VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = fx bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm.. Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.[r]
(1)Đại số 11 Traàn Só Tuøng CHÖÔNG V đạo hàm Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b): f '(x0 ) lim f(x) f(x ) x x x x0 (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 thì nó liên tục diểm đó Ý nghĩa đạo hàm YÙ nghóa hình hoïc: + f (x0) là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) + Khi đó phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) y x x lim = M x0 ;f(x0 ) M x ;f(x ) laø: y – y0 = f (x0).(x – x0) YÙ nghóa vaät lí: + Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t) thời ñieåm t0 laø v(t0) = s(t0) + Cường độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0) Qui tắc tính đạo hàm (C)' = (x) = (xn) = n.xn–1 x x (u v) = u v nN n 1 (uv) = uv + vu u uv vu v v2 (v 0) v v v (ku) = ku Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x là ux và hàm số y = f(u) có đạo hàm u là yu thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm x là: yx yu.ux Đạo hàm hàm số lượng giác sin x 1 x x ; lim sin u(x) 1 lim u(x) 0 x x u(x) (với x x0 ) lim (sinx) = cosx tan x Vi phaân cos x (cosx) = – sinx cot x sin2 x Trang 58 (2) Đại số 11 Traàn Só Tuøng f(x x) f(x ) f (x ).x dy df(x) f (x).x Đạo hàm cấp cao f ''(x) f '(x) f '''(x) f ''(x) f (n) (x) f (n 1) (x) ; ; (n N, n 4) YÙ nghóa cô hoïc: Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời ñieåm t0 laø a(t0) = f(t0) VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực các bước: B1: Giả sử x là số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) y B2: Tính x x lim Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau điểm ra: y f(x) 2x x taïi x 1 b) y f(x) 2x taïi x = –3 2x y f(x) x taïi x0 = a) c) taïi x0 = d) y f(x) sin x y f(x) x taïi x = e) f) Baøi 2: y f(x) x2 x x taïi x0 = Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau: a) f(x) x 3x b) f(x) x 2x d) c) f(x) x 1, (x 1) f(x) 2x e) f(x) sin x f) f(x) cos x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm công thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm Chú ý qui tắc tính đạo hàm hàm số hợp Baøi 1: Tính đạo hàm các hàm số sau: Trang 59 (3) Traàn Só Tuøng Đại số 11 y 2x a) x 2 x y b) x x x x 3 c) y (x 2)(1 x ) 2 2 d) y (x 1)(x 4)(x 9) e) y (x 3x)(2 x) f) y x 1 1 x y g) h) y 2x 2x 1 3x x x2 y x x2 i) k) y l) Baøi 2: x2 3x x y 2x2 4x x m) 2x y x c) y d) y (x 1)2 (x 1)3 2 f) y 2x (x2 2x 5)2 Tính đạo hàm các hàm số sau: y 2x2 5x a) 3 b) y x x c) y x x y (x 2) x d) y e) y 4x x 2 f) y x2 x x3 x h) y (x 2) Baøi 4: x2 2x y (x2 x 1)4 b) y (1 2x ) g) 2x2 Tính đạo hàm các hàm số sau: a) e) Baøi 3: y i) y 2x Tính đạo hàm các hàm số sau: Trang 60 (4) Đại số 11 Traàn Só Tuøng sin x y cos x a) b) y x.cos x c) y sin (2x 1) d) y cot 2x e) y sin x f) y sin x 2x y tan 2x tan3 2x tan 2x g) h) y 2sin 4x 3cos 5x i) y (2 sin 2x) k) y sin cos2 x tan2 x x 1 y cos2 x 1 l) Baøi 5: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng: (sin n x.cos nx)' n sin n x.cos(n 1)x a) n (sin x.sin nx)' n.sin n b) x.sin(n 1)x n n n n c) (cos x.sin nx)' n.cos x.cos(n 1)x d) (cos x.cosnx)' n.cos x.sin(n 1)x VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) Phöông trình tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x0, y0) (C) laø: y y f '(x )(x x ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: (*) + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Ta có: f (x ) k (ý nghĩa