a Rút gọn Px bXác định giá trị của x để Px có giá trị nhỏ nhất.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THAM KHẢO MÔN TOÁN LỚP Thời gian :90 phút Bài 1: (1,5 điểm): a) Giải phương trình: x2 - 6x + = b) Giải bất phương trình: | x − |> 5 Bài 2: (1,5 điểm) Tìm x, y , z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + = tính giá trị A với A = (x-1)2008 +(y-1)2008 +(z-1)2008 Bài 3: (1,5 điểm) Cho P(x)= x + x −2 x2 −3 x − x + x − x −6 x − a) Rút gọn P(x) b)Xác định giá trị x để P(x) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó Bài 4: (1 điểm) Cho a + b + c = , a2 + b2 + c2 = và x y z = = Tính giá trị xy + yz + xz a b c Bài 5: (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + xz = Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 Bài 6: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM K là điểm AM cho KM = KA BK cắt AC N a) Tính diện tích tam giác AKN theo S b) Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB, AC I và J Tính giá trị của: AB +¿ AI AC AJ Đáp án Toán 8: (2) Bài : (1,5 điểm) a) Tìm đúng x = 5; x = b) | x − |> 5 ⇔ x- > 5 x− < − 5 ⇔ x > (0,75 điểm) x < − (0,75 điểm) Bài 2: (1,5 điểm) x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + = ⇔ (x - y)2 + (y - 1)2 +(z - 2)2= ⇔ ⇔ ¿ x − y=0 y −1=0 z −2=0 ¿{ { ¿ ¿ x= y=1 z=2 ¿{ ¿ a)P(x)= x + x −2 x −3 x − = x + x − x −6 x − (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Tính đúng A= (x -1)2008 +(y -1)2008 +( z - 1)2008 =1 Bài 3: (1,5 điểm) (0,5 điểm) x +1 ¿ (x − 3) ¿ x+1 ¿2 ¿ ¿ ( x 2+ x +1)( x −3) ¿ (0,5 điểm) (3) ¿ x+ 1¿ ¿ x+ 1¿ ¿ x+ 1¿ ¿ x+ 1¿ ¿ x+ 1¿ ¿ x+ 1¿ ¿ x+ 1¿ ¿ x+ 1¿ ¿ 1 3 − ¿+ ≥ x+1 4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x + x+ b= ¿ (0,5 điểm) 1 1 − =0 ⇔ = ⇔ x +1=2 ⇔ x=1 x+1 x +1 P(x) có giá trị nhỏ là x = Dấu = xảy ⇔ (0,25 điểm) (0,25 điểm) Bài 4: (1 điểm) x y z x+ y+ z = = = =x + y + z (vì a+b+ c=1) a b c a+b+ c (0,25 điểm) Do đó: x2 y2 z2 x + y + z2 2 (x+y+z) = = = = 2 =x + y + z ( vì a2 + b2 + c2 = 1) a b c a + b +c 2 ⇒ x + y + z2 + 2xy +2yz + 2xz = x2 + y2 + z2 ⇒ 2xy +2yz + 2xz = ⇒ xy + yz + xz = (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Bài 5: (1 điểm) (x-1)2 ⇔ x2+1 2x Tương tự: y2+1 2y; z2+1 2z và 2(x2+y2+z2) 2(xy+yz+xz) (0,5 điểm) 2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta có:3(x +y +z )+3 2(x+y+z+xy+yz+xz) (0,25 điểm) 2 ⇔ x +y +z 3(vì x+y+z+xy+yz+xz = 6) (0,25 điểm) Bài 6: (3,5 điểm) a) Gọi E là trung điểm NC: NE = EC (0,25 điểm) (4) Δ BNC có ME là đường trung bình nên ME//BN suy KN//ME KM NE = =2 Δ AME có KM = 2KA ⇒ ⇒ NE = EC = 2AN KA AN Chứng minh AC = AN + NE + EC = 5AN Chứng minh SAKN = (0,25 điểm) (0,25 điểm) S AKC (0,25 điểm) S AMC SAMC = S ABC 1 1 S SAKN = S = ABC 30 SAKC = ⇒ b) Vẽ BD // IJ và CF // IJ (D, F thuộc tia AM) Chứng minh Δ BMD = Δ CMF ⇒ MD = MF Δ ABD có IK// BD nên: (0,25 điểm) AB AD = (định lý Ta-let) AI AK (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) AC AF = AJ AK AB AC AD AF AM −DM+ AM+MF + = + = AI AJ AK AK AK AM ¿ =6 AK Δ AFC có KJ// CF nên: (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (5)