời rạc paracompact kế thừa nâng rời rạc hữu hạn n  ht  X  co rút Lip k – giá trị tuyệt k  2n   1.2 Thực tiễn đề Một định lý cổ điển Tietze-Urysohn [10] phát biểu: với hàm số liên tục f : X  xác định tập đóng X khơng gian tơpơ thơng thường Y xác định thác triển liên tục f : Y  Trước đây, có nhiều nỗ lực nhằm hợp định lý Tietze-Urysohn toán tử quy Dugundji đề cập [9] mong muốn hoàn toàn tự nhiên hợp lý, nhiên nỗ lực thất bại tồn cặp  X , A không gian Hausdorff compact A  X không nhận tốn tử mở rộng tuyến tính quy u : C  A  C  X  Điều khiến A.Pelczynski [15] ý tưởng giới thiệu lớp không gian compact Dugundji Tồn không gian compact X nhận với phép nhúng X  Y vào không gian Hausdorff compact Y tốn tử mở rộng tuyến tính quy u : C  X   C Y  Việc nghiên cứu có hệ thống lớp không gian compact Dugundji bắt đầu A.Pelczynski không lâu sau khơng gian compact Dugundji chứng minh mơ tả co rút P – giá trị tuyệt hàm tử P : Comp  Comp độ đo xác suất phạm trù Comp không gian Hausdorff compact ánh xạ liên tục Cần nhắc lại với không gian Hausdorff compact X khơng gian độ đo xác suất P  X  không gian Tychonoff cấp phiếm tuyến tính quy  :C  X   C X  bao gồm tất (  quy có nghĩa   f   conv  f  X   ) Ta đồng điểm x  X với độ đo Dirac  x : C  X   , gán hàm số f  C  X  với giá trị f  x  x Phép gán x  x xác định phép nhúng tắc  : X  PX X vào với độ đo xác suất Đồng thời R Haydon làm sáng tỏ hiểu biết cấu trúc không gian Dugundji compact chứng minh lớp không gian Dugundji compact trùng với lớp AE   mở rộng compact tuyệt đối số chiều không Như thấy trước sau Haydon có nhiều nghiên cứu vấn đề đặt xoay quanh không gian F – Dugundji, không gian F – Milutin co rút F – giá trị tuyệt đối đạt nhiều kết Từ cho thấy cấp thiết đề tài cần quan tâm nghiên cứu Với kiến thức tôpô đại cương nghiên cứu không gian Dugundji nhà toán học giới Việt Nam từ báo F – Dugundji spaces, F – Milutin spaces and absolute F – valued retracts hai tác giả Taras Banakh Taras Radul xuất tạp chí Topology and its Applications năm 2015 Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu 2.1 Mục tiêu nghiên cứu Từ chứng minh R Haydon lớp không gian Dugundji compact trùng với lớp AE   giãn tử compact tuyệt đối số chiều không Mục tiêu luận văn nhằm nghiên cứu:  Định lý Haydon chứng minh định lý Haydon  Giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan khơng gian compact F – Dugundji không gian compact F – Milutin  Giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối  Nhận dạng co rút F –giá trị tuyệt đối số hàm tử chức 2.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp số kết có liên quan đến nội dung luận văn làm sở lý luận trình bày lại số khái niệm kết có chứng minh số định lý tính chất Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, phần kết thúc Mở đầu: Nội dung phần mở đầu nhằm đề cập đến ghi nhận ban đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nội dung chương nhằm đưa số kiến thức cần thiết cho chương chương Chương 2: Không gian F – Dugundji F – Milutin: Chương luận văn nhằm giới thiệu không gian compact F – Dugundji F – Milutin tính chất liên quan Chương 3: Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối: Chương luận văn nhằm giới