Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a2,0 điểm 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A1; 2.. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chọn tron[r]
(1)Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A–B-D NĂM 2012 Môn thi : TOÁN I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = - x3 - 3x2 +mx +4 (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm các giá trị tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; ) Câu II (2,0 điểm) (sin x cos x) 2sin x cos x sin x sin x 2(1 cot x ) Giải phương trình : (4 x 1) x ( y 3) y 0 2 Giải hệ phương trình 4 x y x 7 (x, y R) x sin x ( x 1) cos x dx x sin x cos x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân : I= Câu IV (1,0Đ) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S BCNM và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a x y xy Câu V (1,0 điểm) Với số thực x, y thỏa điều kiện x4 y P xy Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: x y 0 và d2: x y 0 Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B và C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích và điểm A có hoành độ dương Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y – z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB = Câu VII.a (1,0 điểm) Tính môđun số phức z, biết: (2z – 1)(1 - 3i) + ( z -1)(1 + i) = – 3i B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình x + y = Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao qua đỉnh C tam giác đã cho x 2 y z 3 : Tính khoảng Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng cách từ A đến Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt hai điểm B và C cho BC = 14 Câu VII.b (1 điểm) (1 2i )3 z 1 i Cho số phức z thỏa mãn Tìm môđun số phức z 3iz - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 Họ và tên thí sinh : ……………………………………… Số báo danh : ………………………………… ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A- B-D NĂM 2012 Môn thi : TOÁN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 2x x (C) Câu I (2 điểm) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho y Lập phương trình tiếp tuyến d (C) cho d cắt Ox,Oy A , B cho AB OA Câu II (2,0đ) cos x+ cos3 x − cos x x + y + xy+1=4 y x+ y ¿ 2=2 x +7 y +2 ¿ Giải hệ phương trình (x R) ¿ ¿{ y¿ 1+ sin x 1+cos x (¿)e x dx Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = π Giải phương trình cos2x – tan2x = ¿ Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp A'.BB'C'C và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hlt theo a Câu V (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt x x x x 2m m PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y-4 = Gọi I là tâm (C), điểm M(-1;-3) Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt ( C) hai điểm phân biệt A,B cho tam giác IAB có diện tích lớnnhất Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y2 + z2–4x–4y– 4z=0 và điểm A (4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i (1 i ) z B Theo Chương trình Nâng Cao Câu VI.b (2,0 điểm) x2 y 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(2; ) và elip (E): Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF với (E); N là điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;2; 0);B(0; 4; 0);C(0; 0;3) 1) Viết phương trình đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC) 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, cho khoảng cách từ B đến (P) khoảng cách từ C đến (P) (3) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 log (3y 1) x x x Câu VII.b (1,0 điểm) Gỉai hệ phương trình : 3y (x, y R) - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn : TOÁN - Khối : A-B-D PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm)Cho hàm số y x 2mx m (1) , với m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình cos7x.cos5x 3sin2x=1- sin7xsin5x x x 11 x Giải phương trình a) x x x b) x x ( x 1)(4 x) 5 1+ √1+2 x ¿ ¿ ¿ x+ Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ¿ ¿ Câu IV (1,0 điểm) Hình Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N là trung điểm AD và SC; I là giao điểm BM và AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB x y z Câu V (1,0 điểm) Cho các số x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 CMR: 6 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-y-5z+1=0 và hai đường thẳng x +1 y − z −2 x −2 y +2 z = = = = d1 : d2 : 1 −2 Hãy viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2 Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) z z3 z2 z 0 trên tập số phức (4) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và là đường thẳng qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z = và (Q): x y + z = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) x x y 0 ( x, y ) log ( x 2) log y Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : ……………………………………… Số báo danh : ………………………………… ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn : Toán - Khối A-B-D I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) x x (C) Câu I ( điểm ) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Lập phương trình tiếp tuyến d (C) biết d cắt hai tiệm cận (C) A,B cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn Câu II ( điểm ) y Giải phương trình 4cos(2 x ) t anx cot x x y x 4( y 1) 2 x y xy 7 Giải hệ phương trình x 5x x 3dx Câu III ( điểm ) Tính tích phân Câu IV ( điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và AB = 4a, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm I đoạn thẳng OA Biết khoảng cách từ I đến SI mặt phẳng (SAB) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 2 Câu V (1 điểm) Cho x > 0, y > thỏa mãn x y xy x y 3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1 xy ) P x2 y xy II/PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm ) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) Phần A Theo chương trình chuẩn Câu VIa ( điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho đường tròn (C) : (x + 6) + (y – 6)2 = 50 Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ hai điểm A, B khác gốc O Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) M cho M là trung điểm đoạn thẳng AB (5) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 Trong không gian tọa độ (Oxyz) cho A(5;3;-4) , B(1;3;4) Hãy tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) cho tam giác CAB cân C và có diện tích Câu VIIa ( điểm) Gọi z1 và z2 là nghiệm phức phương trình: z z 11 0 Az Tính giá trị biểu thức: Phần B.Theo chương trình nâng cao Câu VIb ( điểm) z2 11 1; Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) tam giác ABC có trọng tâm G , đường thẳng trung trực cạnh BC có phương trình x 3y +8 = và đường thẳng AB có phương trình 4x + y – = Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC 2 2 Trong không gian tọa độ (Oxyz) cho mặt cầu (S) : x y z x y z 0 , mặt phẳng (Q) : 2x + y – 6z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) qua A(1;1;2) ,vuông góc với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu VIIb ( điểm) Cho hàm số y = cho AB 10 xm m x (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị A , B ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn : Toán - Khối A-B-D I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x ,(1) x Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) I là giao điểm hai tiệm cận (C ) , đường thẳng ( d ) có phương trình: x y 0 , ( d ) cắt (C ) hai điểm A, B với A có hoành độ dương Viết phương trình các tiếp tuyến (C ) vuông góc với IA y Câu II (2,0 điểm) (1 cos x)sin x 2(sin x sin x)(1 sin x) sin x Giải phương trình: 2 Giải pt- bất phương trình: a) x x x x 2 x b) Câu III (1,0 điểm) Tìm Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C cạnh huyền 3a a 14 SB SG ABC , G là trọng tâm tam giác ABC , Tính thể tích hình chóp S ABC và khoảng SAC B cách từ đến mặt phẳng x x x 12 15 20 x x x 3 , x R Câu V (1,0 điểm) CMR: II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI a (2,0 điểm) (6) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M ( 1; 2) , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I (2; 1) Đường cao tam giác kẻ từ A có phương trình: x y 0 Tìm tọa độ đỉnh C Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; 1), B( 1;1; 2), C (2; 1; 2) , D là đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD , G là trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm G ' đối xứng với G qua đường thẳng BD log9 ( x 1) log (4 x) log (4 x ) Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: B Theo chương trình Nâng cao Câu VI b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B ( 12;1) , đường phân giác góc A có phương 1 2 G ; trình: x y 0 Trọng tâm tam giác ABC là 3 Viết phương trình đường thẳng BC Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; 1), B( 1;1; 2), C (2; 1; 2) , D là đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD Tìm tọa độ điểm M thuộc trục cao cho thể tích khối chóp M BCD 4log 24 x 1 log x 12 Câu VII.b (1,0 điểm) Giải bất phương trình: -Hết ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn : Toán - Khối