Trong chuyên đề nhỏ này ngời viết không có tham vọng sẽ trình bày đợc tất cả các phơng pháp vẽ thêm đờng phụ vì vấn đề này là vô cùng rộng ,đa dạng mà với mỗi ngời lại có cách thể hiện [r]
(1)kinh nghiÖm d¹y häc giải toán chứng minh hình học cách vẽ thêm đờng phụ A: Lêi nãi ®Çu : Trong chơng trình hình học lớp 8,đặc biệt là chơng trình bồi dỡng học sinh giái , cã nh÷ng bµi to¸n chøng minh mµ qu¸ tr×nh chøng minh ph¶i vÏ thêm đờng phụ đến kết Có nhiều bài toán khó , sau vài đờng kẻ thêm thì phơng pháp chứng minh thật đơn giản , chí có thể nhìn thÊy c¸ch gi¶i Tuy nhiªn víi häc sinh viÖc gi¶i to¸n b»ng c¸ch vÏ thªm đờng phụ là khó khăn và thờng thì học sinh vấp phải hai vấn đề sau : Thứ : Lúng túng việc tìm cách vẽ thêm đờng hay cụ thể là việc tìm cách vẽ thêm nh nào cho có lợi, kết là có nhiều đờng vẽ thêm không cần thiết ,không đúng hớng chứng minh dẫn đến hình rối và lạc hớng Thứ hai : Ngộ nhận các tính chất đờng vẽ thêm để áp dụng vào lời giải mà kh«ng chøng minh Thực tế cho thấy ,có nhiều đờng phụ khác và không có phơng pháp chung ,đòi hỏi khéo léo ,sáng tạo ,sự linh hoạt tuỳ theo yêu cầu bài toán cụ thể điều quan trọng là vẽ phải xác định đợc đờng phụ này tạo điều kiện để chứng minh nghĩa là vẽ có mục đích không vẽ tuỳ tiện và cần tuân theo các phÐp dùng vµ bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n Xuất phát từ suy nghĩ trên tôi xin đề cập khía cạnh nhỏ phơng pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ đờng phụ Trong chuyên đề nhỏ này ngời viết không có tham vọng trình bày đợc tất các phơng pháp vẽ thêm đờng phụ ( vì vấn đề này là vô cùng rộng ,đa dạng mà với ngời lại có cách thể riêng ,độc đáo khác ) mà nêu bài toán điển hình ,một số nhận xét suy nghĩ để tìm tòi cách vẽ Ngời viết cho ,dạy học sinh vẽ thêm đờng phụ là dạy suy nghĩ ,tìm tòi sáng tạo ,dạy cho các em biết định hớng mục đích công việc và chất việc chø kh«ng ph¶i d¹y c¸ch gi¶i nh÷ng bµi to¸n c¸ thÓ Híng cho häc sinh biÕt rót nhận xét có tính chất khái quát để tìm lời giải Ngời viết hy vọng chuyên đề nhỏ này mang lại cho vài điều bổ ích cho các em học sinh nhÊt lµ häc sinh giái qu¸ tr×nh häc vµ gi¶i to¸n chøng minh h×nh häc Nội dung chuyên đề gồm phần * Phần I : Một số đờng phụ thờng vẽ và điểm cần dùng vẽ thêm đờng phô (2) * Phần II : Một số phơng pháp vẽ thêm đờng phụ để giải các bài toán chứng minh h×nh häc * Phần III : Các bài tập đề nghị B : Néi dung Phần I : Một số loại đờng phụ thờng vẽ và điểm cần chú ý vẽ thêm đờng phụ : a Một số loại đờng phụ thờng vẽ nh sau : 1, Kéo dài đoạn đoạn thẳng cho trớc hay đặt đoạn thẳng ®o¹n th¼ng cho tríc 2, Vẽ đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ điểm cho trớc 3, Từ điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc 4, Nối hai điểm cho trớc xác định trung điểm đoạn thẳng cho trớc 5, Dựng đờng phân giác góc cho trớc 6,Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc hay b»ng nöa gãc cho tríc b Những điểm cần chú ý vẽ đờng phụ 1, Vẽ đờng phụ phải có mục