2.0 điểm Cho hình thang ABCD AB//CD giao điểm của hai đường chéo là O.. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N... Môn thi: ToánI- Hướng dẫn chung: 1- Nếu t
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Môn thi: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2.0 điểm)
Số N có dạng x y z
p q r ( p,q,r là các số nguyên tố x,y,z là các số nguyên dương ) và pq-r =3; pr-q = 9 Biết các số N N N; ;
p q r tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là 20;12 và 15 Tìm N ?
Câu 2: (2.0 điểm)
Giải phương trình : 3 x5+ 10 x4 + 7 x3 + 7 x2+ 10 x + = 3 0
Câu 3: ( 2.0 điểm)
a) Cho a,b,c là các số hữu tỷ đôi một khác nhau
Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2
P
− − − là số hữu tỷ.
b) Tính giá trị của biểu thức : Q x = +3 y3− 3( x y + ) 2010 + biết
3 3 2 2 33 2 2
x = + + − ; y = 317 12 2+ + 317 12 2−
Câu 4 (2.0 điểm )
Cho hình thang ABCD (AB//CD) giao điểm của hai đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng: 1 1 2
b) Biết SAOB = a S2; COD = b2 tính SABCD?
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác PAB có µB=450; µP=1200 trên tia BP lấy điểm C sao cho
PC = 2PB Tính góc ·ACB
-Hết -Họ và tên thí sinh: ……… SBD:………
Trang 2Môn thi: Toán
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số
m
Số N có dạng p q r x y z( p,q,r là các số nguyên tố x,y,z là các số nguyên dương ) và pq-r =3; pr-q = 9 Biết các số N N N; ;
p q r tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là 20;12 và 15 Tìm N ?
Ta có 3 ( 1) ( ) 6
9
pq r
p r q
pr q
− =
− =
- Vì p+ ≥ ⇒ = 1 3 p 2,q= 5,r= ⇒ = 7 N 2 3 7x y z
- Khi đó số các ước của N bằng (x+1)(y+1)(z+1) 0.5
Số các ước tương ứng của , ,
2 5 7
N N N
tương ứng là :
( 1) ( 1 ;) ( 1) ( 1 ;) ( 1) ( 1)
x y+ z+ x+ y z+ x+ y+ z
0.5
Vậy N=2 5 7 2 4 3 = 857500
0.5
Câu 2: (2.0 điểm) Giải phương trình : 3 x5 + 10 x4 + 7 x3+ 7 x2 + 10 x + = 3 0 (1)
(1) ⇔ ( x + 1 3 ) ( x4 + 7 x3 + 7 x + = 3 ) 0
Ta có : 3 x4 + 7 x3 + 7 x + 3= 0 và x+ 1 = 0
Trường hợp : x+ 1 = 0 ⇒ x =- 1
0.5
Trường hợp : 3 x4 + 7 x3+ 7 x + 3= 0
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế phương trình cho
x2 ta được 2 12 1
=0 Đặt t =
1
x x
+ ta có : 3t2 +7t– 6 =0
0.5
Tìm được nghiệm x1= -1 ; x2= 3 5
2
− + ; x
3= 3 5 2
Trang 3Câu Đáp án Điể
m
Câu 3: ( 2.0 điểm)
a) Cho a,b,c là các số hữu tỷ đôi một khác nhau
Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2
P
− − − là số hữu tỷ.
b) Tính giá trị của biểu thức : Q x = +3 y3 − 3( x y + ) 2010 + biết
3 3 2 2 3 3 2 2
x = + + − ; y = 317 12 2 + + 317 12 2 −
a) Với a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, ta được biểu thức P có nghĩa
Biến đổi biểu thức P, ta được :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
b c c a a b c a a b b c P
a b b c c a
⇒ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b c a b c a b c a P
a b b c c a
⇒ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b c a c b a b c a P
a b b c c a
⇒ =
2
P
a b b c c a
⇒ =
P
a b b c c a
⇒ =
2
P
a b b c c a
⇒ =
2
2
P
a b b c c a
⇒ =
a b c a a b c a P
a b b c c a
⇒ =
0.5
Vì a, b, c là các số hữu tỉ, nên suy ra :
a b c a − − + a b − + − c a
và ( a b b c c a − ) ( − ) ( − ) cũng là các số hữu tỉ
Do đó : ⇒ P là một số hữu tỉ (đpcm)
0.5
Trang 4Đặt x = 3 3 2 2 + +3 3 2 2 − = a + b suy ra: a3 + b3 = 6; a.b = 1
Ta có: x3= a3 + b3 + 3ab(a + b)= 6 + 3(a +b) = 6 + 3x
Hay x3- 3x = 6
Tương tự
Đặt y = 317 12 2 + + 317 12 2 − = c + d, suy ra c3 + d3 = 34; c.d = 1
Ta có: y3= c3 + d3 + 3cd(c + d)= 34 + 3(c +d) = 34 + 3y
Hay y3- 3y = 34
0.5
Vậy Q x = +3 y3− 3( x y + ) 2010 + =x3− 3 x y + 3− 3 y + 2010
Câu 4 (2.0 điểm ) Cho hình thang ABCD (AB//CD) giao điểm của hai đường chéo là O
Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng: 1 1 2
b) Biết SAOB = a S2; COD = b2 tính SABCD?
N M
O
B A
a)
Chứng minh rằng: 1 1 2
Theo định lý Talet do MN song song với AB và CD ta có :
;
Tương tự : NO NO 1
0.5
Vậy : NO MO NO MO 2
Hay MN MN 2
Do đó : 1 1 2
0.5
b)
Ta có AOB à AOD
v
S = OD S = OC nhưng OA OB
OC = OD do đó AOB AOD
AOD COD
Hay S2AOD = SAOB SCOD = a b2. 2
Suy ra : SAOD = a b
0.5
Trang 5Câu Đáp án Điể
m
Tương tự : SBOC = a b
Vậy : 2 2 ( )2
2
ABCD
Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác PAB có µB=450; µP=1200 trên tia BP lấy điểm C sao cho PC = 2PB Tính góc ·ACB
x
D E
C A
B
P Dựng CD ⊥AP trên tia CD lấy điểm E sao cho D là trung điểm của CE, suy ra
PE = PC Tam giác PCE cân tại đỉnh P 0.5
PA là đường cao nên cũng là phân giác của góc CPE,
do đó ·EPA =·APC=600 nhưng PC = 2PB nên PE = 2PB Từ đó trong tam giác
EBP có ·EPB = 600 suy ra EBP 90 · = 0
0.5
Vì A thuộc tia phân giác của các góc EBC v EPC · à · nên A cách đều BE và EP, suy ra A thuộc tia phân giác của góc ·PEx 0.5
Ta có : xEA AEP PEB 180 · + · + · = 0hay 2AEP 30 · + 0=1800
Do đó AEP 75 · = 0⇒ · ACB = 750 0.5