Tính vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h Dạng 5: Chuyển động vòng tròn Dành cho HS khá giỏi Lưu ý HS: - Khi hai vật chuyển động ngược chiều gặp [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC Dạng 1: Tìm điều kiện để thức xác định ( có nghĩa) Kiến thức ghi nhớ: √ A xác định (hay có nghĩa) A ≥ (GV nên nhấn mạnh chổ này vì số HS hay nhầm viết √ A ≥ 0) Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các thức sau có nghĩa: a, √ x −5 b, √ −3 x+ Ví dụ 2: Với giá trị nào x thì các thức sau xác định: a, √ x +4 −5 √ x+1 x−3 b, √ −2 x ( GV nhấn mạnh HS: Phân thức có tử và mẫu cùng dấu mẫu phải khác 0) Ví dụ 3: Tìm điều kiện x để biểu thức sau có nghĩa: √ x −1+√ − x ( Nhấn mạnh HS cách kết hợp điều kiện ) Ví dụ : ( Dành cho HS khá giỏi) Tìm điều kiện để các thức sau xác định a, b, √ −3 x x +8 Dạng 2: Áp dụng đẳng thức √ A =| A| VD1: Tính: √ ( 1+ √5 )2+ √ ( − √ )2 ( Nhấn mạnh HS mở | a – b| a < b thì | a – b | = b – a Đổi chổ hai số ) VD2: Tính: a, √ 4+ √ 7+ √ − √7 b, √ ( √ a −1+1 )2 +√ ( √ a− 1− )2 với a ≥ VD: Rút gọn: x −1 √ x2 −2 x+1 4x với x > 0, x ≠ Dạng 3: Sử dụng các phép khai phương, nhân chia bậc hai: Ví dụ: a, (√ 32 − √ 32 ) √6 b, ( √ 20− √5+ √ 80 ) √5 Dạng 4: Sử dụng các phép biến đổi bậc hai 1, Đưa thừa số ngoài dấu căn: √ a2 b=|a|√ b với b>0 Ví dụ 1: Rút gọn: a, √ 20− √ 45+3 √ 18+ √ 72 b, √ 48 −2 √ 75+ √108 Ví dụ 2: Rút gọn: √ 8− √50 − √ ( √2 −1 )2 2, Khử mẫu VD: a, √ ; 3, Trục thức mẫu: b, √ ; 12 c, √ 18 ab2 ( a > 0) (2) TH1: Phân tích tử chứa thừa số là mẫu: Ví dụ: Rút gọn: a, 10 √5 3+ √ 3 −√3 √ − √ − 2+ √ 2− c, 2+ 1− √ 1+ √ √ 3+ √ −1 TH2: Nhân thêm với mẫu ( b, Ví dụ: a, √3 )( b, ) (a>0) √a TH3: Nhân với biểu thức liên hợp: C ( √a ∓ b ) C (√ a ∓ √b) C C = ; = ( Lưu ý HS: Sau nhân với biểu thức liên a −b √a ± b a −b √ a± √ b hợp số hạng mẫu chứa thì căn, không chứa thì phải bình phương và mẫu luôn là hiệu) √5 Ví dụ: a, √5 −1 b, c, d, 1 − − √ 3+ √ 2 − √ −2 √5+2 10 10 + √11 − √6 √ 11 + √ CHUYÊN ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC TỔNG QUÁT Lưu ý HS số công thức: Với a ≥ thì: √ a ¿3 −13=(√ a −1)(a+ √a+ 1) a = √ a¿ ¿ ; √ a ¿3 ; a −1=( √ a −1)(√ a+1); a √a − 1=¿ a √ a=¿ √ a− 1¿ √ a+1 ¿2 ; a −2 √ a+1=¿ √ a ¿3 +13=(√ a+1)(a − √ a+1); a+2 √ a+1=¿ a √ a+1=¿ Dạng 1: Phân tích tử thành tích có chứa nhân tử là mẫu a −1 a − √a −2 +1 với a ≥ 0, a ≠ 1; Ví dụ 1: Rút gọn: √ a− √ a −1 1− a √ a −√a + a √ VD2: Rút gọn: với a ≥ 0, a ≠ 1; −a 1− √ a Dạng 2: Quy đồng mẫu có mẫu là mẫu chung √x − x : √x − √ x VD1: Cho M = với x > 0, x ≠ √ x −1 x − √ x +1 a, Rút gọn M b, Tìm x cho M ≤ ( ( ( )( )( )( ) ) ) (3) VD2: Cho biểu thức K = x x − √x − √x − x − √x với x > 0, x ≠ a, Rút gọn b, Tính giá trị K x = +2 √ √ x+1 + √ x + 2+5 √ x VD3: Cho P = với x ≥ 0, x ≠ √ x − √ x+ − x a, Rút gọn P b, Tìm x để P = Dạng 3: Quy đồng mẫu với mẫu chung là tích các mẫu √ a − a − √ a − a+ √ a VD1: Cho Q = với a > 0, a ≠ 2 √ a √ a+1 √ a −1 a, Rút gọn b, Tìm x để Q ≥ -2 Dạng : Dạng tổng hợp ( dành cho HS khá giỏi) ( GV lấy thêm các ví dụ) 1 √x − : VD: Cho P = với x > x+ √ x √ x+1 x+ √ x+ a, Rút gọn ( )( ( ) ) b, Tìm x để P > CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I Giải hệ PT phương pháp cộng đại số VD1: Giải các hệ PT ¿ x +2 y =4 a, x − y =−1 ¿{ ¿ VD2: Giải các hệ PT: a, b, ¿ x − y =5 x + y=− ¿{ ¿ ¿ x −2 y=− x +3 