Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD; đường cao DK của tam giác ACD a Chứng minh: AB BCD b Chứng minh 2 mặt phẳng ABE và DFK cùng vuông góc với ADC c Gọi O và H lần lượt là trực tâ[r]
(1)H TMT QUAN HỆ VUÔNG GÓC - - A Các vấn đề chính: Véc tơ, các phép toán véc tơ không gian và ứng dụng Tích vô hướng: Các đẳng thức vecto thường sử dụng: Chứng minh vuông góc: đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc a) Chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b TH 1) Nếu a và b không đồng phẳng Cách 1: Dùng định nghĩa : - Bước : Xác định góc hai đường thẳng a và b - Bước : Tính góc hai đường thẳng là vuông Kết luận : a và b vuông góc Cách 2: Sử dụng tích vô hướng Chứng minh a b : - Chọn u ; v là hai véc tơ phương a và b - Chứng minh : u.v 0 Cách 3: Sử dụng khái niệm đường vuông góc mặt a ( P) a b b ( P ) Chứng minh a b : Cách 4: Sử dụng mối quan hệ song song và vuông góc a //( P) a b b ( P ) Cách 4.1) Chứng minh a b: a // c a b b c Cách 4.20- Quan hệ song song và vuông góc: TH2) Nếu a và b đồng phẳng: Chúng ta sử dụng tất kiến thức hình học phẳng liên quan tới vuông góc (Xem kiến thức hình phẳng phần trên) b) Phương pháp chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) a b ( P ) a c ( P ) a ( P ) b c A Cách 1- Chứng minh a ( P ) : a // b a ( P) b ( P ) a ( P ) Cách 2- Chứng minh : a (Q ) a ( P) ( Q ) //( P ) a ( P ) Cách 3- Chứng minh : ( P ) (Q) d a ( P) a (Q ) a d Cách 4- Chứng minh a ( P ) : (2) ( P ) (Q) a ( P) ( P ) ( R ) (Q ) ( R ) a Cách 5- Chứng minh a ( P ) : c) Phương pháp chứng minh : ( P) (Q) Cách 1- Chứng minh góc (P) và (Q) 90 : - Xác định góc (P) và (Q) là - Tính góc 90 : Vậy ( P) (Q) a ( P) ( P) (Q ) a ( Q ) ( P ) ( Q ) Cách 2- Chứng minh : Các bài toán tính góc: Góc đường thẳng, góc đường thẳng và mặt phẳng, góc mặt phẳng *) Góc đường thẳng a và đường thẳng b Cách : - Lấy A trên a - Dựng qua A đường thẳng b’ // b - Góc a và b là góc b’ và a Cách : - Lấy B trên b - Dựng qua B đường thẳng a’ // a - Góc a và b là góc a’ và b Cách tính : - Sử dụng Hệ thức lượng tam giác: Định lý hàm số Cosin, định lý Pitago - Sử dụng tích vô hướng hai véc tơ *- Góc đường thẳng a và mp(P): a-Cách xác định : Cách : - Xác định a’ là h.c.v.g a lên (P) - Góc a và a’ là góc a và (P) Cách : - Xác định d vuông góc (P) - Xác định góc d và a - Góc a và (P) là góc phụ với góc d và a b- Cách tính - Sử dụng Hệ thức lượng tam giác: Định lý hàm số Cosin, định lý Pitago - Sử dụng tích vô hướng hai véc tơ *- Góc hai mặt phẳng : (P) và (Q) a- Cách xác định : Cách : a ( P) - Chọn hai đường thẳng a và b thoả mãn : b (Q ) - Góc (P) và (Q) là góc a và b ( P ) (Q) d a ( P ) ; a d b (Q) ; b d Cách : thì góc (P) và (Q) là góc a và b (3) Cách : ( R ) d ( P ) (Q) ( R ) (Q) a ( R ) ( P ) b thì góc giữ (P) và (Q) là góc giữ a và b Các bài toán tính khoảng cách: Từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng chéo Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiết diện d a b (4) B Bài tập: Bài tập mẫu: Bài 1: (Tổng hợp) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) Gọi M và N là hình chiếu điểm A trên các đường thẳng SB và SD SC AMN a/ Chứng minh MN / / BD và b/ Gọi K là giao điểm SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc Tính góc đường thẳng SC và mp(ABCD) SA a , AB = a Giải S N K M D A O B C 1.a/ * CMR: MN BD +) Ta có: SAB SAD AM AN (2 đường cao tương ứng) BM ND (do MAB NAD ) SB SD MN / / BD BM DN SBD +) Xét có SC mp AMN * CMR: Cách 1: BC AB gt BC SA