A-B-D I/ PHẦN CHUNG Câu 1(2đ): Cho hàm số y x 3x 3m(m 2) x (1) , m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm các giá trị m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu Câu (2đ): Giải phương trình: sin( x Giải bất phương trình: 2011 2011 ) sin x.sin( x ) 0 x2 x x I Câu (1đ): Tính tích phân: x 0 4x dx x2 Câu (1đ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SB = SC, góc mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC theo a Câu 5(1đ): Cho x, y là hai số thực x y x x y x y y 2 Chứng minh rằng: Dấu xảy nào? II/ PHẦN RIÊNG 1) Theo chương trình chuẩn: Câu 6a (2đ) (7) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân A, phương trình (AB): x y 0 , (BC): 3x y 0 Hãy lập phương trình đường thẳng chứa đường cao BH tam giác ABC Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x y z 0 và hai đường thẳng ( d1 ) : x 1 y z x y z , (d2): Lập phương trình đường thẳng song song với (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 hai điểm M, N cho MN 54 Câu 7a (1đ): Tìm số phức z có mô đun lớn và thỏa mãn điều kiện 2) Theo chương trình nâng cao: Câu 6b (2đ): z (1 i ) 2i 13 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân A, phương trình (AB): x y 0 , (BC): 3x y 0 Hãy lập phương trình đường thẳng chứa đường cao BH tam giác ABC Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x y z 0 , (Q): x y z 0 Lập phương trình đường thẳng d nằm (Q), song song với (P) và cách mặt phẳng (P) khoảng x x y 1 0 ln y 1 x( y 1) y 0 Câu 7b (1đ): Giải hệ phương trình : I PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất các thí sinh) Câu (2đ) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ ¿ |xy −18|=12 − x Câu (2đ) Giải hệ phương trình: xy=9+ y ¿{ ¿ Giải phương trình: 9x + ( x - 12).3x + 11 - x = Câu (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và khoảng cách cạnh bên và cạnh đáy đối diện m Câu (1đ) Tính tích phân: I = [ √ x(2− x)+ln ( 4+ x )]dx ❑ Câu (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c ¿ a(a+c )=b2 1 = + Thoả mãn hệ điều kiện: b(b+a)=c2 CMR: sin A sin B sinC ¿{ ¿ II PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh làm hai phần) Theo chương trình chuẩn: Câu 6a (2đ) (8) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + = và đường tròn (C): x + y2 + 2x - 6y + =0 Tìm điểm M (C) và N (d) cho MN có độ dài nhỏ Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - = x +2 y z−4 = = (P2): 2x + y - 2z - = và đường thẳng (d): −1 −2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2) Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x2 - x3)4 = a0 + a1x + a2x2 + + a12x12 Tính hệ số a7 Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = và điểm , M Tìm trên (C) điểm N cho MN có độ dài lớn 5 Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + = và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - = Tìm điểm M (S), N (P) cho MN có độ dài nhỏ Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: √3 1+ x − √ 1+2 x x f (x)= 0, và f (0)=0 ; điểm x0 = x ( ) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:……………………………… ; Số báo danh:…………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2011 Môn: Toán_ Khối D 2x f ( x) x Khảo sát hàm số Câu I.1 (1,0 đ) Tập xác định Sự biến thiên D R \ 1 lim y 2 y 2 x là tiệm cận ngang lim y 0,25 x lim y x y' x y' y 0,25 x 1 là tiệm cận đứng 4 x 1 0, x 1 Bảng biến thiên: + || 0,25 0,25 (9) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 ;1 , 1; Câu I.2 (1,0 đ) Hàm số nghịch biến trên Đồ thị Tìm các tiếp tuyến vuông góc với IA? I 1, , d:y x 5 Phương trình cho hoành độ giao điểm (C) và d: 2x x x x 3 A 3;4 x 3,( loai ) 3 k 1 4 Hệ số góc IA là Tiếp tuyến có hệ số góc k ' x 3 4 x ( x 1)2 y x y x 0,25 0,25 0,25 0,25 Có tiếp tuyến : Câu II.1 (1,0 đ) (1 cos x)sin x 2(sin x sin x)(1 sin x) sin x Giải phương trình: ,(1) sin x Đk: 0,25 (1) 2cos x.sin x 4sin x.cos x.cos x cos x 0 2cos x.sin x(2cos x 1) 0 sin x 0 1 cos x x k k x x 2 k 2 x k x k 2 2 x k 2 Đ/c điều kiện: (1) có nghiệm: Câu II.2 (1,0 đ) Giải bất phương trình: 0,25 0,25 kZ 0,25 x x x 3x 2 x ,(2) 0,25 (10) Gviên : Ngụy Như Thái Đk: x x 0 x 3x 0 Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 x 0; x 2 x 3; x 0 x x 0 (2) đúng; TH1: TH2: x 2 x x 0 x 2 0,25 x x 0 là nghiệm x x 2 x x x x 4 x 0,25 x x 2 x 0,( : x 2) x x 4 x x x Câu III (1,0 đ) 25 0,25 x x 0 25 x KL: nghiệm (2) là F ( x) x ln x dx ( x 2) F ( x) x ln xdx xdx ( x 2)2 dx du u ln x x dv xdx v x 0,25 0,25 x2 2 x2 F ( x) ln x xdx dx 2 ( x 2) x2 x2 ln x dx x ( x 2) 0,25 0,25 x2 