Một số đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Phần 8

Câu 4 Tìm m ñể hệ phương trình  x + y = 3m  Câu 5 Chứng minh rằng diện tích của một hình bình hành bất kì nằm trong một tam giác không lớn hơn nửa diện tích của tam giác ñó... Câu 3 C[r]

Nguyễn Văn Xá
165 THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 – VĨNH PHÚC (2002 - 2003) Câu a Giải phương trình − 3x + = − x  x2 + y = m  x − xy = n b Tìm n, m ñể hai hệ phương trình sau tương ñương  (I ) ,  ( II ) y + x = m  y − xy = n Câu Tìm tất các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 5x2 + 3y3 và 2x2 + 5y2 = 11(xy – 143) Câu Cho hai số thực dương a, b Chứng minh các mệnh ñề sau tương ñương (i) a + > b ; x (ii) ax + > b với x > x-1 Câu Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) với các ñường cao AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB) ðường thẳng qua D song song với EF cắt AC, AB Q, R Gọi P là giao ñiểm EF và BC Chứng minh rằng: Các ñiểm E, F, D và trung ñiểm BC nằm trên ñường tròn ðường tròn ngoại tiếp ∆PQR ñi qua trung ñiểm BC
166 THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 – VĨNH PHÚC (2000 - 2001) m 2m Câu Tìm các giá trị tham số m ñể phương trình ( + − )( x − m − m) = có x + m x − m m − x2 nghiệm không âm Câu Hãy lập phương trình trùng phương có tổng các bình phương các nghiệm 50 và tích các nghiệm 144 Câu Cho x, y ∈ R thỏa mãn x2 + xy + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức F = x3y + xy3 Câu Cho tứ giác ABCD, gọi M là giao ñiểm hai ñường chéo AC và BD Kí hiệu AB = c, BC = p, CD = q, DA = b, DB = a, DB = 3DM, AM = MC a Tính p, q theo a, b, c ∧ ∧ ∧ ∧ b Chứng minh ABD + 1800 = ADB thì DBC = BDC Câu Trên mặt phẳng Oxy cho p ñiểm Ak(k; rk ), k = 0, 1, 2, 3, …, p – 1; với p là số nguyên tố lớn và rk là số dư phép chia k2 cho p Chứng minh các ñiểm Ak(k; rk ) không có ñiểm nào thẳng hàng, không có ñiểm nào là ñỉnh hình bình hành
167 THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10 – VĨNH PHÚC (2001 - 2002) Bài Giải phương trình x − x − − ( x − 1) x + x − x =  ax + bx + = Bài Tìm a, b ñể hệ phương trình  có nghiệm bx + ax + = Bài Cho a, b, c là ñộ dài cạnh tam giác Chứng minh ðề thi HSG môn Toán Trang 144 Lop10.com Nguyễn Văn Xá ∧ a +b−c + b+c−a + c +a −b ≤ a + b + c ∧ ∧ Bài Cho ∆ABC, A = 50 , B = 600 , C = 700 , M là ñiểm nằm trên mặt phẳng chứa tam giác, gọi A1, B1, C1 tương ứng là hình chiếu vuông góc M trên BC, CA, AB Khi M trùng với tâm I ñường tròn nội tiếp ∆ABC thì A1, B1, C1 có là ba ñỉnh tam giác ñều không? Tìm tất các ñiểm M ñể A1, B1, C1 là ba ñỉnh tam giác ñều Bài Trong các ô vuông bảng hình vuông kích thước 2002×2002, người ta ghi các số thực cho: Tổng các số hình chữ thập tùy ý bảng (hình gồm dòng và cột) không nhỏ 2002 Hãy tìm giá trị nhỏ có thể có tổng các số bảng
168 ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚC (98 - 99) Câu Giải phương trình x − + − x = x − x + 11 n n n n + 1− < 2, ∀ n ∈N* n n Câu Giải phương trình x7 – 2x6 + 3x5 – x4 – x3 + 3x2 – 2x + =  x + xy + y ≤ a (1) Câu Tìm a ñể hệ bất phương trình có nghiệm   x − xy − y ≤ a (2) Câu Giả sử O là ñiểm bên ∆ABC, các ñường thẳng OA, OB, OC cắt các cạnh BC, CA, AB A’, B’, C’ Tìm quỹ tích ñiểm O cho Câu Chứng minh n + n S∆2OAC ' + S∆2OBA' + S∆2OCB ' = S∆2OBC ' + S∆2OCA' + S∆2OAB '
169 ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚC (97 – 98) Câu (1.5 ñiểm) Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = Câu (2.0 ñiểm) Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + = cho y ñạt giá trị lớn Câu (2.0 ñiểm) Cho x0 là nghiệm thực PT x4 + ax3 + bx2 + ax + = Chứng minh a + b ≥ Câu (2.0 ñiểm) Cho ñường tròn bán kính R và n ñiểm bất kì trên mặt phẳng chứa ñường tròn (n∈N*).Chứng minh trên ñường tròn ñã cho có thể tìm ñược ñiểm M cho tổng khoảng cách từ M ñến n ñiểm nói trên không nhỏ nR Câu (2.5 ñiểm) Trên các cạnh BC, CA, AB ∆ABC lấy các ñiểm D, E, K cho BD CE AK = = = Gọi A’ = CK ∩ AD, B’ = BE ∩ AD, C’ = CK ∩ BE BC CA AB 1997 a Hãy xác ñịnh trọng tâm ∆DEK b Tìm trọng tâm ∆A’B’C’ ðề thi HSG môn Toán Trang 145 Lop10.com Nguyễn Văn Xá
