Với mục tiêu giúp các bạn học sinh có thêm tư liệu để phục vụ ôn luyện, củng cố kiến thức, luyện thi đại học hiệu quả, Tailieu.vn giới thiệu tài liệu Tổng hợp đề thi Đại học môn Toán có đáp án chi tiết được sưu tầm từ các đề thi từ các năm. Mời các bạn cùng tham khảo!
Tổng hợp đề thi Đại học mơn Tốn có đáp án chi tiết ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối A khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2( m + 1) x + m (1), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin x + cos x = cos x − ⎧ x3 − x − x + 22 = y + y − y ⎪ ( x, y ∈ \) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ 2 x + y − x + y = ⎪ ⎩ + ln( x + 1) dx x Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Câu (1,0 điểm) Cho số thực x, y , z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ P = | x− y | + | y − z | + | z − x | − x + y + z II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm 11 cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = ND Giả sử M đường thẳng AN có ; 2 phương trình x − y − = Tìm tọa độ điểm A x +1 y z − Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = điểm I (0; 0;3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I Câu 9.a (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn −1 = Cn3 Tìm số hạng chứa x khai ( ( ) ) n nx − , x ≠ triển nhị thức Niu-tơn 14 x B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ): x + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vng x +1 y z − Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : , mặt = = 1 phẳng ( P ): x + y − z + = điểm A(1; −1; 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d (P) M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN 5( z + i ) Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn = − i Tính mơđun số phức w = + z + z z +1 HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối A khối A1 (Đáp án – thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) (2,0 điểm) Khi m = 0, ta có: y = x − x • Tập xác định: D = \ • Sự biến thiên: 0,25 − Chiều biến thiên: y ' = x3 − x; y ' = ⇔ x = x = ±1 Các khoảng nghịch biến: (− ∞; −1) (0; 1); khoảng đồng biến: (−1; 0) (1; + ∞) − Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = ±1, yCT = −1; đạt cực đại x = 0, yCĐ = − Giới hạn: lim y = lim y = + ∞ x→−∞ − Bảng biến thiên: 0,25 x→+∞ x −∞ y' –1 – 0 + +∞ +∞ – + +∞ 0,25 y –1 –1 • Đồ thị: y 0,25 –1 O –2 x –1 b) (1,0 điểm) Ta có y ' = x − 4( m + 1) x = x ( x − m − 1) Đồ thị hàm số có điểm cực trị m + > ⇔ m > −1 (*) 0,25 Các điểm cực trị đồ thị A(0; m ), B(− m + 1; − 2m − 1) C ( m + 1; − 2m − 1) JJJG JJJG Suy ra: AB = ( − m + 1; − ( m + 1) ) AC = ( m + 1; − ( m + 1) ) JJJG JJJG Ta có AB = AC nên tam giác ABC vuông AB AC = 0,25 ⇔ ( m + 1) − ( m + 1) = Kết hợp (*), ta giá trị m cần tìm m = 0,25 Trang 1/4 0,25 Câu Đáp án Điểm Phương trình cho tương đương với ( sin x + cos x − 1) cos x = (1,0 điểm) π • cos x = ⇔ x = + kπ (k ∈ ]) π π • sin x + cos x − = ⇔ cos x − = cos 3 2π + k 2π (k ∈ ]) ⇔ x = k 2π x = π 2π + k 2π (k ∈ ]) Vậy nghiệm phương trình cho x = + kπ, x = k 2π x = 3 3 ⎧( x − 1) − 12( x − 1) = ( y + 1) − 12( y + 1) (1) ⎪ (1,0 điểm) Hệ cho tương đương với: ⎨ 12 12 + y+ = (2) ⎪⎩ x − 2 1 1 Từ (2), suy −1 ≤ x − ≤ −1 ≤ y + ≤ ⇔ − ≤ x − ≤ − ≤ y + ≤ 2 2 2 3 Xét hàm số f (t ) = t − 12t ⎡⎢− ; ⎤⎥ , ta có f '(t ) = 3(t − 4) < , suy f(t) nghịch biến ⎣ 2⎦ Do (1) ⇔ x – = y + ⇔ y = x – (3) 2 3 + x− = ⇔ x − x + = ⇔ x = x = Thay vào (2), ta x − 2 2 3 Thay vào (3), ta nghiệm hệ ( x; y ) = ; − ( x; y ) = ; − 2 2 dx dx Đặt u = + ln( x + 1) dv = , suy du = v = − (1,0 điểm) x +1 x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( + ln( x + 1) I=− + x = + ln + 3 ∫( ( ) dx ∫ x( x + 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ) + ln x 1 + ln dx = − x +1 x x +1 0,25 2 = + ln − ln 3 (1,0 điểm) 0,25 0,25 S n góc SC (ABC), suy SCH n = 60o Ta có SCH a a Gọi D trung điểm cạnh AB Ta có: HD= , CD = , a a 21 HC = HD + CD = , SH = HC.tan60o = 3 0,25 1 a 21 a a = VS ABC = SH