DE THI VAO 10

Xác định giá trị của k để đồ thị hàm số P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt 32. Trong trờng hợp đồ thị hàm số P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt.[r]

Đề tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh NINH BÌNH Năm học 2003 – 2004 Môn Toán Bài Cho phương trình: 2x2 + (a – 1)x + 2a – = Giải phương trình với a = Khi a = ta có nhận định phương trình có hai nghiệm x 1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = -1/2 và x1.x2 = 3/2 Nhận định đó đúng hay sai? Vì sao? Bài Cho đường thẳng d có phương trình: y = ax + b (a khác 0) Tìm a, b để đường thẳng qua hai điểm: M(1; 5) và N(-1; -1) Trong trường hợp a, b vừa tìm được thì điểm P(3; 11) có thuộc đường thẳng đó không? Vì sao? Câu a 3 3 a M  a  a  với a 0;a 9 Cho biểu thức: Rút gọn M Tìm a để M có giá trị bằng Tìm giá trị a nguyên để M có giá trị nguyên lớn 10 Tìm giá trị nguyên đó Câu Cho đường tròn đường kính AB = 2R Từ B kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi C là điểm trên cung AB; nối AC kéo dài cắt d tại E Giả sử C là điểm chính giữa cung AB Chứng minh tam giác ABE vuông cân Giả sử C là điểm bất kì trên cung AB (C không trùng với A và B) Gọi D là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (D không trùng với C và B) Nối AD kéo dài cắt D tại F a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AC.AE = AD.AF = const Bài Giải phương trình: x4 – 8x2 + x + 12 = Hướng dẫn câu khó Bài 5: x4 – 8x2 + x + 12 =  (x2 – x – 3)(x2 – x – 4) = Đề tuyển sinh vào lớp 10 NINH BÌNH Năm học 2004 – 2005 Môn Toán Bài (3 điểm) Tìm điều kiện xác định các biểu thức a) x  25 b) x  2 Giải hệ phương trình 2  x  y 5     1  x y Bài (2,5 điểm) Cho phương trình: x2 + 2mx – 2m – = Giải phương trình với m = Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị m Tìm nghiệm phương trình tổng bình phương các nghiệm nhận giá trị nhỏ nhất Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; D là một điểm trên AC; đường tròn đường kính DC cắt BC tại E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kính DC tại F Chứng minh rằng: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn AC là phân giác góc EAF Câu (1,5 điểm) 4 3 Chứng minh rằng a  b a b  ab với mọi a, b Tìm nghiệm nguyên phương trình: (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2 Hướng dẫn câu khó Câu 4: a  b a b  ab   a  b   a  ab  b  0 (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2  (xy – 2y)2 + (y2 – 2x)2 =   y 0 xy  2y 0     x 2 y  2x 0  y 2x Do đó có các nghiệm: (0; 0); (2; 2); (2; -2) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH NINH BÌNH Năm học 2005 – 2006 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất: y = 2x + b (1) a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R? Giải thích? b) Biết rằng đồ thị hàm số (1) qua điểm A(1; 3) Tìm b và vẽ đồ thị hàm số (1) 1 A  1 a  a  Câu 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A b) Tìm các số nguyên tố a để giá trị biểu thức A là một số nguyên Câu 3: (2,0 điểm) Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích bằnd 100 m Tính độ dài các cạnh thửa ruộng Biết nếu tăng chiều rộng thửa ruộng lên 2m và giảm chiều dài thửa