170 ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (96 – 97) 2 x − y − y + >  Câu Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình  x + y − <  y ≥1  Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x100 – 10x10 + 2005, với x∈R x y z Câu Tìm nghiệm tự nhiên phương trình – = 1930 Câu Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với các hệ số dương và a + b + c = Chứng minh với số nguyên dương k thì f(x) ≥ [f( (2k ) k) x )](2 với x ≥ Câu Trên các cạnh ∆ABC ta dựng phía ngoài tam giác các hình vuông BCDE, ACFG, BAHK Giả sử P, Q thỏa mãn FCDP và EBKQ là các hình bình hành Hãy các ñịnh hình dạng ∆PAQ
171 ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (năm học 95 – 96) thi ngày 09 – 01 – 1996 Thí sinh các trường bảng A làm tất các câu, kể câu 5, thí sinh các trường bảng B làm các câu 1, 2, 3, 4, không phải làm câu Câu Chứng minh 378 + 142884 + + 378 − 142884 + = Câu Tìm tất các giá trị nguyên a, b ñể ña thức x4 + ax3 + 10x2 + bx + là bình phương tam thức bậc hai với hệ số nguyên Câu Trong ∆ABC nhọn và không ñều, ta kẻ ñường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CL Ba ñường này cắt tạo thành ∆PQR Chứng minh ∆PQR không thể là tam giác ñều  x + + y + = m có nghiệm Câu Tìm m ñể hệ phương trình  x + y = 3m  Câu Chứng minh diện tích hình bình hành bất kì nằm tam giác không lớn nửa diện tích tam giác ñó
172 ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (năm học 94 – 95) thi ngày 06 – 01 – 1995 Câu Giả sử phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm, tam thức bậc hai ϕ ( x) = α x + β x + γ có nghiệm và khoảng các nghiệm tam thức ϕ ( x) chứa khoảng (0; 2) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a ϕ (0) x2 + b ϕ (1) x + c ϕ (2) = a b c Câu Chứng minh + + = 0, k > l > m > 0, km ≤ l thì tam thức f(x) = ax2 + bx + c có k l m nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Câu Chứng minh phương trình x4 – y4 = z2 không có nghiệm nguyên dương Câu Cho ∆ABC có số ño các cạnh là a1 , a2 , a3 và diện tích là S Chứng minh với số dương bất kì p1 , p2 , p3 ta luôn có ðề thi HSG môn Toán Trang 146 Lop10.com Nguyễn Văn Xá p3 p1 p2 a12 + a22 + a32 ≥ 3.S p2 + p3 p3 + p1 p1 + p2 Câu Cho ∆ABC, qua ñiểm M nằm tam giác ta dựng ba ñoạn thẳng MA1, MB1, MC1 tương ứng vuông góc với BC, CA, AB và hướng phía ngoài tam giác, ñộ dài ba ñoạn thẳng MA1, MB1, MC1 tương ứng tỉ lệ với ñộ dài ba cạnh BC, CA, AB Chứng minh MA1 ñi qua trung ñiểm B1C1
173 ðỀ THI HSG LỚP 10 – VĨNH PHÚ (năm học 93 – 94) thi ngày 11 – 01 – 1994 Câu Với các số cho trước n ∈N, n ≥ 2, a ∈ R, a > 0, hãy tìm giá trị lớn tổng n −1 xi yi +1 , biết ∑ i =1 n xi ≥ (i = 1, n ) và xi = a ∑ i =1 Câu Cho hai parabol (P1) y = x2 và (P2) y = - x2 + 2x + – Tìm tọa ñộ giao ñiểm M, N (P1) và (P2) – Qua M dựng ñường thẳng ∆1 cắt (P1) và (P2) E, F ( khác M), qua N dựng ñường thẳng ∆2 cắt (P1) và (P2) C, D ( khác N), chứng minh CE // DF Câu Kí hiệu A = a1a2 a20 là số nguyên dương có 20 chữ số Hai người chơi trò chơi sau: “Người thứ ñiền vào chữ số ñầu tiên a1 năm chữ số 1, 2, 3, 4, Người thứ hai ñiền tiếp vào chữ số a2 năm chữ số nói trên Rồi tiếp lại ñến người thứ ñiền vào a3 … Cứ tiếp tục cho ñến hết 20 chữ số A Nếu số A thu ñược là số chia hết cho thì người thứ hai thắng cuộc, ngược lại thì người thứ thắng cuộc” Chứng minh có cách chơi luôn ñảm bảo cho người thứ thắng Câu Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC, M là trung ñiểm AC, E là trọng tâm ∆ABM Chứng minh OE = BM AB = AC (cần kiểm tra lại ñề bài)
174 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚ (năm học 93 – 94) thi ngày 11 – 01 – 1994 |sin x | Bài Giải phương trình = cosx  x3 − x2 + x − = y  Bài Giải hệ phương trình trên tập số nguyên 2 y − y + y − = z  2z3 − z + 8z − = x  n Bài Với số nguyên dương n ≥ cho trước, tìm giá trị nhỏ tích ( i = 1, n ) và xi , với ñiều kiện xi ≥ ∏ i =1 n n xi = ∑ i =1 Bài Giả sử S, R là diện tích và bán kính ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC Gọi S1 là diện tích tam giác có các ñỉnh là chân ñường vuông góc hạ xuống các cạnh ∆ABC từ ñiểm M cách tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC khoảng d Chứng minh S1 = ðề thi HSG môn Toán d2 S 1− R Trang 147 Lop10.com Nguyễn Văn Xá