y=− ¿{ ¿ b, VD3: Giải các hệ PT ¿ ( x −1 ) + y=3 a, x − y=−8 ¿{ ¿ II Biện luận hệ PT b, ¿ x + y=1 x+ y=− ¿{ ¿ ¿ x − y =1− y x + y=3− x ¿{ ¿ (4) VD1: Cho hệ PT : ¿ x +ay =b x − by=a ¿{ ¿ Tìm a, b để hệ đã cho có nghiệm (x;y) = (2; -1) VD2: Cho hệ PT: ¿ x+ my=5 mx − y =1 ¿{ ¿ a, Giải hệ với m =2 b, Chứng minh hệ có nghiệm với m III Giải hệ PT PP thế: ( Nếu có thời gian các đ/c tìm thêm số ví dụ các hệ PT mà phải giải PP thế) CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ y = ax + b ( a ≠0) Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số: - Điểm cắt trục tung: x = 0; y = b (0 ; b) - Điểm cắt trục hoành: y = 0; x = - b/a ( - b/a ; ) VD1: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x – VD2: Vẽ đồ thị hàm số : y = –x + ( Lưu ý HS: Nếu a > thì đồ thị hàm số có chiều lên từ trái qua phải, a < thì đồ thị hàm số có chiều xuống) Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến: VD: Với giá trị nào m thì hàm số y = ( m +2)x – đồng biến trên tập xác định Dạng 3: Tìm số hạng chưa biết hàm số: Lưu ý HS: Cho hai hàm số y = ax + b và y = mx + n ( a, m ≠ 0) Đồ thị hai hàm số - Cắt a ≠ m ( Cắt điểm trên trục tung a ≠ m và b = n) - Song song với a = m, b ≠ n - Trùng a = m, b= n Đồ thị hàm số y = ax + b song song với trục hoành a = 0, b ≠ VD1: Cho hàm số y = 3x + b Tìm b biết đồ thị hàm số qua điểm M ( 1; -2) VD2: Tìm m để đường thẳng y = 2x -1 và đường thẳng y = 3x + m cắt điểm trên trục hoành? VD3: Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2; ½) và song song với đường thẳng 2x + y = Tìm a và b ? VD4: Biết đường thẳng y = ax + b điqua điểm P ( -1;2) và cắt đường thẳng y = 2x – điểm trên trục tung Tìm a và b? VD5: Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm A(2; 3) và điểm B(-2; 1) Tìm a và b? (5) VD6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có PT: y = (m -1 )x + n a, Với giá trị nào m và n thì d song song với trục Ox b, Xác định phương trình d, biết d qua điểm A (1; -1) và có hệ số góc -3 CHUYÊN ĐỀ 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = Nhắc lại công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn Dạng 1: Giải PT bậc hai khuyết VD: Giải PT: a, x2 + 5x = b, 2x2 – = Dạng 2: Giải PT dạng a + b + c = a – b + c =0 VD: Giải các PT: a, x2 + 4x – = b, 2x2 – 7x – = Dạng 3: Dùng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn VD 1: Giải các PT: a, x2 + 5x + = b, 4x2 + 12x + = c, 2x2 – 5x + = ( GV lấy thêm số VD để rèn luyện thành thạo kỹ cho HS Chú ý: nên chọn các PT có nghiệm là số nguyên) VD 2: Giải các PT a, x2 – 3x + = b, – x2 + 6x – = ( Nhắc HS nên đổi dấu trước giải) c, 2x2 + x – = ( Nhắc HS quy đồng trước giải) Dạng 4: Giải PT trùng phương ax4 + bx2 + c = Lưu ý HS: Đặt y = x2 ≥ Giải PT ay2 + by + c = và lấy các nghiệm y ≥ VD: Giải các PT: a, x4 + 3x2 – = b, x4 – 6x2 + = CHUYÊN ĐỀ 6: (6) BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 1: Tìm điều kiện để PT vô nghiệm, có nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt - PT vô nghiệm : a ≠ 0, < - PT có nghiệm : a ≠ 0, ≥ - PT có nghiệm kép: a ≠ 0, = - PT có hai nghiệm phân biệt: a ≠ 0, > VD1: Cho PT: x2 + 3x + m – = Với giá trị nào m thì PT a, Có nghiệm b, Có nghiệm kép c, Vô nghiệm VD2: Cho PT (m + 1)x2 – 4x + = Với giá trị nào m thì phương trình đã cho có nghiệm? Dạng 2: Tìm đk để PT có hai nghiệm trái dấu : a.c < VD: Cho PT : x2 – 6x + m = Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu? Dạng 3: Tìm đk để PT có hai nghiệm cùng dấu ¿ a≠0 Δ>0 c >0 a ¿{{ ¿ VD: Cho PT: x2 + 5x + m +2 = Tìm m để PT có hai nghiệm cùng dấu? Dạng 4: Tìm đk đề PT có hai nghiệm dương phân biệt ¿ a≠0 Δ>0 −b >0 a c >0 a ¿{{{ ¿ VD: Cho PT: mx2 – 6x + = Tìm m để PT có hai nghiệm dương phân biệt Dạng 5: Tìm đk để PT có hai nghiệm âm phân biệt ¿ a≠0 Δ>0 −b <0 a c >0 a ¿{{{ ¿ Dạng 6: Tìm đk để pt có nghiệm x = α (7) PT ax2 + bx + c = có nghiệm α aα2 + bα+ c = VD: Cho PT : x2 + 2(m + 1) x + m2 = a, Giải PT với m = b, Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt đó có nghiệm -2 Dạng 7: Chứng minh PT đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt PT bậc hai luôn có hai ngiệm phân biệt ac < VD: Cho PT ẩn x : x2 + 4mx – = CMR: PT luôn có hai nghiệm phân biệt CHUYÊN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG HỆ THỨC VIET Dạng 1: Tính x1 + x2; x1 x2 ( Lưu ý HS: Nếu đề bài ghi rõ: Cho x1, x2 là hai nghiệm PT thì không phải tính Còn không thì trước hết phải tính ) VD: Gọi x1, x2 là hai nghiệm PT x2 – 6x + = Tính x1 + x2; x1.x2 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức A = mx1 + n x1x2 + mx2 VD: Cho x1, x2 là hai nghiệm PT: x2 + 7x – = Tính giá trị biểu thức: P = 8x1 – 4x1x2 + 8x2 1 1 Dạng 3: Tính x + x ; x12 + x22; x13 + x23; x + x 2 2 1 VD1: Gọi x1, x2 là hai nghiệm PT 3x2 – x – = Tính P = x + x VD2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm PT x2 – x – = Tính P = x12 + x22 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số VD1: Cho PT: x2 – 2mx + = Tìm m để PT có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn (x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 = VD2: Cho PT x2 - 2mx – = a, CMR: PT luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b, Tìm m để x12 + x22 – x1x2 = VD3: Cho PT : x2 – 6x + m = Tìm m để PT có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x1 – x2 = VD4: Cho PT : x2 – (2m + 1)x + m2 + 5m =0 a, Giải PT với m = -2 b, Tìm m để PT có hai nghiệm cho tích các nghiệm Dạng 5: Lập biểu thức không phụ thuộc m VD: Cho PT : x2 – (m – 1)x –m – = a, Giải PT với m = -3 b, Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn: x12 + x22 = 10 (8) c, Tìm hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc m CHUYÊN ĐỀ 8: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH I Toán chuyển động: S = vt; v = s s ; t= t v Dạng 1: Chuyển động và Lưu ý HS: Quảng đường quảng đường về, khác vận tốc nên thời gian khác VD: Một người xe máy từ A đến B cách A 60 km Khi từ B trở A trời mưa, người đó giảm vận tốc chậm đí là 10 km/h nên thời gian nhiều thời gian là 30 phút Tính vận tốc đi? Dạng 2: Chuyển động cùng chiều( đuổi nhau) Lưu ý HS: Quảng đường thường nhau, xe có vận tốc nhanh đến trước VD: Hai ô tô khởi hành cùng lúc trên quảng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trước ô tô thư hai là 0,4 Tính vận tốc ô tô? Dạng 3: Chuyển động ngược chiều: Lưu ý HS: Khi hai xe gặp thì tổng quảng đường hai xe chiều dài quảng đường VD: Một xe lửa từ Huế Hà Nội Sau đó 40 phút, xe lửa khác từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn vận tốc xe lửa thứ là km/h Hai xe lửa gặp ga cách Hà Nội 300 km Tìm vận tốc xe, giải thiết quảng đường sắt Huế - Hà Nội dài 645 km Dạng 4: Chuyển động