De thi hoc sinh gioi Toan 9

Tính giá trị nhỏ nhất của diện tich tam giác AHC theo a Bài 5... Do đó SAHCmin  HC Min.[r]

ĐÊ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG NĂM HỌC 2011-2012 Thời gian làm bài 150 phút Bài Giải các phương trình a) x2 + 2x + = x  2x  2x  b) 2x   4x   2x   4x  4 2 Bài Cho a và b là các số thoả mãn: ( a  2011  a)( b  2011  b) 2011 2 a) Chứng minh: ( b  2011  b) ( a  2011  a) b) Tính: P = a2011 + b2011 + 2011 Bài Cho a, b, c, d là các số dương, chứng minh: a b b c c d d a    0 a) b  c c  d d  a a  b a b c a d b d c d      b) b c a b  d c  d a  d Bài Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a M là trung điểm AB, trên BC lấy điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng DC P, đường thẳng PB cắt đường thẳng DM Q   a) Chứng minh QAB = BAP b) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM cắt đường thẳng BC H Tính giá trị nhỏ diện tich tam giác AHC theo a Bài Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện x y3   x  y   3xy  17 Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Bài a) Đáp án x + 2x + = x  2x  2x    x 1   x  x 1 2  x 1  x  x 1 Với ĐKXĐ: x  -1 Phương trình trở thành  b) Điểm điểm  x 1  x  x 1  0 x   x  x   x = (TMĐK) Vây phương trình có nghiệm x = , ta được: 4x   4x   4x  18  10 4x  8    4x   4x  1  4x   10 4x   25 8 ( x   1)  ( x   5) 8 4x    4x   8 Với ĐKXĐ x  phương trình (*) trở thành x  2 hay x  1  4x - =  x = (TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ điểm 1đ 2 2  ( a  2011  a)( a  2011  a)( b  2011  b) 2011( a  2011  a) 0,5 đ 2 2  (a  2011  a )( b  2011  b) 2011( a  2011  a) 0,5 đ 2  2011( b  2011  b) 2011( a  2011  a) Bài 3: 0,5 đ (*) 2 Từ ( a  2011  a)( b  2011  b) 2011 b) 1đ 2x   4x   2x   4x  4 Nhân hai vế phương trình với Bài 2: a) 1đ 2  ( b  2011  b) ( a  2011  a) (1) 2 Tương tự ta có: ( a  2011  a) ( b  2011  b) (2) Từ (1) và (2)  a = - b Nên P = a2011 + b2011 + 2011 = a2011 - a2011 + 2011 = 2011 a) 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ điểm 0,5 đ a b b c c d d a 1  1  1   4 cd d a a b BĐT tương đương b  c a c b d c a d b    4  bc cd d a a b       a  c       b  d   4  b c d a   cd a b  1   Áp dụng BĐT phụ x y x  y (HS phải chứng minh) ta có: 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1        b  d    b c d a   c d a b  4  b  d  a  c a b c d a b c d = Dấu “=” xảy và a = b= c = d  a  c   0,5 đ 0,5 đ b) Do vai trò a, b, c bình đẳng nên ta giả sử a b c a b  b c b  a b c             1  c a a  Ta có: b c a = b a a  b  2ab ab  c  bc  ac (a  b) (a  c)(b  c)   ab ac ab ac = = (1) (a  b) (a  c)(b  c) a d b d cd    3 Tương tự ta có b  d c  d a  d = (a  d)(b  d) (a  d)(c  d) Vì a, b, c, d > và a  b c (a  b) (a  c)(b  c) (a  b) (a  c)(b  c)   ac  (a  d)(b  d) (a  d)(c  d) (3) Nên ab Bài 4: a b c a d b d c d      Từ (1), (2) và (3) suy b c a b  d c  d a  d Dấu “=” xảy a = b = c 0,5 đ 0,5 đ (2) 0,5 đ 0,5 đ điểm a) Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt AQ K QK QM QM QB QK QB    QA QD QD QP QA QP  KB //AP Ta có: ;     KBA BAP (sole trong) (1) b)   KBA cân K (Trung tuyến KM vừa là đường cao) Nên QAB KBA (2)   Từ (1) và (2) suy QAB BAP (Đpcm) HB AB  AHB  CMB (g – g)  MB CB  HB CB = MB AB a a2 a  (không đổi) = a Ta có SAHC = AB HC = HC Do đó (SAHC)min  HC Min 2đ 1đ 1đ Bài 5: Vì HC = HB + BC nên HC Min  HB = CB (vì HB CB không đổi) Lúc đó: Tam giác AHC cân A a a2 a2   Vì HB CB  HB2  HB = Vậy SAHC = 2a 2 0,25 đ x y3   x  y   3xy  17   x  y   x  xy  y2  2  x  xy  y2   xy  17 x  điểm y    x  xy  y  xy 17 Do x, y  N nên xy + 17 > và x  xy  y  Suy ra: x – y – > Vì x  y +  (1) 2 2 Lại có x  xy  y xy  17 nên x  y 17 (2) 0,25 đ 0,25 đ Từ (1) và (2)   x  và x  N, nên x  {3; 4} *) Nếu x = từ (1)  y = *) Nếu x = từ (1)  y = y = Trong các cặp số (x; y)  {(3; 0); (4; 0); (4; 1)} có cặp (4; 1) thỏa mãn bài toán Vậy x = 4; y = 0,25 đ