Download Đề với đáp án thi HSG lớp 12 môn toán hay

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT (Thời gian làm bài 180’- Không kể thời gian phát đề).. MÔN THI: TOÁN[r]

ONTHIONLINE.NET

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT (Thời gian làm 180’- Không kể thời gian phát đề)

MƠN THI: TỐN

Bài ( điểm)

Cho hàm số f(x) =

Chứng minh ∫

−π4 π

4

√1+x2sin xdx = f’(0) Bài ( điểm)

Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh miền quay quanh trục oy

Bài ( điểm)

Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2  có nghiệm x(1;2). Bài ( điểm)

Giải biện luận phương trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1) √4x2−3x −1

theo tham số m Bài ( điểm)

Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = - 12 Bài ( điểm)

Chứng minh tam giác ABC có: cosA+cosB+cosC+

sinA+

1 sinB+

1 sinC=

3

2+2√3

Bài ( điểm)

Tìm giới hạn: lim x→0

3x2−1 sin22x

Bài ( điểm)

Giải biện luận theo m bất phương trình:

x2−(m+1)x+m≥(x −m)log1

3

(x+3) Bài ( điểm)

Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): x2

9 − y

2

=1 đường trịn (C): x2+y2=9 Viết phương trình tiếp tuyến (H) kẻ qua điểm M(3;1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến chung (H) (C) Bài 10 ( điểm)

Cho elip (E): x2

4+y

2

=1 hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0 (d1) cắt elip (E) A C, (d2) cắt elip (E) B D

Tìm giá trị lớn nhỏ diện tích tứ giác ABCD

ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

x2sin

x2

x0

MƠN THI : TỐN

Bài điểm

f’(0)= lim

Δx →0

Δx2sin

Δx2

Δx =Δx →lim0Δxsin

1

Δx2

vì -∆x∆x sin

Δx2 ∆x Δx →lim0 (-∆x)= Δx →lim0 (∆x)=0

 lim

Δx →0Δxsin

1

Δx2=0  f’(0)=0 (1)

Mặt khác: ∫

−π

4

π

4

√1+x2sin xdx=¿ ∫

−π

4

√1+x2sin xdx+¿

∫

π

4

√1+x2sin xdx Đặt x=-t dx=-dt , với x=-/4 t=/4, với x=0 t=0

 ∫

−π

4

π

4

√1+x2sin xdx=¿ - ∫

π

4

√1+t2sin(−t)dt +

∫

π

4

√1+x2sin xdx=¿ = −∫

0

π

4

√1+t2sin tdt+¿ ∫

0

π

4

√1+x2sin xdx=¿ −∫

0

π

4

√1+x2sin xdx+¿

∫

π

4

√1+x2sin xdx=0 (2)

Từ (1) (2) suy diều phải chứng minh

0,25 0,25 0,50 0,25 0,25

0,25 0,25

Bài 2 điểm

Vẽ đồ thị hàm số y=x2-6x+5

Cung AB có phương trình x = √y+4−3 Cung BC có phương trình x = √y+4+3



√y+4−3¿2dy ¿

Voy=π∫

−4

(√y+4+3)2dy− π∫

−4

¿

y+4¿

3

¿12π∫

−4

√y+4 dy=8π¿ −4

0 = 64



0,5

0,5 0,5 0,5

Bài điểm

Gián tiếp loại bỏ f(x) = mx2 + mx + m -2 <0, x(1;2)  m(x2+x+1)<2  m<

x2+x+1 x(1;2)

0,5 0,5 -4

5

C B A O

y

Xét g(x) =

x2+x+1 x(1;2), g’(x) =

x2+x+1¿2 ¿ ¿

−2(2x+1) ¿

hàm số nghịch biến khoảng (1 ;2)

 m  Min g(x)

[1;2]

=2

7

Vậy m > 72 bất phương trình có nghiệm x(1;2)

0,5

0,5

Bài điểm

Điều kiện 4x2-3x-10  Phương trình  4x −x+11 - (m+1) √4x+1

x −1 +2(m-1) =

Đặt t = √4x+1

x −1 điều kiện

Phương trình trở thành Giải ta

Nghiệm t2 thỏa mãn 

Theo cách đặt ta tính x = m2−2m+2

m2−2m−3

Kết luận: PT vơ nghiệm

1m3 PT có nghiệm x = m

2−2m

+2

m2−2m−3

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

Bài điểm

Nhận thấy sin x2 =0  x=k2 (kZ) nghiệm PT

PT  2cosxsin x2 +2cos2xsin x2 +2cos3xsin x2 +2cos4xsin x2 =-sin x2

 sin 92x =0  92x =t  x= 29tπ (tZ)