thiệu co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối tính chất liên quan Cuối chương tơi xin trình bày số kết có xét F hàm tử cụ thể Kết luận: Chúng hệ thống lại kết trình bày chương chương số vấn đề nhằm định hướng phương hướng nghiên cứu tương lai Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương giới thiệu nhắc lại số khái niệm kết nhằm làm sở cho việc nghiên cứu chương sau Các định nghĩa trình bày chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [4], [12] 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng  họ tập X cho: , X  ; U ,V   U V  ; U i  , i  I  U i  iI Khi đó, ta gọi  tôpô X  X ;  không gian tôpô 1.1.2 Lân cận điểm Cho không gian tôpô  X ;  điểm x  X , U  X gọi lân cận x tồn V  cho x V V  U 1.1.3 Tập đóng Tập B  X gọi tập đóng X \ B tập mở 1.1.4 Tôpô cảm sinh Cho không gian tôpô  X ;  A  X Ta có họ  A   A  U :U mở X  họ tập mở A  A tôpô A cảm sinh từ tơpơ  Khi  X ; A  gọi không gian tôpô không gian tôpô  X ;  37 iii) Với phép nhúng từ X  Y vào khơng gian compact Hausdoff Y , Y  có toán tử e : X   Y cho:  e U   X  U với tập mở U  X  e U   e V    với hai tập mở U ,V  X 3.2 Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối cho vài hàm tử chức Trong phần nghiên cứu lớp AR  F  với hàm tử chức F cụ thể Trước tiên, nhắc lại định nghĩa tính chất số phiếm hàm 3.2.1 Định nghĩa số phiếm hàm hàm tử: Cho X không gian compact Ta nói phiếm hàm  :C  X   là:  Bảo toàn   cX   c cho hàm cX : X  c   Bảo toàn thứ tự   f     g  với hàm f  g , f , g  C  X   Bảo toàn thứ tự yếu   a     f     b  với hàm f  C  X  với hàm a, b  C  X  với a  f  b  Bảo toàn cực tiểu    f , g    f  ,   g  với hàm f , g C  X   Bảo toàn cực đại   max  f , g  max   f  ,   g  với hàm f , g C  X  Bảo toàn cực tiểu yếu    f , c    f  ,   c  với hàm f  C  X  hàm c  C  X   Bảo toàn cực đại yếu   max  f , c  max   f  ,   c  với hàm f  C  X  hàm c  C  X  38  Cộng tính   f  g     f     g  với hàm f , g  C  X   Cộng tính yếu   f  c     f     c  với hàm f  C  X  hàm c  C  X   Nhân tính yếu   c f     c .  f  với hàm f  C  X  hàm c  C  X   k – Lipschitz với k    f     c   k f  g với hàm f , g C  X  Cho hàm f  C  X  , ta kí hiệu chuẩn f không gian Banach C  X  f  sup xX f  x  Các tính chất phiếm hàm nêu cho phép ta định nghĩa hàm tử hàm tử C   gán không gian compact X với khơng gian đóng khơng gian phiếm hàm   V X   C X  C X  ; :  bảo toàn ;  V  X    V  X  :  bảo toàn thứ tự ;  V  X    V  X  :  bảo toàn thứ tự yếu   Vmin  X    V  X  :  bảo toàn cực tiểu    Vmax  X    V  X  :  bảo toàn cực đại   Vmin  X    V  X  :  bảo toàn cực tiểu yếu    Vmax  X    V  X  :  bảo toàn cực đại yếu  V  X    V  X  :  có tính cộng tính  V  X    V  X  :  có tính cộng tính yếu  V  X    V  X  :  có tính nhân tính   39   Lip k  X    V  X  :  k - Lípchitz  với k  Một số hàm tử viết thành giao hàm tử Ví dụ như:  V  V hàm tử phổ dụng xét T.Radul  P  V  V  V hàm tử độ đo xác suất (xem [11])  I  V  Vmax hàm tử độ đo lũy đẳng (xem [23])  O  V  V hàm tử phiếm hàm bảo tồn cấp cộng tính yếu định nghĩa T.Radul  S  V  V  V hàm tử định nghĩa nghiên cứu bới V.Valov [22]  Vmax  Vmin  V đẳng cấu với hàm tử G siêu không gian growth  Vmin  Vmax  V Vmin  Vmax  V đẳng cấu