ruộng 5m thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 5m Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) Từ một điểm P ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là các tiếp điểm; PA > R) với đường tròn (O) a) Chứng minh tứ giác PAOC nội tiếp được một đường tròn b) Tia AO cắt đường tròn (O) tại B; đường thẳng qua P và song song với AB cắt BC tại D Tứ giác AODP là hình gì? Chứng minh c) Gọi I là giao điểm OC và PD; J là giao điểm PC và DO; K là trung điểm AD Chứng minh I; J; K thẳng hàng Câu 5: (1,0 điểm) Cho hai số dương x, y có tổng bằng Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:    P       x  y   Hướng dẫn câu khó Câu 4: Hình vẽ: A K P O B J D C I a) Dễ rồi b) Chứng minh tứ giác BOPD là hình bình hành suy tứ giác OAPD là hình chữ nhật c) J là giao điểm hai đường cao tam giác OIP nên J là trực tâm K là trung điểm AD nên K là trung điểm OP Chứng minh tam giác OPI cân suy IK là đường cao nên qua trực tâm J hay I, J, K thẳng hàng Câu 5:   1  P       1    2 x  y  x y xy  1 1 P 1       2  x y  xy x y P 1  xy x  y  2xy 1  *  Ta có: x+y=1 suy ra: 2 Mặt khác 2xy x  y (**) P 1  1  9 xy Do đó: Từ (*) và (**) suy Dấu bằng xảy x=y=0,5 Vậy giá trị nhỏ nhất P là x = y = 0,5 xy  §Ò thi vµo 10 tỉnh NINH BÌNH N¨m häc 2006 - 2007 Bµi 1: (2 ®) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – x – 3a – = (cã Èn lµ x) Tìm a để phơng trình nhận x = là nghiệm? Bµi 2: (4 ®) Cho biÓu thøc 3 x x x A   x 3 x x 3 x x 1 a Rót gän A víi x ≥ 61 b TÝnh gi¸ trÞ cña A x =  Bµi 3: (4 ®) Cho hµm sè y = mx2 a Xác định m, biết đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = –3x + điểm M có hoành độ b»ng b Với m tìm đợc câu a, chứng minh đó đồ thị hàm số và đờng thẳng d có phơng trình y = kx – luôn cắt điểm phân biệt A, B với giá thị k x  x 2 c Gọi x1; x2 tơng ứng là hoành độ A và B Chứng minh Bµi 4: (7 ®) Cho đờng tròn (O; R) Điểm M nằm ngoài đờng tròn Vẽ các tiếp tuyến MC, MD (C, D là các tiếp điểm) và cát tuyến MAB qua tâm O đòng tròn (A M và B) a Chøng minh: MC2 =MA.MB b Gọi K là giao điểm BD và CA Chứng minh điểm B, C, M, K cùng thuộc đờng tròn  c Tính độ dài MK theo R CMD 60 Bµi 5: (1,5 ®) Tìm a, b hữu tỉ để phơng trình x2 + ax + b = nhận x =  là nghiệm Bµi 6: (1,5 ®) T×m x, y nguyªn tho¶ m·n ph¬ng tr×nh x + x2 + x3 = 4y + 4y2 HÕt Híng dÉn Bµi 5: Ph¬ng tr×nh x2 + ax + b = nhËn x =    2  a   lµ nghiÖm    b 0   2  a  a  b 0 a  0 a 2  a   a  b     a  b  0 b  Bµi x + x2 + x3 = 4y + 4y2  (x + 1)( x +1) = (1 + 2y)2 (1) §Æt (x + 1; x + 1) = d (d  N*) 2 Ta cã x +  d  x + x  d  ( x + x) – ( x + 1)  d  x –  d  (x + 1) – (x – 1)  d   d (2) Từ (1) ta có x + và x2+1 là số lẻ (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã d = (4) x  m Tõ (1) vµ (4)   (m;n  Z) x  n   n  x 1  n  x  Tõ x  n   n  x   n  x  1   hoÆc   n  x 1  n  x   x 0  4y  4y 0  y 0 hoÆc y = -1 §Ò thi TS 10 tỉnh NINH BÌNH N¨m häc 2007 – 2008 (Thêi gian 120 phót) Bµi 1: (3 ®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh a 2x – = b x – 7x + = 2x  y 4  x  c  x  2y 1 Rót gän c¸c biÓu thøc sau: xy x y A   xy  x xy  y x  y víi x > 0; y > 0; x  y a b B     c 546  84 42  253  63 Bµi 2: (2 ®) Cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = mx – (d1) và 3x + my = (d2) a Khi m =2, xác định hệ số góc và tìm tọa độ giao điểm hai đờng thẳng m2 b Khi (d1) và (d2) cắt M(x0; y0), tìm m để x0 + y0 = - m  c Tìm m để giao điểm (d1) và (d2) có hoành độ dơng còn tung độ thì âm Bµi 3: (3 ®) Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB Trên nửa đờng tròn lấy hai điểm C, D (C thuộc cung AD) cho CD = R Qua C kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt AB M Tiếp tuyến cña (O;R) t¹i A vµ B c¾t CD lÇn lît t¹i E vµ F, AC c¾t BD ë K a Chøng minh r»ng tø gi¸c AECM néi tiÕp vµ tam gi¸c EMF lµ tam gi¸c vu«ng b Xác định tâm và bán kính đờng trón ngoại tiếp tam giác KCD c T×m vÞ trÝ cña d©y CD cho diÖn tÝch tam gi¸c KAB lín nhÊt Bµi 4: (1 ®) Hai m¸y b¬m cïng b¬m níc vµo mét c¸i bÓ c¹n (kh«ng cã níc), sau giê th× bÓ ®Çy BiÕt để máy thứ bơm đợc nửa bể, sau đó máy thứ hai bơm tiếp (không dùng m¸y thø nhÊt n÷a) th× sau giê bÓ sÏ ®Çy Hái nÕu mçi m¸y b¬m riªng th× mÊt thêi gian bao l©u sÏ ®Çy bÓ níc Bµi 5: (1 ®) T×m c¸c sè h÷u tØ x vµ y cho Híng dÉn Bµi 2: 12   y  x 546  84 42  253  63  42    42 13  42  253  2.6  7    71  c 7    7  Bµi 3: K E I D C H F A M O B 0   b AKB 60  AIB 120 (Gãc ë t©m vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) R    Tø gi¸c OCID néi tiÕp  OCI ODI 90  ID = OD.tg300 = c  KCD  KBA S KCD  CD      S KBA 4S KCD S KBA  AB   S KBA lín nhÊt  S KCD lín nhÊt  KH lín nhÊt  H lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung lín CD đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCD   KCD cân   KBA cân  CD//AB Bµi x  y  *  12   y  x  x  y   x  y  xy 2   * *   * *  x  y  2 xy   1   x  y   4xy   3xy  3xy h÷u tØ m  x  y  2  3xy  §Æt = m víi m Q thay vµo (1) ta cã:  x    2m  0 xy   x  y   2m       x  y  0 x  y 2  y 1  (v× theo (*) th× x > y) §Ò thi tuyÓn sinh líp 10 THPT n¨m häc 2008 - 2009 M«n to¸n Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x + = x  y 4  2x  y 6 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:  Cho ph¬ng tr×nh Èn x sau: x2 – 6x + m +1 = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x1  x 26 C©u 2: (1,5 ®iÓm) Rót gän c¸c biÓu thøc sau: 1 A  2 5 2 B  2008  2009  1    2 2008  2009 C =  C©u 3: (2,0 ®iÓm) Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 300m TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng, biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m ®i lÇn vµ chiÒu réng t¨ng gÊp lÇn th× chu vi cña thöa ruéng không thay đổi C©u 4: (3,0 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng thẳng d cố định không giao Từ điểm M thuộc d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (O; R) (A, B là các tiếp điểm) Gọi I là giao điểm MO và cung nhỏ AB đờng tròn Chứng minh I là tâm đờng trßn néi tiÕp tam gi¸c MAB Cho biÕt MA = R , tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi hai tiÕp tuyÕn MA, MB và cung nhỏ AB đờng tròn (O; R) Chứng minh M thay đổi trên d thì đờng thẳng AB luôn qua điểm cố định C©u 5: (1,5 ®iÓm) 3 Cho A  26  15  26  15 Chøng minh r»ng A = x3 y3 z3   xy  yz  xz y z x Cho x, y, z lµ ba sè d¬ng Chøng minh r»ng 2 Tìm a  N để phơng trình x – a x + a + = có nghiệm nguyên 11 Hướng dẫn Bài 1: 1) x = -2 