KL: x= 29tπ (tZ)

0,25 0,50

0,50

Bài điểm

Ta có cosA+cosB+cosC+ sin1A +

sinB+

1 sinC=¿

=

1+4 sin A

2 sin

B

2sin

C

2+ √3

4 ( sinA+

1 sinB+

1

sinC )+(1−

√3 )(

1 sinA+

1 sinB+

1

sinC ) 

x1

x −14

t0

t2

t2-(m-1)+2(m-1)=0 0t2

t1=2 t2=m-1

m1

m3

 1+ 44√4 sin A 2sin B sin C

√(√3

4 ) sinA sinB

sinC+(1−√

3 )(

1 sinA +

1 sinB+

1 sinC)

 1+44

√ 3√3

16 cosA 2cos

B

2 cos

C

2

+(1−√3

4 )( cos A + cosB + cosC )

 1+4 12+(1−√43)33

√cosA

2 cos B cos C ≥3

2+2√3

Dấu ‘=’ xảy

 A=B=C ∆ABC

1,0

0,5

0,5

Bài điểm

Ta có : lim x→0

3x2

−1 sin22x=lim

x →0( ex2

ln 3−1 x2ln 3

x2ln3

sin2x cos2x)

¿1

4ln

1,5 0,5

Bài điểm

Điều kiện x>-3

Bất PT  (x-m)x-1+log3(x+3)

Đặt f(x)= x-1+log3(x+3) f(x) đồng biến (-3;+)

f(0)=0, nên x0  f(x)  f(0)=0 hay f(x) dấu với x

Do BPT 

Từ suy

Nếu m0 nghiệm BPT là:

Nếu -3<m<0 nghiệm BPT là:

Nếu m=-3 nghiệm x0

Nếu m<-3 nghiệm x0

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Bài điểm

1 Phương trình đường thẳng qua M có dạng : a(x-3)+b(y-1)=0 (a2+b20).

 ax+by-3a-b=0 đường thẳng tiếp xúc với (H) 

0,25

4 sin A sin

B

2 sin

C

2= √

4 sinA= √

3

4 sinB= √

3 sinC

1 sinA +

1 sinB+

1 sinC=

1 cos A + cos B + cosC cos A 2cos B 2cos C 2= 3√3

8

(x-m)x0

x>-3

-3<x0

xm

-3<xm

x0

  b=0 chọn a=1,b=0 PT tiếp tuyến : x-3=0

2 Xét tiếp tuyến phương với oy có PT : x-a=0

Để đường thẳng tiếp xúc với (H) (C)  a=3

Có hai tiếp tuyến chung thỏa mãn tốn x-3=0 x+3=0

Xét tiếp tuyến không phương với oy có PT y=kx+b  kx-y+b=0

Để đường thẳng tiếp xúc với (H) (C)  hệ sau có nghiệm:

9k2-1=b2

b=3 √k2+1  Hệ vô nghiệm b0

KL: có tiếp tuyến chung là: x-3=0 x+3=0

0,25 0,5 0,25 0,25 0,25

0,25

Bài 10 điểm

Tọa độ giao điểm (d1) (E) nghiệm hệ : x

2

4 +y

2

=1

x=ky



x=ky

y=± √4+k2

 AC2 = 16(k

2

+1)

4+k2

Tọa độ giao điểm (d2) (E) nghiệm hệ : x

2

4 +y

2

=1

y=−kx



y=−kx

x=± √1+4k2

 BD2 = 16(k

2

+1)

1+4k2

Vì (d1)  (d2) nên AC  BD  4S2 = AC2.BD2 =

1+k2¿2 ¿

162¿ ¿ Đặt x=k20, xét f(x)=

1+x¿2 ¿

162¿ ¿

, f’(x)=

x+4¿2

1+4x¿2¿ ¿ (x+1)(9x −9)

¿ f’(0)=0  x=1

Chú ý rằng: lim x →+∞

f (x)=1

4

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên  Max f(x)

¿

=1

4 x=0  k=0

Min f (x)

¿

=

25 x=1  k=1

Vậy Max SABCD=4 k=0, Min SABCD= 165 k=1

0,50

0,50

0,25

0,25

0,50

25

4 14

4

1 +

0

-+

1

f(x) f’(x)

x

2b(b+3a)=0

9=a2

a=3

a0