Đang tải... (xem toàn văn)
suy nghÜ míi tõ mét bµi to¸n quen thuéc Phan duy nghÜa GVTrêng tiÓu häc S¬n Long, H¬ng S¬n, Hµ TÜnh TRONG nhiÒu cuèn s¸ch tham kh¶o to¸n tiểu học có đề cập đến bài toán sau: "Cho h×nh ta[r]
(1)suy nghÜ míi tõ mét bµi to¸n quen thuéc Phan nghÜa GVTrêng tiÓu häc S¬n Long, H¬ng S¬n, Hµ TÜnh TRONG nhiÒu cuèn s¸ch tham kh¶o to¸n tiểu học có đề cập đến bài toán sau: "Cho h×nh tam gi¸c ABC Trªn AB, BC lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm D, E cho AB = 3AD; BC = 4BE Nèi A víi E, C víi D AE c¾t CD t¹i M TÝnh tØ sè MA " ME Nghiªn cøu kÜ bµi to¸n nµy c¸c b¹n sÏ thÊy cã nhiÒu ®iÒu thó vÞ sau: Thø nhÊt, bµi to¸n cã nhiÒu c¸ch gi¶i Sau đây xin trình bày các cách giải đó: C¸ch suy SMAC = S Hai tam gi¸c nµy MEC có chung chiều cao hạ từ C tới AE nên đáy MA = ME VËy MA = ME C¸ch Nèi B víi M ta cã: Hai tam gi¸c MBC vµ MEC có đáy BC = EC và có chung chiÒu cao h¹ tõ M xuèng BC, suy ra: S MBC = SMEC Hai tam gi¸c ACD vµ CBD cã BD vµ cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng AB, suy ra: S ACD = đáy AD = Nèi B víi M V× AB = 3AD nªn AD = BD Hai tam giác ACD và DCB có đáy AD vµ DB, chung chiÒu cao h¹ tõ C tíi AB nªn SACD = S MÆt kh¸c, hai tam gi¸c DCB này có chung đáy CD nên từ tỉ số diện tích trªn, ta suy tØ sè c¸c chiÒu cao t¬ng øng AH = BI (1) V× BC = 4BE nªn BC = EC Hai tam giác BMC và EMC có đáy BC vµ EC, chung chiÒu cao h¹ tõ M tíi BC S MÆt kh¸c, hai tam EMC nªn SBMC = giác này có chung đáy MC nên từ tỉ số diện tÝch ë trªn suy tØ sè c¸c chiÒu cao t¬ng øng lµ: BI = EK (2) Tõ (1) vµ (2), ta cã: BI = AH = x EK = EK 3 Hai tam gi¸c MAC vµ MEC cã chung c¹nh đáy MC, từ tỉ số các chiều cao AH = EK SBCD Hai tam gi¸c ACD vµ BCD cã chung đáy CD nên chiều cao hạ từ A xuống CD b»ng chiÒu cao h¹ tõ B xuèng CD Hai tam gi¸c BMC vµ AMC cã chung c¹nh MC và có chiều cao gấp đôi nhau, suy ra: SAMC = S MÆt kh¸c, hai tam gi¸c BMC ACM vµ MCE cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng AE, suy ra: MA SAMC SAMC x SBMC ME SMEC SMEC x SBMC MA ME MA ME = = C¸ch x = VËy: (2) Nèi B víi M (nh h×nh vÏ) Ta cã: SACE = SABE x Vì đáy EC = 3BE Mà hai hình tam giác ACE và ABE chung đáy AE nên chiều cao h¹ tõ C xuèng AE gÊp lÇn chiÒu cao h¹ tõ B xuèng AE SABM = SADM x (1) V× chóng chung chiÒu cao h¹ tõ M xuèng AB vµ cã AB = 3AD SACM = SABM x (2) Vì chung đáy AM và cã chiÒu cao gÊp lÇn Tõ (1) vµ (2), ta cã: SACM = SADM x Coi SADM lµ phÇn th× SACD lµ 10 phÇn Hay: SACD = SADM x 10 VËy: C¸ch = S = ABC 45 Suy ra: SCME = SAEC = 45 (phÇn) 27 -9= (phÇn) Hai tam gi¸c CMA vµ CME cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng AE, nªn suy ra: MA = : 27 = ME C¸ch Mµ: SACD = S Vì đáy AD = ABC AB vµ cã chung chiÒu cao h¹ tõ C tíi AB Nªn: SABC = SADM x 10 x = SADM x 30 MÆt kh¸c, ta cã: SABM + SACM = SADM x + SADM x = SADM x 12 Suy ra: SBCM = SADM x (30 - 12 ) = SADM x 18 vµ SBME = SBCM : = SADM x 18 : = SADM x 4,5 SABM MA SADM x SBME ME SADM x 4,5 MA ME Nèi B víi M LËp luËn nh c¸ch 3, ta cã: SABC = 30 (phÇn) SACM = (phÇn) Nèi E víi D Hai tam gi¸c ACD vµ ABC cã AD = AB vµ cã chung chiÒu cao h¹ tõ C tíi AB nªn SACD = S (1) T¬ng tù ABC víi hai tam gi¸c AED vµ AEB, ta cã: S AED = SAEB (2) Hai tam gi¸c AEB vµ ABC BC vµ cã chung chiÒu cao h¹ tõ A tíi BC nªn SABE = S (3) Tõ ABC ®©y ta cã: SABE = S (4) Tõ (2) vµ AEC (3), ta cã: SAED = S (5) Tõ (2) vµ 12 ABC (4), ta cã: SAED = S Hai tam gi¸c AEC cã BE = Nèi B víi M LËp luËn nh c¸ch 3, ta cã: SABM = (phÇn); SABC = 30 (phÇn) Suy ra: SABE = 15 15 SABC = (phÇn) VËy: SBME - = (phÇn) Hai tam gi¸c = ABM vµ BME cã chung chiÒu cao h¹ tõ B xuống AE, nên suy tỉ số hai cạnh đáy là: MA =3: = ME C¸ch AED và AEC có chung đáy AE suy tỉ số c¸c chiÒu cao DP = CQ Hai tam gi¸c AMD và ACM có chung cạnh đáy AM, từ tØ sè c¸c chiÒu cao ë trªn, suy ra: SAMD = SACM Tæng diÖn tÝch hai tam gi¸c nµy lµ diÖn tÝch tam gi¸c ACD vµ b»ng SABC theo (1) Nªn SAMD = SABC (6) 30 12 Tõ (5) vµ (6), ta cã: SAMD = SAED = 30 SAED Hai tam gi¸c nµy cã chung (3) chiều cao DP, suy tỉ số hai cạnh đáy là MA = AE VËy: MA = ME C¸ch Nèi E víi D LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã: S (1) SACM = ABC SAEC = Nèi E víi D Hai tam gi¸c CBD vµ CAB cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng AB vµ cã BD = AB, nªn suy ra: SCBD = SCAB (1) 3 Hai tam gi¸c DBC vµ DEC cã chung chiÒu cao h¹ tõ D xuèng BC vµ cã EC = BC, nªn suy ra: SDEC = (2), ta cã: SDEC = S (2) Tõ (1) vµ DBC 3 SDBC = x 4 (2) Tõ (1) vµ (2), ta cã: SAEC = S 30 ABC 30 x SACM = S Hai tam gi¸c CAE vµ ACM CAM cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng AE nªn tõ tØ sè diÖn tÝch ta suy tØ sè hai cạnh đáy là: AE = Vậy: MA = AM ME C¸ch SCAB = S (3) MÆt kh¸c, ta cã: Hai CAB tam gi¸c CAD vµ CAB cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng AB vµ cã AD = AB, nªn suy ra: SCAD = S (4) Tõ (3) vµ (4), ta CAB cã: SDEC = SCAD Hai tam gi¸c DEC vµ CAD cã chung c¹nh CD nªn tõ tØ sè diÖn tÝch trªn ta suy tØ sè hai chiÒu cao lµ: EH = AI Hai tam gi¸c AMC vµ EMC cã chung