S ∆ABC = 3 12 0,25 Kẻ Ax//BC Gọi N K hình chiếu vng góc H Ax SN Ta có BC//(SAN) BA = HA nên d ( SA, BC ) = d ( B,( SAN )) = d ( H ,( SAN )) Ta có Ax ⊥ ( SHN ) nên Ax ⊥ HK Do HK ⊥ ( SAN ) Suy d ( H ,( SAN )) = HK 0,25 K A x N D C H B AH = 2a a , HN = AH sin 60o = , HK = 3 SH HN SH + HN Trang 2/4 = a 42 a 42 Vậy d ( SA, BC ) = 12 0,25 Câu Đáp án Điểm Ta chứng minh 3t ≥ t + 1, ∀t ≥ (*) (1,0 điểm) Xét hàm f (t ) = 3t − t − , có f '(t ) = 3t ln − > 0, ∀t ≥ f (0) = , suy (*) 0,25 Áp dụng (*), ta có | x− y | + | y− z | + | z− x | ≥ 3+ | x − y | + | y − z | + | z − x | Áp dụng bất đẳng thức | a | + | b | ≥ | a + b | , ta có: (| x − y | + | y − z | + | z − x |) = | x − y |2 + | y − z |2 + | z − x |2 + | x − y |(| y − z | + | z − x |) + | y − z |(| z − x | + | x − y |) ( 2 ) 0,25 + | z − x |(| x − y | + | y − z |) ≥ | x − y | + | y − z | + | z − x | ( ) Do | x − y | + | y − z | + | z − x | ≥ | x − y |2 + | y − z |2 + | z − x |2 = x + y + z − ( x + y + z ) 2 0,25 Mà x + y + z = 0, suy | x − y | + | y − z | + | z − x | ≥ x + y + z Suy P = | x− y | + | y−z | + | z−x | − x + y + z ≥3 Khi x = y = z = dấu xảy Vậy giá trị nhỏ P Gọi H giao điểm AN BD Kẻ đường thẳng qua H 7.a song song với AB, cắt AD BC P Q (1,0 điểm) Đặt HP = x Suy PD = x, AP = 3x HQ = 3x A B Ta có QC = x, nên MQ = x Do ∆AHP = ∆HMQ, suy AH ⊥ HM Hơn nữa, ta có AH = HM M 10 Do AM = MH = 2d ( M ,( AN )) = H Q P A∈AN, suy A(t; 2t – 3) C D 11 45 10 N + 2t − = MA = ⇔ t− 2 2 ) ( ( ) ⇔ t − 5t + = ⇔ t = t = Vậy: A(1; −1) A(4;5) ) JJJG JJJG JJG 2 IH ⊥ AB ⇔ IH a = ⇔ t − + 4t + t − = ⇔ t = ⇒ IH = − ; ; − 3 3 Tam giác IAH vng cân H, suy bán kính mặt cầu (S) R = IA = IH = Do phương trình mặt cầu cần tìm ( S ): x + y + ( z − 3)2 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 9.a n(n − 1)(n − 2) n −1 (1,0 điểm) 5Cn = Cn ⇔ 5n = 0,25 ⇔ n = (vì n nguyên dương) n 0,25 0,25 JJG 8.a Véc tơ phương d a = (1; 2; 1) Gọi H trung điểm AB, suy IH ⊥ AB JJJG (1,0 điểm) Ta có H ∈d nên tọa độ H có dạng H (t −1; 2t ; t + 2) ⇒ IH = (t −1; 2t ; t −1) ( 0,25 0,25 7 2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ nx ⎛x ⎞ Khi ⎜ − ⎟ =⎜ − ⎟ = C7k ⎜ ⎟ x⎠ ⎝ x ⎠ k =0 ⎝ ⎠ ⎝ 14 ∑ 7−k (− 1x ) = ∑ (−21)7−kC7 x14−3k k k k 0,25 k=0 Số hạng chứa x5 tương ứng với 14 − 3k = ⇔ k = Do số hạng cần tìm (−1)3 C73 35 x = − x5 16 Trang 3/4 0,25 Câu Đáp án 7.b (1,0 điểm) Điểm Phương trình tắc (E) có dạng: y O x2 a2 + y2 b2 = 1, 0,25 với a > b > 2a = Suy a = A x Do (E) (C) nhận Ox Oy làm trục đối xứng giao điểm đỉnh hình vng nên (E) (C) có giao điểm với tọa độ dạng A(t ; t ), t > 0,25 A∈(C) ⇔ t + t = 8, suy t = 0,25 A(2;2) ∈ ( E ) ⇔ 16 4 + = ⇔ b2 = 16 b Phương trình tắc (E) 8.b (1,0 điểm) M thuộc d, suy tọa độ M có dạng M(2t – 1; t; t + 2) x2 y + = 16 16 0,25 0,25 MN nhận A trung điểm, suy N(3 – 2t; – – t; – t) 0,25 N∈(P) ⇔ − 2t − − t − 2(2 − t ) + = ⇔ t = 2, suy M(3; 2; 4) 0,25 Đường thẳng ∆ qua A M có phương trình ∆ : x −1 y + z − = = Đặt z = a + bi (a, b ∈ \), z ≠ −1 9.b (1,0 điểm) 5( z + i ) = − i ⇔ (3a − b − 2) + (a − 7b + 6)i = Ta có z +1 0,25 0,25 ⎧3a − b − = ⎧a = ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩ a − 7b + = ⎩b = 0,25 Do z =1+i Suy w = + z + z =1+1+ i + (1+ i )2 = + 3i 0,25 Vậy w = + 3i = 13 0,25 - HẾT - Trang 4/4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − (3m + 2) x + 3m có đồ thị (Cm ), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm ) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình cos5 x − 2sin 3x cos x − sin x = ⎧ x( x + y + 1) − = ⎪ ( x, y ∈ \) Giải hệ phương trình ⎨ ⎪⎩( x + y ) − x + = Câu III (1,0 điểm) dx e −1 Tính tích phân I = ∫ x Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ', I giao điểm AM A ' C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( IBC ) Câu V (1,0 điểm) Cho số thực không âm x, y thay đổi thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = (4 x + y )(4 y + 3x) + 25 xy PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2;0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình x − y − = x − y − = Viết phương trình đường thẳng AC Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(2;1;0), B (1;2;2), C (1;1;0) mặt phẳng ( P) : x + y + z − 20 = Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng ( P ) Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện | z − (3 − 4i ) |= B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + y = Gọi I tâm (C ) Xác định n = 30D toạ độ điểm M thuộc (C ) cho IMO x+2 y−2 z = = mặt phẳng 1 −1 ( P ) : x + y − z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm ( P) cho d cắt vng góc với đường thẳng Δ Câu VII.b (1,0 điểm) x2 + x − Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân x biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng Δ : BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối: D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Khảo sát… Khi m = 0, y = x − x • Tập xác định: D = \ • Sự biến thiên: 0,25 - Chiều biến thiên: y ' = x3 − x; y ' = ⇔ x = ±1 x = Hàm số nghịch biến trên: (−∞ ; − 1) (0;1); đồng biến trên: (−1;0) (1; + ∞) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = ±1, yCT = −1; đạt cực đại x = 0, yCĐ = - Giới hạn: lim y = lim y = +∞ x →−∞ 0,25 x →+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ −1 y' − + − + +∞ y −1 −1 • Đồ thị: +∞ +∞ 0,25 y 0,25 −2 −1 O −1 x (1,0 điểm) Tìm m Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm ) đường thẳng y = −1: x − (3m + 2) x + 3m = −1 Đặt t = x , t ≥ 0; phương trình trở thành: t − (3m + 2)t + 3m + = ⇔ t = t = 3m + 0,25 ⎧0 < 3m + < Yêu cầu toán tương đương: ⎨ ⎩3m + ≠ 1 ⇔ − < m < 1, m ≠ II (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình cho tương đương: cos5 x − (sin x + sin x) − sin x = 0,25 cos5 x − sin x = sin x 2 ⎛π ⎞ ⇔ sin ⎜ − x ⎟ = sin x ⎝3 ⎠ ⇔ 0,25 Trang 1/4 Câu Đáp án ⇔ π − x = x + k 2π Vậy: x = π 18 +k π π − x = π − x + k 2π x = − π +k π ( k ∈ ] ) Điểm 0,25 0,25 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình… ⎧ ⎪⎪ x + y + − x = Hệ cho tương đương: ⎨ ⎪( x + y ) − + = ⎪⎩ x2 ⎧ ⎧ ⎪x + y = x −1 ⎪⎪ x + y = x − ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎪⎛ − ⎞ − + = ⎪ −6 +2=0 ⎜ ⎟ ⎪⎩⎝ x ⎠ ⎪⎩ x x x ⎧1 ⎧1 ⎪⎪ x = ⎪ =1 ⇔ ⎨x ⎨ ⎪⎩ x + y = ⎪x + y = ⎪⎩ x = ⎧ ⎧x = ⎪ ⇔ ⎨ ⎨ y = ⎩ ⎪⎩ y = − 3⎞ ⎛ Nghiệm hệ: ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ⎜ 2; − ⎟ 2⎠ ⎝ III 0,25 0,25 0,25 Tính tích phân… (1,0 điểm) Đặt t = e x , dx = e3 dt I=∫ = t (t − 1) e dt ; x = 1, t = e; x = 3, t = e3 t e3 ⎛ 1⎞ ∫ ⎜⎝ t − − t ⎟⎠ dt 0,25 0,25 e e3 IV 0,25 e3 = ln| t − 1| e − ln| t | e 0,25 = ln(e + e + 1) − 0,25 Tính thể tích khối chóp (1,0 điểm) M A' I C' B' 2a 3a K A C H a B Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; IH đường cao tứ diện IABC IH CI 2 4a = = ⇒ IH = AA ' = ⇒ IH // AA ' ⇒ AA ' CA ' 3 AC = A ' C − A ' A2 = a 5, BC = AC − AB = 2a Diện tích tam giác ABC : SΔABC = AB.BC = a 4a Thể tích khối tứ diện IABC : V = IH S ΔABC = Trang 2/4 0,50 Câu Đáp án Hạ AK ⊥ A ' B ( K ∈ A ' B) Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ ( IBC ) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( IBC ) AK AK = V (1,0 điểm) SΔAA ' B = A' B AA ' AB A ' A2 + AB = 2a Điểm 0,25 0,25 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… Do x + y = 1, nên: S = 16 x y + 12( x3 + y ) + xy + 25 xy = 16 x y + 12 ⎡⎣( x + y )3 − xy ( x + y ) ⎤⎦ + 34 xy = 16 x y − xy + 12 Đặt t = xy, ta được: S = 16t − 2t + 12; ≤ xy ≤ ( x + y )2 ⎡ 1⎤ = ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ 4 ⎣ 4⎦ ⎡ 1⎤ Xét hàm f (t ) = 16t − 2t + 12 đoạn ⎢0; ⎥ ⎣ 4⎦ 191 25 ⎛1⎞ ⎛1⎞ , f⎜ ⎟ = f '(t ) = 32t − 2; f '(t ) = ⇔ t = ; f (0) = 12, f ⎜ ⎟ = 16 16 ⎝ 16 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ ⎞ 25 ⎛ ⎞ 191 max f (t ) = f ⎜ ⎟ = ; f (t ) = f ⎜ ⎟ = ⎡ 1⎤ ⎝ ⎠ ⎡0; ⎤ ⎝ 16 ⎠ 16 0; ⎢⎣ ⎥⎦ 0,25 0,25 ⎢⎣ ⎥⎦ Giá trị lớn S ⎧x + y = 25 ⎪ ⎛1 1⎞ ; ⎨ ⇔ ( x; y ) = ⎜ ; ⎟ ⎝2 2⎠ ⎪⎩ xy = ⎧x + y = 191 ⎪ ; ⎨ Giá trị nhỏ S 16 ⎪⎩ xy = 16 0,25 0,25 ⎛2+ 2− 3⎞ ⎛2− 2+ 3⎞ ⇔ ( x; y ) = ⎜⎜ ; ; ⎟⎟ ( x; y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ VI.a (2,0 điểm) (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… ⎧7 x − y − = ⇒ A(1;2) Toạ độ A thoả mãn hệ: ⎨ ⎩6 x − y − = B đối xứng với A qua M , suy B = (3; −2) 0,25 Đường thẳng BC qua B vng góc với đường thẳng x − y − = Phương trình BC : x + y + = 0,25 ⎧7 x − y − = 3⎞ ⎛ ⇒ N ⎜ 0; − ⎟ Toạ độ trung điểm N đoạn thẳng BC thoả mãn hệ: ⎨ 2⎠ ⎝ ⎩x + y + = JJJG JJJJG ⇒ AC = 2.MN = ( −4; −3) ; phương trình đường thẳng AC : 3x − y + = 0,25 0,25 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm D ⎧x = − t JJJG ⎪ AB = (−1;1;2), phương trình AB : ⎨ y = + t ⎪ z = 2t ⎩ 0,25 JJJG D thuộc đường thẳng AB ⇒ D(2 − t ;1 + t ;2t ) ⇒ CD = (1 − t ; t ;2t ) 0,25 Trang 3/4 Toạ độ trung điểm I MN a Ia ; a ; 2 x Hai tam giác AMN BMN hai tam giác vuông nhận MN cạnh huyền nên 1a Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý : Ax By Ax Ay ' 1b.Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN a 2 trung điểm I a ; a ; MN tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Ta có : MN a(2 ; ; 1) MN 3a 2 Bán kính mặt cầu : R Ta có : AM (2a;0;0) ; Tính d ( AM , BI ) Chứng minh AM BI chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a BI a; a; ; AB (0;0; a ) 2 [ AM , BI ] (0; a ;2a ) [ AM , BI ] AB d ( AM , BI ) [ AM , BI ] 2a 5 Bài toán Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O tâm hình vng ABCD SO (ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; S 0;0; h ; a a A ; 0;0 ; C ;0;0 a a ;0 ; B 0; ;0 D 0; 2 Toạ độ trung điểm P SA a a a h P ; E ; ; ; ; h 2 S E P M y A D O B N C x 3a h MN ;0; ; BD (0; a 2;0) 2 Vì : MN BD MN BD 31 a a h a a ; ; N ; ; M 4 Tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Chứng minh MN AC chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ah Ta có : MN , AC 0; ; a h AM 0; ; a h 0 Vì : MN , AC AM MN AC chéo a 2h [ MN , AC ] AM a d MN , AC a 2h2 [MN , AC ] Bài tốn Cho tứ diện ABCD, có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A; AD a, AC b, AB c a Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c b Chứng minh : 2S abc a b c Hướng dẫn Bài giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) z D Khi : B c;0;0 ; C 0; b; D 0;0; a Ta có : BC c; b;0 BD c;0; a BC , BD ac; ac; bc Áp dụng bất đẳng thức Côsi : a 2b b 2c 2ab 2c b 2c c a 2abc c a a 2b 2a 2bc y C A B x a Tính diện tích S tam giác BCD 2 S BC , BD a b a 2c b 2c b 2 Chứng minh : 2S abc a b c Ta có : abc a b c a 2bc b ac c ab b2 c a c a b2 a2 b c a b a c b c SBCD 32 Bài tốn 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0) Khi : A 0; Bài giải z S a a ;0 ; B ;0; M a a S 0; ; h ; H 0; ;0 6 a a h a a h M ; ; ; N ; ; 12 12 2 a C ; 0; ; 2 a 5a h AM ; ; 12 a 5a h AN ; ; 12 4 a a SB ; ; h a a ; h SC ; 2 AMN SBC n1 n2 n1.n2 y N A B I H C x + Pháp vectơ mp (AMN) : ah 5a n1 AM , AN 0; ; 24 + Pháp vectơ mp (SBC) : a2 n2 SB, SC 0; ah; Diện tích tam giác AMN : S AMN a h 15a a h 15a 0 24.6 16 242 2 AM , AN a h 75a2 16 24 15a 75a a 10 a 90 đvdt 242 242 48 16 Bài toán 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a ; SA a ; SB a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Gọi H hình chiếu vng góc z S 33 S AB SH (ABCD) Ta có : SA2 SB a 3a AB SAB vuông S SM a a Do : SAM SH Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : H (0;0; 0) ; S 0;0; a 3 ; a A ; 0; ; 3a a B ; 0; ; D ; 2a;0 ; a a M ; 0; ; N ; a; 2 a a 3 SM ;0; 2 3a a 3 SN ; a; 3a a 3 SB ; 0; a a 3 SD ; 2a; DN 2a; a;0 + Thể tích khối chóp S.BMDN VS BMDN VSMNB VSMND a a a SM , SN ; ; 3 SM , SN SB a ; SM , SN SD 3a 2 a VSMNB SM , SN SB 12 a 3 VSMND SM , SN SD VS BMDN VSMNB VSMND + Cơng thức tính góc SM, DN SM DN cos SM , DN SM DN a3 a3 a3 12 + Tính cosin góc SM, DN a2 cos SM , DN a 3a 4a a 4 Bài tốn 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên AA ' a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : B’ A’ C’ B(0; 0; 0) A 0; a; ; C a; 0; ; B’ 0; 0; a 34 a M ; 0; 2 a AM ; a;0 ; B ' C a; 0; a 2 AB ' 0; a; a Chứng minh AM B’C chéo a 2 AM , B ' C a 2; ; a + Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ VABC A ' B ' C ' AA '.S ABC a 2 đvtt + Khoảng cách AM B’C a3 Vì : AM , B ' C AB ' AM B’C chéo AM , B ' C AB ' d AM , B ' C AM , B ' C a a 2a a a Bài toán 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , BAD ABC 900 AB BC a , AD 2a , SA vng góc với đáy SA 2a Gọi M,N trung điểm SA SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : A(0; 0; 0) ; B a; 0; ; C a; a; ; N M D 0; 2a; ; S 0; 0; 2a M 0; 0; a ; N 0; a; a D A y B C MN 0; a;0 ; BC 0; a;0 MB a;0; a x + Chứng minh BCNM hình chữ nhật MN BC BCNM hình chữ nhật MN MB 35 SM 0;0; a ; SC a; a; a SB a;0; 2a ; SN 0; a; a SM , SC a ; a ; + Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a VSMCB VSMCN SM , SC SB a SM , SC SN a3 VS BCNM VSMCB VSMCN a SM , SC SB 6 a SM , SC SN 6 VS BCNM VSMCB VSMCN a3 đvtt Bài tốn 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA ( ABCD); SA 2a Mặt phẳng qua BC hợp với AC góc 300 , cắt SA, SD M, N Tính diện tích thiết diện BCNM Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : N M A(0; 0; 0) ; B a; 0; ; C a; a; ; D 0; 2a; ; S 0; 0; 2a D A Đặt AM h h 2a y M 0; 0; h Xác định vị trí điểm M B C x BM a;0; h ; BC 0; a;0 BM , BC ah;0; a a h; 0; a AC a; a;0 a 1;1;0 Pháp vectơ mặt phẳng : n BM , BC n h;0; a Vectơ phương đường thẳng AC : AC a; a;0 a 1;1;0 u 1;1;0 mặt phẳng hợp với AC góc 300 Ta có : MN ( SAD ) MN / / BC / / AD BC / / AD n 1.h 1.0 0.a u sin 300 n u h2 a h 2 h h2 a 2 h a h a M trung điểm SA BC ( SAB ) BC BM MN / / BC BCNM hình thang vng BM BC + 36 ABM vuông cân A BM a a MN AD 2 + Diện tích thiết diện BCNM : S BCNM 3a 2 BM MN BC Bài toán 15 Cho hình chóp O.ABC có OA a; OB b; OC c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) 1; 2; Tính a; b; c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : C Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O (0; 0; 0) A a; 0; ; B 0; b; ; C 0; 0; c M d M , (OBC ) xM d M , (OCA) yM B H E d M , (OAB) z M M 1; 2;3 A a;0;0 OA (a;0;0) B 0; b;0 OB (0; b;0) C 0;0; c OC (0;0; c ) y O A x +Thể tích khối chóp O.ABC VO ABC OA, OB OC abc + Phương trình mặt phẳng (ABC) : 1 a a b c Giải hệ : b c a b c x y z 1 a b c M ( ABC ) a b c (ABC) : Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 3 33 33 a b c a b c abc abc 27 a 3 MinVO ABC 27 b a b c c 1 Bài toán 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a a Tính thể tích khối chóp S.ABCD 37 b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) c Tính góc SB mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O AC BD S SO (ABCD) a2 a SO SC OC a 2 2 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : a 2 O(0;0;0) ; S 0;0; ; a a ; 0;0 ; C ;0;0 A a a ;0 ; B 0; ;0 D 0; 2 Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD): x a 2 y z a a 2 a x y z 0 1 y A D O B C x a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD 1 a a3 SO.S ABCD a 3 b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) a 0 a a 2 (SCD): x y z d A, ( SCD ) a a 900 AB BC a , Bài toán 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , ABC BAD AD 2a , SA vng góc với đáy SA a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : A(0; 0; 0) ; B a; 0; ; C a; a; ; D 0; 2a; ; S 0; 0; 2a H A I D y 38 SB a;0; a SC a; a; a SD 0; 2a; a SC , SD a 2; a 2; 2a B C a 2 1;1; x + Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A SB Phương trình tham số SB : x a at SB : y z a 2t SC CD SC CD Tam giác SCD vng C + Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H : (t R ) + Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) qua điểm S nhận vectơ n 1;1; làm pháp vectơ +Chứng minh tam giác SCD vuông SC a; a; 2a ; CD a; a;0 (SCD) : 1( x 0) 1( y 0) 2( z a 2) H ( x; y; z ) SB H a at; 0; a 2t AH (a at ;0; a 2t ) AH SB AH SB 3a 2t a t 2a a 2 H ; 0; + Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) : x y z 2a 2a 2a 2a a 3 d H , ( SCD ) II MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HAI CÁCH GIẢI CHO CÙNG MỘT BÀI TỐN Bài 1.