2) (x; y) = (2; 2) 3) a) x1 = 2; x2 = b) m = Bài 2: a) b) 2009  2008 c) 2009  Bài 3: Diện tích khu vườn: 5400 m2 Bài 4: A O P N B I H M d b) SAOBM = R2 R SQ  AOB 3  R S= c) Kẻ OH  d, gọi giao điểm AB và OH là N, giao điểm AB và OM là P Tứ giác HMPN nội tiếp nên ON.OH = OP.OM = R2 Do đó N là điểm cố định mà AB luôn qua Bài 5: x  y  x  y   x  xy  y  xy  x  y  x3   y x  x  y  y Tương tự suy điều phải chứng minh Câu 5: 3) Ta có: Để phương trình có nghiệm nguyên thì delta phải là số chính phương Đặt: với k là số nguyên Kết hợp với điều kiện a là số tự nhiên ta có: Kiểm tra với a= ta có delta (thỏa mãn) * Với a > Xét hiệu: Suy ra: Mặt khác Do đó: Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào nên số chính phương a>2 KL: a = không là TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NINH BÌNH N¨m häc 2009- 2010 Câu (2,5 điểm): Giải phương trình: Thực phép tính: 4x = 3x + A 5 12   48 1  x  y 1     5  x y Giải hệ phương trình sau: Câu (2,0 điểm): Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1), đó m là tham số Giải phương trình (1) m = 2 2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:4 x1 + x + 2x1x2 = Câu (1,5 điểm): Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A, người đó tăng vận tốc thêm km/h, vì thời gian ít thời gian là 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B Câu (2,5 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính R Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O;R) A Trên đường thẳng d lấy điểm H cho AH < R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d, cắt (O;R) hai điểm E và B (E nằm H và B) Chứng minh góc ABE góc EAH Trên dường thẳng d lấy điểm C cho H là trung điểm đoạn AC Đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn Xác định vị trí điểm H trên đường thẳng d cho AB = R Câu (1,5 điểm): Cho ba số a,b,c > Chứng minh rằng: 1 1  3  3  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc Tìm x, y nguyên thoả mãn: x + y + xy + = x2 + y2 GỢI Ý ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2009 - 2010 Câu 1: 4x = 3x + <=> x = A = √ 12 - √ + √ 48 = 10 √3 -4 √3 +4 √3 = 10 √3 đk : x 0; y ¿ 1 − =1 x y + =5 x y ⇔ 4 ¿ − =4 x y + =5 x y ⇔ ¿ =9 x = −1 y ⇔ ¿ y= x= ¿{ ¿ ( Thoả mãn điều kiện x 0; y Kl: … Cau 2: Phương trình: 2x2 + (2m-1)x + m - 1= (1) Thay m = vào phương trình (1) ta có 2x2 + 3x + = Có ( a - b + c = - + = 0) => Phương trình (1) có nghiệm x1 = -1 ; x2 = - 1/2 Phương trình (1) có Δ = (2m -1)2 - 8(m -1) = 4m2 - 12m + = (2m - 3)2 với m => Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1; x2 với giá trị m ¿ 1− m m −1 + Theo hệ thức vi ét ta có: x x 2= ¿{ ¿ + Theo điều kiện đề bài: 4x12 + 4x22 + x x = <=> 4(x1 + x2)2 - x x = x 1+ x 2= <=> ( - 2m)2 - 3m + = <=> 4m2 - 7m + = + Có a + b + c = => m1 = 1; m2 = 3/4 Vậy với m = m = 3/4 thì phương trình (1) có hai nghiệm x 1; x2 thoả mãn: 4x12 + 4x22 + x x Câu 3: Gọi vận tốc người xe đạp từ A đến B là x (km/h; x > 0) Thì vận tốc người đó từ B A là : x + (km/h) 36 (h) x 36 Thời gian người đó từ B A là: (h) x +3 Thời gian người đó từ A đến B là: Vì thời gian ít thời gian nên ta có phương trình : = 36 x 36 x +3 = <=> x2 + 3x - 180 = Có Δ = 729 > Giải được: x1 = 12 (thoả mãn điều kiện ẩn) x2 = -15 (không thoả mãn điều kiện ẩn) Vậy vận tốc người đó từ A đến B là 12 km/h Câu 4: Chứng minh: ∠ ABE = ∠ EAH ∠ ABE là góc nội tiếp chắn cung AE ∠ EAH là góc tạo tia tiếp tuyến AH và dây cung AE => ∠ ABE = ∠ EAH ( Hệ góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp + BH vuông góc với AC H => ∠ BHC = 900 + H là trung điểm AC (gt) + EH AC H (BH AC H; E BH) => Δ AEC cân E => ∠ EAH = ∠ ECH( t/c tam giác cân) ∠ ABE = ∠ EAH ( cm câu a) + O => ∠ ABE = ∠ ECH ( = ∠ EAH) => ∠ KBE = ∠ KCH => Tứ giác KBCH nội tiếp K => ∠ BKC = ∠ BHC = 900 => ∠ AKE = 900 (1)( Kề bù với ∠ BKC = 900) Mà ∠ EHA = 900 (2) ( EH AC H) Từ (1) và (2) => ∠ AKE + ∠ EHA = 1800 => Tứ giác AHEK nội tiếp A Xác định vị trí điểm H trên đường thẳng (d) cho AB = R √ + Kẻ ON vuông góc với AB N => N là trung điểm AB( Quan hệ vuông góc đường kính và dây cung) => AN = B N E H R √3 Ta có tam giác ONA vuông N theo cách dựng điểm N => tag ∠ NOA = AN : AO = √3 => ∠ NOA = 600 => ∠ OAN = ∠ ONA - ∠ NOA = 300 + ∠ OAH = 900 ( AH là tiếp tuyến (O) tiếp điểm A) => ∠ BAH = 600 + chứng minh : Δ BAC cân B có ∠ BAH = 600 => tam giác ABC R √3 R √3 => H là giao điểm (A; ) và đường thẳng (d) => AH = AC/2 = AC/2 = Chú ý : Bài toán có hai nghiệm hình: Câu 5: Với a > 0; b > 0; c > Chứng minh rằng: 1 1 + 3 + 3 ≤ abc a +b +abc b + c + abc c +a + abc HD: ta có a3 + b3 + abc = (a+b)(a2 + b2 - ab) + abc (a+b)(2ab - ab)+ abc ( vì (a-b)2 với a, b => a2 + b2 => a3 + b3 + abc ab(a+b) + abc = ab( a+b+c) 2ab) C 1 ≤ Vì a, b, c > => (1) 3 a +b +abc (a+ b+c) ab 1 ≤ Tương tự ta có: (2) 3 b +c +abc (a+b+ c) bc 1 ≤ (3) 3 c + a +abc (a+b+ c) ca Từ (1) ; (2); (3) => 1 a+b+ c + 3 + 3 ≤ = a +b +abc b + c + abc c +a + abc abc (a+ b+c ) abc Dấu "=" xảy a = b = c Vậy bất đẳng thức chứng minh Tìm x, y nguyên thoả mãn: x + y + xy + = x2 + y2 (*) <=> x2 - x(y + 1) + y2 - y - = (**) Vì x, y là nghiệm phương trình (*) => Phương trình (**) luôn có nghiệm theo x => Δ = (y+1)2 - (y2 - y - 2) => -3y2 + 6y + <=> - y2 + 2y + <=> (- y - y) + 3(y + 1) <=> (y + 1)(3 - y) Giải -1 y vì y nguyên => y {-1; 0; 1; 2; 3} + Với y = -1 => (*) <=> x2 = => x = + với y = => (*) <=> x2 - x - = có nghiệm x1 = -1; x2 = thoả mãn x Z + với y = => (*) <=> x2 - 2x - = có Δ ' = không chính phương +với y = => x2 - 3x = => x = x = thoả mãn x Z + với y = => (x-2) = => x = thoả mãn x Z Vậy nghiệm nguyên phương trình là: (x,y) {(− 1; 0) ;( ;− 1) ;( 2; 0) ;(0 ; 2); (3 ; 2);( 2; 3)} -Phụ lục : Đề từ 1996 đến 2003 Bµi §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 N¨m häc: 1996- 1997 ¿ ax+2 by=4 a Cho hÖ ph¬ng tr×nh (a+2) x − by=5 b ¿{ ¿ Bµi Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a = b = Tìm giá trị a và b để x = 2, y = là nghiệm hệ phơng trình Cho hµm sè y = 2x2 (P) vµ y = 2x + k (d) Xác định giá trị k để đồ thị hàm số (P) và (d) tiếp xúc Tìm tọa độ tiếp điểm? Xác định giá trị k để đồ thị hàm số (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt Trong trờng hợp đồ thị hàm số (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt Gọi (x1, y1) và (x2, y2) là tọa độ hai điểm đó TÝnh tØ sè: Bµi y1 − y2 x1 − x Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N cho BM = AN