x2 ln x ln x C x2 Câu IV (1,0 đ) 3a a IG 2 Gọi I là trung điểm AB , 10a BIG BG BI IG Tam giác vuông S A CI B I G K C M SG SB BG 14a 10a a 4 0,25 0,25 (11) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 11 3a 3a VSABC S ABC SG 3a .a 32 GK AC , K AC ,( GK / / BC ) SK BC Kẻ GC a a2 a 3a SK SG GK a ; AC 2 2 2 3a 3a S SAC a 2 3V h SABC a S SAC h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC GK Câu V (1,0 đ) 0,25 0,25 2 0;2 Cho x, y, z thuộc và x y z 3 Tìm giá trị lớn A x y z Giả sử: x y z x y z 3 z z 1 z 1;2 0,25 Lại có: x y ( x y )2 ,(*) 2 0,25 A z z 2 z z Xét f ( z ) 2 z z 9, z 1;2 f '( z ) 4 z 6, f '( z ) 0 z 3 f (1) 5; f (2) 5; f 2 0,25 0,25 Kết hợp (*) ta có Vậy max A 5 x 0; y 1; z 2 Câu AVI.1 (1,0 đ) AB qua M nhận MI (3, 3) làm vtpt nên có pt: x y 0 x y 0 5 A ; x y 0 3 Tọa độ A là nghiệm hệ : 2 7 B ; M ( 1; 2) là trung điểm AB nên 3 n BC nhận (2;1) làm vtcp nên có pt: 0,25 2 x 2t 2 C 2t; t y 7 t 0,25 2 10 10 IB IC IB IC 2t t 3 3 t 0,loai (do C B ) t 4 14 47 C ; Vậy 15 15 2 0,25 0,25 (12) Câu AVI.2 (1,0 đ) Câu AVII (1,0 đ) Gviên : Ngụy Như Thái AD BC D 4;0; Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 5 G ;0; Gọi H x; y; z là hình chiếu G lên BD 3 x 5t BH t BD y t z 7t 11 GH 5t ;1 t ; 7t ; BD 5; 1; 3 8 11 GH BD 5t t 7t 0 3 26 t H ; ; 15 15 15 14 G ' ; ; 15 log ( x 1) log (4 x) log (4 x) ,(*) Giải phương trình: x x 1 Đk: log x log 16 x x 16 x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (*) x x x 15 0 4x1 x x 17 0 (*) có nghiệm Câu B.VI.1 (1,0 đ) x 61 x 69 x 0,25 0,25 61 69 x 2 và x 5 2t d : H 2t ; t y t Gọi H là hình chiếu B trên BH 17 2t ; t 1 ud 2;1 17 2t t 0 t 7 H 9;7 0,25 Gọi M là điểm đối xứng B qua d BM 2 BH M 6;13 AC A d A 2a; a C 2a;1 a Câu B.VI.2 (1,0 đ) 0,25 MA / / MC a C 4;3 Vậy BC : x y 20 0 0,25 0,25 D 4;0; 0,25 (13) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 M Oz M 0;0; a VBCDM BC , BD BM BC (3; 2; 4), BD (5; 1; 7) BC , BD 10;1;7 BM 1; 1, a 0,25 0,25 29 a VBCDM 4 a 4 a 19 29 19 M 0;0; M 0;0; Vậy Câu B.VII (1,0 đ) Giải bất phương trình: Đk: x 1 4log x 1 log x 0,25 ,(*) log 22 x 1 (*) log x 0,25 0,25 2log 22 x log x 0 2log x 0,25 log x 0, Do : 2log 22 x log x 0,25 x 1 Đối chiếu điều kiện: (*) có nghiệm x ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Sở GD- ĐT Nam Định ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2010 – 2011 Trường THPT Trần Hưng Đạo Môn : Toán – Khối A Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian giao đề I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu I Ý Nội dung Điểm 2,00 1,00 Với m = hàm số là: y x x +) TXĐ: D= R +) Giới hạn, đạo hàm: 0,25 lim y ; lim y x x x 0 y ' 4 x3 x; y ' 0 x 1 +) BBT: x - -1 y' - y + 0,25 + 0 - + + + (14) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 0 +) Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0), (1; + ) nghịch biến trên các khoảng (- ;- 1), (0; 1) +) Hàm đạt cực đại x = 0, yCĐ = 1, cực tiểu x = 1, yCT = 0,25 +)Đồ thị 10 y 0,25 -15 -10 -5 10 O -2 15 x -4 -6 -8 -10 1,00 Cm 0,25 +A nên A(1 ; 1- m) + y ' 4 x 4mx y '(1) 4 4m Phương trình tiếp tuyến (Cm) A có phương trình y – ( m ) = y’(1).(x – 1) Hay (4 – 4m).x – y – 3(1 – m) = d ( B; ) Khi đó 1 16(1 m) 0,25 0,25 1 , Dấu ‘=’ xảy và m = Do đó d ( B; ) lớn và m = 0,25 Vậy : m = II 4cos(2 x Giải phương trình Điều kiện: sin x 0 (1) 2( 3cos2 x sin x) ) t anx cot x (1) 2,00 1,00 0,25 sin x 0,25 (15) Gviên : Ngụy Như Thái C1 cot x cot x 0 Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 C2 1 sin x cos x 2 0,25 x k cot x 0 (t / m ) sin x 6 x k cot x 12 x y x 4( y 1) 2 x y xy 7 Giải hệ phương trình Điều kiện: x+2y Đặt t = x 4 k (t / m ) x k 12 1,00 0,25 x y (t 0) t 2 t / m t k t/m Phương trình (1) trở thành : 2t2 – t – = x y 3 2 x y xy 7 + Hệ x 1 y 1 x 2 y 1 III 0,25 0,25 (t / m) 0,25 1,00 x3 x dx x2 Tính tích phân I = x 2sin t t ; 2 => dx = 2costdt Đặt 0,25 x t , x 2 t + Đổi cận: 8sin I t 10sin t cos t cos t 0,25 dt 0,25 cos t 2sin t.2 cos t dt 3 0,25 2 3cos t cos3 t cos t cos td (cos t ) cos t = =4 0,25 3 4 12 = = IV 1,00 (16) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 S C O A K D song BC với H thuộc AB Do BC AB Trong mp(ABCD) từ điểm I kẻ IH song => IH AB Mà SI ( ABCD ) => SI AB I mặt phẳng (SHI) kẻ IK SH K Hay AB (SHI) Từ I 0,25 B SI = (1) IH AI BC a Ta có BC AC => IH = 1 2 IH IK (2) (Do tam giác SIH vuông I đường cao IK) Mà IS 1 SI IH a SI IH Từ (1) và (2) => SI H IK d I ;( SAB ) 1 16a SI S ABCD SI AB 3 (đvtt) Lại có thể tích khối chóp S.ABCD là V = V 0,25 0,25 0,25 1,00 2 x y xy x y 3xy xy ( x y ) x y 3xy (1) x >0 ; y > nên x + y > 1 x y 3 x y 3( x y ) 0 x y xy (1) x y 1 ( x y ) 4 0 x y 4 Ta có 1 1 xy x y Mà P = (x + y)2 + - xy Lại có (1) 1 x y xy 0,25 0,25 (17) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 Nên P = (x + y)2 +1 + x y P t f (t ) t Đặt x + y = t ( t 4) 2t t>4 4; t Ta có f '(t ) = 2t - t mà f (t ) liên tục trên nửa khoảng 71 P f ( t ) f (4) 4; Nên f (t ) đồng biến trên nửa khoảng => 71 Hay giá trị nhỏ P x= y = VIa 0,25 0,25 2,00 1,00 Giả sử A(a;0) ; B(0;b) ( a , b khác 0) => đường thẳng d A , B có phương trình : x y 1 hay bx+ ay - ab = a b 0,25 d là tiếp tuyến (C) M M thuộc (C) và d vuông góc với IM 0,25 u Đường tròn (C) có tâm I(-6 ; 6) , d có VTCP là ( a; b) b a b a ; IM 6; 2 M là trung điểm AB nêm M 2 , Do đó ta có hệ phương trình a b a b 2 b a 12 b a 2 a b 50 2 a a b b 0 2 50 6 50 0,25 b 22 b 14 a 22 a 2 v b 2 b a a 14 Vậy d có phương trình : x -y +2 = ; x - y +22 = ; x + 7y +14 = ; 7x + y – 14= 0,25 1,00 C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên C( a ; b ;0) 0,25 .Tam giác ABC cân C AC BC (a 5)2 (b 3)2 16 (a 1) (b 3) 16 a 3 (1) Ta có AB = , trung điểm BC là I (3;3;0) 0,25 0,25 (18) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 2 S ABC CI AB 8 CI 4 a b 4 => a 3 a 3 b 7 b Từ (1) ; (2) ta có (2) 0,25 Vậy có hai điểm C(3 ; ;0) , B(3;-1;0) VIIa Giải phương trình 3.x Điều kiện : x > Đặt t = log x 0,25 log x x 3t t t t 1 Phương trình trở thành : Xét hàm số Hàm 1,00 2 +( log x 1) x f u 3u u f u 3u u 32t 3t 1 t 32 t 2t (1) 0,25 u có f '(u ) 3 ln u đồng biến trên R 0,25 f (t 1) f 2t t 2t t 1 PT (1) Với t = ta có x = 0,25 VIb 2,00 1,00 Ta có A , B thuộc đường thẳng AB nên A(a ; – 4a) , B( b ; – 4b ) 11 ) Do G(1 ; là trọng tâm tam giác ABC nên C( - a - b + 3; 4a + 4b – 7) u d : x - 3y +8 = có VTCP là (3;1) ; 0,25 3 a ;2a 1 Gọi I là trung điểm BC ta có I 0;25 I d BC.u 0 d là trung trực cạnh BC 3 a 3(2a 1) 0 3 2b a (4a 8b 16) 0 0,25 a 1 b 3 Vậy A(1;5) , B(3;-3) và C (-1 ;9) 0,25 Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2) có phương trình : a(x-1)+ b(y -1)+c(z -2) = ( a2 + b2 + c2 0) Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;2) bán kính R = Mặt phẳng (Q) có VTPT n(2;1; 6) 1,00 0,25 0,25 (19) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 2a b 6c 0 3b 2 2 a b c Ta có (P) vuông góc với (Q) và tiếp xúc (S) nên a 2c 2a 6c b b 2c 2a 6c b 2a 6c b b 2c b 5c 2 2 9b 4a 4b 4c b 3bc 10c 0 b 5c a 11 c (I) 0,25 Chọn c = thì a = b = (loại) Nên c 0 Từ (I) Pt (P) : 2c(x-1)+ 2c(y -1)+c(z -2) = x y z 0 11 c Hoặc (x-1) -5c(y -1)+c(z -2) = 11x 10 y z 0 VIIb 0,25 1,00 R / 2 TXĐ : D = y' , x 2 m x 2 0,25 Hàm số có hai cực trị y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác m 0,25 Gọi A(x1;y1) ; B(x2 ; y2) là hai điểm cực trị đồ thị hàm số x 2 m y1 2 m m y ' 0 x2 2 m y2 2 m m Ta có 4m 16 m 10 m 5 t / m 0,25 0,25 AB = 10 Mọi cách làm khác mà đúng cho điểm tương đương Nam Định, ngày tháng năm 2011 ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN (Khối A-B-D) Thời gian làm bài: 150 phút @ - I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) (20) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 2x y x Câu I: (2.0 điểm) Cho hàm số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A và B Gọi I là giaođiểm các đường tiệm cận Viết pttt ( C) M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ CâuII(2,0 điểm) −cos x cos x − =4 sin x − sin x −1 Giải phương trình: sin x cos x xy 2 x y x y 1 x y x y 2.Giải hệ phương trình sau: A dx x 1 x 2 CâuIII (1,0 điểm) Tính tích phân: Câu IV(1,0 điểm)Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc là 450 Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H cho 1 AP AH là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ M, gọi K là trung điểm AA’, VABCKMN V N Tính tỉ số thể tích A ' B ' C ' KMN x y z Câu V(1,0điểm) Cho số thực x;y;z thoả mãn: 1 4x 4y 4z 2x y 2z x yz y z x 2z 2x y Chứng minh rằng: II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A, B) A Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a(2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 2 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình ( x 2) ( y 1) 25 theo dây cung có độ dài 2)Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(-1;-1;0),B(1;-1;2),C(-1;1;1) và mặt phẳng (P) có MA MB 3MC phương trình:x+y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) cho nhỏ Câu VII.a (1,0điểm)Cho tập A= { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác chọn A cho số đó chia hết cho 15 B.Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(–1; –1; 0), B(1; –1; 2), C(2; –2; 1), D(–1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng () qua D và cắt ba trục tọa độ các điểm M, N, P khác gốc O cho D là trực tâm tam giác MNP Câu VII.a (1,0điểm) Giải phương trình: 4x + 6x = 25x +2 -Hết -ĐÁP ÁN+THANG ĐIỂM CHẤM TOÁN KHẢO SÁT 12 LÀN III KHỐI A, B (21) Gviên : Ngụy Như Thái Câu I Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 Hướng dẫn&Đáp án 1)Học sinh khảo sát đầy đủ các bước và vẽ đúng chính xác đồ thị 2x 1 , x 2 y' (x ) M x ; x0 x0 2) ) Ta có: , :y Phương trình tiếp tuyến với ( C) M : 1 2x (x x ) x0 x0 2 2x ; B 2x 2;2 A 2; x Toạ độ giao điểm A, B () và hai tiệm cận là: y A y B 2x xA xB x0 y M x0 xM x0 2 Ta có: , M là trung điểm AB Điểm 1đ 0,25đ 0,25đ Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp IAB có diện tích: x0 IM ( x0 2) ( x0 2) 2 x ( x 2) 0 S= (x 2) Dấu “=” xảy II sin x 0 x x 1 (x ) x 3 M(1; 1) và M(3; 3) 0,25đ 0,25đ k ,k Z 1) Đk: cos x.cos x 4sin x sin x sin x cos x cos x 2sin x 2sin x 4sin x sin x 1 2sin x.cos x cos x cos x.sin x 2sin x 8sin x.cos x 2sin x.cos x 2sin x.cos x 0 2sin x 8sin x.cos x 4sin x.cos x 2sin x.cos x cos x 0 sin x 4sin x.cos x 2sin x cos x 2sin x 0 2sin x 4(1 cos x) cos x cos x 1 0 2sin x 0 2sin x cos x cos x cos x 1 0 cos x 1 cos x cos x 0 x k 2 x 5 k 2 sin x 5 2 cos 1 KL : x k 2 ; x k 2 ; x k 2 6 x k loai cos 2 x k 2 0,5 đ 0,5đ (22) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 xy 2 x y x y 1(1) x y x y (2) 2) Giải hệ phương trình sau: ĐK:x+y>0 xy (1) ( x y ) xy 1 ( x y )3 xy ( x y ) xy ( x y ) 0 x y ( x y ) ( x y ) 1 xy x y 1 0 x y 1 x y x y 1 xy 0 x y 0(*) 2 x y x y 0(**) Ta có Xét (*)kết hợp với (2) ta có hệ: x y 0 x 1 x x y x y Giải hệ nghiệm: y 0 y 3 Xét (**) vô nghiệm đk x+y>0.Kl III 0,5đ 0,5đ I x x x x dx Tính tích phân: 0 (2 x 1) dx I 1 ( x x 1)dx I1 (2 x 1) dx + Tính: Đặt: x 2sin t , t ; dx cos tdt , x t 0,x 0 t 2 Khi đó: I1 2 cos tdt (1 cos 2t )dt dt cos 2tdt t 06 sin 2t 06 0 0 0,5đ I ( x x 1) dx + Tính: Đặt: t x x t 1, dx tdt , x t 0, x 0 t 1 0,25đ t5 t3 t2 I t dt 10 15 10 Khi đó: I I1 I 15 KL: Vậy IV 0,25đ A' C' Q B' (23) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 Gọi Q, I, J là trung điểm B’C’, BB’, CC’ Ta có: AP= a √3 ⇒ AH=a √3 Vì Δ' AHA ' vuông cân H Vậy a √3 a √ (đvdt) = A ' H=a √ Ta có S ABC= a 2 a 3a VABCA ' B 'C ' A ' H SABC a 4 (đvtt) (1) Vì Δ ' AHA ' vuông cân ⇒ HK ⊥ AA ' ⇒ HK ⊥ ( BB ' C ' C ) (Vì KH PQ; KH BC ) G ọi E = MN KH BM = PE = CN (2) mà AA’ = √ A ' H 2+ AH2 = √ a2 +3 a2=a √6 a a ⇒ AK= √ ⇒BM=PE=CN= √ V S MNJI KE 1 a KE KH AA ' 4 Ta có thể tích K.MNJI là: 3a 82 3a a a2 a2 a a3 (dvdt ) VKMNJI (dvtt ) 4 4 a 1 a3 y z S MNJI MN MI a V VABCKMN VA ' B 'C ' KMN x Đặt a; b; c Từ giả thiết ta có ab+bc+ca=abc,và bất đẳng thưca cần chứng minh có dạng a3 b3 c3 abc a2 b2 c2 abc 2 a bc b ca c ab 4 (*).Ta có (*) a abc b abc c abc a3 b3 c3 a b c (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) Mặt khác theo bất đẳng 0,25đ 0,5đ 0,25đ (24) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 a3 ab ac a 8 (1).Tương tự có thức Cô Si cho số dương ta có (a b)(a c) b3 b c ba b (b c )(b a) 8 (2) c3 ca cb 1đ c (c a)(c b) 8 (3).Cộng vế với vế (1),(2) ,(3) ta suy điều phải chứng minh VI.a n 1)G/s véc tơ pháp tuyến d là (a; b) ,vì d qua điểm A(1;2) nên d có phương trình 0,25 đ d: a(x – 1)+ b(y –2) = hay d: ax + by – a – 2b = ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) (C) đến d 0,5 đ d I,d 2a b a 2b a b 3 a 3b 3 a b a 0 8a 6ab 0 a b 0,25 đ a = 0: chọn b = d: y – = b : chọn a = 3, b = – d: 3x – y + = a= …………………………………………………………………………………………………… 2)Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(-1;-1;0),B(1;-1;2),C(-1;1;1) và mặt MA MB 3MC phẳng (P) có phương trình:x+y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) cho nhỏ 0,25 đ IA IB 3IC 0 (*) kết I(3;-7;-1) +)Tìm điểm Ithuộc (P) cho 0,25 đ MA MB 3MC MI IA MI IB 3MI 3IC MI IM +)Biến đổi (Do có (*)) MA MB 3MC 0,5 đ +)Lập luận nhỏ và IM ngắn nhất,do M thuộc (P) nên IM ngắn M là hình chiếu I trên (P).Tìm hình chiếu I trên (P)là I(6;-3;2) VII.a Nhận xét: Số chia hết cho 15 thì chia hết và chia hết + Các số có số có tổng chia hết cho là: (0; 1; 2; 3; 6), (0; 1; 2; 4; 5), (0; 1; 3; 5; 6), (0; 2; 3; 4; 6), (0; 3; 4; 5; 6),(1; 2; 3; 4; 5), (1; 2; 4; 5; 6) + Mỗi số chia hết cho và số tận cùng là Trong các số trên có số có đúng hai số 4.P4 = 96 số chia hết cho Trong các số trên có số có và Nếu tận cùng là thì có P4= 24 cách lập số chia hết cho Nếu