với hàm tử exp siêu không gian Khi hàm tử Vmin  Vmax  V Vmin  Vmax  V đẳng cấu đến exp siêu không gian hàm tử, mô tả Fedorchuk lớp AR exp sau: 3.2.2 Định lý: AR Vmin  Vmax  V   AR Vmin  Vmax  V   AR exp  AR 1 Tiếp theo mô tả lớp AR  S  cho hàm tử S  V  V  V  V V Valov đưa [22] 3.2.3 Định lý (Valov) Với hàm tử S  V  V  V , lớp AR  S  trùng với lớp OG compact sinh mở Nhận xét, bao hàm thức AR  S   OG suy từ định lý tổng quát sau 40 3.2.4 Định lý Cho X không gian compact hàm tử chức F : Comp  Comp thỏa:     FX   V  X  : sup   f     g  : f , g  C  X  , f  g  0, f  g   Nếu X  AR  F  khơng gian compact X sinh mở Chứng minh Cố định không gian compact X  AR  F  Nếu X   , khơng có cần chứng minh Vì thế, ta giả sử X   Để X sinh mở, ta áp dụng định lý 3.1.12 Nhúng X vào khơng gian compact Hausdorff Y Khi X co rút F – giá trị tuyệt đối, có ánh xạ r : Y  FX cho r  x   F  x   FX , x  X Có nghĩa F x  V  x  khác rỗng trùng với tập điểm V x   X  x  Điều cho phép ta đồng X với tập đóng   x  : x  X   FX  V  X  X gồm độ đo Dirac Đầu tiên ta xây dựng toán tử mở rộng e :  X   FX Chọn   cho    2  sup   f     g  : f , g  C  X  , fg  0, f  g  Cho tập mở U  X , xét tập mở e U  FX gồm tất hàm tử   FX  C X  cho có ánh xạ liên tục   f     ,    f   1   f : X  0,1 và supp  f   f 1  0,1  U Do X quy đầy đủ suy e U   X  U Ta chứng minh rằng: e U   e V    với tập mở rời U ,V  X Giả thiết điều ngược lại, ta tìm hàm tử   e U   e V  hai ánh xạ liên tục fU , fV : X  0,1 cho: (1) supp  fU   U ,supp  fV   V 41 (2)   fU        fV   1   Điều kiện (1) suy fU   fV   0, fU  fV    fU      fV    2 (do cách chọn  ) Mặt khác, điều kiện (2) cho   fU      fV    2 (dẫn đến mâu thuẫn) Toán tử e :  X   FX ánh xạ r : Y  FX sinh toán tử r 1  e U   thỏa hai tính chất định lý 3.1.12 r 1 e :  X   Y , r 1 e : U Suy không gian X sinh mở  Kết hợp với định lý 3.2.4 định lý Valov 3.2.3, ta có hệ sau: 3.2.5 Hệ Cho k  1,2  hàm tử F  Lip k với AR  F   OG V  V  V  F AR  F   OG Hệ dẫn đến kết sau phát biểu Valov [22] 3.2.6 Hệ Hàm tử O  V  V phiếm hàm bảo toàn thứ tự cộng tính yếu có AR O  OG Một điều cần lưu ý với k  hệ 3.2.5 khơng cịn lớp AR  Lip3  chứa số không gian compact rời rạc mà không sinh mở Một không gian tôpô X gọi rời rạc tập khác rỗng A X chứa điểm cô lập Cho A không gian X , ta kí hiệu tập chứa điểm khơng cô lập A A1 cho số  , ta ký hiệu X   tập dẫn xuất thứ  X Đặt X  0  X , X 1 tập tất điểm không cô lập X X        X   1 với   Với không gian rời rạc X ,  dãy vô hạn  X   giảm ngặt, X     với  Cái nâng rời rạc ht  X  X số  nhỏ cho tập dẫn xuất X  tập hữu hạn 42 Ví dụ: Một khơng gian compact vơ hạn X với điểm không cô lập có nâng rời rạc ht  X   3.2.7 Định lý Mỗi không gian compact rời rạc paracompact kế thừa X nâng rời rạc hữu hạn s  ht  X  với X s  co rút Fs –giá trị tuyệt hàm tử Fs  V  V  V  Lip2s 1 1 Chứng minh Vì V X  VX    f ,max f  f C  X  co rút tuyệt đối Ta xây dựng ánh xạ liên tục pX : VX  Fs  X  cho p X  X   X Sự tồn ánh xạ pX chứng minh phép quy nạp nâng rời rạc s  ht  X  Nếu s  X  0  X tập điểm khơng gian F0 X Ánh xạ rX : VX  F0 X có tính chất: p X  X   X Bây ta giả thiết với số s  đó, tồn ánh xạ pK : VK  Fht K  K với pK  X   X chứng minh cho không gian