Chú ý: + Tính chất trên vẫn ñúng cho mọi ñường cong bậc 3 + Các ñường thẳng nối các cặp ñiểm trên luôn qua ñiểm cố ñịnh ðiểm uốn Loại 2: Phương trình tiếp tuyến với ñường cong ñi qua mộ[r]
(1)CHUYÊN ðỀ: HÀM ðA THỨC CHỦ ðỀ 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI HÀM ðA THỨC A Lý thuyết: Phương trình ñường thẳng ñi qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc a có dạng: y − y0 = a ( x − x0 ) Hai ñường thẳng d , d ' có hệ số góc là a, a ' , thì: d / / d ' ⇒ a = a '; d ⊥ d ' ⇔ a.a ' = −1 Ý nghĩa hình học ñạo hàm: hệ số góc tiếp tuyến với ðTHS y = f ( x) ñiểm có hoành ñộ x = x0 là f '( x0 ) Tiếp tuyến với ðTHS y=f(x) ñiểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) ðiều kiện tiếp xúc: ðồ thị hai hàm số y=f(x) và y=g(x) tiếp xúc ñiểm có hoành ñộ x0 f ( x) = g ( x) ⇔ x0 nghiệm hệ phương trình ( giải thích hình vẽ) f '( x) = g '( x) B Các bài toán bản: Loại 1: Tiếp tuyến với ñường cong ñiểm cho trước trên ñường cong Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số y=f(x) ñiểm M ( x0 ; y0 ) Phương pháp: Bước 1: Tính f '( x) và tính giá trị f '( x0 ) Bước 2: Phương trình tiếp tuyến: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) Chú ý: Các giá trị x0 , f '( x0 ) , M ( x0 ; y0 ) có thể cho ẩn các giả thiết khác + Tiếp tuyến giao ñiểm ðTHS với ñường nào ñó tiếp tuyến song song vuông góc với ñường nào ñó Bài 1: (KB-04):Cho hàm số y = x3 − x + x có ðT (C) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C) ñiểm uốn và chứng minh ∆ là tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Chú ý: Cách tìm ñiểm uốn ñồ thị hàm số y = f ( x) : + Tính y '' + Giải phương trình y '' = ñể tìm các nghiệm xi là hoành ñộ ñiểm uốn + Thay giá trị xi vào PT y = f ( x) , ta ñược tọa ñộ các ñiểm uốn ( xi ; f ( xi )) ( ðiểm uốn là tâm ñối xứng ñồ thị) Về bài toán tổng quát: Với hàm số bậc y = ax + bx + cx + d + Nếu a > tiếp tuyến ñiểm uốn có hsg nhỏ nhất; + Nếu a < tiếp tuyến ñiểm uốn có hsg lớn nhất; m Bài 2: (KD-05): Gọi (Cm) là ñồ thị h/s y = x − x + Gọi M là ñiểm thuộc (Cm) có hoành ñộ 3 Tìm m ñể tiếp tuyến (Cm) ñiểm M song song với ñt: y = 5x Bài 3: Cho hàm số y = x + − m( x + 1) (Cm ) Tìm m ñể tiếp tuyến với (Cm) giao ñiểm nó với trục tung, tạo với hai trục tọa ñộ tam giác có diện tích Bài 4: Cho ñường cong (C): y = x − x + x + Chứng minh không có bất kì hai tiếp tuyến nào ñường cong lại vuông góc với Bài 5: Cho y = x − x + (C ) a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) ñiểm có hoành ñộ x=2 b) Biết tiếp tuyến câu cắt lại (C) ñiểm M’ Tìm tọa ñộ ñiểm M’ Bài 6: Cho ñường cong y = x − x + (C) Chứng minh trên (C) tồn vô số cặp ñiểm mà hai tiếp tuyến cặp ñiểm song song với (2) Chú ý: + Tính chất trên ñúng cho ñường cong bậc + Các ñường thẳng nối các cặp ñiểm trên luôn qua ñiểm cố ñịnh ( ðiểm uốn) Loại 2: Phương trình tiếp tuyến với ñường cong ñi qua ñiểm cho trước, bài toán tiếp xúc Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm M ( x1 ; y1 ) Phương pháp: Cách 1: Quy bài toán loại ( quy tìm tiếp ñiểm tiếp tuyến với ñường cong), cụ thể sau: Bước 1: Tiếp tuyến với ðTHS y=f(x) ñiểm có hoành ñộ x = x0 là