175 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚ (năm học 94 – 95) thi ngày 06 – 01 – 1995 Bài Giả sử a2 + b2 ≠ Chứng minh ít hai phương trình sau ñây có nghiệm: asinx + bcosx + c = (1), atanx + bcotx + 2c = (2) n n n Bài Tìm số nguyên dương n ñể phương trình x + (2 + x) + (2 - x) = có nghiệm hữu tỉ n a a Bài Cho ña thức P(x) = ∑ xi (n ≥ 2, an.a0 ≠ 0) có n nghiệm dương Chứng minh n−1 ≥ n an a0 i =0 Bài Cho dãy {un} có u1 = 3, u2 = 17, un = 6un – – un – 2, n = 3, 4, 5, … a Chứng minh u 2n+1 − 6u n u n+1 + u n2 = −8, ∀n ∈ N * Từ ñó suy với n thì u 2n - chia hết cho và thương là số chính phương b Tìm công thức số hạng tổng quát dãy số Bài Cho tứ diện ABCD có các cạnh ñối diện BC = DA, CA = DB, AB = DC, M là ñiểm tùy ý không gian Chứng minh bình phương khoảng cách từ M ñến ñỉnh tứ diện không lớn tổng bình phương các khoảng cách từ M ñến ba ñỉnh còn lại tứ diện
176 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚ (năm học 95 – 96) thi ngày 09 – 01 – 1996 Thí sinh các trường bảng A làm tất các câu, kể câu 5, thí sinh các trường bảng B làm các câu 1, 2, 3, 4, không phải làm câu Câu sin x + cos x =− a Giải phương trình π π tan( x − ) tan( x + ) 4 b Cho trước các ñại lượng a và α Xét hàm số f(x) = cos2x + acos(x + α) ðặt M = maxf(x), m = minf(x), với x ∈ R Chứng minh M2 + m2 ≥ Câu Cho ∆ABC cân ñỉnh A, cạnh bên b, cạnh ñáy a, và a5 – 4a3b2 + 3ab4 – b5 = b 2π = + cos Chứng minh a Câu Cho b > a > Lập hai dãy số (un) và (vn) sau: u1 = b, v1 = a, u n+1 = (u n + v n ), n 2u n v n (b - a) + = , ∀n ∈ * Chứng minh < u n+1 − v n+1 < , ∀n∈N* u n + 2n Câu Các ñường chéo tứ giác lồi ABCD vuông góc với Qua trung ñiểm các cạnh AB, AD kẻ ñường vuông góc tương ứng với CD, CB Chứng minh các ñường này và ñường thẳng AC ñồng quy
177 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (1997 – 1998) Câu (2 ñiểm) Tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với các hệ số nguyên và a > 0, có hai nghiệm thực phân biệt khoảng (0; 1) a) Chứng minh a ≥ b) Hãy tìm tất các ña thức thỏa mãn ñiều kiện trên và có a = ðề thi HSG môn Toán Trang 148 Lop10.com Nguyễn Văn Xá Câu (2 ñiểm) Cho x2 + y2 + z2 = Chứng minh xyz + 2(1+ x + y + z + xy + yz + zx) ≥ Câu (2 ñiểm) Với ñiều kiện nào thì số hạng dương liên tiếp cấp số nhân là ñộ dài ba cạnh tam giác? Câu (2 ñiểm) Giải biện luận theo a và b phương trình asinx + bcosx = a + b + cos 2x Câu (2 ñiểm) Cho tứ diện ABCD và G là ñiểm nằm bên tứ diện Gọi A’, B’, C’, D’ là các giao GA' GB' GC' GD' ñiểm các tia AG, BG, CG, DG với các mặt ñối tương ứng Chứng minh + + + GA GB GC GD ñạt giá trị nhỏ và G là trọng tâm tứ diện A’B’C’D’
178 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (1998 – 1999) Câu Chứng minh f(x) = x5 – 5x3 + 4x -1 có ñúng nghiệm Câu Cho ∆ABC cân ñỉnh A, cạnh bên b, cạnh ñáy a, và a5 – 4a3b2 + 3ab4 – b5 = π b 2π = + cos Chứng minh a π Câu Cho α , β ∈ (0; ) và tan β = tan α Chứng minh β ≤ α + Câu Cho dãy số {un} thỏa mãn un + un+2 ≥ 2un+1, ∀n = 1, 2, 3,… Chứng minh 1 (u1 + u3 + + u2 n +1 ) ≥ (u2 + u4 + + u2 n ) , ∀ n = 1, 2, 3, … n +1 n Câu Cho hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC = c, BSC = α , CSA = β , ASB = γ Tính thể tích khối chóp SABC
179 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (1999 – 2000) Câu Tìm α ñể phương trình sau có nghiệm 3(sin x + cos x) + 2(sin x + cos x)cosα =3+cosα Câu Dãy số (an) xác ñịnh an = k + k + + k (n dấu căn) a Chứng minh với số dương k cố ñịnh thì dãy số trên luôn có giới hạn b Tìm số nguyên dương k ñể giới hạn dãy số trên là số nguyên Câu Các góc C, B, A ∆ABC theo thứ tự lập thành cấp số nhân Gọi O, K, L là tâm ñường ∧ ∧ ∧∧ ∧ tròn nội tiếp, bàng tiếp góc B , bàng tiếp góc A ∆ABC Các góc O, K, L ∆OKL theo thứ tự lập thành cấp số nhân Chứng minh cos A + cos B + cos C = Câu Cho ∆ABC cố ñịnh và ñiểm M thay ñổi không gian luôn không thuộc các ñường thẳng AB, BC, CA Kí hiệu x, y, z là khoảng cách từ M tới AB, BC, CA Tìm tập hợp ñiểm M x y z thỏa mãn + + = 1999y + 2000z 1999z + 2000x 1999x + 2000y 1333 Câu Kí hiệu Sn là tập hợp n số nguyên dương ñầu tiên, tức là Sn = {1, 2, 3, …, n – 1, n} ðề thi HSG môn Toán Trang 149 Lop10.com Nguyễn Văn Xá a Tìm n ñể tập hợp Sn có thể chia ñược thành hai tập hợp khác rỗng, rời nhau, và tổng các phần tử n(n + 1) tập hợp ñó b Tìm n ñể tập hợp Sn có thể chia ñược thành ba tập hợp khác rỗng, ñôi rời nhau, và tổng các phần n(n + 1) tử tập hợp ñó