compact rời rạc paracompact kế thừa K cho ht  K   s K  ht  K    Giả thiết X không gian compact rời rạc paracompact kế thừa nâng rời rạc ht  X   s X  s  tập điểm  Theo kết Telgarsky [21], không gian rời rạc X \  paracompact có số chiều khơng mạnh, cho phép ta chọn phủ rời X \  tập mở compact khác rỗng X \  Mỗi khơng gian A có nâng rời rạc ht  A  ht  X   s Phân tích A thành hợp hữu hạn rời tập  ht A mở, ta thêm giả thiết A tập điểm cho A Giả thiết quy nạp cho ánh xạ liên tục pA : VA  Fht A  A  Fs1  A cho 43 p A  A   A Lấy  A : X  0,1 kí hiệu cho hàm đặc trung tập A (có nghĩa A   A1 1 ) Cố định rút rA : X  A xét rút VrA : VX  VA đặt  A  pA VrA     Fs1  A Giả sử: Với phiếm hàm  VX    Xác định ánh xạ p X : VX  V X cho phiếm hàm  VX tương ứng phiếm hàm p X    V X , cho ánh xạ   C  X  tương ứng với số thực pX         sup    A . A  A      inf    A . A  A     A  A  Trong công thức A   , ta cho    A   A  A       có nghĩa sup    A . A  A      max    A . A  A      A  A  inf    A   A  A          A . A  A      A  A  Cách xác định phiếm hàm p X    cho thấy cộng tính yếu Tính nhân tính yếu phiếm hàm  A , A  cho thấy tính nhân tính yếu phiếm hàm p X    Tiếp theo, ta chứng minh phiếm hàm p X    bảo toàn thứ tự yếu Thật vậy, p X          sup    A . A  A      inf    A . A  A     A A       inf    A    A       A   A Tương tự ta chứng minh pX      max  Do p X     V  V  V  X  Ta cần kiểm tra rằng: p X     Lip2s 1 1  X  Cố định hai ánh xạ  ,  C  X  chọn (có thể rỗng) tập A , A , A , A     A   A  A       sup    A   A  A     A cho: 44     A  A  A      inf    A . A  A     A    A . A  A      sup    A   A  A    A    A   A  A       inf    A   A  A      A Từ tính cộng tính yếu  2s  1  Lipschitz phiếm hàm  A , A  , cho ta: pX      pX                  A             A               A             A               A             A      1                            A     A           A     A    1                 1      1     1    1        1           A   A  A         A  A  A      A A A A A A A  A   A A A A  A A  A  A A A A   A s A cách s A s 1 s Bằng  tương tự ta chứng minh pX      pX       2s1  1   Điều cho kết phiếm hàm p X     2s1  1  Lipschitz p X     Lip2s 1 1  X  Sử dụng tính liên tục ánh xạ p A , A , cho   , chuẩn  A       cách hữu hạn có nhiều A , ta ánh xạ p X : VX  V  X  liên tục 45 Cuối cùng, ta kiểm tra pX         X  x  độ đo Dirac điểm x  X Nếu x  *    A    A   pX            cho vài hàm   C  X  Giả thiết x  X \  Khi X , có tập A phủ rời rạc chứa x Điều cho ta rA  x   x  A  p A VrA     p A VrA  X  x    p A  A  x     A  x  Lấy hàm   C  X  ,   x     p X             A   A  A            1. A  x   A              x           x  Nếu   x     p X              A   A  A          1.  x          x  Vì p X     p X  X  x     X  x     3.2.8 Định lý Mỗi không gian X compact rời rạc paracompact kế thừa nâng rời rạc hữu hạn s  ht  X  co rút F –giá trị tuyệt hàm tử Fs1  V  V  V  Lip2s 2 1 Chứng minh Xét compact hóa điểm Y X  rạc đếm (tích X với không gian rời ) ý ht Y   ht  X    s  Y  s1 tập điểm Theo định lý 3.2.7 không gian Y co rút F – giá trị tuyệt hàm tử Fs1  V  V  V  Lip2s 2 1 khơng gian X đồng cấu từ rút Y Trong [16, 1.7] đề cập đến không gian compact sinh