đích ,không vẽ tuỳ tiện phải nắm thật vững đề bài ,định hớng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đờng phụ nào phục vụ cho mục đích chứng minh mình 2, Vẽ đờng phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dùng hình 3, Với bài toán nhng vẽ đờng phụ khác thì cách chứng minh khác , có cùng đờng phụ nhng cách vẽ lại khác Phần II : Một số phơng pháp vẽ thêm đờng phụ để giải các bài toán chứng minh h×nh häc : Vẽ đờng phụ để tạo mối liên hệ các điều kiện đã cho gi÷a c¸c yÕu tè kÕt luËn cña bµi to¸n víi * VÝ vô 1: Cho h×nh thang ABCD ( BC// AD ) cã gãc A > gãc C Chøng minh ® êng chÐo AC< BD Híng gi¶i : Bình thờng hai đờng chéo AC và BD kh«ng cã mèi liªn hÖ nµo gióp ta so s¸nh NÕu ®a hai ®o¹n th¼ng Êy vÒ chung mét tam gi¸c ta cã thÓ vËn dông mèi liªn hÖ gi÷a c¸c c¹nh vµ góc tam giác để so sánh Muốn ta có nhiều cách vẽ đờng phụ Có thể từ B C vẽ đờng thẳng song song víi AC hoÆc BD còng cã thÓ ë gi÷a A vµ D ta chän mét ®iÓm E (3) cho BE = AC ( CF = AB ) điều này hoàn toàn có thể làm đợc phơng pháp dựng hình và nh ta đã làm xuất tam giác BDE có BE = AC việc so sách AC với BD đợc chuyển thành so sách BE với BD tam giác BDE để so sách BE với BD ta so sánh các góc đối diện chúng tam giác BDE lấy góc A > gãcD lµm gãc trung gian * VÝ dô : Cho h×nh vu«ng ABCD lÊy ®iÓm M tuú ý trªn CD vÏ ph©n gi¸c cña gãc BAM c¾t c¹nh BC t¹i E chøng minh DM + BE = AM Híng gi¶i : Tõ kÕt luËn cÇn chøng minh cña bµi toán gợi ý cho ta cách vẽ thêm đờng phô cho hai ®o¹n th¼ng BE vµ DM cùng đờng thẳng tạo đờng thẳng tổng hai đoạn thẳng liên tiếp có độ dài BE + DM Trên tia MD ta đặt đoạn DF liên tiếp với MD cho DF = BE để có FD + DM = BE đặt BF liên tiếp với EB cho BF = DM để có BE + BF = BE + DM =EF với cách vẽ đờng phụ hình trên ta chuyển từ chứng minh AM = DM + DE thµnh chøng minh AM =MF Còn với cách vẽ đờng phụ hình dới ta phải cần thên bớc chứng minh AM = AF sau đó chøng minh AF = FE Vẽ thêm đờng phụ để tạo yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu c¸c yÕu tè cÇn chøng minh hoÆc cÇn so s¸nh víi * VÝ dô 3: Cho h×nh b×nh ABCD trªn AB vµ BC lÊy hai ®iÓm E vµ F cho AE =CF ( E AB ; F BC ) kÎ DH AF vµ DK CE chøng minh r»ng DH = DK Híng gi¶i : minh cho tam gi¸c AFD = tam gi¸c Ta thõa nhËn viÖc chøng minh CED cã diÖn tÝch b»ng v× hai cho DH = DK thùc chÊt lµ chøng (4) tam giác này đã có hai cạnh đáy AF vµ CE = NÕu hai tam gi¸c cã hai cạnh = và có đờng cao thuộc hai cạnh đáy đó th× diÖn tÝch b»ng (5) Vì ta vẽ đờng chéo AC và lấy tam giác ACD làm trung gian để so s¸nh diÖn tÝch tam gi¸c CED vµ diÖn tÝch tam gi¸c AFD ta thÊy diÖn tÝch tam giác AFD = diện tích tam giác ACD ( cùng đáy AD cùng chiều cao hạ từ F vµ C xuèng AD ) Diện tích tam giác CED = S ACD ( cùng đáy CD cùng chiều cao hạ từ A , E xuèng CD S AED = S CED hay 1/2 DH AF = 1/2 DK CE mµ AF = CE => DH=DK * Ví dụ : Chứng minh đờng trung bình hình thang cân thì nhỏ đờng chéo nó Híng gi¶i : Gäi h×nh thang c©n ABCD cã BC// AD , AB= CD và BC < AD , M là đờng trung bình