De thi vao 10 chuyen Binh Dinh de so 1

Điều này mâu thuẫn với giả thiết. trên.[r]

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn

Đề số 1

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2003 – 2004

Thời gian làm 150 phút Ngày thi: 13/7/2003 Bài 1: ( 1,5 điểm).

Cho < a < , rút gọn biểu thức:

M = 

   

  

  

   

  

  

 

  



a a

a a

a a

a

a

1 1

1

1

2

Bài 2: ( 2,0 điểm).

Cho x, y hai số thỏa mãn đẳng thức:

4

2 2

 

 y

x x

( với x  0).

Xác định x, y để tích xy đạt giá trị bé Bài 3: ( 2,5 điểm).

Chứng minh với số nguyên n, phương trình:



2 1



1

2

   

 n n x

x khơng có nghiệm ngun.

Bài 4: ( 2,5 điểm).

Cho đường thẳng bất kỳ, đôi không song song Chứng minh tồn cặp đường thẳng số đường thẳng cho, mà góc hợp hai đường thẳng nhỏ 260

Bài 5: ( 1,5 điểm).

Chứng minh bên đường trịn (O; R) khơng thể vẽ 25 đường trịn có bán kính

R

mà đôi không cắt

HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: Tốn (Chuyên Toán)

-Bài 1: ( 1,5 điểm).

Với < a < 1, ta có:

A = a a

a a a a          1 1 1

= a



a a



a a a a           1 1 1

= a a

a a       1 1 =





a a a 1  

= a

a 2 2  

= a

a2 1 

(1) ( 0,5 điểm).

B = a

a a a a a a 1 1 1

1 2

2        

(2) ( 0,5 điểm). Từ (1) (2) ta suy ra:

M = a a2 1 

a

a

1  

=  ( 0,5 điểm).

Bài 2: ( 2,0 điểm).

Ta có: 4

1

2 2

   y x x  2

1 2

               

 x y xy

x x

( 0,5 điểm).  2 2                 

 x y

x x xy

2 

 ( 0,5 điểm). Vậy giá trị bé xy  2, điều xảy khi:

      y x

     y x

( 0,5 điểm). Kết luận: với 

    y x

     y x

tích xy đạt giá trị bé ( 0,5 điểm). Bài 3: ( 2,5 điểm).

Giải phương trình cho ta được:



2 1



3



2 1



3

2 ,

1  n  n 

x ( 0,5 điểm).

Đặt (2n1)3k, ( k  0) Vì n  Z nên k  Z Khi x1,2  k  k1

Giả sử có hai nghiệm số nguyên, chẳng hạn k  k1 = a số nguyên

Từ 2k12 k



k1



a2 hay k



k1



a2  2k số nguyên

 k



k1



số nguyên. ( 1,0 điểm).

Lại đặt k



k1



= m , (m  Z) hay



1



m k

k  

số hữu tỉ

Ta có k



k1



nghiệm phương trình x2 – k(k + 1) = với hệ số nguyên hệ số cao

nhất

Nếu k



k1



= t , (t  Z) hay k(k + 1) = t2 t chắn phải lớn k nhỏ k + 1.

Không có số nguyên thỏa mãn điều

Gọi đường thẳng cho trước a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 Từmột điểm O mặt

phẳng, ta kẻ đường thẳng b1, b2, b3, b4, b5, b6 b7 tương ứng song song với đường

thẳng cho

Theo giả thiết đường thẳng a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 đôi không song song, nên đường

thẳng b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7 khơng có hai đường thẳng trùng ( 1,0 điểm).

Do đường thẳng b1, b2, b3, b4, b5, b6 b7 cho ta góc liên tiếp kề nhau: (b1, b2); (b2, b3);

(b3, b4); (b4, b5); (b5, b6); (b6, b7); (b7, b1) Tổng góc 1800 ( 0,5 điểm).

Từ suy phải có góc góc nhỏ 260 Vì nếu

khơng có góc nhỏ 260 tổng góc lớn 1800 Điều mâu thuẫn với giả thiết

trên ( 0,5 điểm).

Giả sử (bi , bi+1) < 260 , suy (ai , ai+1) < 260 (với i = 1, 2, …, b8  b1 , a8  a1) ( đpcm)

( 0,5 điểm). Bài 5: ( 1,5 điểm).

Giả sử vẽ 25 đường trịn có bán kính R

mà đôi không cắt nằm đường trịn (O; R)

Khi ta có:

2

25 

    R 

< .R2  R2 < R2 , vô lý. ( 1,0 điểm).

Vậy khơng thể vẽ 25 đường trịn có bán kính R

mà đơi khơng cắt nằm

trong đường tròn (O; R) ( 0,5 điểm).