Tính chất hai tiếp tuyến đường tròn cắt nhau: Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:a Điểm đó cách đều hai tiếp điểm b Tia kẻ từ điểm đó đến tâm của đường tròn là p[r]
(1)ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC - RÚT GỌN BIỂU THỨC I CĂN THỨC: Kiến thức bản: Đưa thừa số vào căn: Điều kiện tồn : √ A Có nghĩa ⇔ A ≥0 ( A ≥ 0; B ≥ 0) A √ B=√ A B 2 Hằng đẳng thức: √ A =| A| ( A<0 ; B ≥0) A √ B=− √ A B Liên hệ phép nhân và phép khai phương: A √A.B = Khử thức mẫu: ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B= A B √ √ √ B √B Liên hệ phép chia và phép khai phương: (B>0) A √A Trục thức mẫu: ( A ≥ 0; B>0) = B √B C( √ A ∓ √ B) C = A−B √ A ± √B Bài tập: Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) √ −2 x+3 2) 3) 4) 5) √ x + 6) √ 1+ x 7) −2 x x +3 x −3 −5 x +5 x +6 √ √ √ √ Rút gọn biểu thức 1) 16 121 2) √ 5+ √ 20 −3 √ 45 3) √ 32+ √ −5 √ 18 4) √ 12 − √ 27+5 √ 48 81 2 ( √ 2+ 2) √ 2− √ 7) 8) 1 2 + − 9) 10) −3 √ 4+3 √ √5 −2 √5+2 11) √ 28− √ 14+ √¿ ¿ ¿ √ √ 14 −3 √ 2¿ 2+ √ 28 13) ¿ √ − √ ¿2 − √120 14) 16) 17) 19) 2) 4) √ x −5=3 √ x − √ 50=0 x − 3¿ ¿ 5) √ x − √ 12=0 6) ¿ √¿ 13) 64 x 64 25 x 25 x 20 15 x −1 14) √ 25 x −25 − =6+ √ x −1 √ II CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP: 8) 12) 18) Giải phương trình: 1) √ x −1= √5 3) √ 9(x − 1)=21 √ ¿ √ −3 √ ¿2 +2 √ 6+ √ 24 ¿ √ 3− 2¿ ¿ √ 3− 1¿ ¿ ¿ √¿ ( √ 19− 3)( √19+ 3) x −12 ¿2 ¿ ¿ x+ √ ¿ √ 7+ √ + √7 − √5 √7 − √ √ 7+ √ x −1 ¿2 ¿ 7) √ x +4 x +1=6 8) ¿ √¿ 1− x ¿ ¿ 9) √ x 2=6 10) 4¿ √¿ 11) √3 x+1=2 12) √3 3− x=−2 x 4x x 2 7 36 15) x x x 16) x (2) Bài Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A x 2x x x x x 2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 x 1 x x x x x 1 Bài 3: Cho biểu thức A = 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị nào x thì A< -1 Bài 5: Cho biểu thức : 1 x − + √ B = √ x − 2 √ x +2 − x a; Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B b; Tính giá trị B với x =3 c; Tìm giá trị x để | A|= Bài 6: Cho biểu thức : √ x+1 + √ x + 2+5 √ x P= √ x − √ x+ − x a; Tìm TXĐ b; Rút gọn P c; Tìm x để P = Bài Cho biểu thức : a4 a 4 4 a a 2 a ( Với a ; a ) P= 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị a cho P = a + Bài 4: Cho biểu thức x x x x (1 )(1 ) x x A = ( Với x 0; x 1 ) a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - Bài 7: Cho biểu thức: 1 a+1 √ a+2 − ¿ :( √ − ) Q=( a − a a √ √ √ − √ a −1 a; Tìm TXĐ rút gọn Q b; Tìm a để Q dương c; Tính giá trị Biểu thức biết a = 9- Bài 8: Cho biểu thức: √ a − a − √ a − a+ √ a M= 2 √ a √ a+1 √ a −1 a/ Tìm ĐKXĐ M b/ Rút gọn M Tìm giá trị a để M = - ( )( √5 ) CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT I HÀM SỐ BẬC NHẤT: Kiến thức bản: Định nghĩa: Hàm số bậc có dạng: y=ax +b Trong đó a; b là các hệ số a ≠ Như vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax +b là hàm số bậc là: a ≠ Tính chất: + TXĐ: ∀ x ∈ R + Đồng biến a> Nghịch biến a< Đồ thị: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc là đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b cắt trục b hoành điểm có hoành độ − a Điều kiện để hai đường thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + (d1) cắt (d2) ⇔ a≠ a , +(d1) cắt (d2) điểm trên trục tung a a’ và b=b' ' +(d1) (d2) a a =−1 + (d1) // (d2) ⇔ a=a , ; b ≠ b' + (d1) (d2) ⇔ a=a , ; b=b' Hệ số góc đường thẳng là a + là góc tạo đường thẳng y = ax + b với trục hoành Ox: 0 Trường hợp: a > thì tan a ( 90 ) tan a 00 900 Trường hợp: a < thì = 180 và ( ) CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP: (3) - Dạng1: Xác dịnh các giá trị các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính giá trị y Cặp giá trị x và y là toạ độ giao điểm hai đường thẳng Tính chu diện tích các hình tạo các đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng -Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b và trục Ox -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: -Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1) Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta phương trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm giá trị a và b + Thay giá trị a và b vào y = ax + b ta phương trình đường thẳng cần tìm BÀI TẬP TỔNG HỢP y x 2 Bài 1: Cho hàm số: a) Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến? b) Xác định giao điểm A,B đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành Vẽ đồ thị hàm số c.Tính góc tạo đường thẳng trên với trục Ox d) Tính diện tích tam giác OAB e) Tìm toạ độ điểm M là giao điểm đường y x 2 thẳng và đường thẳng y x Bài 2: Cho hàm số y = (m - 2)x + 3m + có đồ thị là (d) a, Tìm m để hàm số trên là hàm số đồng biến b, Tìm m để (d) song song với đường thẳng y = 3x + 2; c, Tìm m (d) cắt đường thẳng y = -x; 1 2; 2 d, Tm m (d) để qua