180 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2000 – 2001) Câu Tìm các giá trị tham số a cho tất các nghiệm không âm phương trình (2a − 1) sin x + (2 − a ) sin x = sin x lập thành cấp số cộng ∧ Câu Cho ∆ABC cân ñỉnh A, ñường phân giác góc B cắt AC D Biết BC = BD + DA, hãy tính ∧ góc A Câu Các số thực x, y thoả mãn x2 + y ≥ x3 + y4 Chứng minh x3 + y3 ≤ Câu Dãy số nguyên (f(n))∞n=0 , ñó f(x) là hàm xác ñịnh và nhận giá trị trên Z, thỏa mãn f(0) = 0, f(n) = n – f(f(n - 1)) với n nguyên dương a Chứng minh f(n) ≥ f(n – 1) với n nguyên dương b Tồn hay không số nguyên dương k thỏa mãn f(k + 1) = f(k) = f(k – 1), sao? Câu Trên mặt phẳng Oxy cho p ñiểm Ak(k; rk ), k = 0, 1, 2, 3, …, p – 1; với p là số nguyên tố lớn và rk là số dư phép chia k2 cho p Chứng minh các ñiểm Ak(k; rk ) không có ñiểm nào thẳng hàng, không có ñiểm nào là ñỉnh hình bình hành
181 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2001 – 2002) Bài Giải phương trình log 2002 (tan x) = cos2x  x + y + xy + a ≥ có nghiệm Bài Tìm a ñể hệ bất phương trình  x + y ≤1  Bài Cho a, b, c là số ño ba cạnh tam giác Chứng minh a (b + c − a ) + b(c + a − b ) + c(a + b − c ) > 2abc Bài Cho tứ giác lồi ABCD có AB = a, AD = b, BC = p – a, DC = p – b, với a, b, p là các số dương cho ∧ trước Gọi O là giao ñiểm hai ñường chéo AC, BD ðặt BAD = α OA Tính tỉ số theo a, b, p và α OC Tính lim OA α →0 Bài Cho dãy số a1, a2, …, an, … xác ñịnh an+1 = an(2 – ban), n = 1, 2, 3…, b là số dương cho trước, a1 là số tùy ý thuộc khoảng (0; ) Chứng minh dãy số trên ñơn ñiệu và bị chặn, từ ñó tìm giới hạn b dãy ðề thi HSG môn Toán Trang 150 Lop10.com Nguyễn Văn Xá
182 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2002 – 2003) Câu Cho phương trình ẩn x 3π x πx π cos (π (a − x)) − cos(π (a − x)) + cos cos( + )+2 = 2a 2a Giải phương trình a = 18 Xác ñịnh số nguyên dương a nhỏ ñể phương trình có nghiệm Câu Xét ∆ABC thỏa mãn ràng buộc max{A, B, C} > π Tìm giá trị lớn biểu thức P = sinA + sin2B + sin3C n + 21 2 2n ( + + + ) , n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng: n 2n +1 a an + ≤ an, với n ≥ Câu Giả sử an = b Dãy {an }n =1 có giới hạn và tìm giới hạn ñó Câu Gọi O là ñiểm nằm trên cạnh AB tứ diện ABCD (O không trùng với A, B) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC, BD tứ diện ABCD M, N (M ≠ C, N ≠ D) Mặt cầu ∞ ngoại tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC, AD tứ diện ABCD P, Q (P ≠ C, Q ≠ D) Chứng minh hai tam giác OMN và OQP ñồng dạng
183 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2003 – 2004) Câu (2.5 ñiểm) Giả sử ∆ABC có ñộ dài ba cạnh thỏa mãn ∧ ∧ BC AB + BC = Tính 3A + B AB − BC AC Câu (2.5 ñiểm) Cho cấp số nhân biết tổng các số hạng chúng 11, tổng bình phương các số hạng 341, tổng lập phương các số hạng 3641 a) Chứng tỏ công bội cấp số nhân ñã cho khác b) Xác ñịnh các số hạng cấp số nhân ñó  an ∈ (0;1)  Câu (2.0 ñiểm) Cho dãy số {an} thỏa mãn  với số nguyên dương n an +1 (1 − an ) = 1 − với n nguyên dương 2n b> Chứng tỏ dãy {an} có giới hạn và tìm giới hạn ñó Câu (3.0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, ∆SAB ñều, (SAB)⊥(ABC) Giả sử M là ñiểm di ñộng trên ñoạn AB và P là hình chiếu vuông góc S trên CM a./ Tìm quỹ tích ñiểm P M di ñộng b./ Xác ñịnh vị trí M ñể ñộ dài ñoạn thẳng nối M với trung ñiểm SC ñạt giá trị lớn a> Chứng minh an >