tận cùng là vì số hàng chục nghìn không thể là số 0, nên có 3.P 3=18 số chia hết cho Trong trường hợp này có: 3(P4+3P3) = 126 số Vậy số các số theo yêu cầu bài toán là: 96 + 126 = 222 số VI.b 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 2 1) (C1): ( x 1) ( y 1) 4 có tâm I1 (1; 1) , bán kính R1 = 2 (C2): ( x 4) ( y 1) 1 có tâm I (4; 1) , bán kính R2 = Ta có: I1 I 3 R1 R2 (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài A(3; 1) (C1) và (C2) có tiếp tuyến, đó có tiếp tuyến chung A là x = // Oy * Xét tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : y ax b () : ax y b 0 ta có: 0,25 đ 0,25 đ (25) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 a b 2 2 a a d ( I1 ; ) R1 a b 4 hay d ( I ; ) R 4a b 1 b b a b2 4 (1 ) : x 3, (2 ) : y 47 2 4 x , (3 ) y x 4 4 Vậy, có tiếp tuyến chung: 2) Theo giả thiết ta có M(m; 0; 0) Ox , N(0; n; 0) Oy , P(0; 0; p) Oz Ta có : DP 1; 1; p 1 ; NM m; n;0 DN 1; n 1; ; PM m ;0; p DP.NM m n DN PM m p x y z 1 1 1 1 m n p m n p Phương trình mặt phẳng (): Vì D () nên: m n 0 m p 0 DP NM DP.NM 0 1 DN PM DN PM D là trực tâm MNP m n p 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ m n p 3 0,5 đ x y z 1 Kết luận, phương trình mặt phẳng (): 3 VII.b Phương trình f(x) = 4x + 6x - 25x +2 =0 Ta có f’(x) =4x.ln4 + 6x.ln6 -25f”(x) =4x.(ln4)2 +6x.(ln6)2 >0 xR f’(x) đồng biến /R Mặt khác f’(x) liên tục và f’(0) =ln4 +ln6 -25<0, f’(2) =16.ln4+36.ln6 -50 >0 f’(x) = có nghiệm x0 (0;2) Vậy f(x) =0 có tối đa hai nghiệm, ta có bảng biến thiên: x - f’(x) - f(x) - x0 + 0,5 đ + + f(x0) Ta có f(0) =0 và f(2) =0 Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x=0; x=2 0,5 đ (26) Gviên : Ngụy Như Thái SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẦO TẠO Trường THPT Lạng Giang số Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 đề thi khảo sát học sinh khá giỏi lần năm 2011 Môn thi : TOÁN – Khối D Thêi gian lµm bµi:180 phót A PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ®iÓm) x −1 Câu I (2 điểm) Cho hµm sè y= có đồ thị là (C) x −1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) mµ tiÕp tuyÕn nµy c¾t Ox, Oy lÇn lît t¹i c¸c ®iÓmA, B cho OA = 4OB Câu II (2 điểm): Gi¶i ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng trinh 1) x y x xy 0 sin3 x sin x+ cos3 x cos x= y 1 2) e x 1 I ln x.dx x 1 Câu III (1 điểm) Tính tích phân Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng a cách AA’ và BC là Câu V (1 điểm) Cho các số dương a, b, c : ab bc ca 3 Chứng minh rằng: 1 1 2 a (b c) b (c a) c ( a b) abc B PHẦN DÀNH RIấNG (3 điểm) Thí sinh đợc làm phần I hoăc phần II I Theo ch¬ng tr×nh chuÈn Câu VIa (2 điểm) Trong mp(Oxy) cho điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) : 3x y 0 cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích 2 2 Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v =( 1; ; ) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x y z 11 0 và tiếp xúc với (S) Cõu VIIa(1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác ( chữ số đầu tiên phải khác 0) đó phải có chữ số II Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao Câu VIb (2 điểm) x2 y 1 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương cho tam giác ABC có diện tích lớn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) Câu VIIb (1 điểm) Giải bất phương trình: x (3 log x −2)>9 log x −2 …… HẾT Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu gì (E) : (27) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KHỐI D C©u I Néi dung ý A PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh x −1 Cho hµm sè y= x −1 * TX§: D = R * Sù biÕn thiªn −1 y '= <0, ∀ x ∈ D + ChiÒu biÕn thiªn: ( x − )2 Hµm sè nghÞch biÕn trªn ( − ∞; ) vµ ( 1; +∞ ) + Cùc trÞ: Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ + C¸c giíi h¹n hµm sè vµ tiÖm cËn lim y=2 suy y = lµ tiÖm cËn ngang cña(C) x → ±∞ lim y =± ∞ suy x = là tiệm cânị đứng (C) x →1 §iÓm ®iÓm 0.25 ± + B¶ng biÕn thiªn: x - ∞ ∞ y’ 1® _ + 0.5 _ + ∞ y - ∞ *§å thÞ: Đồ thị nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng Giao víi Oy: ( ; 0) vµ Ox (0 ; 1) Vẽ chính xác, đúng dạng đồ thị 0.25 M ( x ; y ) c¾t Ox, Oy lÇn lît t¹i A, B tho¶ OB = ⇒ hÖ sè gãc cña d ΔOAB vu«ng t¹i O nªn tan A= OA + Gi¶ sö tiÕp tuyÕn d cña (C) t¹i ®iÓm m·n OA = 4OB Do 1® 1 hoÆc 4 + HÖ sè gãc cña tÕp tuyÕn t¹i M lµ 1 y ' ( x 0) =− <0⇒ y ' ( x ) =− =− ⇔ 2 ( x0 − 1) ( x0 − 1) x 0=− 1; y = ¿ x 0=3; y = ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ b»ng 0.5 0.25 0.25 (28) Gviên : Ngụy Như Thái Khi đó có tiếp tuyến