Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa; - Điểm bài làm của học sinh qui tròn đến 0,5.. PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ CHÍNH THỨC Bài a) Rút gọn biểu thức: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 23 / 11 / 2012 10 A 2 20 a b a b b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: Bài a) Giải các phương trình sau: 2012 2012 x 2x x 4x 2012 20132 2013 2 1 x x 2x x 6x 6y b) Tìm x, y thỏa mãn: y 2xy Bài Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức: M 2x x Bài Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD H ( H O ) Biết AH = a; CD = 2b a) Chứng minh các tam giác HAD và HCB đồng dạng với b) Tính R theo a và b c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài Cho x, y, z (0,1] x y z Chứng minh : y xz z xy x yz x y z ==HẾT== Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Lưu ý: Học sinh không dùng máy tính (2) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP Bài Nội dung Điểm a) 2,0đ (1 3)3 10 A 2 0,5 (1 3) 1 2 0,5 2 42 (1 3) 2 2 b) ĐK: a b (*) 1,0 1,5đ 0,25 20 a b a b Bài 3,5đ 2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5) 9a 45b a 5( 20a 100b 5b) (*) A B 0 thi Z B Ta thấy (*) có dạng A B vô lí B = => A= 2 9a 45b a 0 20a 100b 5b 0 Do đó (*) 9a 45b a 0 9a 45b a 0 9 2 9a 45b b 0 a b a 9 a 0 a b hoac b 4 b 0 b 4b 0 (Loại vì không thỏa mãn ĐK (*)) a = 9; b = Bài 6,0đ a) 0,25 0,25 0,25 0,5 5,0đ 2 * Biến đổi vế phải ta có 2013 (2012 1) 2012 2.2012 20122 20132 2.2012 20122 2012 20122 2012 2 2012 2013 2.2012 20132 2013 20132 2013 2012 2012 2012 2012 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 Phương trình trở thành: Xét trường hợp: x x 2013 (*) 0,75 0,5 (3) - Trường hợp 1: Nếu x thì (*) x 2013 x 1005 (thỏa mãn) - Trường hợp 2: Nếu x thi (*) x 1 2013 (Phương trình vô nghiệm) 0,25 - Trường hợp 3: Nếu x 2 thi (*) x 2013 x 1008 (thỏa mãn) Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm: x1 1005 và x2 1008 0,25 * ĐK x 2,5 (*) 0,25 0,25 Phương trình đã cho trương đương với: x x x x ( x) (1 x)( x) 6 x (1 x)( x) x ĐK: x - (**) (1 –x)(- – 2x) = (x +5)2 x2 – 7x – 30 = x1 = - (thoả mãn ĐK (*) và (**)) x2 = 10 (không thoả mãn ĐK (*) và (**)) Vậy phương trình có nghiệm x = - b) 2 x 6x 6y x 6x 6y x 2xy y 6(x y) 0 (x y 3) 0 Cộng vế theo vế ta 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 1,0đ 0,25 x 3 x 6x 6(x 3) y x y x 0,5 Vậy (x; y) = (3 2;3 2), ( 2;3 2) 0,25 Điều kiện: x (*) * Tìm giá trị lớn nhất: Trước hết ta chứng minh: với số (a1; a2); (b1; b2) ta có: a a 1 b1 b (a b +a b )2 ≤(a 2+a 2)(b 2+b 2)(**) Đẳng thức xẩy 0,25 1 2 Áp dụng (**) ta có 0,25 M x x (22 12 )( x x ) 25 x 0 x x2 x 4(5 x ) Đẳng thức xẩy Bài 3,0đ 0,5 x 0 x 2 x 2 hoac x (TMĐK(*)) 0,5 0,5 Vậy với x = thì GTLN M = * Tìm giá trị nhỏ 0,5 Từ điều kiện (*) tá có x (1) 0,25 x 0 (2) Từ (1) và (2) ta có M 2 x x 0,25 2 x x x Đẳng thức xẩy 0,25 Mặt khác Bài 6,5đ Vậy x thì M đạt GTNN là Vẽ hình 0,25đ a) 2,0đ Ta có OA OB OC nên ACB vuông C nên BCH ACH 900 (1) 0,25 0,25 1,0 (4) Vì AB CD nên CAH ACH 90 (2) Từ (1) và (2) suy CAH BCH Mặt khác AB CD HC=HD hay ACB là tam giác cân A =>AH là phân giác góc A => CAH DAH BCH DAH => Các tam giác HAD và HCB đồng dạng với 1,0 b) (2,0đ) 2 2 Áp dụng định lí Pitago ta có AC AH HC a b Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao tam giác vuông ABC ta có AC a b AB a b AC2 AB.AH AB R AH a 2a c) 2,25đ Gọi K, L là hình chiếu vuông góc O trên MN và PQ Đặt OK = x; OL = y; Đặt OH = d 2 2 Ta có x y OH d không đổi Đặt T MN PQ 2 Xét T MN PQ 2MN.PQ 0,5 1,5 0,25 0,25 2 2 2 2 T MN PQ 2MN.PQ 4(R x ) 4(R y ) (R x )(R y ) 8R 4(x y ) R R (x y ) x y 0,5 8R 4.d (R R d ) x y 2 * T đạt GTLN T2 đạt GTLN x y đạt GTLN xy đạt GTLN x y2 d xy 2 Áp dụng BĐT Cosy ta có x y Dấu “=” xẩy <=> OL = OK => HO là tia phân giác góc tạo hai dây cung 2 * T đạt GTNN T2 đạt GTNN x y đạt GTNN xy đạt GTNN Mặt khác x, y 0 nên xy 0 , dấu “=” xẩy x = y = => dây cung trở thành đường kính Vì x, y (0,1] nên (1 x)(1 y ) 0 xy x y Bài 1,0đ z xy x y z y y (1) z xy x y z x x Tương tự ta có y xz x y z 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (2) ; z z x xy x y z (3) Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta x y z xyz y xz z xy x yz x y z x y z Dấu “=” xẩy x = y = z =1 Tổng 0,25 0,25 20,0 (5) Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và gọn cho điểm tối đa; - Điểm bài làm học sinh qui tròn đến 0,5 PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ (6)