y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 ) Bước 2: Thay tọa ñộ M ( x1 ; y1 ) vào phương trình y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 ) ñể tìm hoành ñộ tiếp ñiểm từ ñó viết ñược phương trình tiếp tuyến Cách 2: Sử dụng mệnh ñề ñiều kiện tiếp xúc: + Bước 1: ñường thẳng ñi qua M ( x1 ; y1 ) có dạng d : y = a ( x − x1 ) + y1 f ( x) = a ( x − x1 ) + y1 + Bước 2: d tiếp xúc với ðTHS y=f(x) và hệ sau có nghiệm (*) f '( x ) = a + Bước 3: Giải hệ (*) ta ñược hoành ñộ tiếp ñiểm từ ñó viết ñược phương trình tiếp tuyến.+ Bài 1: (KB -08) Cho hàm số y = x3 − x + Viết phương trình tiếp tuyến ðTHS biết tiếp tuyến ñi qua A(-1;-9) Bài 2: Cho ñường cong y = x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến ñi qua 2 ñiểm M (0; ) Chú ý: Qua bài toán ta phải phân biệt xem bài toán yêu cầu viết PTTT ñiểm M thuộc (C) hay ñi qua M Bài 3: Có bao nhiêu tiếp tuyến ñi qua ñiểm M(-2;5) với ñường cong (C) y = x − x + 17 x + Bài 4: Cho ñường cong y = x − x + (C) Tìm các ñiểm M thuộc (C) cho qua M có thể vẽ ñược tiếp tuyến ñến (C) Bài 5: Tìm các ñiểm trên trục hoành cho từ ñó vẽ ñược ba tiếp tuyến ñến ñồ thị (C) y = x + x , ñó có hai tiếp tuyến vuông góc Bài 6: ( Cð KTTC 05): Cho hàm số y = x3 − 3x + m Tìm m ñể hàm số tiếp xúc với trục Ox Bài 7: (Cð CKLK 06): Cho hàm số y = x3 + 3x + có ñồ thị (C) Tìm k ñể ñường thẳng y=kx tiếp xúc với (C) Bài 8: (TK 05): Gọi (Cm ) là ðTHS y = − x3 + (2m + 1) x − m − (1) Tìm m ñể ñồ thị (Cm ) tiếp xúc với ñường thẳng y = 2mx − m − CHỦ ðỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM ðA THỨC A Lý thuyết bản: ðiều kiện cần có cực trị: Nếu hàm số y = f ( x) có cực trị x0 và ∃f '( x0 ) ⇒ f '( x0 ) = Hai quy tắc tìm cực trị: 2.1 Quy tắc 1: Dựa vào ñịnh lý sau: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng (a; b) , x0 ∈ ( a; b) ; y = f ( x) có ñạo hàm trên ( a; b) trên ( a; b) \{x0 } Khi ñó f '( x) ñổi dấu x qua x0 thì hàm số ñạt cực trị x0 ðể tìm cực trị theo quy tắc 1, ta thực sau: • Tìm TXð hàm số • Tính f '( x) Tìm các ñiểm ñó f’(x) không xác ñịnh • Lập bảng biến thiên (3) • Từ bảng biến thiên suy các ñiểm cực trị 2.2 Quy tắc 2: Dựa vào ñịnh lí f '( x0 ) = + Nếu ⇒ x0 là ñiểm cực tiểu f ''( x0 ) > f '( x0 ) = ⇒ x0 là ñiểm cực ñại + Nếu f ''( x0 ) < Hàm số bậc có cực trị và phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt Hàm số bậc trùng phương có cực trị và phương trình y’=0 có nghiệm phân biệt Hàm số y = ax + bx + cx + d có hai cực trị x1, x2 Khi ñó ñể tính y ( x1 ), y ( x2 ) ta viết y = y '( mx + n) + px + q Khi ñó y ( xi ) = pxi + q , suy ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực ñại, cực tiểu ðTHS là y=px+q B Bài tập bản: Loại 1: Các bài toán tồn cực trị + Tìm tham số ñể hàm số có cực trị và cực trị thỏa mãn ñiều kiện cho trước + Phương pháp chung: Sử dụng ñiều kiện tồn cực trị kết hợp với sử dụng kết tam thức bậc hai, ñịnh lí Viet, lý thuyết phương trình, bất phương trình + Bổ sung lý thuyết tam thức bậc 2: Cho tam thức bậc f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) , ñặt S = x1 + x2 P = x1 x2 • • • • b S = − a Nếu f(x) có các nghiệm x1 , x2 thì (Viet) P = c a a > a < f ( x) ≥ 0, ∀x ⇔ ; f ( x) ≤ 0, ∀x ⇔ ∆ ≤ ∆ ≤ af (α ) < ⇔ f(x) có hai nghiệm phân biệt và α nằm khoảng hai nghiệm ∆ > ⇒ f(x) có hai nghiệm phân biệt và α nằm ngoài ñoạn hai nghiệm af (α ) > Bài : (KB-02) Cho hàm số y = mx + (m − 9) x + 10 Tìm m ñể hàm số có ñiểm cực trị Bài : Cho y = x − mx + Tìm m ñể ñường cong có cực tiểu mà không có cực ñại Bài : Cho hàm số y = x + (m − 2) x + (5m + 4) x + 3m + Tìm m ñể hàm số ñạt cực trị x1 , x2 cho x1 < < x2 Bài : (TK 02) Cho hàm số y = ( x − m)3 − x Xác ñịnh m ñể hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x=0 Bài : (TK 04) Cho hàm số y = x3 − 2mx + m x − Tìm m ñể HS ñạt cực tiểu x=1 Bài : (TK 04) Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + 3m(m + 2) x + Chứng tỏ HS luôn có Cð, CT Xác ñịnh m ñể ðTHS ñạt cực trị các ñiểm có hoành ñộ dương Bài : (TK-06) Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + Tìm các giá trị m ñể ðTHS có ñiểm Cð, CT ñồng thời hoành ñộ ñiểm cực tiểu <1 Bài : Cho hàm số y = x + 2( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x − 2( m + 1) Tìm m ñể hàm số ñạt cực trị x1 , x2 1 cho + = ( x1 + x2 ) x1 x2 (4) Loại 2: Các bài toán ñường thẳng nối hai cực trị ðồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có hai ñiểm cực trị M, N ðể viết phương trình ñường thẳng qua hai ñiểm cực trị có hai cách sau: + Sử dụng kết phần lí thuyết bản( mục 5); + Sử dụng lí thuyết PP tọa ñộ mặt phẳng, các bước thực hiện: • Xác ñịnh tọa ñộ các ñiểm cực trị ðTHS, giả sử hai ñiểm cực trị là M ( x1 ; y1 ), N ( x2 ; y2 ) • Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm M, N Bài 1: (KA-02) Cho hàm số y = − x3 + 3mx + 3(1 − m ) x + m3 − m Viết PT ñường thẳng qua hai ñiểm cực trị ðTHS Bài 2: Cho ñường cong (C) y = x + x − x + (C ) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực ñại, cực tiểu ðTHS Loại 3: Các bài toán tính chất các ñiểm cực trị ðTHS Dạng toán: Tìm tham số ñể ðTHS có các ñiểm cực trị và các ñiểm này thỏa mãn ñiều kiện hình học nào ñó Phương pháp: Sử dụng ñiều kiện tồn ñiểm cực trị kết hợp với yêu cầu tính chất hình học các ñiểm cực trị từ ñó xác ñịnh ñược giá trị tham số cần tìm Bổ sung lý thuyết hình học phẳng: a.b = a1b1 + a2 b2 + Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi ñó: a = a12 + a22 ; cos(a , b ) = a1b1 + a2 b2 a12 + a22 b12 + b22 ; a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 = + Cho M ( x1 ; y1 ), N ( x2 ; y2 ) , ñó • MN = ( x2 − x1 ; y2 − y1 ) , MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )2 + Cho ñường thẳng d: ax + by + c = (a + b ≠ 0) và ñiểm A( x A ; y A ) , ñó: d ( A, d ) = ax A + by A + c a + b2 Bài: (KB-07) Cho hàm số y = − x3 + x + 3(m − 1) x − 3m − Tìm m ñể HS có các ñiểm Cð, CT và các ñiểm cực trị ðTHS cách ñều gốc O Bài: (TK-04) Cho hàm số y = x − 2m x + Tìm m ñể ðTHS có ñiểm CT là ñỉnh tam giác vuông cân Bài: (KB 07) Cho hàm số y = − x3 + x + 3(m − 1) x − 3m − Tìm m ñể HS có các ñiểm Cð, CT và các ñiểm cực trị ðTHS cách ñều gốc O Bài: (CðMGTWIII 04) Cho hàm số y = x3 − x + 4m CMR ñồ thị hàm số luôn có hai ñiểm CT Khi ñó xác ñịnh m ñể hai ñiểm CT này thuộc ox Bài: (Cð NL 06) Cho hàm số y = x3 + 3mx + Tìm quỹ tích các ñiểm cực