mở có phần tử đếm Điều dẫn đến không gian X compact không đếm có điểm khơng lập khơng sinh mở 46 Mặt khác, theo định lý 3.2.7 X co rút F – giá trị tuyệt hàm tử F  V  V  V  Lip3  3.2.9 Hệ Với X không gian compact không đếm có điểm khơng lập không sinh mở co rút F – giá trị tuyệt hàm tử F  V  V  V  Lip3 AR  F   OG Kết hợp định lý 3.2.4, 3.2.7 mệnh đề 3.1.3 ta có hệ sau đây: 3.2.10 Hệ Hàm tử V  V  V  Lip3 không nhận phép biến đổi tự nhiên vào hàm tử Lip k với k  1,2  Với lý do, định lý 3.1.4 3.2.3 cho hệ quả: 3.2.11 Hệ Hàm tử S  V  V  V không nhận phép biến đổi tự nhiên vào hàm tử chuẩn tắc F : Comp  Comp Điều thú vị cần ý hàm tử F  V  V  V có lớp cực đại AR  F  co rút F – giá trị tuyệt đối 3.2.12 Định lý Cho hàm tử F  V  V  V lớp AR  F  trùng với lớp tất không gian compact Hausdorff Chứng minh Chú ý V X  VX  với không gian compact X không    ,max   co rút tuyệt đối, kéo theo lớp C  X  gian AR V  chứa tất không gian compact Để chứng minh rằng: AR  F   AR V  đủ để xây dựng co rút rX : VX  FX Xét phiếm hàm       FX gán hàm   C  X  với số thực    max   Định nghĩa rút rX : VX  FX biến phiếm 47 hàm  V  X  thành phiếm hàm p X    biến hàm số khác   C  X  thành số thực                                                     Điều chứng minh rX     FX ánh xạ rX : VX  FX rút định nghĩa tốt từ VX vào FX 48 KẾT LUẬN Những kết đạt được: Luận văn trình bày: Các khái niêm không gian Dugundji, không gian Milutin, không gian co rút P – giá trị tuyệt đối mối liên hệ không gian qua định lý Haydon Các khái niệm không gian compact F – Dugundji, không gian compact F – Milutin định lý cung cấp cách chứng minh không gian compact không gian compact F – Dugundji F – Milutin Các khái niệm không gian co rút F – giá trị tuyệt đối F – Milutin tuyệt đối định lý liên hệ không gian Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối số hàm tử chức F Một số câu hỏi: Câu hỏi Hàm tử F  V  V  V có co rút (tự nhiên) hàm tử V hay không? Điều thấy rút rX : VX  FX xây dựng chứng minh định lý 3.2.12 không xác định phép biến đổi tự nhiên r : V  F Câu hỏi Có phải khơng gian X compact có điểm khơng lập co rút Lip - giá trị tuyệt đối hay không? Câu hỏi Mỗi khơng gian compact (rời rạc) có phải co rút Lip k giá trị tuyệt vài k hay khơng? Câu trả lời cho câu hỏi trước không gian Mrowka    tập vô hạn sinh họ Theo định nghĩa,  sinh hầu rời không đếm  n : n     không gian Stone đại số Boolean 49 Mặt khác,  phương A    compact hóa điểm không gian compact địa với điểm n bị lập với A   A  A \ F : F  , F tập hữu hạn  họ sở lân cận A Khơng gian Mrowka có nâng rời rạc ht     khơng paracompact kế thừa Nó tách lại chứa không gian rời rạc hầu rời rạc tối đại  khơng đếm Nếu họ   dãy không Frechet-Urysohn Câu hỏi Khơng gian Mrowka    có phải co rút Lip k – giá trị tuyệt vài số thực k  hay không? Ta nói hàm tử F : Comp  Comp bảo tồn số khơng gian X compact vô hạn, số không gian FX với số không gian X Chỉ số không gian tôpô lực lượng dương nhỏ sở Hiểu nghĩa là: w T    lực lượng :   với tập tất sở T Câu hỏi Mỗi không gian compact co rút F – giá trị tuyệt vài hàm tử bảo toàn số F  V hay khơng? Điều có cho hàm tử Lip3 hay khơng? Câu hỏi Sự compact hóa Stone-Cech  co rút Lip3 – giá trị