a Chứng minh rằng đường tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc trong với đường tròn O và tứ giác ETMP nội tiếp một đường tròn.. b Qua D kẻ tiếp tuyến thứ hai DS với đường tròn O, S là tiếp điểm[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH Năm học 2012-2013 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang - Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x − 3x + 14 = x − b) Giải hệ phương trình: x + xy = y + y ( x, y ∈ ℝ ) 3x + + 2y + = Câu (4,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn xy yz zx P= + + biểu thức: 3x + 4y + 2z 3y + 4z + 2x 3z + 4x + 2y Câu (4,0 điểm) x1 = Cho dãy số ( x n ) xác định bởi: n −2 x n +1 = x n + , n = 1, 2,3, a) Tìm tất các số hạng là số nguyên dãy số trên b) Xác định công thức số hạng tổng quát dãy ( x n ) Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB không qua O C là điểm chính cung nhỏ AB, D là điểm nằm ngoài đường tròn (O) cho D và C nằm khác phía đường thẳng AB Qua D kẻ tiếp tuyến DT với đường tròn (O), T là tiếp điểm CT cắt AB E Đường thẳng qua E vuông góc với AB cắt OT I Một đường thẳng thay đổi qua D cắt đường tròn (O) M và N (M nằm D và N), CM cắt AB P a) Chứng minh đường tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) và tứ giác ETMP nội tiếp đường tròn b) Qua D kẻ tiếp tuyến thứ hai DS với đường tròn (O), S là tiếp điểm, CS cắt AB F Đường thẳng qua F vuông góc với AB cắt OS J Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Chứng minh I, J, K thẳng hàng Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng cho n điểm ( n ≥ ) cho không có ba điểm nào thẳng hàng Kí hiệu S ( n ) là số tam giác có ba đỉnh là ba số n điểm nói trên thỏa mãn điều kiện bên tam giác đó có chứa ít điểm số n - điểm còn lại Chứng minh rằng, S ( n ) ≤ n − thì S ( n ) = Hết -Họ và tên thí sinh: SBD: Ghi chú: Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2012-2013 Môn Toán HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang) I Một số chú ý chấm bài • Hướng dẫn chấm thi đây dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,5 điểm • Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm • Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số II Đáp án và biểu điểm Câu (5,0 điểm) a) (3,0 điểm) Giải phương trình: x − 3x + 14 = x − ĐÁP ÁN ĐIỂM Điều kiện: x ≥ Phương trinh đã cho tương đương với phương trình sau ( x + 2x + ) − 5( x − ) = ( x − ) ( x + 2x + ) x + 2x + = u Đặt ( u ≥ 0, v ≥ ) ta x − = v u − 5v = 4uv ⇔ ( u + v )( u − 5v ) = 1,0 đ 1,0 đ u + v = ⇔ u − 5v = x + 2x + = +) u + v = , u ≥ 0, v ≥ nên u = v = ⇒ ⇔ x ∈∅ x − = +) u − 5v = ⇔ u = 5v đó x + 2x + = x − 23 ± 313 ⇔ x − 23x + 54 = ⇔ x = thỏa mãn điều kiện 23 ± 313 Kết luận: Nghiệm phương trình là x = b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: x + xy = y + y (1) 3x + + 2y + = (2) ĐÁP ÁN Điều kiện: x ≥ −2 Phương trình (1) tương đương với phương trình sau 1,0 đ ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn chấm thi môn Toán vòng 1, năm học 2012-2013 ĐIỂM 1,0 đ (3) x − y2 = ( x − y )( x + xy + y + y ) = ⇔ x + xy2 + y4 + y2 = 2 2 y 3y +) Nếu x + xy + y + y = thì x + + + y = ⇔ x = y = 0, không thỏa mãn (2) +) Nếu x − y = ⇔ y = x 2 Thay y = x vào phương trình (2) ta 3x + + 2x + = ⇔ ( x − 1) ( ) ( 3x + − + ) 2x + − = ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) + =0 3x + + 2x + + 2x + + 3x + + ⇔ x = thỏa mãn điều kiện, suy y = ⇔ y = ±1 Kết luận: Nghiệm hệ phương trình là (1;1) , (1; −1) ⇔ + 1,0 đ Câu (4,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= xy yz zx + + 3x + 4y + 2z 3y + 4z + 2x 3z + 4x + 2y ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 + + ≥ x + y + z x + y + z x + 2y 3x + 4y + 2z 1,0 đ Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: Suy ra: 9xy 2xy xy ≤ + 3x + 4y + 2z x + 2y (1) 9yz 2yz yz ≤ + 3y + 4z + 2x y + 2z 9zx 2zx zx ≤ + 3z + 4x + 2y z + 2x ( 2) Tương tự: ( 3) 1,0 đ Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: 9xy 9yz 9zx + + 3x + 4y + 2z 3y + 4z + 2x 3z + 4x + 2y ≤ ( xy + yz + zx ) xy yz zx + + + x + 2y y + 2z z + 2x ( 4) Mặt khác: ( xy + yz + zx ) ( x + y + z ) ≤ = ( 5) 3 Hơn nữa: 1,0 đ 1,0 đ Hướng dẫn chấm thi môn Toán vòng 1, năm học 2012-2013 (4) ( x + 2y )( 2x + y ) = ( x + y + y )( x + x + y ) ≥ 9xy ⇒ xy 2x + y ≤ x + 2y Tương tự: yz 2y + z zx 2z + x ≤ ; ≤ y + 2z z + 2x Từ đó: xy yz zx x+y+z + + ≤ = (6) x + 2y y + 2z z + 2x Kết hợp (4), (5), (6) ta có 9P ≤ ⇔ P ≤ Vậy P đạt giá trị lớn là và x = y = z = Câu (4,0 điểm) Cho dãy số ( x n ) x1 = xác định bởi: n −2 x n +1 = x n + , n = 1,2,3, a) Tìm tất các số hạng là số nguyên dãy số trên b) Xác định công thức số hạng tổng quát dãy ( x n ) a) (1,0 điểm) Từ giả thiết, ta có x1 = 3; x = 2; x = 2; x = 3; x = Ta chứng minh x n , n ≥ không là số nguyên Thật vậy: +) x = 11 0,5 đ 11 ∉ ℤ +) Giả sử x k ∉ ℤ, ta có x k +1 = x k + 2k − ∉ ℤ 0,5 đ Vậy x n , n ≥ không là số nguyên, nghĩa là, dãy có số hạng là các số nguyên, gồm x1 = 3; x = 2; x = 2; x = b) (3,0 điểm) Từ công thức truy hồi ta có thể viết lại dạng: x n +1 2n − = xn +1 ⇔ n −1 x n +1 2n +1 =2 xn 2n +1 1,0 đ x x Đặt y n = n , n = 1, 2,3, Ta 8y n +1 = 2y n + và y1 = = 2 2n 1 1 = yn − 4 6 1 Đặt z n = y n − , n = 1,2,3, Ta z n +1 = z n và z1 = y1 − = 6 1 1 ⇒ z n = n −1 z1 = ⇒ yn = + 2n − 2n − 3.2 3.2 1 ⇒ x n = 2n −1 + n − , n = 1,2,3, 3 Khi đó y n +1 − Hướng dẫn chấm thi môn Toán vòng 1, năm học 2012-2013 1,0 đ 1,0 đ (5) Câu (5 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB không qua O C là điểm chính cung nhỏ AB, D là điểm nằm ngoài đường tròn (O) cho D và C nằm khác phía đường thẳng AB Qua