De thi HSG Toan 9

c Đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn cố định khi xÔy quanh quanh O, nhng hai c¹nh Ox vµ Oy vÉn c¾t hai c¹nh AB vµ AC cña ABC.. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :.[r]

Trêng THCS L¬ng Ngo¹i M«n : To¸n Giáo viên đề: §Ò Thi häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2011 - 2012 Thêi gian lµm bµi : 150 phót Ph¹m V¨n Dòng §Ò thi ® Bµi 1: (2 ) Cho P = ( √ x + √ y − √ x − √ y : 1+ x + y +2 xy − xy 1− √ xy √ xy+1 )( ) a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 2+ √ c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P Bµi 2: (2.5®) Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + 2mx + m2 – = (1) a Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm : x1; x2 1 + + x + x =1 x1 x2 B = |2 x1 x 2+ x + x − 4| b Víi gi¸ trÞ nµo cña m th×: c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: Bµi :(1,5 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  x  y  x  y 18   x  x  1 y  y  1 72 Bài 4: (3đ) Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC tam giá ABC Một góc x¤y = 600, cã c¹nh Ox, Oy lu«n c¾t c¹nh AB, AC ë M vµ N Chøng minh: a) OB2 = BM C N b) C¸c tia MO, NO lu«n lu«n lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc BMN vµ C NM c) Đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định xÔy quanh quanh O, nhng hai c¹nh Ox vµ Oy vÉn c¾t hai c¹nh AB vµ AC cña ABC Bµi (1®) Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời : x  y   y  z  z  x  0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = x2011 + y2011 + z2011 Híng dÉn chÊm Bµi 1: ĐK để P có nghĩa x ≥ ; y ≥ ; xy ≠ a P = √ x 1+ x ( 0,75®) b x = = - √ = ( √ 3− )2 2+ √ 0,25®) ( 0,25®) ( VËy P = 2√x 1+ x = ( √ 3+1 ) 13 ( 0,25 ) ® c Víi mäi x ≥ ta cã : ( √ x −1 )2 ≥ x - √ x +1 ≥ ⇔ ( 0,25®) ⇔ x+1≥ √ x ⇔ 1≥ ( x + > ) 2√x 1+ x ⇔ ⇔ 2√x 1+ x P 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = ⇔ x = ( 0,25®) Bµi 2: XÐt ph¬ng tr×nh : 2x2 + 2mx +m2 – = a §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm th× : Δ' ≥ ⇔ −m2 ≥0 ⇔ −2 ≤m ≤2 (0,5®) b Theo định lí Vi ét ta có: x1 + x2= - m; x1.x2 = m −2 1 1 + + x + x 2=1⇔ ( x 1+ x ) 1+ =1 ⇔− m 1+ =1 x1 x2 Khi đó: x x m −2 2 ⇔ m +m − 2=0 ⇔ ( m−1 ) ( m +2 m+2 ) =0 ⇔ m=1 ( ) ( ) (0,5®) (0,25®) (0,25®) Víi m = tho· m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n c Ta thÊy: B = |m − m− 6|=|( m− ) ( m+2 )| |2 x1 x 2+ x + x − 4| = (0,25®) V×: (m+2) (m-3) ≤ Víi mäi m tho· m·n: - ≤ m ≤ 2 25 25 − m− ≤ 4 DÊu “ = ” x¶y m = VËy: B= VËy gi¸ (0,25®) Bµi 3: −m2 +m+6= trÞ lín nhÊt ( ) cña B (0,5®) lµ 25 u  x  x  1  v  y  y  1 §Æt :  m = (0,25®) u  v 18  Ta cã : uv 72  u ; v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : X  18 X  72 0  X 12; X 6 (0,25®) u 12 u 6    v 6 ; v 12  x  x  1 12    y  y  1 6 (0,25®)  x  x  1 6   y  y  1 12 ; Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm hệ là : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) vµ c¸c ho¸n vÞ Bµi 4: (0,5®) (0,25®) A x y M N H Chøng minh: a) (1 ®iÓm) Ta cã: ¤1 + ¤2 = 1800 - 600 = 1200 ^ = 1200 ¤2 + ^ N = 1800 - C B  ¤1 = ^ N ^ = 600 (ABC đều) ^ =C B  OBM  MCO (g-g) ®iÓm)  OB =BM MN CO O C (0,5 (0,25 ®iÓm)  OB CO = NC BM Thay CO = OB  OB2 = NC BM (®ccm) b) (1 ®iÓm) Chứng minh đợc hai tam giác OBM, OCN đồng dạng  MO lµ ph©n gi¸c cña gãc BMN Tong tự có hai tam giác OMN, OCN đồng dạng  NO lµ ph©n gi¸c cña gãc MNC ®iÓm) c) (1®iÓm) O lµ giao ®iÓm cña hai tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BMN vµ MNC  O cách AB, MN và AC (0,25 ®iÓm) (0,75 ®iÓm) (0,25 (0,25 ®iÓm) Gäi OH lµ kho¶ng c¸ch tõ O tíi AB, ta cã: OH = OB sinB = a Sin 600 = a √3 = a √3 2 (trong đó a là cạnh  ABC đều) (0,5 ®iÓm) a √3 )  MN luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định ( O; ®iÓm) Bµi (1®) ®iÓm)Tõ gi¶ thiÕt ta cã : (0,25  x  y  0   y  z 1 0  z  x  0  (0,25®) Cộng vế các đẳng thức ta có : x  x   y  y   z  z  0     2    x  1   y  1   z  1 0  x  0    y  0  z  0  (0,25®) ⇒ x=y=z=-1 ( 0,25®) ⇒ A = x2011 + y2011 + z2011 = (-1)2011 + (-1)2011 + (-1)2011 = -3 VËy : A = -3 (0,25®)