Chøng minh BN = CM BN cắt CM I Chứng minh AMIN là tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn Khi M và N thay đổi trên cạnh AB và AC (nhng ta luôn có BM = AN) thì I thay đổi trên đờng nào? Gi¶ sö AM=CN= AB TÝnh gãc AIC Bµi Cho biÓu thøc: B = x8 – x5 + x2 – x + m Tìm giá trị m để biểu thức A= √B cã nghÜa víi mäi gi¸ trÞ cña x N¨m häc: 1997- 1998 Bµi Bµi Cho ph¬ng tr×nh x2 + (1 – 4a)x + 3a2 + a = (x lµ Èn, a lµ tham sè) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi a = 2 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña a Trong phong trào đền ơn đáp nghĩa, đợt lớp 9A và 9B huy động đợc 70 ngày công để giúp đỡ các gia đình thơng binh, liệt sỹ Đợt hai lớp 9A huy động đợc vợt 20% số ngày công lớp 9B huy động vựot 15% số ngày công, đó hai lớp đã huy động đợc 82 ngày công Tính xem đợt lớp đã huy động đợc bao nhiêu ngày công Bµi Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC đoạn AC lấy điểm B và vẽ đờng tròn tâm I đờng kính AC Gọi M là trung điểm AB, từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AC Nối D với C, DC cắt đờng tròn t©m I t¹i F (F C) Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh ba ®iÓm E, B, F th¼ng hµng So s¸nh hai gãc EMF vµ DAE Xác định và giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MF với đờng tròn tâm I Bµi Chứng minh bất đẳng thức                           n  ( Víi n N, n 2) N¨m häc: 1998- 1999 Bµi 1 Thùc hiÖn phÐp tÝnh: Rót gän biÓu thøc: √5 −3 √ 20 √b+ 1+ √ b : √ a −1 √ a+1 Chøng minh biÓu thøc: √ b −1 víi a, b 0; a, b √ √ − √ 3(√ 3+1) cã gi¸ trÞ lµ sè nguyªn Bµi Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Bµi ¿ x + y=5 x −2 y=4 ¿{ ¿ ¿ + =5 x +1 y −3 − =4 x +1 y −3 ¿{ ¿ Cho đờng tròn tâm O, đờng kính EF, BC là dây cung cố định vuông góc với EF, A là ®iÓm bÊt k× trªn cung BFC ( A B, A C) Chøng minh AE lµ ph©n gi¸c gãc BAC Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AB Chứng minh BD song song với AE Gäi I lµ trung ®iÓm BD Chøng minh I, A, F th¼ng hµng M lµ mét ®iÓm trªn cung AB cho MA =k MB ( k không đổi), qua M vẽ đờng thẳng (d) vuông góc với AC Chứng minh A thay đổi trên cung BFC thì đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bµi Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chøng minh r»ng : ab + ac + bc abc N¨m häc 1999-2000 Bµi Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ mx+ ny=3 mx− ny=− ¿{ ¿ Bµi Bµi a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = n = b Tìm giá trị m và n để x = 2, y = là nghiệm hệ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= √ 4+2 √ 3+ √ −4 √3 Hai ngời xe đạp trên đoạn đờng AB Ngời thứ từ A đến B, cùng lúc đó ngời thứ hai ®i tõ B vÒ A víi vËn tèc b»ng Bµi Trên cạnh AB tam giác ABC lấy điểm D cho hai đờng tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD bàng Gọi O, O1, O2 theo thứ tự là tâm các đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, ACD vµ BCD a Chøng minh ba ®iÓm A, O1, O th¼ng hµng vµ ®iÓm B, O2, O th¼ng hµng b Chøng minh OO1.OB = OO2.OA c Đặt AB= c, AC= b, BC= a Tính độ dài CD theo a, b, c Cho bèn sè a, b, x, y tho¶ m·n: a x2+ ab (a + b)x b Bµi Bµi vËn tèc cña ngêi thø nhÊt Sau giê 30 phót th× hai ngêi gặp Hỏi ngời hết