c¹nh MC vµ cã tØ sè chiÒu cao EH = AI , nªn suy ra: SEMC = SAMC Hai 2 tam gi¸c nµy cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng AE nªn tõ tØ sè diÖn tÝch trªn ta suy tỉ số hai cạnh đáy là: ME = Hay: MA MA ME = C¸ch Nèi E víi D LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã: SAEC = SDEC = S (1) ABC 3 SBCD = x 4 SCAB = SCAB (2) Tõ (1) vµ (2), ta cã: SAEC = SDEC MÆt kh¸c, ta cã: SEDM = Suy ra: SDEC = AE ME = x 10 C¸ch 10 S EMC 10 SEMC Ta cã: SCAE SEMC 2 SCAE x SEDC SEMC x SEDC = VËy: MA ME = (4) Nèi E víi D LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã: SEDM = SDEC Nèi E víi D LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã: SAEC SABC SACD = SABC Suy ra: SAEC = SACD MÆt kh¸c, ta cã: SCAM = 10 9SDAM Suy ra: SACD = SCAM Ta cã: = AE MA SAEC SCAM SAEC x SACD SCAM x SACD x 10 = 1 S Suy 12 ABC SDEC = S ;S = CAB DAE ra: SDEC = 6SDAE Ta cã: ME AE SEDM SDAE = 10 10 SEDM x SDEC SDAE x SDEC x = VËy: MA ME = C¸ch 13 = VËy: MA S Suy ra: SEDM = EMC = ME C¸ch 11 KÎ ER song song víi DC Nèi R víi C, nèi E víi D Hai tam gi¸c RCE vµ RDE cã chung cạnh đáy RE, các chiều cao hạ từ D vµ C b»ng (do RE song song víi DC) nªn SRCE = SRDE (1) Hai tam gi¸c BRE vµ Nèi E víi D LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã: S Suy ra: SAMD = ACM SAMD = SCAD SCAD = S ; SEAD = ABC 10 S Suy 12 ABC ra: SCAD = SEAD Ta cã: MA AE SAMD SEAD = SAMD x SCAD SEAD x SCAD x4= 10 C¸ch 12 VËy: MA ME = BC vµ cã chung chiÒu cao h¹ tõ R tíi BC nªn SBRE = S BRC Do (1) nên SBRC = SBED đó SBRE = BRC cã BE = SBED Hai tam giác này có đáy cùng nằm trªn c¹nh AB vµ chung chiÒu cao h¹ tõ E tíi AB, suy BR = BD MÆt kh¸c: AB = 3AD nªn nÕu chia AB phÇn b»ng th× AD lµ phÇn vµ BD lµ phÇn VËy BR lµ phÇn vµ RD lµ phÇn, AR lµ phÇn Hai tam gi¸c MAD vµ MAR cã chung chiÒu cao h¹ tõ M tíi AR vµ cã AD = AR nªn SMDA = SMAR Nèi R 5 víi M, DM song song víi RE nªn S MDR = SDME Suy ra: SMAR = SADE VËy: SMDA = SADE (5) LËp luËn nh trªn ta cã: MA ME C¸ch 14 = = + AM = + MC n Hai tam gi¸c BNC vµ ANC cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng AB vµ cã BN = m AN Nèi B víi M, D víi E (nh h×nh vÏ) LËp luËn nh c¸ch 3, ta cã: SABC = 30 (phÇn) SABE = SABC = 15 (phÇn) Hai tam gi¸c EAD vµ EAB cã chung chiÒu cao h¹ tõ E xuèng AB vµ cã AD = AB, nªn suy ra: SEAD = SEAB = (phÇn) VËy: SDME = -1= (phÇn) Hai tam 2 gi¸c DAM vµ DME cã chung chiÒu cao h¹ tõ D xuèng AE nªn ta suy tØ sè hai c¹nh đáy là: MA = : = ME Thø hai, bµi to¸n võa gi¶i ë trªn lµ mét trêng hîp cña