184 ðỀ THI HSG LỚP 11 – VĨNH PHÚC (2004 – 2005) – Dành cho HS các trường không chuyên ðề thi HSG môn Toán Trang 151 Lop10.com Nguyễn Văn Xá loga (ax) ≥ (ax)4 Câu (2.0 ñiểm) Tìm tất các nghiệm phương trình cos x + sin x = cos2x thỏa mãn bất phương trình + log (2 + x - x ) ≥ Câu (3.0 ñiểm) Giải biện luận theo tham số a bất phương trình x Câu (1.0 ñiểm) Cho a, b, x, y là các số thực thỏa mãn a > 0, b > 0, x > y > Chứng minh x x y y y x (a + b ) < (a + b ) Câu (3.0 ñiểm) Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng ( π ) song song với hai ñường thẳng AD, BC, cắt các ñường thẳng AB, AC, CD, DB M, N, P, Q Xác ñịnh ( π ) ñể: a Tứ giác MNPQ là hình thoi b Diện tích thiết diện ABCD cắt ( π ) là lớn Câu (1.0 ñiểm) Cho dãy số (un) xác ñịnh (n + n + 1)(n + 1) n +1 u n + + (n + n +1)u n +1 − u n , ∀n ∈N u0 = 0, u1 = 1, u2 = 0, u n + = n n Chứng minh un là số chính phương với n = 0, 1, 2, 3, …
185 ðỀ THI HSG LỚP 11 – THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng Bài Cho dãy số {un} xác ñịnh sau: u0 = 1, u1 = - 1, u n + = k.un + - un, ∀ n ∈ N Tìm số hữu tỉ k ñể dãy số trên là dãy tuần hoàn Bài Giả sử phương trình anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = có n nghiệm thực (n ∈ N, n ≥ 3, ∈ R, i = 0, n , an ≠ 0) Chứng minh (n − 1)a 2n −1 ≥ 2na n a n − , ∀n ∈ N, n ≥ Bài Tìm a, b ñể tập giá trị hàm số y = ax + b là ñoạn [- 1; 4] x2 +1 Bài Tính giới hạn: [(2+ 3)n ] a) lim n (ở ñó [x] là phần nguyên số thực x, tức là số nguyên lớn không vượt quá x) n →+∞ (2+ 3) b) lim ( n ( x + a1 )( x + a2 ) ( x + an ) − x) (với n ∈ N*, ∈ R, i = 1, n ) x →+∞ Bài Cho hàm số liên tục f : [a; b] → R và hai số thực α , β dương Chứng minh tồn x0 ∈ [a; b] α f (a) + β f (b) cho f(x0) = α +β nn n n Bài Tìm số nguyên dương n ñể 20063 +14 + 20062005 + 2007 + là số nguyên tố
186 ðỀ THI HSG LỚP 11 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng m + ax n + bx − ( với a, b ∈ R; m, n ∈ N*) Bài Tính lim x →0 x Bài Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức T = a2 + b2 + c2 + 2abc, với a, b, c là ñộ dài ba cạnh tam giác có chu vi ðề thi HSG môn Toán Trang 152 Lop10.com Nguyễn Văn Xá Bài Cho hai hàm số liên tục f, g : [a; b] → R thỏa mãn f(x) = g(x), ∀ x ∈ [a; b] Chứng minh ta luôn có f(x) = g(x), ∀ x ∈ [a; b] x x x Bài Tùy theo các tham số a, b, c dương, biện luận số nghiệm phương trình a + b = c Bài Cho dãy số {an} thỏa mãn an+1 ≤ an – an2, ∀n ∈ N Chứng minh liman = Bài Trên nửa ñường tròn (O; R = 1) lấy 2n + ñiểm (n ∈ N*) P1, P2, …, P2n+1 cùng phía ñối với n +1 ñường kính nào ñó Chứng minh → ∑ OP k =1 k ≥
187 ðỀ THI HSG LỚP 12 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng Bài Người ta chứng minh ñược ñịnh lí sau, gọi là ñịnh lí Lagrăng: “Nếu hàm số f(x) liên tục trên ñoạn f (a ) − f (b) ” [a; b], có ñạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn giá trị c∈(a; b) cho f '(c) = a −b a) Bây ta xét hàm số f(x) = − x + x + liên tục trên ñoạn [- ; 1] và có ñạo hàm trên khoảng (- ; 1) Hãy tìm giá trị c ñịnh lí trên nói tới a −b a a −b b) Cho a > b > Vận dụng ñịnh lí trên chứng minh < ln < a b b Bài Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x3 – 3x Từ ñó dùng ñồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 – 3x = m3 – 3m Bài a Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) (x – 1)2+ (y + 2)2 = Tìm quỹ tích các ñiểm M mặt phẳng cho từ M kẻ ñược tiếp tuyến tới (C) và tiếp tuyến ñó vuông góc với b Gọi T là tập hợp các ñiểm trên ñường tròn (C) và có các thành phần tọa ñộ ñều là số nguyên Tìm ñiểm N mặt phẳng Oxy cho ∑ NA2 ñạt giá trị nhỏ A ∈T
188 ðỀ THI HSG LỚP 12 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009) Vòng f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x Bài Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên (a; b) và thỏa mãn ≤ f ( ), ∀x1 , x2 ∈ (a; b) 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) x1 + x2 + x3 ≤ f( ), ∀x1 , x2 , x3 ∈ (a; b) a – Chứng minh 3 f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) x + x + + xn b – Chứng minh ≤ f( ), ∀x1 , x2 , , xn ∈ (a; b), n ∈N * n n x−2 (C) Bài Cho hàm số y = x +1 a> Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số b> Tìm hai ñiểm A, B thuộc nhánh khác (C) cho ñộ dài AB nhỏ ðề thi HSG môn Toán Trang 153 Lop10.com Nguyễn Văn Xá Bài Với số nguyên dương k, hãy chứng minh tích k số nguyên liên tiếp chia hết cho k! Bài Tìm tọa ñộ các ñỉnh hình vuông ABCD nằm mặt phẳng Oxy, biết A thuộc ñường thẳng (d) x – y = 0, C thuộc ñường thẳng (d’) 2x + y – = 0, và B, D thuộc trục Ox