D kẻ tiếp tuyến DT với đường tròn (O), T là tiếp điểm CT cắt AB E Đường thẳng qua E vuông góc với AB cắt OT I Một đường thẳng thay đổi qua D cắt đường tròn (O) M và N (M nằm D và N), CM cắt AB P a) Chứng minh đường tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) và tứ giác ETMP nội tiếp đường tròn b) Qua D kẻ tiếp tuyến thứ hai DS với đường tròn (O), S là tiếp điểm, CS cắt AB F Đường thẳng qua F vuông góc với AB cắt OS J Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Chứng minh I, J, K thẳng hàng C A C E P B F P A E B T2 O T1 O I K T N K J I N M T S M D D a) (3,0 điểm) Tam giác OCT đồng dạng với tam giác IET vì = IET,OTC = ITE OCT Mà tam giác OCT cân O nên tam giác IET cân I, suy IE = IT Vậy đường tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) T 1,5 đ = CMA, ACP = MCA Tam giác ACP đồng dạng với tam giác MCA vì CAP Do đó AC2 = CP.CM = CTB,BCE = TCB Tương tự, tam giác BCE đồng dạng với tam giác TCB vì CBE 1,5 đ Do đó BC2 = CE.CT Suy CP.CM = CE.CT Vậy tứ giác PETM nội tiếp b) (2,0 điểm) Gọi R1 = IE là bán kính đường tròn tâm I, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Gọi CT1 là tiếp tuyến đường tròn CT2 là tiếp tuyến đường tròn ( I;R1 ) ⇒ CE.CT = CT12 = CI2 − R12 , ( K;R ) ⇒ CP.CM = CT22 = CK − R 22 Do CE.CT = CP.CM nên CI − R12 = CK − R 22 ⇔ CI − CK = R12 − R 22 Mặt khác DT = DI − R12 ,DS2 = DM.DN = DK − R 22 , mà DT = DS nên Hướng dẫn chấm thi môn Toán vòng 1, năm học 2012-2013 1,0 đ (1) (6) DI − R12 = DK − R 22 ⇔ DI − DK = R12 − R 22 (2) Từ (1) và (2) suy CI − CK = DI − DK ⇔ CI − CK CI + CK = DI − DK DI + DK ⇔ KI.2CH = KI.2DH ⇔ 2KI CH − DH = ⇔ KI.CD = (H là trung điểm IK) ( ( )( ) ( ) )( ) Do đó KI vuông góc với CD Tương tự, KJ vuông góc với CD Vậy I, J, K thẳng hàng 1,0 đ Chú ý: Nếu học sinh sử dụng tính chất phương tích điểm đường tròn để suy KI vuông góc với CD thì cho điểm tối đa Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng cho n điểm ( n ≥ ) cho không có ba điểm nào thẳng hàng Kí hiệu S ( n ) là số tam giác có ba đỉnh là ba số n điểm nói trên thỏa mãn điều kiện bên tam giác đó có chứa ít điểm số n - điểm còn lại Chứng minh rằng, S ( n ) ≤ n − thì S ( n ) = ĐÁP ÁN ĐIỂM A y z D C B M x Giả sử S ( n ) > 0, đó tồn tam giác ABC với điểm D nằm bên tam giác đó (A, B, C, D là số n điểm đã cho) Ký hiệu Dx, Dy, Dz là các tia đối các tia DA, DB, DC Các tia này chia mặt phẳng thành miền không giao Lấy M là điểm tùy ý số n – điểm còn lại Không giảm tổng quát, giả sử M thuộc miền góc xDy Khi đó, điểm D nằm miền tam giác MAB đó ta có thêm tam giác thỏa mãn điều kiện bài toán Như vậy, ngoài tam giác ABC, còn ít n – tam giác khác thỏa mãn điều kiện bài toán Từ đó S ( n ) ≥ n − 3, suy điều phải chứng minh 1,0 đ 1,0 đ HẾT Hướng dẫn chấm thi môn Toán vòng 1, năm học 2012-2013 (7)