SA ABCD BC SAB BC MA +) Vì MA BC MA SB gt MA SC +) Có (1đường thẳng với cạnh tam giác thì với cạnh còn lại) CM tương tự ta có: NA SC SC mp AMN Vậy Cách 2: BC SAB +) Vì SB là hình chiếu SC trên (SAB) MA SB MA SC 1 Lại có: CD SAD +) SD là hình chiếu SC trên (SAD) AN SD AN SC Lại có SC mp AMN Vậy từ (1) và (2) ta có: Cách 3: +) MN / / BD Mà BD AC với AC là hình chiếu SC trên (ABCD) (5) MN SC +) AM SC SC ( AMN ) b/ CMR: AK MN BD AC BD SAC BD SA Có Mặt khác: BD // MN MN ( SAC ) MN AK Tính góc đường thẳng SC và mp(ABCD) SA a , AB = a +) Vì AC là hình chiếu SC trên (ABCD) góc (ABCD) và SC là góc SC và AC +) Vì ASC có AS = AC = a goc SCA 450 góc cần tìm là 450 +) SBC vuông B có SB a 3, BC a BC a CSB 300 SB a 3 Bài 4: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng SA mp ABC Cho hình chóp S.ABC có , các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K là trực tâm các tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng: a/ AH, SK, BC đồng quy SC mp BHK b/ HK mp SBC c/ Giải tanCSB S K A C H A' B SA ABC a/ Gọi AA là đường cao tam giác ABC, nên SA BC (định lý ba đường vuông góc) Vì H là trực tâm tam giác ABC, K là trực tâm tam giác SBC nên H thuộc AA , K thuộc SA Vậy AH, SK, BC đồng quy A b/ Do H là trực tâm tam giác ABC nên BH AC , mà BH SA nên BH SC Mặt khác K là trực tâm tam giác SBC nên BK SC Vậy SC BHK BC SAA c/ Từ câu b ta suy HK SC Mặt khác HK BC HK mp SBC Vậy Bài 13: Hai mặt phẳng vuông góc Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm không gian cho SAB là tam giác và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD) mp SAB mp SAD mp SAB mp SBC a/ Chứng minh và b/ Tính góc hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) (6) c/ Gọi h và I là trung điểm AB và BC Chứng minh Giải mp SHC mp SDI S I B C H A D a/ Gọi H là trung điểm AB thì SH AB SAB ABCD nên SH ABCD SH AD Do Mặt khác AD AB AD SAB Vậy SAD SAB Từ đó SBC SAB Tương tự trên ta có SAD SBC St , dễ thấy St // AD, từ đó mp ASB St b/ Giả sử SAD và SBC 600 Do ASB 60 nên góc hai mặt phẳng c/ Vì ABCD là hình vuông; H, I là trung điểm AB và BC nên HC DI , mặt khác DI SH DI SHC SDI SHC Vậy , từ đó Bài 16: chứng minh tam giác vuông 2a AC Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a, (P) giao điểm O hai đường chéo hình thoi, ta lấy điểm S cho SB = a Chứng minh rằng: a/ Tam giác ASC vuông b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với Giải S A1 D A O C B 2a 4a a2 BD OB nên 3 a/ Ta có 2a a SO SB OB SO 3 Xét tam giác vuông SOB, ta có Vậy tam giác SAC có trung tuyến SO nửa AC nên SAC là tam giác vuông cân S AC BD 4a , AC (7) SA mp A1BD b/ Trong mặt phẳng (SOA) kẻ OA1 vuông góc với SA thì Từ đó BA1 D 180 BA1 D là góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) OA1 Ta có OA.OS OA.OS a a 2 2 SA 3 OA OS 2a , từ đó BA1 D 90 hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc Mặt khác Bài 20 ( Đề CĐ Khối A- 2007) (Khoảng cách) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và Sa = 2a Tính khoảnh cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a Lêi gi¶i BD S H C A M B Gợi M là trung điểm BC ta có BC AM (ABC đều) BC SA( gt ) BC mp ( SAM ) (1) KÎ AH SM t¹i H, AH BC theo (1) AH SBC VËy d ( A, ( SBC )) AH Có AM là đờng cao ABC cạnh a (a 3) 3a AM 2 Có AH là đờng cao vuông SAM ta có 1 6a AH 2 AH AM SA 9a 4a (đơn vị dài)Bài 21 ( Đề CĐ khớ luyện kim - 2007)(Đề số 38 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác cạnh a, AD vuông góc BC, AD = a và khoảng cách từ D đến BC a Gọi H, I