189 ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (11 – 03 – 2004)  x + x( y − z )2 =  Bài Giải hệ phương trình  y + y ( z − x) = 30  z + z ( x − y )2 = 16  Bài Trong mặt phẳng, cho ∆ABC, gọi D là giao ñiểm cạnh AB và ñường phân giác ∠ACB Xét ñường tròn (O) ñi qua hai ñiểm C, D và không tiếp xúc với các ñường thẳng BC, CA ðường tròn này cắt lại các ñường thẳng BC, CA M, N tương ứng 1/ Chứng minh có ñường tròn (S) tiếp xúc với ñường thẳng DM M và tiếp xúc với DN N 2/ ðường tròn (S) cắt lại các ñường thẳng BC, CA P, Q Chứng minh các ñoạn thẳng MP, NQ có ñộ dài không ñổi, ñường tròn (O) thay ñổi Bài Cho tập A gồm 16 số nguyên dương ñầu tiên Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ có tính chất: tập có k phần tử A ñều tồn hai số phân biệt a, b cho a2 + b2 là số nguyên tố
190 ðỀ THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA – BẢNG A (12 – 03 – 2004) (2 + cos2α )x n + cos 2α , với (2 − 2cos2α )x n + − cos2α n =1, 2, 3, …, ñó α là tham số thực Hãy xác ñịnh tất các giá trị α ñể dãy (yn) với n yn = ∑ , n = 1, 2, 3, , có giới hạn hữu hạn n → + ∞ Tìm giới hạn dãy (yn) các k=1 2x k + trường hợp ñó Bài Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn ñiều kiện (x + y + z)3 = 32xyz Hãy tìm giá trị nhỏ và x + y4 + z giá trị lớn biểu thức P = (x + y + z ) Bài Với số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng tất các chữ số biểu diễn thập phân n Xét các số nguyên dương m là bội 2003 Hãy tìm giá trị nhỏ S(m) Bài Xét dãy số thực (xn), n = 1, 2, 3, …, xác ñịnh x1 = 1, x n + =
191 ðỀ THI HSG LỚP 12 – BẮC NINH (1999 - 2000) (ðề này cần kiểm tra lại vì ñược ñánh máy theo photocopy bị mờ, có thể có số chi tiết không ñược chính xác) [XÁ] Bài (5 ñiểm) x − x − x + + = không thể có nghiệm âm 1 2) Tìm a cho với x ≠ ta luôn có ( x + ) + (1 + 3sin a )( x + ) + 3sin a > x x Bài (4 ñiểm) 1) Chứng minh phương trình x3 − ðề thi HSG môn Toán Trang 154 Lop10.com Nguyễn Văn Xá 1) Cho sáu số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn 4xyz – (a x + b y + c z) = abc Chứng minh tồn các số α , β thỏa mãn < α < π ,0 < β < π 2 , cho a = yz sin α , b = zx sin β , và c = xycos(α +β )  x+y+z=a+b+c 2) Cho trước ba số dương a, b, c Tìm các số dương x, y, z theo a, b, c, biết  2 4xyz − (a x+b y+c z) = abc Bài (5 ñiểm) 3 1) Chứng minh sinA + sinB + sinC ≤ log sin A sin B log sin B sin C log sin C sin A + + 2) Cho ∆ABC không vuông, tìm giá trị nhỏ P = sin A + sin B sin B + sin C sin C + sin A Bài (6 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y, z, t là khoảng cách từ G ñến các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC) a Tìm mối liên hệ a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t) b Gọi α , β , γ là góc các cặp ñường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB, AB và DC Giả sử c < b < a Hỏi ba ñoạn thẳng a cosα , b cosβ , c cosγ có thể dựng ñược tam giác hay không ? (Xem thêm ñề 48)
191 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2001 – 2002) Ngày thi 26 -11-2001 (buổi 2) 1  3( x + ) = 4( y + ) = 5( z + ) Bài (2 ñiểm) Giải hệ phương trình  x y z  xy + yz + zx = Bài (2 ñiểm) Cho ∆ABC không có góc tù Tìm giá trị nhỏ biểu thức sin A + sin B + sin C E= cos A + cos B + cos C Bài (2 ñiểm) Cho hàm số f : N → N và ñồng thời thỏa mãn hai hệ thức (1) f(f(n)) = 4n + với n ∈ N; (2) f(2 ) = + n n+1 với n ∈ N* Tính f(1789) Bài (2 ñiểm) Chứng minh mặt phẳng ñi qua ñường thẳng nối hai trung ñiểm hai cạnh ñối tứ diện chia tứ diện ñó thành hai phần có thể tích Bài (2 ñiểm) Cho n hình vuông bất kì (n ∈N*) Chứng minh có thể cắt n hình vuông ñó thành ña giác mà với ña giác này có thể ghép lại ñược hình vuông