hình thang ta ph¶i chøng minh MN < BD nhng gi÷a MN vµ BD kh«ng cã mèi liªn hệ nào giúp ta so sánh đợc Nếu từ M kẻ đờng thẳng // với cạnh CD cắt AD E và ED làm trung gian để so s¸nh MN víi DE vµ DE víi BD b»ng c¸ch chøng minh MNBE lµ h×nh b×nh hµnh vµ tam gi¸c BDE vu«ng t¹i E Vẽ đờng phụ để tạo nên hình biến đổi bài toán để bài toán dễ chøng minh h¬n * Ví dụ : Cho tam giác ABC có AB> AC vẽ hai đờng cao BE và CD Chøng minh r»ng AB + CD > AC+ CE Híng gi¶i : bài này ta biến đổi để có A ®o¹n th¼ng AB + CD mét ®o¹n th¼ng kh¸c = AC + BE th× còng ch¼ng gióp g× cho viÖc chøng minh , nhng ta dựa vào đề bài cho AB > AC để biến đổi Kết luận Bằng cách chuyÓn vÕ AC vµ CD bÊt đẳng thức kết luận ta có AB – B B/ AC > BE – CD Nh bài toán có thể thành bài toán tơng đơng Cho tam giác ABC có AB > AC chứng minh : Hiệu hai cạnh AB và AC thì lớn hiệu hai đờng cao tơng ứng thuộc hai cạnh đó (6) Biến đổi bài toán nh gợi ý cho ta vẽ đờng phụ cách đặt đoạn AB chồng lên đoạn AC để làm xuất đoạn thẳng hiệu AB và AC Đó là CB / = AB/ - AC ta cã ABB/ c©n t¹i A tõ B/ kÎ B/H AB vµ CF B/H §Õn ®©y ta thÊy viÖc gi¶i bµi to¸n trë nªn rÊt dÔ dµng Ta chØ cÇn chøng minh cho BE = B /H và CDHF là hình chữ nhật , từ đó => đợc B/F = BE- CD Cuối cùng bài toán đợc ®a vÒ viÖc so s¸nh B/F vµ B/C tam gi¸c B/FC Vẽ thêm đại l ợng thêm vào đại l ợng mà đề bài đã cho để tạo mối liên hệ các đại l ợng cần chứng minh giúp cho việc chứng minh đợc dễ dàng * VÝ dô : Cho tam gi¸c ABC P lµ mét ®iÓm bÊt kú thuéc miÒn tam gi¸c gãc PAC = gãc PBC vµ M,N lµ h×nh chiÕu t¬ng øng cña P xuèng AC vµ BC Nèi M,N víi trung ®iÓm D cña AB CMR : MD = ND Híng gi¶i : Ta thÊy AD lµ ND cha cã mèi liªn A hÖ g× gióp ta so s¸nh NÕu ta x¸c định thêm hai trung điểm I và K BP vµ AP råi nèi DK ,MK , nèi DI ,NI đó ta thấy xuất hai tam B C giác DMK và DNI Từ đó gợi ý cho ta nghĩ đến việc tìm cách chứng minh cho hai tam giác = từ đó rót MD = ND , mµ tam gi¸c DMK = tam gi¸c DNI lµ ®iÒu dÔ chøng minh * VÝ dô : CMR : Trong mét tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹ch huyÒn th× b»ng nöa c¹nh Êy Híng gi¶i : Ta thÊy AC vµ tia MB giao M Khai thác tính chất đờng chéo cña h×nh b×nh hµnh gîi ý cho ta lÊy trªn tia BM mét ®o¹n MD cho MD = MB Ta đợc tứ giác ABCD lµ h×nh b×nh hµnh , l¹i cã gãc B = 90o lên là hình chữ nhật từ đó => MB = 1/2 AC A D O (7) B C Vẽ thêm đờng phụ để bài toán có thể áp dụng định lý nào đó * Ví dụ : Cho tam giác ABC và đờng thẳng xy không cắt tam giác CMR : Khoảng cách từ trọng tâm G tam giác đến đờng thẳng xy = 1/3 tổng khoảng cách từ đỉnh tam giác tới đờng thẳng đó Híng gi¶i : Dựa vào tính chất trung tuyến đờng phân giác ta nghĩ đến việc nối đỉnh nào đó tam giấc ABC với trọng tâm G thì đờng thảng nối hai điểm đó phải qua trung điểm cạnh đối diện A B C Gi¶ sö nèi B víi G th× BG sÏ ®i qua trung ®iÓm N cña AC Vµ lÊy mét ®iÓm E là trung điểm BG từ đó ta có BE = EG = GN = 1/3 BN Khai thác tính chất này và dựa vào định lý “ Hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ thì // với “ Tiếp tục vẽ các đờng EE/ và NN/ vuông góc với xy tạo nên các hình thang AA/ C/C và BB/ G/G Vận dụng tính chất đờng trung bình hình thang trên so với hai đáy nó biến đổi dần ta đợc kết cần chứng minh Ví dụ ; Cho hình bình hành ABCD và đờng thẳng xy không có điểm trung với hình bình hành Gọi AA/ , BB/ , CC/, vàDD/ là các đờng vuông góc kẻ từ A,B,C,D đến đờng thẳng xy CMR : AA/+ CC/ = BB/ + DD/ Híng gi¶i : Ta thÊy c¸c ®o¹n th¼ng AA/ , BB/ , CC/, vµDD/ // víi h¬n n÷a v× tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nªn O lµ trung ®iÓm cña AC vµ BD A o D C điều này giúp ta nghĩ đến tính chất đờng trung bình hình thang , đờng phụ OO/ xy ; O/ xy lµ chìa khoá để giải bài toán B OO Trên đây ngời viết xin đề cập đến năm phơng pháp thờng dùng để vẽ thờng dùng để vẽ đờng phụ để giải toán chứng minh hình học với ví dụ điển (8) hình Tất bài toán trên sử dụng phơng pháp vẽ thêm đờng phụ b»ng nh÷ng suy luËn tõ gi¶ thiÕt vµ sù linh ho¹t ph¬ng ph¸p Phần III : Các bài tập đề nghị : Bµi 1: ë miÒn ngoµi h×nh b×nh hµnh ABCD lÊy ®iÓm P cho gãc PAB = gãc BCD Các đỉnh A và C nằm nửa mặt phẳng khác đờng th¼ng PB CMR : gãc APB = gãc DPC Bµi 2: Cho tam gi¸c c©n ABC t¹i A Tõ trung ®iÓm H cña BC kÎ HE AC ( E AC ) Gäi O lµ trung ®iÓm cña HE CMR : OA BE Bài 3: Giả sử AC là đờng chéo lớn hình bình hành ABCD Từ C kẻ các đờng th¼ng CE , CF t¬ng øng vu«ng gãc víi AB , AD CMR : AB AE + AD.AF = AC2 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Một đờng thẳng cắt AB E AD F và đờng chéo AE G CMR : AB AE + AD = AC AF AG Bài 5: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm Một đờng thẳng qua G cắt c¹nh AB , AC t¹i M vµ N CMR : AB + AC =3 AM AN Bµi : Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 90o chän trªn AB mét ®iÓm D , kÎ Dx // AC , c¾t BC t¹i E cho AE CD t¹i K Cho CD = m TÝnh AE n SBDE S ADEC Bµi : Cho h×nh thang ABCD ( AB//CD ) gäi E lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC , F lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD CMR : EF ®i qua trung ®iÓm cña AB vµ CD Bµi : Cho A/, B/, C/, D/, lÇn lît n»m trªn c¹nh BC , AC , AB cña tam gi¸c ABC AB❑ AC❑ Biết AA/ , BB/ , CC/ , đồng quy M CMR : AM = ❑ ❑ + ❑ A M CB BC C KÕt luËn Trong qu¶ tr×nh nghiªn cøu vÒ ph¬ng ph¸p chøng minh mét bµi to¸n h×nh häc , ngêi viÕt chØ ®a ph¬ng ph¸p c¬ b¶n thêng ch¬ng tr×nh phæ th«ng sở Chuyên đề nhỏ này đã hệ thống hoá các tình vẽ hình phụ bài tập hình học , bên cạnh đó là số ví dụ chứng minh minh hoạ cụ thể cho các tình đó và các bài tập tham khảo Tuy nhiên chuyên đề này có hạn chế thể loại , cha đáp ứng đợc hết các đối tợng học sinh Trong phơng pháp trên còn hạn chế nội dung và phơng pháp tôi mong nhận đợc góp ý xây dựng các (9) đồng chí đồng nghiệp là đồng chí giàu kinh nghiệm giảng dạy môn toán THCS để chuyên đề này đợc sửa chữa , củng cố đáp ứng đợc với các đối tợng học sinh T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Thôy Duyªn , Ngµy 10 th¸ng 11 n¨m 2006 Ngêi viÕt Hµ Huy S¬n (10) (11)