bµi to¸n tæng qu¸t sau: "Trªn c¸c c¹nh AC vµ AB cña h×nh tam gi¸c ABC lÊy c¸c ®iÓm M vµ N Nèi B víi M, C víi N BM vµ CN c¾t t¹i O H·y tÝnh OB nÕu biÕt BN = m vµ OM CM AM AN = n " Gi¶i: nªn suy : SBNC = m x SANC Hai tam gi¸c BNC và ANC có chung đáy NC nên từ tỉ số diÖn tÝch trªn suy chiÒu cao h¹ tõ B tíi NC b»ng m lÇn chiÒu cao h¹ tõ A tíi NC Hai tam gi¸c BOC vµ AOC cã chung c¹nh OC vµ cã tØ sè chiÒu cao b»ng m nªn suy ra: SBOC = m x SAOC Hai tam gi¸c BOC vµ MOC cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng BM nªn suy ra: OB SBOC SBOC x SAOC OM SMOC SMOC x SAOC OB SBOC SAOC OM SAOC SMOC VËy: OB = m x (1 + ) OM n - Nh bài toán đã giải trên là trờng hợp bài toán tổng quát m = vµ n = OB - §Æc biÖt nÕu m = n = th× = OM Đây là tính chất ba đờng trung tuyến tam giác Thø ba, qua bµi to¸n tæng qu¸t trªn ta thấy đợc mối quan hệ các tỉ số BN , AN CM AM víi tØ sè OB S©u s¾c h¬n n÷a lµ OM biết tỉ số này, ta tính đợc tỉ sè cßn l¹i Ch¼ng h¹n xÐt bµi to¸n sau: " Cho h×nh tam gi¸c ABC E lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC Nèi AE I lµ trung ®iÓm cña AE KÎ CI kÐo dµi c¾t AB t¹i M, kÎ BI kÐo dµi c¾t AC t¹i N TÝnh c¸c tØ sè: AM ; IM ; AN ; MB IN IB Gi¶i: Nèi A víi O ta cã: Hai tam gi¸c AOC vµ MOC cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng AC nªn suy ra: SAOC AC AM + MC SMOC MC MC " IC NC (6) Hai tam gi¸c ABE vµ AEC cã chung chiÒu cao h¹ tõ A xuèng BC vµ cã BE = EC nªn suy ra: SABE = SAEC = S Hai tam ABC gi¸c CAI vµ CIE cã chung chiÒu cao h¹ tõ C xuèng AE vµ cã AI = IE nªn suy ra: S CAI = SCIE = S = AEC S T¬ng tù, ta cã: ABC SIBE = SIEC; SBAI = SBIE Coi SIBE = (®vdt) th× SIBE = SIEC = SCAI = SBAI = (®vdt) vµ SBIC = (®vdt) V× SBIC = (®vdt); SCAI = (®vdt) nªn suy ra: chiÒu cao h¹ tõ B xuèng CM gÊp lÇn chiÒu cao h¹ tõ A xuèng CM hay SBIM = SIAM x Suy ra: SIAM = : (1 + 2) = = (®vdt); SBIM (đvdt) Tơng tự ta tính đợc: SIAN = (®vdt); SINC = (®vdt) VËy: 3 AM MB = SIAM : SBIM = : = 3 IM IC = SIAM : SCAI = : = AN NC = SIAN : SINC = : = IN IB 3 3 = SIAN : SBAI = : = 3 Thứ t, thay đổi cách phát biểu bài toán đã cho ta cã bµi to¸n míi sau: "Cho h×nh tam gi¸c ABE Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D cho AB = 3AD vµ trªn c¹nh AE lÊy ®iÓm M cho MA = ME §3 êng th¼ng DM c¾t c¹nh BE kÐo dµi t¹i ®iÓm C TÝnh tØ sè: BE " EC C¸c b¹n tù gi¶i bµi to¸n trªn nhÐ Ch¾c ch¾n cßn nhiÒu ®iÒu thó vÞ xung quanh bài toán đã nêu C¸c b¹n h·y cïng tiÕp tôc suy nghÜ nhÐ Phan nghÜa GVTrêng tiÓu häc S¬n Long, H¬ng S¬n, Hµ TÜnh (7)