đoạn đờng AB bao lâu ? Bµi Bµi ( x+ y ) ( 0< a≤ x < y ≤ b Chøng minh 1 ( a+b ) + ≤ x y a.b ) N¨m häc: 2000- 2001 Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) ( víi m lµ tham sè) a Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = b Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m c T×m m cho ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n 3x1- 4x2= 11 Đờng sông từ thành phố A tới thành phố B ngắn đờng 25 km Để từ A tới B, ôtô hÕt giê 30 phót, can« ®i hÕt giê 10 phót VËn tèc «t« lín h¬n vËn tèc can« lµ 22km/h TÝnh vËn tèc cña can« vµ vËn tèc cña «t« Cho tam giác ABC, Gọi O là trung điểm cạnh BC, vẽ góc xOy 60 cho Ox cắt c¹nh AB t¹i M, Oy c¾t c¹nh AC t¹i N Chøng minh r»ng a Tam giác OBM đồng dạng với tam giác NCO, suy BC2 = 4.BM.CN b MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BMN Bµi c Đờng thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định góc xOy bàng 600, quay quanh O cho tia Ox, Oy vÉn c¾t hai c¹nh AB, AC cña tam gi¸c ABC theo thø tù t¹i M vµ N Cho a, b, c, p thứ tự là độ dài các cạnh và nửa chu vi tam giác Chøng minh 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c ( ) §¼ng thøc x¶y nµo? Bµi Bµi N¨m häc: 2001- 2002 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) x2 + 5x – 14 = 2) 2x + √ x −1 - 15 = 3) x4 + 5x3 – 10x2 + 10x + = Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ m2 x +(m−1) y =5 mx+(m+1) y=5 ¿{ ¿ Bµi 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 2) Tìm giá trị m để hệ phơng trình trên có nghiệm x = y = -5 Víi a ≥ , a ≠ , a ≠ Rót gän biÓu thøc P = (1− √ a − ):( √a+ − √ a+3 + √ a− √ a+2 ) − √ a − √ a a −5 √ a+6 Cho đờng tròn đờng kính AB, trên tia AB lấy điểm C cho B nằm AC, từ C kẻ đờng thẳng x vuông góc với AB, trên x lấy điểm D( D C) Nối DA cắt đờng tròn M, nối BD cắt đờng tròn N, nối CN cắt đờng tròn K 1) Chứng minh ADCN là tứ giác nội tiếp đờng tròn 2) Chøng minh AC lµ ph©n gi¸c cña gãc KAD 3) Kéo dài MB cắt đờng thẳng x S Chứng minh ba điểm S, A, N thẳng hàng Bµi Cho tam giác ABC vuông H, kẻ đờng cao AH Đặt HB = x, HC = y, AH = z, chứng minh r»ng: nÕu x + y + z = xyz th× z ≥ √ §¼ng thøc x¶y nµo? N¨m häc: 2002- 2003 Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) x2 – 10x + 21 = 2) x2 - √ x – = Bµi 2: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh 1) ¿ x+ y =11 x +3 y=5 ¿{ ¿ 2) Bµi 3: 5 + =11 x −1 y +1 ¿ + =5 x − y +1 ¿ ¿{ ¿ ¿¿ ¿ Víi a, b lµ sè bÊt kú; a Cho hµm sè y = ax + b (1) vµ y = ax2 (2) Tìm a và b để đồ thị hàm số (1) qua điểm A(1; 2), B(3; 0) 2.Tìm điều kiện a và b để đồ thị hàm số (1) cắt đồ thị hàm số (2) tạị điểm phân biệt Bµi 4: 1) 2) 3) Bµi 5: Cho đờng tròn tâm O, bán kính R Gọi d là đờng thẳng cắt đờng tròn điểm phân biệt (d không qua 0); M là điểm nằm trên d và nằm ngoài đờng tròn Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với đờng tròn; BC là đờng kính đờng tròn Chøng minh AC // M0 Từ O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC, đờng thẳng này cắt đờng thẳng AC D Chứng minh điểm M, B, O, A, D nằm trên đờng tròn Tìm M trên đờng thẳng d để tam giác AOC Hãy cách xác định M Gi¶i ph¬ng tr×nh 2(x2 -3x +2) = √ x3 +8 27-5-2010 Càm tạ tập thể Sư Phạm tỉnh Ninh Bình