ñại ðTHS Bài 3: Cho hàm số y = x3 − mx − x + m + (Cm ) Tìm m ñể khoảng cách các ñiểm cực trị ðTHS là nhỏ (5) CHỦ ðỀ 3: BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM ðA THỨC Bài toán: Nội dung bài toán có dạng chung sau: Cho ñồ thị các hàm số y=f(x), y=g(x) thường chứa tham số Tìm ñiều kiện ñể chúng cắt và các giao ñiểm thỏa mãn ñiều kiện nào ñó Phương pháp: Ta có phương trình hoành ñộ giao ñiểm f(x)=g(x) (1) Số giao ñiểm hai ñường cong số nghiệm (1) và ngược lại số nghiệm phương trình (1) số giao ñiểm hai ñồ thị Loại 1: ðoán trước giao ñiểm hai ñường cong * Phương trình hoành ñộ giao ñiểm hai ñường cong f(x)-g(x)=0 (*) Ta quan tâm ñến bậc (*) >=3 Nếu biết ñược nghiệm x0 (*), ta chia f(x)-g(x) cho (x-x0) và hạ ñược bậc phương trình Bài 1: ( KD 08) Cho hàm số y = x3 − x + (1) CMR ñường thẳng ñi qua ñiểm I(1;2) với hệ số góc k ( k>-3) ñều cắt ñồ thị hàm số (1) ñiểm phân biệt I,A,B ñồng thời I là trung ñiểm AB Bài 2: (KA 02) Cho ñường cong y = − x3 + x (C) và ñường thẳng y = − k + 3k Tìm k ñể chúng cắt ba ñiểm phân biệt Bài 3: (KD 09) Cho ñường cong y = x − (3m + 2) x + 3m (Cm ) Tìm m ñể ñường thẳng y=-1 cắt (Cm) ñiểm phân biệt có hoành ñộ nhỏ Bài 4: Cho ñường cong y = x + 2( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x − 2(m + 1) (Cm) Tìm m ñể (Cm) cắt trục hoành ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ nhỏ Bài: (Cð QTDN HCM 06) Cho hàm số y = x3 − x − (C ) ðiểm A thuộc (C) có hoành ñộ x A = , d là ñường thẳng ñi qua A và có hệ số góc k Xác ñịnh k ñể d cắt (C) ñiểm phân biệt Bài: (CDSP Tvinh 06) Cho hàm số y = x3 − x − (C ) Cho ñường thẳng d có phương trình y=kx-1 Tìm k ñể d cắt (C) ñiểm phân biệt ñó có hai ñiểm có hoành ñộ dương Bài: (KD 06) Cho hàm số y = x3 − x + (C ) Gọi d là ñường thẳng ñi qua ñiểm A(3;20) và có hệ số góc m Tìm m ñể d cắt ñồ thị ñiểm phân biệt Bài: (TK 03) Cho hàm số y = x3 − x − (C ) Gọi d k là ñường thẳng ñi qua ñiểm M(0;-1) và có hệ số góc k Tìm k ñể d k cắt (C) ñiểm phân biệt Bài: (TK 03) Cho hàm số y = ( x − 1)( x + mx + m) Tìm m ñể ðTHS cắt Ox ñiểm phân biệt Bài: (TK 02) Cho hàm số y = x − mx + m − Xác ñịnh m ñể ðTHS cắt Ox ñiểm phân biệt Bài: (KA 2010) Cho hàm số y = x3 − x + (1 − m) x + m (1) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2 , x3 thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 + x32 < Bài: (HVCNBCVT 2001) Cho hàm số y = x3 − x (C) a) CmR m thay ñổi ñường thẳng d: y=m(x+1)+2 luôn cắt ñồ thị (C) ñiểm A cố ñịnh b) Xác ñịnh m ñể d cắt (C) ñiểm A,B,C khác cho tiếp tuyến với ðT B, C vuông góc với Loại 2: Sử dụng ñồ thị hàm số y=f(x) ñể biện luận phương trình f(x)=m Chú ý các phép biến ñổi ñồ thị: Loại 1: y = f ( x) → y = f ( x) f ( x) f ( x) ≥ Ta có y = f ( x) = Từ ñó suy ðTHS y = f ( x) gồm hai phần: − f ( x) f ( x) < + Phần 1: ðTHS y = f ( x) nằm phía trên Ox + Phần 2: phần ñối xứng qua Ox ðTHS y = f ( x) nằm phía Ox Loại 2: y = f ( x ) → y = f ( x ) (6) f ( x) x ≥ Ta có y = f ( x ) = Từ ñó suy ðTHS y = f ( x ) ( hàm số chẵn) gồm hai phần: f (− x) x < + Phần 1: ðTHS y = f ( x) nằm bên phải Oy + Phần 2: phần ñối xứng qua Oy phần ðTHS y = f ( x) bên phải Oy Bài (DB-05): a) Khảo