hình học đạo hàm) + Giaûi phöông trình treân tìm x0, roài tìm y f(x ) + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) qua điểm A(x1, y1) cho trước: + Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)) + Phöông trình tieáp tuyeán (d): y y f '(x )(x x ) (d) qua A (x1 , y1 ) y1 y f '(x ) (x1 x ) (1) + Giải phương trình (1) với ẩn là x0, tìm y f(x ) và f '(x ) + Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*) Nhắc lại: Cho (): y = ax + b Khi đó: (d) () k d a + Baøi 1: + (d) () k d a Cho hàm số (C): y f(x) x 2x Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = d) Vuông góc với đường phân giác thứ góc hợp các trục tọa độ Trang 61 (5) Traàn Só Tuøng Đại số 11 y f(x) x x2 x (C) Baøi 2: Cho haøm soá a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M(2; 4) b) Vieát phöông trình ttieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = y f(x) 3x 1 x (C) Baøi 3: Cho haøm soá a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung y x 100 d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với d: e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với : 2x + 2y – = Baøi 4: Cho haøm soá (C): y x 3x a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm I(1, –2) b) Chứng minh các tiếp tuyến khác đồ thị (C) không qua I Bài 5: Cho hàm số (C): y x x Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng x + 2y = VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao (n) n / Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y (y ) Để tính đạo hàm cấp n: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng Baøi 1: Cho haøm soá f(x) 3(x 1)cos x f ''(), f '' ,f ''(1) 2 b) Tính a) Tính f '(x),f ''(x) Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số đến cấp ra: y x , y'' x4 a) y cos x, y''' b) y 5x 2x 5x 4x 7, y '' c) d) y 2x x , y'' e) y xsin x, y'' f) y x tan x, y'' g) y (x 1) ,y '' (4) h) y x 4x 4, y Bài 3: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng: 1 x a) (n) ( 1)n n! n. (sin x)(n) sin x n 1 (1 x) b) Trang 62 y , y(5) 1 x i) n. (cos x)(n) cos x c) (6) Đại số 11 Traàn Só Tuøng Bài 4: Tính đạo hàm cấp n các hàm số sau: a) y x 2 y b) x 3x c) y x x 1 1 x y 1 x d) 4 e) y sin x f) y sin x cos x Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số ra: y 2x x2 b) y y'' 0 x y x4 2y2 (y 1)y'' y xsin x a) xy'' 2(y' sin x) xy 0 y x tan x 2 c) x y'' 2(x y )(1 y) 0 d) sin u(x) VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng x x0 u(x) lim Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức lim x x sin u(x) 1 lim u(x) 0 x x0 u(x) (với ) Bài 1: Tính các giới hạn sau: sin3x lim a) x sin 2x sin x cos x lim e) x sin x cos x b) lim x lim cos x x2 c) tan 2x lim f) x sin 5x g) sin x x 2 x 2 lim x tan x x cos x sin x cos2x x lim d) sin x 6 lim x cos x h) VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác Bài 1: Giải phương trình f '(x) 0 với: a) f(x) 3cos x 4sin x 5x c) f(x) sin x cosx b) f(x) cos x s ón 2x d) f(x) sin x cos 4x cos6x 3 x e) f) f(x) sin3x cos3x 3(cos x Bài 2: Giải phương trình f '(x) g(x) với: f(x) sin 3x f(x) sin3 2x a) g(x) sin 6x b) g(x) 4 cos2x 5sin 4x x f(x) 4x cos 2 x f(x) 2x cos g(x) 8cos x 2xsin x g(x) x x sin x c) d) f '(x) g'(x) Baøi 3: Giaûi baát phöông trình với: f(x) 1 sin( x) cos Trang 63 sin x) (7) Traàn Só Tuøng Đại số 11 a) f(x) x x 2, g(x) 3x x b) f(x) 2x3 x2 3, g(x) x3 x2 f(x) , g(x) x x3 x c) Bài 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với x R: a) b) f '(x) với f(x) f '(x) với f(x) mx3 3x mx mx3 mx2 (m 1)x 15 Trang 64 (8)