Câu V 1,0 điểm Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm:.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ chọn một trong hai phần phần A hoặc phần B A.[r]
(1)TRƯỜNG THPT LÊ LỢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2012 MÔN TOÁN - KHỐI A, B Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) mx y x m có đồ thị là (Cm ) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m (Cm ) Tìm m để đường thẳng d : y x cắt Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận (Cm ) điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB là tam giác Câu II (2,0 điểm) cos x tan x cos x Giải phương trình: x y x ( x , y ) y x y Giải hệ phương trình: I Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: dx (sin x cos x) sin x Câu IV (1,0 điểm) Tứ diện SABC có SA ( ABC ) , tam giác ABC vuông B, BC a , AC a , o M là trung điểm AB và góc hai mặt phẳng (SMC) và (ABC) 30 Tính theo a thể tích khối tứ diện SABC và diện tích tam giác SMC Câu V (1,0 điểm) Tìm các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm: x x x x m II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) x y 0 và hai điểm A(1;0), B(3; 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng : Tìm điểm M thuộc đường thẳng cho | 3MA MB | nhỏ 2 2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x y z x y z 0 và hai điểm A(3;1;0), B (2;0; 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z a (a 3)i, (a ) Tìm a để khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C): x y x 0 Viết phương trình tiếp o tuyến (C) biết góc tiếp tuyến và trục hoành 60 2 2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x y z x 10 y 0 và hai đường x t d : y 2 3t x y z z 3t d1 : 1 , thẳng Viết phương trình đường thẳng qua tâm (S) và cắt hai đường thẳng d1, d2 Câu VII.b (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa điều kiện: | z i | , tìm số phức có Acgumen dương và nhỏ HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (2) Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2012 Môn: Toán khối A-B Đáp án 2x y x2 Khi m = 2 : Tập xác định D = \ { 2} Chiều biến thiên 6 y' 0, x ( x 2) ; y’ không xác định x Điểm 0,25 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 2),( 2; ) , hàm số không có cực trị lim y lim y x Giới hạn và tiệm cận: x Tiệm cận ngang y lim y , lim y x 2 x Tiệm cận đứng x 0,25 Bảng biến thiên: I.1 (1,0 điểm) x y’ y 2 0,25 2 2 Đồ thị: Cắt Oy (0;1) , cắt Ox (1;0) Tâm đối xứng I ( 2; 2) y 0,25 -2 x O I -2 I.2 (1,0 điểm) mx x g ( x) x x 2m 0 (1) x m Phương trình hoành độ giao điểm: với x m y x cắt (Cm ) hai điểm phân biệt ' 1 2m m 2 g ( x ) 0 có hai nghiệm phân biệt x m g (m) m 0 x1 x2 2 x x 2 m Gọi x1 , x2 là hai nghiệm (1), ta có Các giao điểm là A( x1 ; x1 2), B ( x2 ; x2 2) 0,25 0,25 AB 2( x1 x2 ) 2( x1 x2 ) x1 x2 8 16(m 1) 8(2m 1) IA IB AB d ( I , d ) Tam giác IAB với I (m; m) | 2m | d (I , d ) | m 1| d ( I , d ) AB d ( I , d ) AB 2 Ta có ; 0,25 (3) 2(m 1) 6(2m 1) m thoả mãn điều kiện m : A(1 3;1 Điều kiện: cos x 0 3), B(1 m 3;1 3) IA IB Vậy m là giá trị cần tìm 0,25 Phương trình đã cho tương đương với: 2sin x 4cos x 3 cos x 3(sin x cos x) (cos x sin x) 3 (sin x cos x)(cos x sin x) 0,25 (sin x cos x 1)(sin x cos x 3) 0 II.1 (1,0 điểm) 0,25 sin x cos x 1 sin x cos x (v« nghiÖm) x k 2 x k 2 sin( x ) (k ) x k 2 x k 2 4 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x k 2 (k ) 0,25 0,25 II.2 (1,0 điểm) III (1,0 điểm) ( x 1) ( x 1) y ( y 1) ( y 1) x Hệ viết lại là: x u 0, y v 0 Đặt ta có hệ: u u v (u v)(u u v uv v u v 1) 0 2 v v u u u v u 0, v 0 u 0, v 0 u v u 1 u u u 0 v 1 u 0, v 0 x 1 x 2 y 1 y 2 Từ đó ta có: Vậy hệ có nghiệm ( x, y) (2,2) 2 I sin x dx d (cot x) cot x cot x 0,25 0,25 0,25 0,5 ln cot x 2 ln cot IV (1,0 điểm) 0,25 ln cot ln 2 0,5 S 2 AB AC BC 2a 1 SABC BA.BC 2a.a a 2 0,25 A C K M B 0,25 o Dựng AK CM SKA 30 AKM đồng dạng với CBM AK AM CB AM a AK 2 CB CM BC BM (4) SA AK tan 30o a 1 a a VSABC S ABC SA a 3 S a2 S AMC S SMC cos30o S SMC AMCo a S AMC SABC cos30 2 Ta có: Điều kiện: x 2 V (1 điểm) 4 Xét hàm f ( x) x x x x với x [0;2] 1 1 1 f '( x) 3 4 x 2 x (2 x ) x f '(1) 0;0 x 1: f '( x) 1 1 0; f '( x ) 4 x x x (2 x ) 1 x 2: BBT: x f’(x + ) f(x) 24 2 f ( x ) m m Bất phương trình có nghiệm x[0;2] E B A F Gọi E, F là trung điểm AB, AE Ta có: 3MA MB 2MA (MA MB ) 2( MA ME ) 4MF M | 3MA MB | nhỏ MF nhỏ M là hình chiếu F trên VI.a.1 M M ( t ;2 t 1) FM (t ;2t ) E (2; 1) F ( ; ) (1 2 2 điểm) có VTCP u (1;2) 1 3 u FM 0 1. t 2. 2t 0 t 2 2 1 t M ( ;0) 2 VI.a.2 Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1), bán kính R = (1 d ( I ,( P)) R r Đường tròn giao tuyến có r = điểm) 2 PT mp(P) có dạng: ax by cz d 0 (a b c 0) Ta có hệ: d 3a b d 3a b 3a b d 0 a b a b a c d c c 2 | a b c d | | 7a b | 5a 2ab 5b 17a 10ab 7b 0 a b c a 1 a 17 b 1 b 1 c c 17 d d 4 17 Chọn b = ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) Có mặt phẳng cần tìm: x y z 0 và x 17 y z 0 Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Khoảng cách từ M đến gốc tọa độ O chính là độ dài đoạn OM | z | VII.a (1 điểm) OM đạt giá trị nhỏ | z | a (a 3)2 0,25 0,25 đạt giá trị nhỏ 3 9 a (a 3) 2a 6a 2 a 2 2 Ta có: 3 a thì OM đạt giá trị nhỏ Vậy, (C) có tâm I(1,0), bán kính R=2 o o Hệ số góc tiếp tuyến là k tan 60 k tan120 nên phương trình tiếp tuyến (C) có dạng: 3x y p 0 3x y q 0 VI.b.1 (1 điểm) Trường hợp : Trường hợp : 3x y p 0 d ( I , ) 2 | 3 p| 2 p 4 | q| d ( I , ) 2 2 q 4 3x y q 0 Vậy các tiếp tuyến cần tìm là: (S) có tâm I (1;5;0) 3x y 4 0 ; 3x y 4 0,25 0,25 0,25 0,25 3 0 u [nP , nQ ] (1;3;0) Đường thẳng có VTCP qua I (1;5;0) có PT là: x 1 t y 5 3t (t ) z 0 Đường thẳng thoả mãn bài toán z x yi ( x, y ) z i ( x 3) ( y 3)i | z i | 0,25 Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và I, (Q) là mặt phẳng chứa d2 và I ( P ) (Q ) PT (P): d1 có VTCP u1 (1; 1;2) và qua điểm M (1;3;1) VTPT ( P) : nP [ M I , u ] (3; 1; 2) PT (P): 3( x 1) 1( y 5) 2( z 0) 0 x y z 0 u2 (1; 3; 3) và qua điểm M (0;2;0) PT (Q) : d có VTCP VI.b.2 (1 (Q) : nQ [ M I , u ] (3; 1;2) VTPT điểm) PT (Q): 3x y z 0 VII.b (1 điểm) 0,25 ( x 3) ( y 3)2 ( x 3)2 ( y 3)2 3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z thỏa điều kiện bài toán nằm trên đường tròn tâm I ( 3; 3) , bán kính R Suy Ox tiếp xúc với đường tròn này 0,25 Vậy z là số phức có Acgumen dương nhỏ (bằng ) 0,25 Lưu ý: Các cách giải khác với đáp án đúng điểm tối đa (6)