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh B’C’ 2 CD cho B’M = B’C’, CN = CD Chứng minh AM BN 3 Giải: Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ) 39 z A B D A D N E C N B C A’ D’ B’ A’ C’ M D’ y O B’ C’ M x - Dựng ME // CC’(E thuộc BC) Nối AE - Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ - Hai tam giác vng ABE BCN (O A’) Đặt AA’= a Ta có: nhau, góc AEB góc BNC 2a a A(0;0; a ), B( a;0; a ), ( a ; ;0),N( ; a;0 ) (1) AE BN 3 Mặt khác: Vì ME // CC’ (ABCD) 2a 2a AM BN a.( ) a ( a ).0 nên ME (ABCD) ME BN (2) 3 Từ (1) (2) BN (AEM) (đpcm) AM BN BN AM (đpcm) Bài (TSĐH - khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = a , SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Giải: Cách giải (phương pháp tổng hợp) S *) Chứng - Gọi K E BD AC Mặt minh: (SBM) (SAC) trung điểm CD, giao điểm AC Ta có MK// N I E B a BM BA AM 2 N D M A Cách giải (phương pháp toạ độ) * Chọn hệ z trục toạ độ Oxyz hình vẽ (O A) S Gọi E giao điểm AC BD Ta có: A(0;0;0), B( a ;0;0), C khác: Tam giác Kvng BAM có a MK MD DK 2 D y O I B Tam giác vng MDK có M A E C x C (a; a ;0), D (0; a ;0), S (0;0; a ), Tam giác vng BCK có: BK BC CK 3a Dễ thấy BM2+ MK2 = BK2 nên tam giác BMK vuông M, => MK BM => AC BM Hơn BM SA Từ ta có BM (SAC) a a a a a a N( ; ; ), E ( ; ;0), M (0; ;0) 2 2 2 a a I ( ; ;0) , I trọng tâm ABD 3 *) Chứng minh: (SBM) (SAC) a - Ta có BM (a; ;0), AC (a; a ;0) BM AC BM AC 40 Vậy (SBM) (SAC) (đpcm) *) Tính thể tích khối tứ diện ANIB - Ta có NE // SA => NE (AIB) NE = a/2 - Vì I trọng tâm tam giác ABD AC a AE a a AI Tam giác ABI vuông I có AB AI BI a Mặt khác: SA (ABCD) nên BM SA Từ suy BM (SAC) => (SBM) (SAC) (đpcm) *) Tính thể tích khối tứ diện ANIB a a ;0) 3 a2 a2 a a a AN ( ; ; ) => AB, AN (0; ; ) 2 2 Ta có AB (a;0;0), AI ( ; Vậy thể tích khối tứ diện ANIB Vậy thể tích khối tứ diện ANIB 1 a3 (đvtt) V S AIB NE BI IA.NE 3 36 Bài (TSĐH - khối A năm 2007) a3 (đvtt) V AB, AN AI 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Giải Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ) z S M S B A M H N D P B A C H O D * Chứng minh AM vuông góc với BP Gọi H trung điểm AD Do ΔSAD nên SH AD Do(SAD) (ABCD)nên SH (ABCD) SH BP (1) Xét hình vng ABCD ta cóΔCDH = ΔBCP CH BP (2) Từ (1) (2)suy BP (SHC) Vì MN // SC AN // CH nên (AMN) // (SHC) Suy BP (AMN) BP AM * Tính thể tích khối tứ diện CMNP Kẻ MK (ABCD), K (ABCD) Ta có: VCMNP MK S CNP P x y N C * Gọi H trung điểm AD Do ΔSAD nên SH AD Do(SAD) (ABCD)nênSH (ABCD) - Dựng đường thẳng Az vng góc với (ABCD), ta có AD, AB, Az ba tia đơi vng góc Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ ( O A ) Ta có: a a a a a ), M( ; ; ) 4 a a B(0; a ;0), P( a; ;0) , C( a; a;0 ), N ( ; a;0) 2 A(0;0;0), S( ;0; * Chứng minh AM vuông góc với BP Ta có: AM BP a2 a2 BP AM 4 * Tính thể tích khối tứ diện CMNP 41 a2 a Vì MK SH , SCNP = CN.CP = a Nên VCMNP = 96 a2 Ta có: CP, CN (0;0; ) CM ( 3a ; a ; a ) 4 a Nên: VCMNP CP, CN CM 96 II SO SÁNH Cách giải (phương pháp tổng hợp) 1) Kiến thức: - Cần có kiến thức rộng đầy đủ hình học (hình học phẳng hình học khơng gian) - Nhớ định lý, hệ - Đôi cần phải dựng thêm hình vẽ phụ 2) Kĩ năng: - Kĩ vẽ hình, dựng hình - Kĩ chứng minh, tính tốn 3) Tư duy: - Đòi hỏi khả tư cao - Phạm vi liên kết kiến thức rộng Cách giải (phương pháp toạ độ) 1) Kiến thức: - Cần có kiến thức vững vectơ toạ độ vectơ không gian - Nhớ cơng thức, phương trình đường thẳng, mặt phẳng mối quan hệ đường thẳng mặt phẳng - Khơng cần dựng hình vẽ phụ 2) Kĩ năng: - Kĩ tính tốn 3) Tư duy: - Khả tư bình thường - Phạm vi liên kết kiến thức hẹp (Chủ yếu tập trung vào việc chọn hệ trục tọa độ thích hợp) * Nhận xét Trong hai tốn 2, từ giả thiết ta có sẳn ba đường thẳng đơi vng góc nhau, điều kiện lý tưởng để chọn hệ trục tọa độ Oxyz, việc lại vấn đề tính tốn Đối với 3, để chọn hệ trục tọa độ thích hợp có khó khăn chút Với ý: SH (ABCD), ta chọn hệ trục khác, hệ gồm ba trục HD, HN HS đôi vng góc tương ứng Ox, Oy, Oz.