trên sông: Lưu ý HS: Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dòng nước VD: Khoảng cách hai bến sông A và B là 48 km Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian lãn là ( Không tính thời gian nghỉ) Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là km/h Dạng 5: Chuyển động vòng tròn ( Dành cho HS khá giỏi) Lưu ý HS: - Khi hai vật chuyển động ngược chiều gặp thì tổng quảng đường hai vật độ dài đường tròn - Khi hai vật chuyển động cùng chiều gặp thì vật nhanh vật chậm vòng tròn II Toán tìm số: (9) VD1: Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Nếu xếp toa 15 hàng thì còn thừa tấn, còn xếp toa 16 thì có thể chở thêm Hỏi xe lửa có toa và phải chở bao nhiêu hàng VD2: Một đoàn xe chở 480 hàng Khi khởi hành có thêm xe nên xe chở ít Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc, biết các xe chở khối lượng hàng VD3: Một phòng họp có 360 chổ ngồi và chia thành các dãy có số chổ ngồi Nếu thêm cho dãy chổ ngồi và bớt dãy thì số chổ ngồi phòng không thay đổi Hỏi ban đầu số chổ ngồi phòng học chia thành bao nhiêu dãy III Toán hình học: Lưu ý HS: - Diện tích hình chữ nhật = chiều dài x chiều rộng - Diện tích tam giác vuông = (Cạnh góc vuông x cạnh góc vuông) : VD1: Tính các kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết tăng kích thước thêm cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2 VD2: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm m, chiều rộng thêm m thì diện tích tăng thêm 100 m2 Nếu giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68 m Tính diện tích ruộng? IV Toán số phần công việc: ( Dành cho HS khá giỏi) Lưu ý HS: Nếu làm công việc hết x ngày(giờ) thì ngày( giờ) làm 1/x công việc VD: Hai người cùng làm chung công việc thì hoàn thành Nếu người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ ít thời gian người thứ hai là Hỏi làm riêng thì người phải bao lâu để hoàn thành công việc CHUYÊN ĐỀ 9: CÁC BÀI TOÁN VỀ TƯƠNG QUAN GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Xác định tọa độ giao điểm: Lưu ý HS: Hoành độ giao điểm đường thẳng y = mx + n và Parabol y =ax2 là nghiệm PT : ax2 = mx + n VD: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng y = - x + và Parabol y = x2 Dạng 2: Tìm hệ số a hàm số y = ax2 VD: Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm M(-2;1/4) Tìm a? Dạng 3: Biện luận số giao điểm: Số giao điểm đường thẳng y = mx + n và parabol y = ax2 là số nghiệm PT: ax2 = mx + n (1) - Nếu (1) vô nghiệm thì đường thẳng không cắt Parabol( Không có điểm chung) - Nếu (1) có nghiệm kép thì đường thẳng tiếp xúc Parabol( Có điểm chung) (10) - Nếu (1)có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt Parabol( Có điểm chung) VD: Tìm các giá trị m để đường thẳng y = 3x + m cắt parabol y = 2x2 hai điểm phân biệt CHUYÊN ĐỀ 10: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT ( Dành cho học sinh khá giỏi) GV giới thiệu cho HS các BĐT Côsy, Bunhiacopsky và số BĐT đặc biệt khác VD: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b ≤ √ Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức: P = a + b ( GV lấy thêm các ví dụ đề thi) CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ, PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ( Dành cho học sinh khá giỏi) VD: Giải PT : x + √ x +2011=2011 ( GV lấy thêm các ví dụ đề thi) (11)