Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 0 .Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM.. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2012 - 2013 Môn: Toán - Khối D Thời gian làm bài: 150 phút ******* -A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2x − đồ thị (C) x−2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần ,với I là giao tiệm cận của(C) 17 Câu II (2 điểm) Giải phương trình, hÖ phương trình x + y + x3 y + xy + xy = − cos x ( cos x − 1) = (1 + sin x ) 1) 2) sin x + cos x x + y + xy (1 + x) = − lượt A, B cho côsin góc ABI Câu III (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 60 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM a , mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM x +1 Câu IV (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = trên [− 1;2] x2 + Câu V (1 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn : < a ≤ 1; < b ≤ 1; < c ≤ Chứng minh rằng: = 1 1 + (a + b + c) ≥ + + + a b c abc B PHẦN DÀNH RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm phần phần Theo chương trình chuẩn Câu VI.A (2 điểm) Cho hình tam giác ABC có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I AC nằm trên đường thẳng y = x Tìm toạ độ đỉnh C Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log ( x − 2) + ( x − 5) log x − = log x − + ( x − 5) log ( x − 2) n n −1 Câu VII.A (1 điểm) Tìm số hạng không chứa x khai triển 2x + , biết A n − C n +1 = 4n + x Theo chương trình nâng cao Câu VI.B (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD biết phương trình đường chéo là: x + y − = , điểm B(0;-3), diện tích hình thoi 20 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại hình thoi ( ) ( ) Giải bất phương trình: log 9 x + ≥ x − log 28 − 2.3x 2009 Câu VII.B (1 điểm) Tính tổng S = C2009 + 2C2009 + 3C2009 + + 2010C2009 - HẾT Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:…………………… Chú ý: Học sinh không sử dụng tài liệu gì! Cán coi thi không giải thích gì thêm! http://toanhocmuonmau.tk (2) Câu ý I 1đ 1đ http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HS KHÁ GIỎI LẦN MÔN: TOÁN LỚP 12 – Khối D NỘI DUNG A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 2x − Cho hàm số y = đồ thị (C) x−2 + Học sinh tự làm bài khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2x − Gọi M ( x0 ; ) ∈ (C ) x0 ≠ x0 − 2x − ( x − x0 ) + (∆) Phương trình tiếp tuyến M: y=− ( x0 − 2) x0 − 2x − A(2; ) = (C ) ∩ TCĐ B(2 x0 − 2; 2) = (C ) ∩ TCN x0 − IA Do Cos ABI = nên Tan ABI = = IB 17 2 Ta IB = 16.IA ⇔ ( x0 − 2) = 16 ⇔ x0 = ; x0 = 3 KL: Tại M (0; ) phương trình tiếp tuyến: y = − x + Tại M (4; ) phương trình tiếp tuyến: y = − x + II PT 1 + sin x = ⇔ sin x + cos x + sin x cos x + = 1 + sin x = ⇔ (1 + sin x )( cos x + 1) = π x = − + k 2π ⇔ π x = + k 2π Kết luận: 1đ 1đ ⇔ (1 + sin x)(1 − sin x)(cos x − 1) = 2(1 + sin x)(sin x + cos x) x + y + x y + xy + xy = − x + y + xy + xy ( x + y ) = − ⇔ (*) x + y + xy (1 + x) = − 5 2 ( x + y ) + xy = − Điểm điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 5 u + v + uv = − v = − − u2 u = x + y 4 Đặt Hệ (*) trở thành ⇔ v = xy u + v = − u + u + u = 4 u = 0; v = − ⇔ u = − ; v = − 2 http://toanhocmuonmau.tk 0.25 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn x + y = 25 + Với u = 0, v = − ta có hệ và y = −3 ⇔x=3 16 xy = − + Với u = − , v = − ta có hệ 2 x + x − = x − x + = ⇔ x = và y = − ⇔ y = − y = − x 2x 25 và 1;− Vậy hệ có nghiệm là: ;−3 16 2 0.25 III 0.25 điểm HÌNH VẼ: HỌC SINH TỰ VẼ Ta có: (BCM) // AD nên mặt phẳng này cắt mp(SAD) theo giao tuyến MN // AD BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ BM Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao 0.25 BC ⊥ SA • MN SM MN • SA=ABtan600 = a , = ⇔ = 2a AD SA a 3 = ⇒ MN = a ,BM = 3 a a 3− 2a 0.25 Diện tích hình thang BCMN là : S = 1đ 4a 2a + BC + MN a = 10 a SBCNM = BM = 3 2 • Hạ AH ⊥ BM Ta có SH ⊥ BM và BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH Vậy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH là đường cao khối chóp SBCNM AB AM Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , = = SB MS 0.25 0.25 Vậy BM là phân giác góc SBA ⇒ SBH = 30 ⇒ SH = SB.sin300 = a • Thể tích chóp SBCNM ta có V = 10 3a3 SH SBCNM = 27 IV điểm Ta có y ' = 1đ 1− x (1 + x ) + x 2 y ' = ⇔ x = ∈ [− 1;2] y (− 1) = Lại có: y (1) = y (2 ) = max y = y (1) = và y = y (− 1) = Do đó, ta có: [−1; ] [−1; ] V 0.5 0.25 0.25 http://toanhocmuonmau.tk (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn điểm Vì < a ≤ 1, < b ≤ nên ( a − 1)( b − 1) ≥ ⇒ ab − a − b + ≥ ⇒ ≥ a + b − ab ⇒ ab1 ≥ 1a + b1 − Tương tự : 1 ≥ + − (2), bc b c (1) 1 ≥ + − (3) ca c a Cộng các BĐT (1), (2), (3) vế theo vế ta được: 1 1 1 + + ≥ 2 + + −3 ab bc ca a b c (4) 0.25 0.25 Sử dụng BĐT (4) và BĐT Cô–si ta có: 1đ 1 1 1 + + ≥ a + b + c + 2 + + −3 1 + (a + b + c) = a + b + c + ab bc ca abc a b c ≥2 0.25 ( a + b + c ) 1a + 1b + 1c + a1 + 1b + 1c − ( ) 1 1 + + ≥9 a b c Cũng theo BĐT Cô–si ta có : a + b + c Do đó: + 1 1 1 ( a + b + c ) ≥ + + + − = + + + (đpcm) abc a b c a b c 0.25 Dấu "=" xảy ⇔ a = b = c = B PHẦN DÀNH RIÊNG điểm I Theo chương trình chuẩn VIA điêm 1 2S△IAB 0.25 Dễ thấy S△ IAB = S△CAB = AB = ⇒ d(I, AB) = = AB Mặt khÁc pt đường thẳng AB: 2x + y − = Điểm I thuộc đt y=x giả sử I(a;a) ⇒ d(I, AB) = 2a + a − a= 4 4 ⇔ ⇒ I(0;0) I ; 5 3 3 a = 5 8 Do I là trung đểm AC nÊn C(-1;0) C ; 3 ⇒ 2a + a − 0.25 = http://toanhocmuonmau.tk 0.25 0.25 (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn + Với điều kiện < x − ≠ ⇔ < x ≠ Phương trình đã cho ⇔ log ( x − 2) + ( x − 5) log x −2 = log x − + ( x − 5) log ( x − 2) ⇔ ( x − 5) [log x −2 − log ( x − 2)] − 4[log x − − log ( x − 2)] = [ ] ⇔ ( x − 5) − [log x −2 − log ( x − 2)] = 0.25 ( x − 5) − = ⇔ log x −2 − log ( x − 2) = x = +) Giải phương trình ( x − 5) − = ⇔ x − = ±2 ⇔ x = 3(loai ) +) Giải phương trình: log x − − log ( x − 2) = Đặt log3(x-2) = t ta có: 1− t2 −t = ⇔ = ⇔ − t = ⇔ t = ±1 vì t ≠ t t x − = x = log ( x − 2) = +) Ta có: ⇔ ⇔ x log ( − ) = − x − = x= 3 Vậy phương có nghiệm là: x = ; x = và x = M(2;3; −7) VIIA 0.25 0.25 0.25 điẻm Giải phương trình A 2n − Cnn −+11 = 4n + (1); Điều kiện: n ≥ ; n ∈ N n(n + 1) (n + 1)! = 4n + (1) ⇔ n(n − 1) − = 4n + ⇔ n(n − 1) − 2!(n − 1)! n = −1 ⇔ n2 – 11n – 12 = ⇔ n ≥ nên n=12 n = 0.25 12 Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: 2x + Số hạng thứ k + khai triển là : x k 24 − 3k − 12 − k k k k 12 − k 2 (2x)12− k = C 2x x = C x ; k ∈ N, ≤ k ≤ 12 Tk +1 = C12 ( ) 12 12 x k ∈ N, ≤ k ≤ 12 Số hạng này không chứa x ⇔ k =8 24 − 3k = k Vậy số hạng thứ không chứa x là T9 = C12 24 = 7920 II Theo chương trình nâng cao VIB A D I 1đ B C http://toanhocmuonmau.tk 0.25 0.25 0.25 (6) http://toanhocmuonmau.violet.vn Phương trình AC: x + y − = , B(0;-3) Phương trình BD x − y − = Tọa độ I = AC ∩ BD ⇒ I (3; −2) Do I là trung điểm BD nên D (6; −1) 0.25 Gọi A( a; − 3a ) ∈ AC ta có BD = 10 …………………………………………………………………………………………… … a − 3(7 − 3a ) − 10 = 10 12 + 32 dt(ABCD)=2.dt(ABD) ⇒ 0.25 0.25 …………………………………………………………………………………………… …… ⇔ A1 (2;1); C1 (4; −5) a=2 a=4 A2 (4; −5); C2 (2;1) Đk: 28 − 2.3x > ⇔ 3x < 14 ( 0.25 ) ( ) 0.25 Bpt ⇔ log x + ≥ log 3x 28 − 2.3x …………………………………………………………………………………………… …… ⇔ 3.9 − 28.3 + ≥ ⇔ x ≥9 x 3x ≤ x 0.25 …………………………………………………………………………………………… …… ≤ So sánh điều kiện ta ≤ 3x < 14 0.25 x …………………………………………………………………………………………… …… KL: Tập nghiệm ( −∞; −1] ∪ [ 2; log 14 ) VIIB 2009 2009 Xét đa thức: f ( x) = x(1 + x) 2009 = x(C2009 + C2009 x + C2009 x + + C2009 x ) =C 2009 x+C 2009 x +C • Ta có: f ′( x) = C 2009 2009 x + + C + 2C 2009 x + 3C 2009 2009 2010 x 2009 2009 2009 x + + 2010C2009 x 2 2009 ⇒ f ′(1) = C2009 + 2C2009 + 3C2009 + + 2010C2009 (a) • Mặt khác: f ′( x) = (1 + x) 2008 ⇒ f / (1) = 2011.22008 2009 + 2009(1 + x) 2008 x = (1 + x) (2010 + x) (b) • Từ (a) và (b) suy ra: S = 2011.22008 L−u ý: Trên đây là h−ớng dẫn chấm.Tất cách giải khác, đúng thì ®−îc cho ®iÓm tèi ®a http://toanhocmuonmau.tk 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (7)