( O H ) III MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ CÁCH CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VÍ DỤ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC cân với AB = AC = a góc BAC = 1200 , cạnh bên BB’= a Gọi I trung điểm CC’ a) Chứng minh tam giác AB’I vng A b) Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC’ Nhận xét : Từ giả thiết tốn , khơng có ba đường thẳng xuất phát từ điểm đơi vng góc , nên ta phải cố gắng tìm mối liên kết thích hợp , để từ chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho xác định tọa độ tất điểm liên quan đến vấn đề mà ta cần giải Để z làm điều cần ý , lăng trụ cho lăng trụ đứng tam giác đáy tam giác cân Từ , gọi O A C , O’ lần lược trung điểm B’C’ BC ta có ba tia OO’, OB’ OA’ đôi vuông góc O * Gọi O, O’ trung điểm B’C’ BC Ta có : OO’ OA’ , OO’ B’C’ Tam giác A’B’O nửa tam giác có cạnh A’B’ = a nên A’O = a B I A’ C’ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ O’ x B’ y 42 Ta có : a a a ;0;0) , C ' ( ;0;0) , A(0; ; a) 2 a a a a B( ;0; a ) , C ( ;0; a) , I ( ;0; ) 2 2 B' ( * Từ ta dễ dàng chứng minh tam giác AB’I vuông A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Riêng câu c, sử dụng phương pháp tổng hợp để giải tốn hồn tồn khơng dễ chút Cịn dùng phương pháp tọa độ hồn tồn ngược lại VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a , BC = 2a , cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tinh diện tích tam giác AMB theo a Nhận xét : Với nhận xét tương tự tốn VD1, ta cần tạo ba tia đơi vng góc Dễ dàng nhận thấy , từ B dựng tia Bz vng góc với mp(ABC) ba tia BA,BC,Bz đơi vng góc , từ ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ( gốc tọa độ O trùng với B) Ta có A(a;0;0) , C(0;2a;0) , S a S(a;0;2a) , M ( ; a; a ) M B O * Từ đây, cơng việc cịn lại thực dễ dàng A C y x Khèi ®a diƯn- thĨ tÝch khèi ®a diƯn 1/ Tính chất thể tích: * Hai khối đa diện tích * Nếu khối đa diện phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể tích tổng thể khối đa diện nhỏ * Khối lập phương có cạnh tích 2/ Cơng thức tính thể tích khối đa diện: a/ Thể tích khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a Lúc đó: b/ V a3 Thể tích khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lược Lúc đó: a, b, c V trụa.có b.cdiện tích đáy B chiều cao h c/ Thể tích khối lăng trụ: cho khối lăng Lúc đó: V B.h d/ Thể tích khối chóp: cho khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h Lúc đó: V B.h 43 e/ Thể tích khối chóp cụt: cho khối chóp cụt có diện tích hai đáy B B’ , chiều cao h Lúc đó: V B B ' BB ' h Bµi tËp B 1: Tính thể tích : a,Khối tứ diện có cạnh a b, khối mặt có cạnh a c, Khối lập phương có đỉnh trọng tâm mặt khối tám mặt cạnh a Baì 2: Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD A1 B1C1 D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB A1 D độ dài đường chéo mặt bên a,Hạ AK A1 D K A1 D Chứng minh AK b,Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 Baìi 3: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Tính thể tích khối chóp, biết: a Góc mặt bên đáy b, Góc cạnh bên đáy B 4: Tính thể tích khối chóp cụt tam giác có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ a góc mặt bên mặt đáy 600 Baì 5: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Tìm tỉ số thể tích khối tứ diện C ' ABC khối lăng trụ cho Baì 6: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi M , N lần lược trung điểm hai cạnh AA ' BB ' Mặt phẳng C ' MN chia khối lăng trụ cho thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần B 7: Cho khối chóp tam giác S ABC Trên đoạn SA, SB, SC lần lược lấy ba điểm A ', B ', C ' khác với S Chứng minh rằng: V S A' B 'C ' SA ' SB ' SC ' V S ABC SA SB SC Baì 8: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi B ', D ' lần lược trung điểm SB, SD Mặt phẳng AB ' D ' cắt SC C ' Tìm tỉ số thể tích hai khối chóp S AB ' C ' D ' S ABCD Baì 9: Đáy khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' tam giác Mặt phẳng A ' BC tạo với đáy góc 300 tam giác A ' BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ Baì 10: Cho khối lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình bình hành BAD 450 Các đường chéo AC ' DB ' lần lược tạo với đáy góc 450 600 Hãy tính thể khối lăng trụ, cho biết chiều cao B 11: Cho khối tứ diện SABC có ba cạnh SA, AB, SC vng góc với đơi một, SA 3, SB SC a Tính thể tích khối tứ diện SABC b, Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC B 12: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , cạnh SA vng góc với đáy Biết AB a, BC b, SA c Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Baì 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB a, BC 2a, AA ' a Lấy điểm M cạnh AD cho MA 3MD a Tính thể tích khối chóp M AB ' C b, Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng AB ' C Baì 14: Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình chữ nhật với AB , AD Hai mặt bên 0 ABB ' A ' ADD ' A ' lần lược tạo với đáy góc 45 60 Hãy tính thể tích khối hộp biết cạnh bên Baì 15: Hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A , AC b, Cˆ 600 Đường chéo BC ' mặt bên BB ' C ' C tạo với mặt phẳng AA ' C ' C góc 300 a Tính độ dài đoạn AC ' b, Tính thể tích khối lăng trụ Bi 16: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A ' cách điểm A, B, C Cạnh bên AA ' tạo với mặt phẳng đáy góc 600 44 a Tính thể tích khối lăng trụ b,Chứng minh mặt bên BCC ' B ' hình chữ nhật c, Tính tổng diện tích mặt bên khối lăng trụ Baìi 17: Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ABB ' A ' hình thoi cạnh a , nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt bên ACC ' A ' hợp với đáy góc Tính thể tích lăng trụ B 18: Cho hình chóp tứ giác S ABCD a Biết AB a góc mặt bên mặt đáy Tính thể tích khối chóp b Biết trung đoạn d góc cạnh bên đáy Tính thể tích khối chóp B 19: Cho khối chóp S ABC có đáy tam giác vng B Cạnh SA vng góc với đáy, góc ABC 600 , BC a SA a Gọi M trung điểm cạnh SB b, Tính thể tích khối tứ diện MABC a Chứng minh: SAB SBC B 20: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA a vng góc với đáy Gọi M trung điểm SD a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC b, Tính thể tích khối tứ diện MACD B 21: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC khoảng cách từ G đến mặt bên SCD a Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt bên SCD thể tích khối chóp S ABCD B 22: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 00 900 Tính tan góc hai mặt phẳng SAB ABCD theo Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a B 23: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy a, Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC a SA b, Tính thể tích khối chóp S ABC diện tích tam giác SBC B 24: Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền BC a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABC A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng ABC SBC 60 Tính thể tích khối chóp S ABC B 25: Khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh C SA ABC , SC a Hãy tìm góc hai mặt phẳng SCB ABC để thể tích khối chóp lớn B 26: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB a , AC a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng ABC trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA ', B ' C ' (KA – 2008) B 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA a , SB a mặt phẳng SAB vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN (KB – 2008) Baì 28: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , đáy ABC tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên AA ' a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C (KD – 2008) 45 ... liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008 Môn: TOÁN, khối D (Đáp án. .. -Ghi chó: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi thức Môn thi : toán Khối D... Bộ giáo dục đào tạo Đáp án - Thang điểm đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Môn: Toán, Khối D Đề thức Câu I (Đáp án - thang điểm có trang) Nội dung ý Điểm 2,0 Khảo sát hàm số