192 ðỀ THI HSG BẮC NINH (10 – 04 – 2002) Bài (2 ñiểm) sin x ln(cosx) 1/ Tìm giới hạn a lim b lim x→ x2 x→ π − cos x ðề thi HSG môn Toán Trang 155 Lop10.com Nguyễn Văn Xá 2/ Cho an = cos(π n n + 3n + n + 1) , n ∈ N* Tìm lim an n→ ∞ Bài (1.5 ñiểm) Tính các tổng sau: a) Sn = sinx + sin2x + … + sinnx b) Cn = cosx + 2cos2x + … + ncosnx Bài (2 ñiểm) 1) Giải phương trình x + (1 − x ) = x 2(1 − x )  x3 − z + 27 z = 27  2) Giải hệ phương trình  y − x + 27 x = 27  z − y + 27 y = 27  Bài (1.5 ñiểm) Cho dãy số vô hạn phần tử {an} Chứng minh an + an + ≥ 2an +1 , ∀n ∈ N*, thì a1 + a3 + + a2 n+1 a2 + a4 + + a2 n ≥ , ∀n ∈ N* n +1 n Bài (3 ñiểm) 1) Chứng minh cạnh tam giác nào ñó ñều nhỏ thì diện tích tam giác ñó nhỏ 2) Trong tứ diện có cạnh có ñộ dài lớn 1, chứng minh thể tích tứ diện không vượt quá Hãy tứ diện
193 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2002 – 2003) Ngày thi 16 -10 -2002 (buổi 1) Bài (2 ñiểm) Chứng minh +7 − −7 = Bài (2 ñiểm) Cho dãy {an} gồm vô hạn số tự nhiên thỏa mãn an = 2an −1an +1 , n ∈ N*, n > Chứng minh an −1 + an +1 a1 = a2 = = an Bài (2 ñiểm) Cho ∆ABC Chứng minh 1 1 ≤ + + ≤( )2 A B C sin A sin B sin C A B C sin sin sin sin sin sin 2 2 2 Bài (2 ñiểm) Tồn hay không hàm số f : R→R thỏa mãn (f(x) – f(y))2 ≤ |x – y|3, ∀x, y ∈ R , và f không phải là số? Bài (2 ñiểm) Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’ Chứng minh các mặt (ABC’), (BCA’), (CAB’) cắt ñiểm
194 ðỀ THI HSG BẮC NINH (2003) ðề thi HSG môn Toán Trang 156 Lop10.com Nguyễn Văn Xá 1 2) lim (sin + cos ) x x→ ∞ x x 1) lim (s inx) tanx ; Bài (2 ñiểm) Tìm các giới hạn sau: x→ π Bài (2.5 ñiểm) Cho hàm số f(x) = x – 3x – 1 Gọi x1 , x2 , x3 là hoành ñộ giao ñiểm ñồ thị hàm số với trục hoành Tính giá trị biểu thức A = x13 x23 + x23 x33 + x33 x13 + x12 x22 x32 Xét số nghiệm phương trình f(f(x)) = Bài (1.5 ñiểm) 2 x − y = ( y − x)( xy + 2) Giải hệ phương trình  x2 + y2 =  Tìm số k lớn ñể với ∆ABC ta luôn có sin2A + sin2B > ksin2C Bài (2.75 ñiểm) Cho hình chóp SABC, SA ⊥ SB, chân ñường cao hạ từ S ñến mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm ∆ABC Gọi α , β , γ là góc tạo các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) với ñáy (ABC) Tính giá trị biểu thức T = cos2α +cos2β +cos2γ Gọi m là cạnh lớn các cạnh bên và r là bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp SABC, tính tỉ m số r Bài (1.25 ñiểm) Cho hàm số f(tanx) = sin2x, với |x| < biểu thức P = f(sin32x).f(cos32x) π Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ
195 ðỀ THI HSG BẮC NINH (2004 - 2005) Ngày thi 12 – 04 - 2005 Câu (2 ñiểm) Tìm giới hạn: 1) A = lim ( sinx ) x −a ; x→ a sina cos( π cosx) x→0 sin(tanx) 2) B = lim Câu (2 ñiểm) x x Tính ñạo hàm hàm số f(x) = x ( x > 0), từ ñó tìm nguyên hàm hàm số ϕ (x) = x (1 + lnx) π Tính tích phân J = ∫ sin n -1 x.cos(n+1)x.dx , ñó n là số nguyên dương không nhỏ  b2 − x + c − x2 = a   Câu (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài cạnh là a, b, c Giải hệ phương trình  c − y + a − y = b  2 2  a − z + b − z = c Câu (2 ñiểm) Cho ∆ABC có ñộ dài cạnh là a, b, c, bán kính ñường tròn ngoại tiếp và nội tiếp là R, r, chu vi là 2p Chứng minh ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr 1 Tính tổng + + qua p, R, r a b c ðề thi HSG môn Toán Trang 157 Lop10.com Nguyễn Văn Xá Chứng minh p2 + r2 ≥ 14Rr ( x − 19) ( y − 98)2 Câu (2 ñiểm) Cho elip (E) + = 1998 Gọi R1, R2, R3, R4 là diện tích các phần 19 98 (E) nằm góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư tương ứng trên ñồ thị Hãy xác ñịnh giá trị T = R1 - R2 + R3 - R4
196 ðỀ THI HSG BẮC NINH (2005 - 2006) Ngày thi 05 – 04 - 2006 x − s inx ( x + 2005) − x − 2005 Bài Tìm giới hạn 1) lim ; 2) lim x→∞ x+sinx x →0 x Bài 1) Cho hàm số f(x) = x3 – 3x – Tính số nghiệm phương trình f(f(x)) = 2) Tìm m ñể phương trình |x|3 – 3|x| – = m(x – 2) có nghiệm thực phân biệt Bài Cho hình chóp SABC có ñáy ABCD là tứ giác nội tiếp ñường tròn ñường kính AC, SA = 2BD, ∧ BAD = 60o , SA ⊥ (ABCD) Kẻ AH, AK vuông góc với SB, SD H, K Hãy tính góc hai mặt phẳng (AHK) và (ABCD) 13 Bài Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x2 + y + z2 + 4xyz ≥ 27 Dấu ñẳng thức xảy nào? Bài Cho hàm số f xác ñịnh f(x) = f(x + 3).f(x – 3), ∀ x ∈ R Chứng minh f là hàm tuần hoàn