điểm A e, Với giá trị nào m để (d) tạo với trục Ox góc nhọn f, Với giá trị nào m để (d) cắt trục Ox điểm có hoành độ CHỦ ĐỀ 3: g ,Với giá trị nào m để (d) cắt trục Oy điểm có tung độ h, Tìm m để (d) cắt đường thẳng y = x + điểm có haònh độ Tìm điểm cố định mà (d) luôn qua Bài : Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m ¿ và y = (2 - m)x + ; (m≠ 2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3) x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = x a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A và B là giao điểm (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? HÌNH HỌC I HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Hệ thức cạnh và đường cao: 2 a =b +c + a h=b c h2=b, c , Hệ thức cạnh và góc: + + , , + b a.b ; c a.c 1 = + + h2 b , c, (4) Hệ thức cạnh và góc: + b a.SinB ; c a.SinC + b a.CosC ; c a.CosB + b c.TanB ; c b.TanC + b c.CotC ; c b.CotB Tỷ số lượng giác: D K D K Sin ; Cos ; Tan ; Cot H H K D Tính chất tỷ số lượng giác: 1/ Nếu α + β=900 Sin α=Cos β Tg α =Cotg β Thì: Cos α =Sin β Cotg α =Tg β 2/Với α nhọn thì < sin α < 1, < cos α <1 *sin2 α + cos2 = *tg α = sin α /cos α *cotg α = cos α /sin α *tg α cotg α =1 II ĐƯỜNG TRÒN: .Sự xác định đường tròn: Muốn xác định đường tròn cần biết: + Tâm và bán kính,hoặc + Đường kính( Khi đó tâm là trung điểm đường kính; bán kính 1/2 đường kính) , + Đường tròn đó qua điểm ( Khi đó tâm là giao điểm hai đường trung trực hai đoạn thẳng nối hai ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến điểm đó) Tính chất đối xứng: + Đường tròn có tâm đối xứng là tâm đường tròn + Bất kì đường kính vào là trục đối xứng đường tròn Các mối quan hệ: Quan hệ đường kính và dây: + Đường kính (hoặc bán kính) Dây ⇔ Đi qua trung điểm dây Quan hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây ⇔ Chúng cách tâm + Dây lớn ⇔ Dây gần tâm Vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn: + Đường thẳng không cắt đường tròn ⇔ Không có điểm chung ⇔ d > R (dlà khoảng cách từ tâm đến đường thẳng; R là bán kính đường tròn) + Đường thẳng cắt đường tròn ⇔ Có điểm chung ⇔ d < R + Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ⇔ Có điểm chung ⇔ d = R Tiếp tuyến đường tròn: Định nghĩa: Tiếp tuyến đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đó Tính chất: Tiếp tuyến đường tròn thì vuông góc với bán kính đầu mút bán kính (tiếp điểm) 3.Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vuông góc đầu mút bán kính đường tròn là tiếp tuyến đường tròn đó Tính chất hai tiếp tuyến đường tròn cắt nhau: Hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì:a) Điểm đó cách hai tiếp điểm b) Tia kẻ từ điểm đó đến tâm đường tròn là phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm đường tròn là tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đường cao AH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác D a/ Chứng minh: AD là đường kính b/ Tính góc ACD c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính đường tròn tâm (O) Bài Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đường tròn ( B , C là tiếp điểm ) a/ Chứng minh: OA BC b/Vẽ đường kính CD chứng minh: BD// AO c/ Tính độ dài các cạnh tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = cm? Bài 3: Cho đường tròn đường kính AB Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn G ọi E , F là chân đường vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh: a/ CE = CF b/ AC là phân giác góc BAE c/ CH2 = BF AE (5) Bài 4: Cho đường tròn đường kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đường tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ nó cắt Ax C cắt B y D gọi N là giao điểm BC Và AO CMR CN NB a/ AC BD b/ MN AB c/ góc COD = 90º Bài 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M BN cắt đường tròn C Gọi E là giao điểm AC và BM a)CMR: NE AB b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M CMR: FA là tiếp tuyến (O) c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến đtròn (B;BA) d/ Chứng minh : BM.BF = BF2 – FN2 Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn ( M A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By C và D a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 900 b) Chứng minh: AC.BD = R2 c) OC cắt AM E, OD cắt BM F Chứng minh EF = R d) Tìm vị trí M để CD có độ dài nhỏ Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Qua A và B vẽ tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M và cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) N a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân b/ Hạ OI vuông góc với MN Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến đường tròn (O) c/ Chứng minh AM.BN = R2 d/ Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ Vẽ hình minh hoạ (6)