là trung điểm BC và AH Chứng minh BC vuông góc mặt phẳng (ADH) và tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AD, BC Lêi gi¶i (8) D K C A H I B +)Theo giả thiết ABC Vµ HB HC BC AH MÆt kh¸c: BC AD ( gt ) BC ( ADH ) +)Trong mÆt ph¼ng (ADH) dùng KH AD V× BC ( ADH ) BC HK KH là đờng vuông góc chung AD và BC Theo gt ta cã: DH a DHA c©n t¹i D DI AH DI AH S ADH DI AH HK AD HK AD Mµ a AD a; AH ; DI DA2 AI a 2 a 3 a 13 a 39 VËy LUYỆN TẬP Loại 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đường thẳng: HK Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông B a) Chứng minh BC (SAB) b) Gọi AH là đường cao SAB Chứng minh: AH (SBC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J là trung điểm AB, BC Biết SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng: a) SO (ABCD) b) IJ (SBD) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD) Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc điểm A lên SB, SC, SD a) Chứng minh rằng: CD (SAD), BD (SAC) b) Chứng minh: SC (AHK) và điểm I thuộc (AHK) c) Chứng minh: HK (SAC), từ đó suy HK AI Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là tam giác đều, gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh: BC (AID) b) Vẽ đường cao AH tam giác AID Chứng minh: AH (BCD) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H là điểm thuộc mp(ABC) cho OH (ABC) Chứng minh rằng: a) BC (OAH) (9) b) H là trực tâm ABC 1 1 = + 2+ c) 2 OH OA OB OC Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và SC = a Gọi H, K là trung điểm các cạnh AB, AD a) Chứng minh: SH (ABCD) b) Chứng minh: AC SK và CK SD Gọi I là điểm bất kì nằm đường tròn (O; R) CD là dây cung đường tròn (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E là điểm đối tâm D trên (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông S b) SD CE c) Tam giác SCD vuông Loại 2: Chứng minh mặt phẳng vuông góc: Cho tứ diện ABCD có mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các đường cao BE, DF tam giác BCD; đường cao DK tam giác ACD a) Chứng minh: AB (BCD) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC) c) Gọi O và H là trực tâm tam giác BCD và ACD CM: OH (ADC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600, SA (ABCD) và SA = a Chứng minh: a) (SAC) (ABCD) và (SAC) (SBD) b) (SBC) (SDC) 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO (ABCD); (SAC) (SBD) b) Một mặt phẳng ( ) qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Chứng minh AC’ B’D’ và tam giác AB’C’ và AD’C’ đối xứng với qua mặt phẳng (SAC) 11 Cho tam giác ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng với A qua I Dựng đoạn a SD = vuông góc với (ABC) Chứng minh: a) Mặt phẳng (SAB) (SAC) b) Mặt phẳng (SBC) (SAD) 2a 12 Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD = Trên đường thẳng vuông góc với (P) giao điểm đường chéo hình thoi lấy điểm S cho SB = a a) Chứng minh tam giác ASC vuông b) Chứng minh: (SAB) (SAD) 13 Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) (ABC) (BCD) b) (ABC) (ACD) 14 Cho ABC vuông A Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với (ABC) a) (ABB’) (ACC’) b) Gọi AH, AK là các đường cao các tam giác ABC và AB’C’ Chứng minh hai mặt phẳng (BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với (AHK) Loại 3: Góc đường thẳng: (10) 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D, AD = DC = a, AB = 2a SA vuông 2a góc với AB và AD, SA = Tính góc đường thẳng: a) SB và DC (300) b) SD và BC (cos = 42 14 ) 16 Cho tứ diện ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD Tính góc AB và CI (cos = ) 17.