197 ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2005 – 2006) Ngày thi 20 -10 -2005  x − y + xy + y = Câu (4 ñiểm) Giải hệ phương trình   x + y − x −1 = A B C Câu (4 ñiểm) Cho ∆ABC, tìm giá trị nhỏ T = tan + 3(tan + tan ) 2 Câu (4 ñiểm) Tìm tất các hàm số f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm trên R , thỏa mãn f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, ∀ x, y ∈ R Câu (4 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O) Tiếp tuyến (O) A và C cắt Q, tiếp tuyến (O) B và D cắt P Chứng minh P ∈ AC ⇔ Q ∈ BD n n Câu (4 ñiểm) Chứng minh hai số 2005 và (2005 + dương n ) có số chữ số với n nguyên
198 ðỀ THI THAM KHẢO HSG Bài Chứng minh phương trình xn + px + q = (p, q ∈ R, n ∈N*) không thể có quá nghiệm thực n chẵn và không thể có quá nghiệm thực n lẻ ðề thi HSG môn Toán Trang 158 Lop10.com Nguyễn Văn Xá Bài Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 2], khả vi trên (0; 2), và |f ’(x)| ≤ 1, ∀x∈ (0; 2), f(0) = f(2) = -1 Chứng minh ≤ ∫ f ( x) dx ≤ Bài Xét hội tụ dãy {un} xác ñịnh u0 ∈ [0; 1], un + = sin2un, ∀ n = 1, 2, 3, … Bài Cho f : [a; b] → R liên tục và thỏa mãn |f(x) – f(y)| > x – y, ∀x∈ [a; b], x ≠ y Chứng minh tồn x0 ∈ [a; b] cho f(x0) ∉ [a; b] - 2006x Bài Tìm hàm f xác ñịnh và ñồng biến (0; + ∞ ), thỏa mãn f(x + 2006) – f(x) = e , ∀ x ∈ (0; + ∞ ) Bài Cho hàm f khả vi ñến cấp trên (0; + ∞ ), có lim f ( x) = và |f ’’(x)| ≤ 1, ∀ x ∈ 0; + ∞ ), Chứng x →+∞ minh lim f '( x) = x →∞ Bài Chứng minh ≤ ∫ + x dx ≤ Bài Giả sử hàm f khả vi trên ñoạn [a; b] và |f ’(x)| ≤ M với x ∈ [a; b] Chứng minh b |f(x)| ≤ M(b – a), ∀x ∈ [a; b], và ∫a f ( x)dx ≤ M (b − a) Bài Hai hàm f, g có ñạo hàm ñến cấp hai liên tục trên ñoạn [a; b] và f(a) = g(a) = f(b) = g(b) = Chứng minh b b b b a a a a ∫ f ( x) g ''( x)dx = ∫ f ''( x) g ( x)dx Từ ñó chứng minh ∫ ( x − a)( x − b) f ''( x)dx = −2∫ f ( x)dx Giả thiết nào f, g a và b có thể cho cùng kết quả? Bài 10 Cho a < c < b, hàm f liên tục trên các ñoạn [a; c] và [c; b] Chứng minh f liên tục trên ñoạn [a; b]
199 ðỀ THI THAM KHẢO HSG 2001 Bài Chứng minh nghiệm phương trình x = – 2001.x ñều là nghiệm cuat phương trình 2001 2001 x = – 2001(1- 2001.x ) Bài Chứng minh với ∆ABC ta có A B C A B C a) sin + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 2 2 2 3 b) (sin A)sin A (sin B )sin B (sin C )sin C > ( ) + cos x Bài Trong mặt phẳng Oxy cho B(- m; 0), C(m; 0) cố ñịnh, m ≠ Gọi A là ñiểm thay ñổi mặt Bài Giải phương trình lượng giác + sin x + − sin x = phẳng và thỏa mãn ñiều kiện: tung ñộ A lần tung ñộ ñiểm I là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC Tìm quỹ tích ñiểm I Bài Giải hệ phương trình và bất phương trình ðề thi HSG môn Toán Trang 159 Lop10.com Nguyễn Văn Xá 1   2 8 x(2 x − 1)(8 x − x + 1) = 3( x + ) = 4( y + ) = 5( z + ) 32 x( x − 1)(2 x − 1) = − x y z a)  b)  x c)  ≤ x ≤1    < x <1 xy + yz + zx =  Bài Chứng minh tứ diện, tích các cặp cạnh ñối chia cho tích các sin nhị diện tương ứng (nhị diện tương ứng là nhị diện nhận cạnh ñó làm cạnh)
200 ðỀ THI THAM KHẢO HSG Bài Giải phương trình 1 35 + 2x − 2x 1 + + = b) + = c) − x + + x = a) 1− 2x 1+ 2x x 12 1− 1− x 1+ 1− x 1− x 1− x Bài a) Cho ∆ABC ñều cạnh a, P và Q là hai ñiểm di ñộng trên AB, AC tương ứng và thỏa mãn 1 + = Chứng minh ñường thẳng PQ luân ñi qua ñiểm cố ñịnh AP AQ a b) Cho ∆ABC nội tiếp ñường tròn (O), M ∈ (O) Chứng minh MA + MB4 + MC4 có giá trị là số không phụ thuộc vào ñiểm M AP BP CP Bài Cho O.ABC là tam diện vuông ñỉnh O, ñiểm P ∈ (ABC) ðặt u = ,v= ,w= , và gọi AO BO CO Chứ∧ ng minh u2 + v2 + w2 = cot2 α α là góc OP và (ABC).∧ ∧ ∧ Bài Cho tứ giác ABCD có B + D < A + C Gọi R1, R2, R3, R4 là bán kính ñường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB CMR R1 R3 < R2 R4 Bài yz zx xy 1) Cho x, y, z > Chứng minh x cos A + y cos B + z cos C ≤ ( + + ) x z y x2 ≥ cosA+x(cosB+cosC) Bài Cho n ∈N*, cho dãy gồm n số (un) cho uk = C 2nn+ k C 2nn− k với k = 1, 2, …, n Xét tính ñơn ñiệu 2) Chứng minh với số thực x và ∆ABC ta có + dãy số (un) ========== HẾT ========== Năm tháng trôi qua cách vô vị ñối với nhìn tương lai qua cặp kính viễn vọng nhà thông thái và biết hái hoa tại, biết sử dụng thời gian giống cái cây năm cao thêm ngấn, thì họ có hạnh phúc! ðề thi HSG môn Toán Trang 160 Lop10.com