sát và vẽ ðTHS : y = x − x + b) Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm phân biệt x − x − log m = Bài: (KA-06) a) Khảo sát vẽ ðTHS y = 2x − 9x + 12x − b) Tìm m ñể phương trình : x − 9x + 12 x = m có nghiệm phân biệt Bài: a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x − 3x − b) Biện luận theo a số nghiệm phương trình x3 − 3x − = a Loại 3: Bài toán tìm giao ñiểm tham số dạng bậc Nếu bài toán tìm giao ñiểm hai ñường cong quy tìm nghiệm phương trình f(x)=g(x) (1) mà (1) không nhẩm ñược nghiệm và tham số m có dạng bậc Khi ñó ta biến ñổi (1) thành F(x)=m(2) và lập bảng biến thiên ñể suy nghiệm (2), tù ñó kết luận nghiệm (1) Bài 1: Cho ñường cong y = x − x − 3mx + 3m (Cm ) Tìm m ñể (Cm) và ñường thẳng d: y=-3x-1 cắt ba ñiểm phân biệt x1 , x2 , x3 cho x1 < < x2 < < x3 Bài 2: Tìm m ñể ñường cong y = x và y = mx − m cắt ñiểm phân biệt CHỦ ðỀ 4: ðIỂM UỐN, YẾU TỐ ðỐI XỨNG, ðIỂM CỐ ðỊNH Bài: KB 03 Cho hàm số y = x3 − x + m Tìm m ñể hàm số có hai nghiệm phân biệt ñối xứng qua gốc tọa ñộ Bài: KD 04 Cho hàm số y = x3 − 3mx + x + Tìm m ñể ñiểm uốn ðTHS thuộc ñường y=x+1 11 Bài: TK 06 Cho hàm số y = − x3 + x + x − Tìm trên ñồ thị hai ñiểm phân biệt M,N ñối xứng 3 qua Oy Bài: Cð KTKT I KA 04 Cho hàm số y = x3 + 3x + CM ñồ thị hàm số có tâm ñối xứng Bài: (ðHAN KA 00) Cho hàm số y = x + mx − m − Viết phương trình tiếp tuyến các ñiểm cố ñịnh ðTHS Bài: (HVCNBCVT 01) Cho hàm số y = x − x a) Chứng minh m thay ñổi ñường d : y = m( x + 1) + luôn cắt ñồ thị (C) ñiểm A cố ñịnh b) Xác ñịnh m ñể d cắt (C) ñiểm A, B, C khác cho tiếp tuyến với ñồ thị B và C vuông góc với Bài: (SP Vinh KA 99) Cho hàm số y = ( m + 1) x3 − (2m + 1) x − m + (C ) Chứng minh với m, ðTHS ñã cho luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh thẳng hàng (7) BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Cho ñường cong y = x + x + x − Viết phương trình tiếp tuyến với ñường cong trên biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng y = − x + Bài 2: Cho ñường cong y = x + x − 12 x − (C) Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M ñi qua gốc tọa ñộ ðS: M(-1;12) Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với ñường cong y = x − x + x − , biết tiếp tuyến tạo với ñường thẳng y=3x+7 góc 45 o Bài 4: Cho ñường cong y = x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến 2 ñi qua ñiểm A(0; ) Bài 5: Cho ñường cong y = x − 12 x + 12 (C ) Tìm trên ñường thẳng y=-4 các ñiểm M cho qua M vẽ ñược tiếp tuyến với (C) Bài 6: Cho ñường cong y = x − 2(1 − sin α ) x − (1 + cos 2α ) x + (C) Tìm α ñể (C) có cực trị x1 , x2 cho x1 + x2 = 1 Bài 7: Cho ñường cong y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + (C) Tìm m ñể (C) có cực trị x1 , x2 3 cho x1 + x2 = 1 Bài 8: Cho y = x + (m + 3) x + 4(m + 3) x + 2m − Tìm m ñể ñường cong ñạt cực trị x1 , x2 cho x1 < x2 < Bài 9: Cho ñường cong y = x − 2mx + (2m − 1) x + m(1 − m ) (Cm ) Tìm m ñể (Cm ) cắt trục hoành ñiểm phân biệt có hoành ñộ lớn Bài 10: Cho ñường cong y = x + 3mx − x + 3m + (Cm ) Tìm m ñể (Cm ) cắt trục hoành ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1 , x2 , x3 cho x12 + x22 + x32 = 15 (8)