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Tính góc giữa: AB’ và BC’; AC’ và CD’ (600 và 900) b) Gọi M, N, P là trung điểm AB, BC, C’D’ Hãy tính góc giữa: MN và C’D’; BD và AD’; MN và ; A’P và DN (600, 450, 900) Loại 4: Góc đường thẳng và mặt phẳng: 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a vuông góc với đáy Tính góc của: a) SC với (ABCD) (600) 7 tan b) SC với (SAB) 14 sin 14 c) SB với (SAC) 19 Cho hình vuông ABCD và tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc Gọi I là trung điểm AB 15 tan a) Chứng minh SI (ABCD) và tính góc hợp SC với (ABCD) b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD) Suy góc SC với (SAD) c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) (ABCD) a 6 ;sin 2 tan 3 Tính góc hợp SI với (SDC) 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy Gọi M, N là trung điểm SA và BC Biết góc MN và (ABCD) là 600 a 10 a 30 ; SO MN 2 a) Tính MN, SO b) Tính góc MN với mặt phẳng(SBD) sin 5 Loại 5: Góc mặt phẳng và mặt phẳng: 21 Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi vuông góc và SA = SB = SC Gọi I, J là trung điểm AB, BC Tính góc mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (600) 22 Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a a) Tính góc cạnh bên và mặt đáy (300) (11) tan 3 b) Tính góc tạo mặt bên và mặt đáy 23 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất các cạnh đáy a Biết góc tạo cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm B’C’ a) Tính khoảng cách mặt đáy (3a/2) b) Tính góc đường thẳng: BC và AC’ (tan = 3) tan 2 c) Tính góc mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy 24 Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = a vuông góc với (ABCD) Tính góc: a) (SAB) và (ABC) (900) b) (SBD) và (ABD) tan c) (SAB) và (SCD) (300) 25 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD) Tính SA theo a để góc (SBC) và (SCD) 600 (SA = a) a a 26 Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB = , vẽ SO (ABCD) và SO = a) Chứng minh: góc ASC = 900 b) Chứng minh: (SAB) (SAD) 27 Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, DBC vuông cân D Biết AB = 2a, AD = a Tính góc (ABC) và (DBC) (300) Loại 6: Các bài toán khoảng cách: 28 Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác cạnh a, AB (BCD) và AB = a Tính k/c: a a) Từ D đến (ABC) ( ) a 21 b) Từ B đến (ACD) ( ) 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB = b Tính khoảng cách: a) Từ S đến (ABCD) ( 4b2 a2 ) b) Từ trung điểm I CD đến (SHC), H là trung điểm AB c) Từ AD đến (SBC) a ( ) ( a 4b2 a2 2b ) 30 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a SC = SA = SB = AD = a Gọi I, J là trung điểm AD và BC a) Chứng minh (SIJ) (SBC) a 42 b) Tính khoảng cách đường thẳng AD và SB ( ) 31 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ (ABC) và AA’ = a, đáy là tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a (12) a a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt phẳng(BCC’B’) ( ) a 21 b) Tính khoảng cách từ A đến (A’BC) ( ) c) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng(ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’ đến a (ABC’) ( ) 32 Cho hình vuông ABCD cạnh a Dựng SA = a và SA (ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a a a) SB à AD b) AB và SC ( ; ) 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Tính khoảng cách đường thẳng: a a a) SC va BD b) AC và SD ( ; ) (13)