tuyệt đối hay không? số nguyên dương có 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2006), “Tôpô đại cương”, Nxb Giáo dục Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006) “Đại số đồng đều”, Nxb Đại học Quốc gia Tp.HCM Nguyễn Bích Huy (7/2006) “Tài liệu học tập - Mơn giải tích sở”, khoa Tốn – Tin học, trường Đại học Sư phạm TP HCM Tiếng Anh Taras Banakh, Taras Radul (2015), “F – Dugundji spaces, F – Milutin spaces and absolute F – valued retracts” Topology and its Applications, 170, pp 34-50 R Alkins, V Valov, “Functional extenders and set-valued retractions”, J Math Anal 399 (1) (2013) 306-314 I Banakh, T Banakh, K Yamazaki, “Extenders for vetor-valued functions”, Math 191 (2009) 123-150 T Banakh, A Leiderman, “Uniform Eberlein compactifications of metrizable spaces”, Topol Appl 159 (7) (2012) 1691-1694 R Cauty, “Sur les rétractes absolus Pn-valués de dimension finie”, Fundam Math 158 (3) (1998) 241-248 J Dugundji, “An extension of Tietze’s theorem”, Pac J Math (1951) 353367 10 R Engelking, “General Topology”, Heldermann Verlag, Berlin, 1989 11 V Fedorchuk, “Probability measures in topology”, Usp Mat Nauk 46 (1991) 41-80 12 V.V Fedorchuk, V.V Filippov, “General Topology” Fundamental Constructions, Nauka, Moscow, 2006 13 R Haydon, “On a problem of Pelczynski: Milutin spaces, Dugundji spaces and AE(0-dim)”, Stud Math 52 (1974) 23-31 51 14 A.A Milyutin, “Continuous function spaces”, Doctoral dissertation, Moscow State University, 1952 15 A Pelczynski, “Linear extensions, linear averagings, and their applications to linear topological classification of spaces of continuous functions”, Diss Math 58 (1968) 1-89 16 T Radul, “On functional representations of Lawson monads”, Appl Categ Struct (2001) 69-76 17 T Radul, “Monads and tensor products”, Proc Indian Acad Sci (2014), submitted for publication 18 L.V Shirokov, “External characterization of Dugundji spaces and Kmetrizable bicompacta”, Dokl Akad Nauk SSSR 263 (5) (1982) 10731077 19 E Schepin, “Functors and uncountable powers of compacta”, Usp Mat Nauk 36 (1981) 3-62 20 A Teleiko, M Zarichnyi, “Categorical Topology of Compact Hausdorff Spaces”, VNTL Publishers, Lviv 1999 21 R Telgarsky, “Total paracompactness and paracompact dispersed spaces”, Bull Acad Pol Sci, Sér Sci Math Astron Phys 16 (1968) 567-572 22 V Valov, “Extenders and k-metrizable compacta”, Mat Zametki 89 (2011) 331-341 23 M Zarichnyi, “Spaces and mappings of idempotent measures”, Izv Ross Akad Nauk Ser Mat 74 (2010) 45-64 ... Chương CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ KHÔNG GIAN F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI 27 3.1 Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối 27 3.2 Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối. .. F – Dugundji F – Milutin tính chất liên quan Chương 3: Co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối: Chương luận văn nhằm giới thiệu co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F. .. khơng gian compact F – Dugundji không gian compact F – Milutin  Giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan co rút F – giá trị tuyệt đối không gian F – Milutin tuyệt đối  Nhận dạng co rút F –giá