là: II 1® Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 x+ y −5=0 ¿ x+ y −13=0 ¿ ¿ ¿ ¿ x 1 y §k: + ( ) ⇔ x − y − ( y+ √ xy )=0 ⇔ ( √ x + √ y ) ( √ x −2 √ y )=0 ⇔ √ x − √ y=0 ¿ √ x+ √ y=0 ( v« nghiÖm ) ¿ ⇔ √ x=2 √ y ⇔ x=4 y ¿ ¿ ¿ + Víi x = 4y Thay vµo (2) cã y y 1 y y ®iÓm 0.25 0.25 0.25 y 2 y 2 y y 2 y 1 y (tm) x 2 y (tm) x 10 V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2; ) vµ (x;y) = (10; ) 2 sin x.sin 3x cos3 x.cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x 2 2 cos x cos x.cos x cos3 x cos x x k x k y 0 y 2 0.25 0.25 0.25 0.25 ®iÓm III e 1® 0.25 x2 1 I ln x.dx x + = e ( e e 1 x ln x+ ln x dx= x ln xdx+ ln xdx x 1 x ) 0.25 (29) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 e +1 I = x ln xdx= e + Tính đúng 0.25 e 1 ln xdx= x 2 e +1 e + I =I + I 2= + = 4 + Tính đúng + Vậy 0.25 I = 0.25 ®iÓm IV +Gọi M là trung điểm BC, ta thấy: ¿ AM ⊥ BC A ' O⊥ BC ⇒ BC ⊥( A ' AM) } ¿ Kẻ MH ⊥ AA ', (do góc A nhọn nên H thuộc đoạn AA’.) BC ⊥( A ' AM) HM ∈(A ' AM) + Do Vậy HM là đọan vông góc chung } ⇒HM ⊥ BC √3 AA’và BC, đó d ( A A',BC)=HM=a 0.25 0.25 C’ A’ B’ 1đ H C A O M B A ' O HM = + Xét tam giác đồng dạng AA’O và AMH, ta có: AO AH AO HM a √ a √ a ⇔ suy A ' O= = = AH 3a 1 a a √3 a3 √ Thể tích khối lăng trụ: V = A ' O S ABC= A ' O AM BC= a= 23 12 V 1® 0.25 ®iÓm 0.25 +Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: ab bc ca 3 (abc) abc 1 1 a (b c) abc a (b c) a (ab bc ca ) 3a (1) a (b c) 3a Suy ra: 0.25 1 1 (2), (3) c (a b ) 3c + Tương tự ta có: b (c a ) 3b + Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 ab bc ca ( ) 2 a (b c) b (c a) c (a b) c b c 3abc abc 0.25 (30) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 0.25 + Dấu “=” xảy và abc 1, ab bc ca 3 a b c 1, (a, b, c 0) B PhÇn dµnh riªng ®iÓm I Theo ch¬ng tr×nh chuÈn VIa ®iªm + Viết phương trình đường AB: x y 0 và AB 5 0.25 Viết phương trình đường CD: x y 17 0 và CD 17 + Điểm M thuộc có toạ độ dạng: M (t ;3t 5) Ta tính được: 0.25 13t 19 11t 37 d ( M , AB ) ; d ( M , CD ) 17 + Từ đó: S MAB S MCD d ( M , AB) AB d ( M , CD).CD 0.5 7 t t M ( 9; 32), M ( ; 2) Có điểm cần tìm là: + Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4 0.25 Véc tơ pháp tuyến ( ) là: n= ( 1; 4 ; ) n P=[ n , v ] =( ; −1 ; ) + Vì ( P) ( ) và song song với giá v nên nhận véc tơ làm vectơ pháp tuyến Do đó phương trình (P):2x – y + 2z + m = m 21 d ( I ( P)) 4 m 3 + Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ( P)) 4 + Vậy có hai mặt phẳng : 2x – y + 2z + = và 2x – y + 2z – 21 = 0.25 0.25 0.25 ®iÎm VIIa Gäi sè cã ch÷ sè lµ abcdef ( a ≠ ) NÕu a = th× cã c¸ch chän b, c¸ch chän c, c¸ch chän d, c¸ch chän e, c¸ch chän 0.25 f ë ®©y cã 7.6.5.4.3 = 2520sè NÕu b = th× cã c¸ch chän a, c¸ch chän c, c¸ch chän d, c¸ch chän e, c¸ch chän f ë ®©y cã 6.6.5.4.3 = 2160sè 0.5 Tư¬ng tù víi c, d, e, f 0.25 VËy tÊt c¶ cã 2520+5.2160 = 13320 sèGäi sè cã ch÷ sè lµ abcdef B Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao VIb 1® + Ta có PT đường thẳng AB: 2x + 3y = x2 y 1 Gọi C(x;y) với x > 0, y > Khi đó ta có và diện tích tam giác ABC là 85 85 x y S ABC AB.d (C AB ) x y 3 13 2 13 + 85 x y 170 3 3 13 13 0.25 0.25 0.25 (31) Gviên : Ngụy Như Thái Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 2 x y 1 x 3 x y y C( ; 2) + Dấu xảy Vậy AB (2; 2; 2), AC (0; 2; 2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực + Ta có: cạnh AB, AC là: x y z 0, y z 0 0.25 + Vecto pháp tuyến mp(ABC) là: n = [ AB , AC ]=( ; − ; ) Suy phương trình mặt phẳng (ABC): x y z 1 0 0.25 x y z 0 y z 0 2 x y z 0 + Giải hệ: 0.25 + Bán kính là VIIb 0.25 x 0 y 2 z 1 Suy tâm đường tròn là I (0; 2;1) R IA ( 0) (0 2) (1 1)2 Điều kiện: x> Bất phương trình ⇔ 3( x −3) log x >2(x − 1) Nhận thấy x = không là nghiệm bất phương trình x−1 log x> TH1 Nếu x> BPT ⇔ x−3 Xét hàm số: f (x)= log x đồng biến trên khoảng ( ;+ ∞ ) x −1 g(x)= nghịch biến trên khoảng ( ;+∞ ) x −3 * f ( ) =g ( ) =3 ¿ f ( x)> f ( 4)=3 *Với x> :Ta có g( x)< g (4)=3 Bpt có nghiệm x> } ¿ ¿ f ( x)< f ( 4)=3 * Với x< :Ta có g( x)> g (4)=3 Bpt vô nghiệm } ¿ x−1 log x< TH :Nếu 0< x <3 BPT ⇔ 2 x−3 f ( x)= log x đồng biến trên khoảng ( ;+ ∞ ) x −1 g(x)= nghịch biến trên khoảng ( ; ) x −3 * f ( )=g ( ) =1 ¿ f (x)> f (1)=0 * Với x> :Ta có g(x)< g (1)=0 Bpt vô nghiệm } ¿ 0.25 0.25 0.25 0.25 (32) Gviên : Ngụy Như Thái * Với x< :Ta có x >4 ¿ 0< x <1 Vậy Bpt có nghiệm ¿ ¿ ¿ ¿ Trường THPT An Phước ĐT: 0982908329 ¿ f (x)< f (1)=0 g(x)> g (1)=0 Bpt có nghiệm 0< x <1 } ¿ Chú ý:Các cách giải khác cho kết đúng đươc điểm tối đa 0.25 (33)